Campo magnetico: fatti sperimentali

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1 Campo magnetico: fatti speimentali Le popietà qualitative dei magneti e la pesenza di un campo magnetico teeste eano conosciute da tempo, ma le pime misue quantitative e le teoie e gli espeimenti pe deteminane la natua pecisa e i suoi legami con i fenomeni elettici isalgono alla fine del 700, pimi dell ottocento. - Coulomb fu il pimo a misuae la epulsione e attazione ta lunghi magneti sottili (chiamati da alloa aghi magnetici ) con la stessa bilancia di tosione utilizzata pe la misua delle foze con caiche elettiche. i veificò speimentalmente che anche in questo caso la foza ea popozionale all inveso del quadato della distanza. -Oested (un fisico danese) ai pimi dell ottocento, usando pile di Volta, facendo espeimenti su coenti, notò che un ago magnetico veniva deflesso dalla sua diezione nomale (veso Nod, che coincide con il ud Magnetico) quando vicino ad esso scoeva coente in conduttoe. - Questa deflessione indica un inteazione ta coente e ago magnetico, ovveo che una coente può esecitae una foza magnetica su magneti analoga a quella che i magneti esecitano ta loo. -Negli anni a seguie gli espeimenti sistematici di iot, avat e Ampee (ta gli alti) mostaono che conduttoi pecosi da coenti esecitano ta loo foze analoghe a quelle che i magneti esecitano ta loo e poposeo le leggi del campo magnetico ceato da coenti, conosciute come leggi di iot avat. -Essi deteminaono anche che queste foze non avevano la caatteistica pincipale della foza gavitazionale e della foza elettostatica ta caiche elettiche, ovveo di essee consevative. -Né pe il campo magnetico valeva la legge di Gauss nella foma data pe il campo elettostatico: il flusso del campo magnetico associato a coenti attaveso una supeficie chiusa si veifica essee sempe nullo. 1

2 -La elazione ta il magnetismo ceato da magneti e quello ceato da coenti, in tempi in cui la stuttua atomica e le sue popietà non eano ancoa conosciute, ea difficile da iconoscee. -Le popietà del campo magnetico ceato da magneti natuali (o quello della tea al livello di conoscenze dell epoca,) ea iconosciuta avee popietà simili a quelle del campo elettostatico (consevatività del campo e validità di una legge simile a quella di Gauss), ma con una diffeenza sostanziale: speimentalmente ea noto come fosse impossibile sepaae la massa o caica magnetica positiva da quella negativa, il che faceva itenee che la mateia avesse popietà magnetiche distinte da quelle elettiche (le caiche sono distinguibili) - campi ceati da coenti (indicati in letteatua con la lettea ) e i campi magnetici di magneti natuali (indicati con la lettea H) avevano popietà divese, ma le sogenti di questo campi inteagivano ta loo. - Ampee pe pimo popose che le popietà magnetiche dei mateiali (oa note come feo-magnetismo) fosse dovuto a un fluie continuo di coenti (chiamate da alloa coenti ampeiane) nella mateia. Egli infatti notò l equivalenza ta le linee di foza e gli effetti del campo magnetico ceato da una coente che cicola in una spia (un filo conduttoe chiuso su stesso e alimentato da una ddp) e quelli di un magnete natuale. -Da quel momento in poi il magnetismo non appave come una popietà sepaata dalla caica elettica, ma fu attibuito in ogni caso alle pesenze di coenti, ovveo di caiche in movimento. -Fuono notati anche movimenti di caiche (coenti) in conduttoi non alimentati da geneatoi, se nelle loo vicinanze si muoveva una bacchetta magnetica acceleandola. l fenomeno (insieme a alti dello stesso tipo) 2 venne chiamato dell induzione elettomagnetica.

3 -Veso la fine del 800 gli espeimenti sull induzione elettomagnetica (un magnete pemanente in movimento cea una coente vaiabile in un filo conduttoe non connesso ad alcuna ddp, e analogamente una spia conduttice pecosa da coente cea lo stesso effetto sulla spia non connessa) condotti da Faaday (fisico inglese) miseo in evidenza la elazione ta compotamenti elettici e magnetici non stazionai, come effetti coelati e indistinguibili. l campo elettico e il campo magnetico sono due divesi aspetti deivanti dalla stessa popietà della mateia, la caica elettica. l campo elettomagnetico è dovuto a caiche elettiche e il tipo di movimento di queste caiche detemina le popietà dei campi. 3

4 - n questa pate ci occupeemo di quella che viene definita come magnetostatica, ovveo le popietà del campo magnetico dovuto a coenti stazionaie (coenti non vaiabili nel tempo). -La definizione opeativa di campo di induzione magnetica () si basa sull'ossevazione speimentale fatta da Loentz (1879): un fascio di caiche elettiche geneate in un tubo a vuoto e in movimento sono deflesse da un campo magnetico. i veifica che questa foza, detta di Loentz, che povoca questa deflessione, è pependicolae alla velocità istantanea delle caiche e alla diezione del campo, ma si annulla se le paticelle si muovono paallelamente al campo. l modulo della foza è popozionale al modulo della velocità, al modulo del campo, al valoe della caica che è deflessa, e dal seno dell angolo ta diezione del campo e diezione della velocità F q N q>0 v F N q<0 F = qv F = qvsen è F pependicolae al piano individuato da v e, è angolo ta v e N N F è nulla : se v=0 (caica in quiete), se v paallela a (stesso veso o veso opposto) 4

