( ) ( ) ( ) ( ) Esercizi 2 Legge di Gauss

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1 Esecizi Legge di Gauss. Un involuco sfeico isolante ha aggi inteno ed esteno a e b, ed e caicato con densita unifome ρ. Disegnae il diagamma di E in funzione di La geometia e mostata nella figua: Usiamo il teoema di Gauss, utilizzando come supeficie gaussiane sfee di aggio concentiche alla distibuzione di caica. A seconda del valoe di toveemo, pe il teoema di Gauss: Si ha: Quindi: e Q 4 π tot >a Φ E E q( ) Φ ( E) E π Φ E E π 4 b>>a 4 <b Qtot ρvguscio ρ πa πb πρ a b 3 4 q V b 3 () ρ fa b e aggio ρ πρ( ) 4 πρ Φ E E π 3 ( a b) 4 >a 4 ρ πρ Φ ( E) E π 3 Φ E E π ( b) 4 b>>a 4 <b

2 ρ E a b 3 3 b ρ E 3 >a E <b b>>a. Due piani infiniti e paalleli a distanza a sono caichi con densita supeficiale s>. Deteminae il campo elettico nelle te egioni spaziali definite dai piani Possiamo applicae il teoema di Gauss usando come supeficie gaussiana un cilindo centato nell oigine, con altezza x e aea di base A, come indicato. Il campo elettico saa otogonale ai piani, pe agioni di simmetia: alloa il flusso totale di E e solo attaveso le basi, e si puo scivee: ( E) Φ AE x< a (cilindo osso): Φ E AE E σ A σ x> a (cilindo blu): Φ ( E) AE E L andamento del campo elettico in funzione di x e il seguente:

3 3. Su una piccola sfea isolante di massa m. mg e pesente una caica q 9.7 nc. Essa e appesa al soffitto con un filo di massa tascuabile, attaccato ad una paete isolante unifomemente caica con densita supeficiale σ. Si osseva che all equilibio il filo foma un angolo θ3 gadi. Deteminae σ. Il campo della distibuzione piana, unifome di caica e σ E La condizione di equilibio ichiede che la isultante della foza elettica e di quella di gavita sia allineata con il filo, lungo il quale agisce la tensione T. Quindi: qe qσ tanθ mg mg mg q σ θ tan 5. nc / m

4 4. Due lunghi cilindi metallici coassiali hanno aggio a e b ispettivamente. Sui cilindi e pesente una densita lineae di caica λ, uguale e opposta. a. Deteminae il campo elettico in funzione della distanza dall asse dei cilindi Usiamo il teoema di Gauss, scegliendo come supeficie gaussiana un cilindo di aggio e lunghezza L, coassiale ai due cilindi caichi. Pe simmetia, nell appossimazione di cilindo infinito il campo non puo avee componenti longitudinali, ma solo adiali (come al solito, il contibuto longitudinale degli elementi di caica da un lato e compensato da quello di altettanti elementi dall alto); quindi il flusso e solo attaveso l aea lateale della supeficie gaussiana, sulla quale il modulo di E e costante: <a caica contenuta zeo λl Φ ( E) πle a<<b caica negativa sul cilindo metallico inteno >b caica negativa + caica positiva : zeo Quindi il campo vale fuoi dal volume delimitato dai due cilindi, mente vale λ E ento il volume stesso π b. Consideiamo un positone (ossia, un elettone positivo: stessa massa ma caica opposta a quella dell elettone) che si muove all inteno del campo elettico su un obita cicolae. Calcolae la sua enegia cinetica. La foza centipeta deve essee data dalla foza elettostatica; quindi: v λ m ee e π λ en. cinetica mv e

5 5. Una caica elettica Q di -9. nc e unifomemente distibuita su un anello di aggio R pai a.48 m, che giace nel piano yz e ha cento nell oigine. Una caica puntifome q di pc e posizionata sull asse x nel punto x 3.7 m. Calcolae il lavoo compiuto da un agente esteno pe spostae la caica nell oigine. Il lavoo fatto dall agente esteno e uguale e opposto al lavoo fatto dal campo elettostatico; essendo quest ultimo consevativo, il suo lavoo e uguale alla vaiazione di en. potenziale cambiata di segno: Quindi: esteno campo L L U U ( finale inziale) U q V q V V Il potenziale sull asse si tova con il pincipio di sovapposizione; assumendo uguale a il potenziale all infinito (ossia, costante abitaia), il contibuto di ogni elemento di anello (che e coulombiano) e dato da: dv R dq + x Tutti gli elementi dell anello sono a uguale distanza dai punti sull asse, pe cui: V dq Q dv R + x R + x anello anello Quindi: finale inziale ( finale inziale) U q V V V V Q R Q R + x Lezteno U q Q Q R R + x 83 pj

6 5. Calcolae l enegia elettostatica di una schiea -dimensionale infinita di caiche equispaziate, uguali in valoe assoluto e altenate in segno a L en. potenziale dello ione posto a coodinata x e la somma di infiniti contibuti, la cui espessione geneica e : U U j ( ) ( ) q q + + j j j j q a 3 4 ja j La quantita [ ] si chiama costante di Madelung del cistallo -dimensionale. Pe calcolae la somma della seie (che e la seie amonica a segno alteno) si puo pocedee come segue: si considei lo sviluppo in seie di Taylo Pendiamo Alloa: f( f + f ( x+ f ( x + f ( x +! 3! 3 ' '' '''... x x x f x ln + x f f '( f ' + x f '' x f '' ( + ( ( + ( + 6( + 6 ( + f ''' x f ''' f '''' x f '''' x x x ln( + x ln( + ) q U ln( ) a