Operatori divergenza e rotore in coordinate cilindriche

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1 Opeatoi divegena e otoe Univesità di Roma To Vegata Pof. Ing. Paolo Sammaco Opeatoi divegena e otoe in coodinate cilindiche Dott. Ing. Macello Di Risio 1 Sistema di ifeimento Si assume il sistema di ifeimento così come descitto in figua 1. î î î Figua 1: Sistema di ifeimento Questo documento è disponibile sul web agli indiii Dott. Ing. Macello Di Risio 1

2 Opeatoi divegena e otoe 2 Opeatoe divegena Il teoema della divegena fonisce la seguente elaione: vdv = v ˆndA 1) che, scitta in foma locale, diventa: V A vdv = v ˆndA 2) nella quale dv è un volume infinitesimo, v è un noto campo vettoiale di componenti v, v e v ), da è l aea infinitesima che acchiude dv, ˆn è il vesoe nomale a da dietto veso il volume dv. Con ifeimento alla figua 2 si ottiene: v ˆndA = v d v + v ) d + d) d + v d v + v ) d d v ˆndA = v dd + v dd + v ) dd + H.O.T. 1 3) v + v d v + v d v d v d Figua 2: Schema pe il calcolo del temine v ˆndA della 2) 1 Temini di odine supeioe d 2 ), Highe Ode Tems H.O.T.) Dott. Ing. Macello Di Risio 2

3 Opeatoi divegena e otoe Nella 2) il volume infinitesimo è: Utiliando le 3) e 4), la 2) fonisce: dv = dd 4) v = v + 1 v + 1 v da cui si ottiene la foma finale dell opeatoe divegena scitta in coodinate cilindiche: 5) v = 1 v + 1 v ) 3 Opeatoe otoe La fomula di Kelvin fomula di Stokes) ecita: ˆn vdσ = Σ L v d 6) che, in foma locale, diventa: ˆn vdσ = v d 7) nella quale dσ è una supeficie infinitesima apeta, v è un noto campo vettoiale di componenti v, v e v ), d è il contono della supeficie dσ, ˆn è il vesoe nomale a dσ dietto veso l esteno. Pe il calcolo delle componenti del vettoe v si pendono in consideaione ognuna delle te facce della supeficie infinitesima dσ evideniata in figua 3. Pe la componente dietta lungo la dieione del vesoe i si pende in consideaione la faccia della supeficie dσ contenuta nel piano definito dai vesoi i e i fig. 4). Risulta quanto segue: v d = v d v d + ) d v + v v + v d + d) d+ ) d Dott. Ing. Macello Di Risio 3

4 Opeatoi divegena e otoe Figua 3: Scelta della supeficie infinitesima dσ dell equaione 7) d v v d v + v d v + v d Figua 4: Schema geometico pe il calcolo della componente di v lungo la dieione i. Dott. Ing. Macello Di Risio 4

5 Opeatoi divegena e otoe v d = dd v v + v ) 8) L aea infinitesima da può essee espessa come segue: da = dd 9) E possibile espimee, dunque, la componente lungo i del vettoe v: v) = 1 v v + 1 ) v 10) da cui si ottiene la foma finale tenendo conto che i è dietto in veso contaio ispetto al vesoe nomale alla supeficie da): v) = 1 v ) 1 v Pe la componente dietta lungo la dieione del vesoe i si pende in consideaione la faccia della supeficie dσ contenuta nel piano definito dai vesoi i e i. Risulta quanto segue: v d = v d + v + v ) d d v v ) d d + v d v d = dd v v ) 11) L aea infinitesima da può essee espessa come segue: da = dd 12) E possibile espimee, dunque, la componente lungo i del vettoe v tenendo conto che i è dietto in veso contaio ispetto al vesoe nomale alla supeficie da): Dott. Ing. Macello Di Risio 5

6 Opeatoi divegena e otoe v) = 1 v v Infine, pe la componente dietta lungo la dieione del vesoe i si pende in consideaione la faccia della supeficie dσ contenuta nel piano definito dai vesoi i e i. Risulta quanto segue: v d = v d + v + v ) d d v + v ) d d + v d v d = dd + v v ) 13) L aea infinitesima da può essee espessa come segue: da = dd 14) E possibile espimee, dunque, la componente lungo i del vettoe v tenendo conto che i è dietto in veso contaio ispetto al vesoe nomale alla supeficie da): v) = v v Dott. Ing. Macello Di Risio 6