5 l campo di induzione magnetica viene definito attaveso la foza divisa pe il valoe qv quando il campo e la velocità sono ta loo pependicolai: =F/qv. L unità di misua è il Tesla (T) = Ns/Cm = N/Am. l campo magnetico teeste vale cica Tesla o 0.5 Gauss. (10-4 Tesla=1 Gauss). - Nelle pagine pecedenti il campo magnetico è immaginato podotto da baette magnetiche (magnetite) in cui N indica il polo positivo, il polo negativo. l campo magnetico ceato dai magneti natuali è messo in evidenza in maniea semplice attaveso la limatua di feo, che si dispone, magnetizzandosi, lungo le linee di foza e assomiglia e quello ceato da dipoli elettici. i veifica speimentalmente che il campo di magnetico ceato da magneti è popozionale all inveso del quadato della distanza N 1 2 Ciò che distingue questo campo da quello ceato dal dipolo elettico è che all inteno del magnete le linee di foza sono diette (come vedemo) dal negativo al positivo, ovveo in diezione opposta a quella del dipolo elettico. nolte il campo non cambia se la baetta magnetica viene divisa a metà (in modo da dividee il N dal ) e solo metà viene usata. 5

6 -La foza di Loentz. attiva nella zona delle Fasce di Von Allen, zona che inizia a 100 km sopa la supeficie teeste, in cui il campo magnetico teeste intappola le paticelle caiche potate dal vento solae nelle cosiddette bottiglie magnetiche (essa è esponsabile di quel fenomeno che viene chiamato auoa boeale). - e una massa (m) caica (q) enta in una zona dove vi è un campo magnetico pependicolae alla velocità del copo, la foza di Loentz agisce come una foza centipeta (pependicolae alla velocità in ogni punto) e il copo descive una taiettoia cicolae, in cui il aggio e la velocità angolae sono dati da : F q q>0 N v F N v m mù 2 2 = qv = = q<0 qù mv q ù = q m N N -LO spettometo di massa, che si usa pe sepaae sistemi di masse divese, si basa su questo pincipio. l miscuglio di masse da analizzae viene ionizzato e poi intodotto a velocità v nella zona dove vi è il campo di induzione magnetica, pependicolae alla velocità. Masse divese devono compiee ciconfeenze di aggio diveso e il dispositivo è costuito pe pemettee di identificae dai aggi divesi le divese masse. 6

7 Foza magnetica su un tatto di filo ettilineo pecoso da coente. Dalla foza di Loentz su paticelle caiche si passa abbastanza facilmente alla foza esecitata da un campo magnetico su tatti di filo pecosi da coente. Ovviamente i tatti di filo fanno pate di un cicuito (in cui la diezione della coente e quindi la velocità dei potatoi di caica cambia, essendo il cicuito chiuso su una fem) e la foza totale si tova sommando i vai contibuti nei vai tatti b a F dl v d + - e N è il numeo di potatoi di caica (q) nel volume dv=dl mostato in figua, la foza agente sul tatto dl è df =N q v d. La coente è data da =j=(n/dv) q v d = (N/dl) qv d = (Nqv d )/dl. Ne segue che, tenendo conto che il vettoe dl ha la stessa diezione e veso del vettoe v d che: df = dl Esempio: Nella figua su tutto il cicuito agisce un campo entante nel foglio, pependicolae al foglio. Consideando che il cicuito si tova sul foglio, si ha su tutto il tatto (di lunghezza a) a desta del cicuito, la foza è oientata come in figua e vale F= a. i può veificae che sui vai lati le foze sono come in figua: la ΣF=0 e anche la somma dei momenti è nullo: se il cicuito è igido e non si può defomae, non si ha nessun movimento né di otazione né di taslazione a F b F F F 7

8 Momento delle foze agenti su un cicuito immeso in magnetico e momento magnetico di una spia piana. F M n A=abn b a F - Ma se la situazione è come in figua, in cui il campo di induzione magnetica sul piano del cicuito, sui lati lunghi la foza magnetica è nulla, sui lati coti le due foze sono uguali e contaie, ma fomano una coppia di foze, che pu avendo somma nulla, ha momento M diveso da zeo. l momento M (mostato in figua), vale in modulo M = a b = A, con A aea del cicuito. -l vettoe aeale A=A n pe un cicuito piano è definito come il vettoedi nodulo l aea enella diezione della nomale alla supeficie acchiusa dal cicuito (supeficie concatenata al cicuito), che si oienta in modo che, se ci mette secondo il suo veso, si veda cicolae la coente in senso antioaio -i veifica che pe tutti i cicuiti piani, qualunque sia la loo foma, se la nomale alla supeficie o il vettoe aeale A= n fomano un angolo θ con il vettoe, ancoa la somma delle foze è nulla, ma si ha momento M diveso zeo e vale pe qualsiasi cicuito piano: M=A. n θ A M 8

