Moto di puro rotolamento

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1 oto-taslaione di un copo igido di seione cicolae (disco,cilindo,sfea) su di un piano, pe il quale il punto (o i punti) di contatto ta il copo ed il piano è femo ispetto a questo ( non vi è stisciamento ) y oto di puo otolamento v Condiione cinematica: v 0 v v ' + v 0 v ' U.aspaini, isica v Deivando ispetto al tempo: a α velocità del C velocità elativa di ispetto al C v v ' acceleaione angolae velocità angolae di otaione

2 y oto di puo otolamento () Φ f Se una foa viene applicata in, nel punto di contatto si sviluppa una eaione vincolae Φ che ha una componente f lungo il piano: si ha cioè una foa d attito statico ; pechè si abbia un moto acceleato di puo otolamento il piano d appoggio deve essee scabo. Ciò è evidente dall equaione del d L ( E ) momento angolae ispetto al C : Φ dt oiettando lungo l asse : La foa d attito statico in (l unica che ha un momento ispetto a ) e la foa esponsabile dell acceleaione angolae del sistema α a ichiesta pechè si abbia un moto acceleato di puo otolamento. U.aspaini, isica a dl α Φ f f α 0 dt ( Φ e l unica foa che ha momento ispetto a, in gado quindi di dae una acceleaione angolae α intono a )

3 Una foa d attito statico che agisce in un unico punto geometico di contatto ta supefici indefomabili è una schematiaione; in ealtà si ha una defomaione delle supefici di contatto, lungo le quali si sviluppano eaioni vincolai la cui isultante ha una componente lungo la dieione del moto, detta attito volvente : Dal teoema del moto del C: Attito volvente a C m a oiettando lungo la dieione del moto (asse ) : Dall eq. delle otaioni (a eq. cadinale): Φ ( E ) + m g f ma α f a + f a Φ a f ( m + ) a a + m m < m f m ma ( + m ) + m f + m

4 Esempio: y moto di puo otolamento di un disco omogeneo di aggio e massa m momento di ineia ispetto all asse passante pe : f f a + m m m m a a + m + 3 m m L acceleaione a è infeioe a quella che si avebbe pe un punto mateiale di massa soggetto alla stessa foa. l lavoo compiuto dalla foa in un tatto : W E k mv + detemina un aumento di enegia cinetica sia di taslaione che di otaione, mente pe un punto mateiale: 3 f v mv 3 m v 4

5 La otaione può essee consideata come otaione istantanea intono al punto fisso di contatto : y Φ Dal teoema del momento angolae (calcolato ispetto al punto fisso ) : dl dt a d L d t α con : Ciò pemette di calcolae immediatamente a : ( E ) + m 3 m α a 3 m α 3 m e quindi : f ma 3, come già tovato. U.aspaini, isica 5

6 La foa d attito statico f non sempe è opposta al moto; ad esempio, se la foa motice è applicata nel punto A sulla sommità del disco: y dl dt oa d attito statico nel puo otolamento A Φ Φ f A α con: α Dalla legge del moto del C: poiettata sull asse : 3 Φ ma ma 4 m ma ( E) U.aspaini, isica 6 a + Φ + mg 3 > 0 3 m 4 a C α 3 + Φ m (nota: in questo caso non sappiamo a pioi come Φ e dietta)

7 uo otolamento: caso di una coppia di foe di momento applicata all asse di otaione y Φ Φ f n questo caso, l unica foa estena acceleante e la foa d attito f (che e quindi cetamente dietta nella dieione del moto). Le equaioni del moto sono: m + ma α a f La foa d attito che si sviluppa e : oiche deve essee: a a f ma f µ S mg ( + m ) il massimo momento che puo essee applicato (sena che la uota slitti) e : f a a m ( + ( + m m ) f ) µ S mg ( + m )