9 Questi cicuiti su cui agisce un momento non nullo tendono a uotae intono al loo baicento pe oientae la nomale con il campo magnetico, ovveo fanno quello che faebbe un ago magnetico in un campo magnetico esteno: oienta il suo N nella diezione del campo. - Pe analogia, visto che un ago magnetico ha evidentemente una stuttua dipolae a cui si può associae un momento chiamato magnetico (analogia con momento di dipolo elettico), si associa a ogni cicuito piano (chiamate spie) un momento magnetico: m=a =An (Am 2 ) A n θ A m m A A m equivalenza (Ampee) N - Ad ogni spia pecosa da coente si associa questo momento di dipolo magnetico e la spia tende ad oientasi in diezione del campo magnetico, ovveo a mettesi in maniea che la sua aea sia pependicolae alle linee di foza del campo magnetico e la nomale, definita come detto pima, nella diezione e veso del campo magnetico. 9

10 -Alla spia che si oienta in diezione del campo magnetico, ovveo si mette in maniea che la sua aea sia pependicolae alle linee di foza del campo magnetico (ovveo con la nomale nella diezione e veso del campo magnetico) compete una enegia minima. i può dimostae, calcolando il lavoo compiuto dall esteno duante il moto di otazione, puché questo avvenga senza aumento di enegia cinetica, che l enegia associata ad ogni posizione della spia pecosa da coente in campo magnetico è U(θ) = - m = m cosθ ( nel caso del dipolo elettico in campo elettico U(θ) = - p E) -Questo compotamento viene sfuttato in molti motoi elettici, -negli ampeometi e voltmeti analogici, in cui una lancetta solidale con l'equipaggiamento di spie pecose dalla coente (o ddp) da misuae uota su una scala gaduata (ampeometo e galvanometo a equipaggio mobile). n questi dispositivi il momento tocente dovuto al campo magnetico in cui è immesa la spia viene equilibato da un filo di tosione o da una molla. - nolte questo compotamento è alla base della spiegazione del magnetismo natuale : a tutte le paticelle atomiche (e nucleai) viene associato un momento magnetico, come fosseo spie pecose da coenti. Più avanti daemo cenni su questo. 10

11 Campo di induzione magnetica geneato da coente stazionaia. 1 l campo di induzione magnetica () è geneato da coenti: speimentalmente si nota che due fili pecosi da coenti o due spie igide pecose da coenti si attaggono o si espingono o uotano a seconda della loo posizione elativa e che una spia pecosa da coente si compota come un magnete, che una caica in moto stazionaio (quindi una coente stazionaia) cea una foza su alte caiche in moto. L insieme di di tutte le ossevazioni è stata iassunta nella: legge di iot-avat pe il campo magnetostatico, indotto da coenti stazionaie: ia C un cicuito chiuso in cui cicola coente stazionaia (la stessa in tutta il cicuito) e sia dl un tatto di tale cicuito oientato nel veso della coente, che è individuato dal aggio vettoe. ia un punto nello spazio e sia = - la distanza di questo punto dal tatto di filo dl. Ogni tatto di filo cea un campo di induzione magnetica d() dato da: d() ' dl q d µ o dl Ä µ o dl senθ () = d() = 3 4π Ä 4π Ä 2 l campo di induzione magnetica () totale si ottiene sommando vettoialmente tutti i contibuti da tutti i tatti dl, fino a copie tutto il cicuito C: µ o dl Ä () = d() = 3 c 4π C Ä 11

12 Campo di induzione magnetica geneato da coente stazionaia. 2 Pe ogni tatto dl e vettoe distanza il contibuto al campo cambia in diezione e veso e intensità: - in paticolae il campo d() è pependicolae al piano individuato dai due vettoi dl e, nel veso individuato dalla egola della mano desta (pollice nelle diezione di dl, indice nella diezione di, il campo individuato dalla diezione del medio, quando le te dita siano disposte a tena destosa). i nota che il campo è nullo se dl e sono ta loo paalleli, pe esempio nel caso in figua tutto il tatto A del cicuito dà contibuto nullo nel punto individuato dal vettoe, ma nello stesso punto non è nullo il contibuto degli alti lati, che non sono paalleli al vettoe. ' dl A dl dl d()=0 dl La costante m 0 è chiamata pemeabilità magnetica del vuoto e nel.. il suo valoe è 4p 10-7 e le sue unità sono NA -2, come si può veificae icodando che il campo magnetico è misuato in Tesla e 1 Tesla=N/(Am). i può notae che sevono coenti molto intense pe avee campi magnetici dell odine di Tesla, dato il valoe piccolo della costante pemeabilità magnetica. Vale la pena a questa punto notae che il podotto m 0 e 0 =1/c2, con c velocità della luce nel vuoto ( m/s) sia numeicamente che dimensionalmente. l campo magnetico ceato da cicuiti più o meno complessi è paticolamente difficile da calcolae, in tutti i punti dello spazio, nel seguito senza dimostazioni daemo le elazioni pe alcuni campi di inteesse geneale. 12