8 e una otaione intono ad un qualsiasi asse, vale la elaione: L n geneale ossia non vale la elaione vettoiale: Assi pincipali di ineia L v L li assi di otaione pe i quali il momento angolae è paallelo all asse di otaione si dicono assi pincipali di ineia L d L L Esempio: L d L v dm dl v v è un asse pincipale di ineia Si dimosta che un qualsiasi copo possiede almeno te assi pincipali di ineia mutuamente pependicolai. U.aspaini, isica non è un asse pincipale di ineia 8

9 Esempio: otaione intono ad un asse geneico L dl L non è un asse pincipale di ineia v dl v dopo una otaione di π Anche se e costante, il momento angolae vaia (uota intono all asse di dieione costante) e necessaio un momento esteno pe vaiae L : l asse di otaione deve essee sollecitato da foe Esempio : uota scentata asse di otaione U.aspaini, isica L

10 e una otaione intono ad un asse geneico, la elaione ta il momento angolae L e la velocità angolae è data dal tensoe di ineia (o matice di ineia ) : L 3 j j k k k Tensoe di ineia (j,, 3 ) (fomalmente: L con matice 33) L y + + L y y y y y y + + L + + dove : y y y y y y y y y y ( y + ) d m c o p o y y ( + ) d m c o p o y momento d ineia del copo ispetto all asse ( + y ) d m c o p o gli elementi diagonali della matice di ineia sono i momenti d ineia del copo ispetto agli assi coodinati. li elementi non diagonali sono: y d m y y y y d m d m c o p o y la matice d ineia è simmetica c o p o c o p o 0

11 u d m asse di otaione u u + y u y + u u u + u + u y y L ( v ) d m [ ( ) ] d m li elementi della matice d ineia y y ( u + y u + u ) [ ( y ) u + ( ) u y y y + ( y y ) u ] d m L [ y ( y y ) ( ) ] d m y L ( y + ) d m y d m d m L + + y y U.aspaini, isica e analoghe espessioni pe L y, L.

12 Dato un asse di otaione, è possibile scegliee un asse coodinato (ad es. l asse ) lungo la dieione di otaione; in questo caso: ( 0, 0, ) l espessione pe il momento angolae: si semplifica : L L L y L Tuttavia, essendo in geneale omento anolae e matice d ineia L y + + y y + + y y y y y + + y y y L il momento angolae ha componenti lungo gli assi,y pependicolai all asse di otaione, ossia L. U.aspaini, isica 0, y 0, componente del momento angolae lungo l asse di otaione Se 0, l asse e un asse pincipale di ineia. y Un sistema di coodinate nel quale la matice di ineia è diagonale costituisce un sistema di assi pincipali di ineia

13 l momento d ineia ispetto ad un geneico asse di otaione passante pe un punto e individuato dal vesoe u ( u, u y, u ) è espimibile in funione del tensoe di ineia jk : ' u + y y u y + u ( y u u y + u u + y u y u ) s i n ϕ u ' d m ( u ) d m Teoema di oinsot dm y ϕ u ( u, u, u ) y ' [ ( y u u y ) + ( u u ) + ( u y y u ) ] d m y u + u y y u u y u + u u u [ ( + ) + ( + ) u y u + u ( y + y ) y u u u u y u u ] d m y y y y u + y u y u u yy y u ( y + ) d m + u ( + ) d m + u ( + y ) d m u u y d m u u d m u u y d m y y 3

14 Ellissoide di ineia L equaione che espime il momento d ineia: ' u + y y u y + u ( y u u y + u u + y u y u ) può essee iscitta, dividendo ambo i membi pe : () con : y y y y X + Y + Z X Y X Z Y Z X ' u, Y u y, Z ' ' ' la () è l equaione di un ellissoide, detto ellissoide di ineia del copo ispetto al geneico punto del copo: essa individua la supeficie i cui punti ( X, Y, Z ) ' ( u, u y, u ) sono a distana U.aspaini, isica ' dal punto u coseni diettoi dell asse l momento d ineia ispetto ad un qualsiasi asse passante pe un punto del copo è individuato dall inteseione dell asse con l ellissoide d ineia del copo mediante la elaione: Z Ellissoide d ineia ' ( Teoema di oinsot ) X Y '