13 Campo di induzione magnetica di un filo ettilineo infinito. () () i intende con filo infinito un filo molto lungo, ettilineo: il campo () è uguale in modulo a distanza dal filo (stesso valoe pe tutti punti di una ciconfeenza di aggio ), giace sul piano pependicolae al filo ( è pependicolae al piano individuato dalla coente e dal aggio-distanza dal filo) e una pesona che abbia i piedi sul piano e la testa ivolta nelle diezione della coente vede il veso del campo uotae in senso antioaio). Le ciconfeenze sono le linee di foza di questo campo. l campo si veifica essee dato da ( tˆ vesoe tangente alla ciconfeenza) µ o () = tˆ 2π l campo diminuisce con l aumentae dalla distanza dal filo e tende a zeo abbastanza apidamente ( come 1/ ) lontano dal filo. uscente () entante () 13

14 Foza ta due lunghi conduttoi ettilinei pecosi da coente. Definizione dell unità di misua della coente (Ampee) Nel disegno vi sono due fili pecosi dalle coenti 1 e 2, nello stesso veso (uscenti da un piano pependicolae a entambi). due fili sono a distanza d. l filo pecoso dalla coente 2 cea un campo di induzione magnetica di valoe 2 (d)=(m 0 2 )/(2pd) e con l oientazione segnata in figua su tutti punti del filo pecoso dalla coente 1. Poiché il filo pecoso dalla coente 1 si tova immeso in questo campo magnetico su ogni tatto di lunghezza l del filo, e quindi su esso si esecita una foza (magnetica, come visto pecedentemente), oientata come in figua, attattiva nel caso di coenti concodi, di intensità F 12 : ì o2 ì o21 F12(d) = 1l l 1 2 2π d 2π d 2 (d) F 12 (d) d e si considea l effetto del campo magnetico ceato dal filo pecoso dalla coente 1 si aiva allo stesso isultato (con veso opposto della foza, pincipio della dinamica). e le coenti sono discodi (una entante e una uscente) la foza ta i fili è epulsiva. e ta i fili si inseisce un dinamometo, questa foza può essee misuata e sulla base di questa misua si definisce l unità di misua dell Ampee: i ha una coente di 1 Ampee (supponendo uguali le intensità delle coente nei due fili ( 1 = 2 =1 Ampee)) se ta i due fili, infiniti, posti a distanza d=1m, si misua una foza pe unità di lunghezza (l=1m) pai a N/m. Definita opeativamente l unità di misua della coente, viene definito l unità di misua della caica elettica, il Coulomb: 1 Coulomb è la quantità di caica che passa in 1 secondo in un filo pecoso da una coente di 1 Ampee. 14

15 Campo di induzione magnetica di una spia pecosa da coente. d(z)cosq z q d(z) R q dl 2 Ä = R + z µ 0(2ð R)R (z) = kˆ 2 2 4π (R + z ) 3/2 2 Nella figua è appesentata una spia cicolae pecosa da coente in senso antioaio e il campo d(z) che secondo la legge di iot-avat è ceato nel punto a quota z sull asse della spia passante pe il suo cento dalla coente elementae dl,che fluisce nel tatto dl. Consideando i contibuti di tutti i tatti, giando sulla ciconfeenza, tutte le componenti oizzontali si annullano. e il campo magnetico totale è oientato lungo l asse z, e si ottiene sommando pe ogni tatto i contibuti d(z)cosq e sommando: Quindi sull asse della spia (sia nella pate supeioe che infeioe) il campo è sempe dietto nella diezione z positiva, il valoe del campo può essee scitto in temini del momento magnetico della spia: m=pr 2 n (ivedee nella pate pecedente pe la diezione della nomale n): ì 0m ì 0m (z) = se z >> R (z) 2 2 3/2 3 2ð (R + z ) 2ð z A distanza dalla spia (z>>r) il campo diventa simile a un campo di dipolo (vedee elettostatica) con momento di dipolo uguale al momento magnetico m: la spia pecosa da coente si compota come un dipolo magnetico o ago magnetico quando immeso in un campo magnetico. MA anche La spia pecosa da coente cea anche un campo magnetico come quello che ceeebbeo due eventuali masse magnetiche, una positiva e una negativa, posizionate sulla faccia supeioe e infeioe della spia ispettivamente, o come un ago magnetico disposto lungo l asse z, con il 15 polo Nod veso la diezione z positiva.

16 Campo di induzione magnetica di una spia pecosa da coente 2. Cenni sul campo magnetico teeste i è calcolato il valoe del campo sull asse della spia, in alti punti il campo è più complicato da calcolae ma è possibile vedee dalla appesentazione delle linee di foza (a sinista) come questo sia simile a quello di dipolo (a desta, in appossimazione di dipolo) visto nel caso elettico. D altonde se si pende una sottile ago magnetico, e attono si pone della limatua di feo, si ottiene lo stesso andamento di oientazione: la limatua di feo si dispone secondo linee di foze del tutto equivalenti. n effetti, come si è già detto, questa equivalenza ha fatto capie come il concetto di massa magnetica o caica magnetica fosse supefluo, e come fosse possibile descivee il campo magnetico attaveso caiche in movimento. l campo magnetico teeste (di oigine intena) che si misua sulla supeficie teeste ha essenzialmente (pe il 90-95% del campo totale) le stesse caatteistiche di campo dipolae. l valoe è dell odine di Tesla ( gauss, il valoe massimo (solo veticale) è vicino ai poli e vale in media T). L asse di dipolo non è allineato con l asse di otazione teeste ( vi sono cica di diffeenza) e in effetti i poli magnetici non sono pefettamente allineati, e questo deiva dalle complessità intodotte dalle componenti non dipolai. Esula da questa coso l analisi del campo magnetico Teeste, che è dovuto a complesse inteazioni e movimenti all inteno della pate del nucleo ( coe ) liquido. Una caatteistica fondamentale del campo magnetico teeste, ancoa da spiegae in modo completo, è la non costanza nel tempo del campo 16 magnetico teeste e le sue vaiazioni secolai (invesione delle polaità).

17 Campo di induzione magnetica di un solenoide L Un solenoide è un avvolgimento a spie molto avvicinate di un filo conduttoe, avvolto su una foma cilindica, di solito cicolae, di solito molto più lungo che lago (lunghezza L>> aggio R del cilindo)in cui scoe la stessa coente. l sistema viene costuito pe avee un campo intenso e paticamente unifome, paallelo all asse del cilindo, all inteno del solenoide e paticamente nullo all esteno del solenoide, sfuttando la sovapposizione dei campi magnetici ceati dalle N spie che lo costituiscono molto vicine ta loo. e N è il numeo di spie e L la lunghezza del solenoide, n=n/l è il numeo di spie pe unità di lunghezza del solenoide e si può veificae che all inteno del solenoide il campo vale: = nm ο nella diezione segnata nella figua sotto, se il senso della coente è quello segnato, al contaio pe coente in senso inveso. n figua sono segnate le linee di foza: All esteno il campo diventa tanto più debole tanto più il solenoide è lungo: un solenoide chiuso su stesso a ciambella (tooide) è un sistema in cui il campo è solo inteno al dispositivo. Linee di foza all inteno del tooide 17

18 Popietà del Campo Magnetico : leggi del flusso; legge di Ampee e sua genealizzazione. - Analogamente al caso elettico anche nel caso del campo di induzione magnetica una delle popietà che iguada tutti i campi magnetici, comunque siano ceati, da coenti o d aghi magnetizzati, è la legge del flusso: consideata come nel caso del campo elettico una supeficie ) chiusa, costituita da aee elementai d d(p)n(p), il flusso elementae del campo magnetico attaveso la supeficie d è definito dalla elazione n d dφ = (P) ) n (P)d(P) = (P) d(p) (P) d(p) cos θ, d Questo flusso attaveso una supeficie elementae apeta è al solito positivo se è uscente dalla supeficie negativo se è entante, nullo se è paallelo alla supeficie (o =0), ma la popietà impotante è che nel caso del campo magnetico, qualunque sia la supeficie chiusa consideata, e qualunque sia la sogente del campo, e sia che la sogente sia intena alla supeficie o lontana dalla supeficie, il flusso totale attaveso una qualsiasi supeficie chiusa del campo di induzione magnetica è sempe nullo : Φ = (P) d(p) 0 = Questo significa vaie cose: 1) qualunque sia il campo magnetico o qualunque sia il sistema sogente, le linee di foza del campo magnetico sono sempe linee chiuse, e quindi a diffeenza del campo elettico non divegono (o convegono) sulla sogente, ma la attavesano. Le uniche linee apete sono quelle che 18 si chiudono idealmente all infinito (vedi spia e solenoide)