15 Ellissoide d ineia e assi pincipali Dato un geneico punto del copo, la foma ed oientaione nello spaio dell ellissoide d ineia ispetto ad e caatteistica del copo e non dipende dagli assi coodinati ; solo il valoe degli elementi della matice d ineia jk dipende da questa scelta Z Z Ellissoide d ineia Y X X y y X + Y + Z ' equaione dell ellissoide: X Y X Z Y Z y y ' ' y ' y ' ' ' X ' + Y ' + Z ' L U.aspaini, isica j j 5 Y X ' Y ' X ' Z ' Y ' Z ' ' y ' ' ' y ' ' ' ' y y, y ' y ', ecc. E sempe possibile diagonaliae la matice d ineia, ossia tovae un sistema di assi coodinati pe il quale sia: y y equaione dell ellissoide: y y X + Y + Z X,Y,Z assi pincipali d ineia : pe otaioni intono ad essi: (j,y,) X Z Y

16 Esempi di ellissoide d ineia: i) ellissoide d ineia di una sfea di aggio : 5 5 copo sfeico omogeneo ii) ellissoide d ineia di un cilindo di lunghea e aggio : l l y l ellissoide d ineia è una sfea l l l y copo cilindico ellissoide d ineia U.aspaini, isica 6

17 ioscopio : copo igido otante con un punto mantenuto fisso da un sistema di vincoli; l asse di otaione, passante pe il punto fisso, in geneale vaia la sua oientaione ed il moto isultante può isultae molto complicato. Se il punto fisso è il cento di massa e non esistono foe estene aventi momento isultante diveso da eo ispetto ad esso: ( E ) 0 ( le eaioni vincolai che sostengono il gioscopio hanno momento nullo ispetto al C ) il momento angolae imane costante: ioscopio L costante Se l asse di otaione è un asse pincipale d ineia: costante la dieione di otaione imane costante in un sistema ineiale : bussola gioscopica massa otante giunto cadanico y asse di otaione (fisso in un sistema ineiale) U.aspaini, isica 7

18 ecessione e nutaione Se al gioscopio viene applicato un momento esteno si ha un moto di pecessione del momento angolae e dell asse di otaione del gioscopio : d L d t L dl moto di pecessione Se (E) 0 ma l asse di otaione non è un asse pincipale d ineia ( L ) l asse di otaione uota intono alla dieione costante di L : moto di nutaione Esempio: moto della Tea: l asse di otaione compie un moto di nutaione con peiodo di 9 anni (l angolo ta L ed è comunque molto piccolo) U.aspaini, isica 8 S L N

19 Esempio: moto di pecessione di una tottola Sotto l aione della foa peso: d L d t mg mg ϑ d L L s i n ϑ d ϕ dl dt moto di pecessione dϕ dl d ϕ L s i n ϑ L s i n ϑ Ω m g s i n d t L ϑ U.aspaini, isica Ω m g velocità angolae di pecessione L Ω mg la velocità angolae di pecessione Ω è invesamente popoionale alla velocità angolae di otaione della tottola 9

20 oto della Tea: pecessione degli equinoi m 0 La Tea e un geoide : m γm S 0 θ 3 N γm γ m S θ S S ( + d) ( + ) δ ( + d ) d~t, d << T T km 4 Kg, ( ) ( 5) T T Kg (defomaione del geoide: δ~ 0 km) km Sole omento delle foe estene ispetto ad : T sinθ ( ) T sinθ dl dt dϕ L sin θ L sin θ Ω dt L U.aspaini, isica θ Ω l momento angolae della Tea L pecede con velocita angolae: peiodo di pecessione degli equinoi: Ω sin θ T π 6000 anni Ω