19 Popietà del Campo Magnetico : Legge del flusso 2 2) la possibile non esistenza della caica o polo o massa magnetica isolata: nel caso la legge di flusso saebbe analoga a quella del campo elettico; 3) il flusso del campo magnetico attaveso una supeficie apeta può essee diveso da zeo, e si dimosta che esso è uguale attaveso una qualunque supeficie apeta che abbia lo stesso contono. e, pe esempio, si calcola il flusso del campo magnetico uscente veso l alto (nella diezione data dalla nomale n e ) o attaveso la supeficie apeta 1 che è delimitata dalla spia cicolae in cui scoe la coente, o attaveso la calotta ( 2 ) che si appoggia sullo stesso contono, si ottiene lo stesso isultato. nfatti le due supefici costituiscono insieme una supeficie chiusa, attaveso n la quale il flusso totale è nullo, il che significa che il flusso attaveso 2 è n 2 e uguale e di segno contaio al flusso uscente attaveso 1 nella diezione data dalla nomale n u, che è a sua volta 1 uguale e contaio al flusso attaveso 1 nella diezione data dalla nomale n e. Ö n u = poichè 1 (P) d(p) 2-1 = = 1 1 e 0 (P) nˆ d(p) e 1 (P) nˆ d(p) = (P) nˆ d(p) + (P) nˆd(p) 2 u (P) nˆ d(p) u (P) nˆd(p) 2 dato l agionamento può essee ipetuto pe qualsivoglia supeficie. l flusso attaveso la supeficie apeta delimitata dal cicuito viene chiamato flusso concatenato al cicuito. Vedemo ta beve che succede se questo flusso cambia nel tempo. 19 che - nˆ = e 0 = nˆ u

20 Popietà del Campo Magnetico : legge di Ampee. La legge di Ampee iguada la popietà della cicuitazione o integale di linea del campo magnetico lunga una cuva chiusa nello spazio. i è visto che nel caso del campo elettostatico E questo integale o lavoo pe unità di caica ea sempe nullo, ovveo il campo elettostatico è consevativo e si può associae ad esso un potenziale scalae V. l campo di induzione magnetico non è consevativo. i dimosta che pesa una qualsiasi cuva chiusa, che acchiude al suo inteno una supeficie (che può essee piana o cuva), la somma (integale di linea) dei podotti scalai dl (con dl tatto elementae della cuva consideata) è diveso da zeo, se attaveso la supeficie acchiusa dalla cuva passano fili pecosi da coente o, come si dice, la cuva concatena coenti. + 1 C 2 C La cuva C 1 concatena 2 coenti (una uscente 1 e una entante 2 ) mente la cuva C 2 non concatena nessuna. cicuiti geneano una campo sia dove c è C 1 che dove c è C 2 i può dimostae che se le coenti sono continue, indipendenti dal tempo valgono le elazioni: C C (P) dl = µ (P) dl = 0 2 ( ) Legge di Ampee pe la cicuitazione di un campo magnetico ceato da coenti non vaiabili nel tempo: e la cuva consideata non concatena coenti la cicuitazione di è nulla, se la cuva concatena coenti la cicuitazione è la somma algebica delle coenti. l segno positivo o negativo delle coenti 20 viene deteminato con la cosiddetta egola della mano desta:

21 Popietà Del Campo Magnetico : Legge Di Ampee- 2 Regola Della Mano Desta Pe La Legge Di Ampee: Piegando le dita della mano desta nel senso di pecoenza della cuva consideata, il pollice disteso fonisce il senso di pecoenza della coente che dà un contibuto positivo alla somma. Nel caso della cuva C 1, si veifica che 1 dà un contibuto positivo, mente 2, essendo nella diezione contaia alla diezione indicata dal pollice, dà un contibuto negativo. Nota : (La dimostazione della legge di Ampee, che è veificata pe tutti i campi magnetostatici, qualunque siano le sogenti, ( pe es. campo ceato da un filo infinito) non è difficile da fae in casi semplici ( pe es. pe il campo ceato da un filo infinito) e si invitano gli studenti a leggee nei testi sia le dimostazioni che le possibili applicazioni, anche se non fanno pate del pogamma di esame). 21

22 Genealizzazione della legge di Ampee : coente di spostamento e legge geneale della cicuitazione pe il campo di induzione magnetica (legge di Ampee-Maxwell) -La legge di Ampee è valida nella fomulazione data pecedentemente anche se il campo magnetico è geneato da coenti vaiabili nel tempo che siano quasi stazionaie. -Le coenti quasi stazionaie sono coenti vaiabili nel tempo, e sono pesenti anche nei sistemi alimentati da fem come la pila, con ddp costante nel tempo, duante i tansienti, (accendee la luce, accendee un dispositivo elettico, collegae un filo conduttoe a una pila o fem), quando la coente passa dal valoe nullo al suo valoe di egime, ma coenti vaiabili nel tempo si hanno quando il sistema è alimentato da una fem altenata come nomalmente nei cicuiti elettici (nel possimo capitolo vedemo come). -n questi casi la coente è una funzione del tempo (t), e si dice sia quasi stazionaia se si può pesumee che, ad ogni istante di tempo dato, essa sia la stessa in tutto il cicuito consideato. Questo è veo in cicuiti di dimensioni odinai, dimensioni minoi della distanza che pe es. la luce pecoe in 1 secondo: km). -E ancoa possibile espimee il campo magnetico ceato da queste attaveso le elazioni di iot-avat, anche se vaia nel tempo e quindi anche vaia nel tempo. -ia legge del flusso attaveso una supeficie chiusa che la legge di Ampee valgono nella fomulazione data coenti quasi stazionaie. - Ma se pe esempio nel cicuito consideato, in accensione (tansiente), vi sono elementi come un condensatoe in caica, che accumula caica nel tempo, ma in cui anche se vi è un isolante, non vi è mateialmente una vea coente di conduzione, in questa zona c è il campo ma una zona dello spazio in cui la legge di Ampee non 22 è applicabile.

23 + nfatti daebbe un valoe dove c e il filo conduttoe e una valoe diveso dove c è il condensatoe, anche se calcolati attaveso la stessa linea. -L intuizione di Maxwell fu appunto di associae una coente fittizia chiamata coente di spostamento anche a casi in cui pu non essendovi mateialmente spostamento di caiche, vi sia un campo elettico vaiabile nel tempo, come nel caso di un condensatoe in caica: la caica sulle amatue aumenta dal valoe nullo al valoe Q finale quando le amatue hanno aggiunto il potenziale della batteia a cui sono attaccati. E si ha quindi, pe tutto il tempo della caica,un campo elettico E(t) vaiabile nel tempo, Q(t) C (t) - L idea è questa: se si ha un campo elettico E(t) vaiabile nel tempo, dalla legge di Gauss pe il campo elettico( o eq. di Maxwell) applicata a una supeficie chiusa che acchiuda l amatua in cui vi siano le caiche in accumulo si icava che la deivata ispetto al tempo del flusso del campo elettico moltiplicato pe ε 0 ha le dimensioni di una coente: la coente di spostamento s. ε dφ dq(t) dt (E(t)) 0Φ(E(t)) = Q(t) ε0 = s dt 23

24 + Q(t) C (t) - e si considea una zona dello spazio dove ci siano coenti mateiali nei fili di conduzione, sia (/o solo) zone dove vi è un campo elettico vaiabile, si ha in quella zone un campo di induzione magnetica, il cui flusso attaveso una supeficie chiusa è nullo, e la cui cicuitazione attaveso una cuva chiusa è dato da: C (P) dl = µ 0 c algebica + µ dφ dove c indicano le coenti di conduzione(legge di Ampee genealizzata) 0 ε 0 i è veificato speimentalmente (che in effetti l intuizione di Maxwell poteva essee estesa anche a casi in cui non vi siano coenti mateiali o condensatoi in caica o alto. asta un campo elettico vaiabile nel tempo (pe esempio ceato da una caica in moto pe esempio amonico, o un dipolo oscillante o una caica in moto vaio non necessaiamente in un filo conduttoe) pe avee un campo magnetico con la popietà espessa dalla legge di Maxwell-Ampee o eq di Maxwell. dt E eq. di Maxwell La legge del flusso vale pe tutti i casi Ö = (P) d(p) = 0 eq. di Maxwell - Pe completae il quado, manca la V eq. di Maxwell, che come vedemo è la simmetica della : dove vi è un campo Magnetico vaibile, vi è anche un campo elettico vaiabile, che soddisfa la eq. di Maxwell ( o legge di Gauss) e che non è più consevativo, vi è un ampo magnetico. La elazione tai due è nelle pagine che seguono. 24

25 nduzione elettomagnetica: fatti speimentali -Vi sono vai fatti speimentali che hanno mostato che, quando si ha un campo magnetico vaiabile nel tempo, in un cicuito conduttoe che si tova nella zona dove il campo magnetico agisce, ( e/o anche nello stesso conduttoe che cea il campo magnetico vaiabil), si ha e si misua una coente che pima non c ea, chiamata coente indotta: i ha quindi un movimento di caica, che ha tutte le caatteistiche di quello che si ha quando una fem viene applicata a un filo conduttoe. n ultima analisi, nel conduttoe immeso in campo magnetico vaiabile si cea un campo elettico indotto (simile a quello ceato da una fem eale). fatti speimentali sono: 1) in un filo conduttoe (cicuito esploatoe) non alimentato da alcuna batteia e chiuso su un ampeometo a scala centale (galvanometo), se si muove vicino ad esso, avvicinando o allontanandolo, un magnete e/o un alto cicuito pecoso da coente stazionaia, si misua una coente vaiabile, coente che scompae quando il moto cessa. 2) La coente inolte ha vesi opposti se il moto è d avvicinamento o di allontanamento. 3) i ha lo stesso fenomeno, se invece di muovee il magnete o la spia pecosa da coente, si muove il cicuito esploatoe. 25

26 n questi casi si ha un campo magnetico vaiabile nel tempo. La vaiazione è dovuto al movimento elativo spia- sogente del campo, che vaia la distanza ta spia e sogente e la coente indotta appae dipendee dalla vaiabilità nel tempo del campo magnetico. 4) Analogo al fenomeno descitto pima è il fenomeno che si egista duante l accensione di un cicuito, la caica o scaica di un condensatoe, o duante lo spegnimento dello stesso cicuito elettico. n questi casi la coente che cicola cambia dal valoe nullo al valoe di egime o dal valoe di egime al valoe nullo: duante il tempo in cui nel cicuito scoe coente vaiabile, si misua un campo magnetico vaiabile, tanto più gande quanto più gande è l aea del cicuito e la apidità di vaiazione. nolte, nel cicuito fluisce una ulteioe coente (coente indotta) che tende a diminuie la coente vaiabile podotta in accensione e ad aumentala in spegnimento. (t) in aumento, d/dt < 0 (t) diminuzione, d/dt < 0 indotta indotta 5) La stessa cosa succede se la spia non è pecosa da coente, ma è sottoposta a un campo vaiabile nel tempo. e cesce si misua sulla spia un coente indotta che ceae un Campo ndotto, che si oppone al campo vaiabile sogente. (t) (t+dt)> (t) indotta (t) (t+dt)< (t) indotta 26

27 La coente indotta compae anche se il campo magnetico in cui è immesa la spia è costante e se la spia cambia foma e aumenta o diminuisce l aea investita dal campo magnetico. 1) e una spia non alimentata è immesa in campo magnetico costante e si cambia la foma del cicuito, vaiandone l aea concatenata, nel sistema si ha una coente indotta. e nel cicuito cicolava coente duante la vaiazione di foma, ancoa si ha coente indotta che si somma algebicamente alla coente che cicola. indotta indotta 2) Analogamente se un cicuito viene fatto uotae o oscillae (o enta e esce) da una zona dove vi è un campo magnetico, anche costante, la supeficie concatenata con il cicuito cambia in foma o diezione ispetto alla diezione del campo magnetico e vaia il flusso del campo magnetico concatenato con il cicuito. Ancoa nel cicuito si induce una coente vaiabile nel tempo e in diezione, se è chiuso, se è apeto come nelle figue sotto, ai capi del cicuito apeto si instaua una dpp vaiabile nel tempo, che si tasfoma in coente nel cicuito esteno (con la lampadina). 27

28 3) La stessa cosa succede se si cambia la foma di un cicuito aumentando l aea, come nella figua sotto. Una sbaa stisciante viene fatta muovee applicando una foza F app che fa muovee la sbaa con velocità v. l cicuito è immeso in un campo magnetico entante nel foglio e in esso non cicola coente(non c è nessun geneatoe di coente). i misua una coente indotta duante il movimento (segnata in figua con la lettea ). F m la foza magnetica che compae a causa dell inteazione della coente indotta con il campo magnetico e si oppone alla foza applicata. 4) Pe finie, se si considea il movimento di un conduttoe, non chiuso a cicuito, come una baetta di metallo che si muove in un campo magnetico in modo da tagliae le linee di foza del campo magnetico in cui è immeso, ai suoi capi si misua una ddp indotta, che scompae quando la baetta si fema. 28

29 L insieme - di queste ossevazioni viene iassunta nella legge conosciuta come legge di induzione elettomagnetica di Faaday-Neumann-Lenz: Quando pe qualunque causa, il flusso del campo magnetico concatenato con un cicuito vaia nel tempo, in esso si induce una foza elettomotice indotta (f i ) che è uguale e di segno contaio alla vaiazione del flusso: dφ d f = = i d dt dt s Ovveo: -se cambia nel tempo, cambia il flusso attaveso una supeficie fissa -( come nei pimi casi descitti pecedentemente), -se è costante nel tempo e cambia la supeficie, in ogni caso cambia nel il flusso del campo magnetico attaveso la supeficie apeta concatenata, Ma anche se sia il campo magnetico che la foma del cicuito cambiano cambia il flusso. Tutti i fatti speimentali sono contemplati. n ogni caso si ha la compasa di una foza elettomotice indotta, che in cicuito chiuso si taduce in una coente indotta i =f i /R, con R esistenza del cicuito. Questa coente indotta si sovappone a quella già pesente o compae come nuova coente). - l segno negativo che compae nella legge indica che la coente o la fem indotte sono tali da opposi alla vaiazione del flusso. e cicola coente questa cicola in maniea da ceae un campo indotto che sovapponendosi a quello agente tende a ipotae il flusso al valoe oiginaio (pe esempio tende ad annullalo, se ea nullo all inizio). 29

30 NOTA : l flusso del campo magnetico si misua nel in Tm 2, unità che è chiamata Webe (Wb). Anche l unità di misua del campo magnetico è spesso data in Webe/m 2. Dalla legge di induzione si ottiene la elazione ta Volt e Webe: 1 Volt= 1 Webe/s. La scopeta dei fenomeni che sono stati illustati, e che icadono sotto il nome di fenomeni pe cui vale la legge di Faaday, olte a pemettee come vedemo di deivae la connessione ta campo elettico e campo magnetico e definie le equazioni del campo elettomagnetico, hanno avuto e hanno un impotanza fondamentale tecnologica: l enegia meccanica si può tasfomae in enegia elettica e vicevesa (altenatoi, tasfomatoi, dinamo) pe esempio (vedee esempi nei libi). -nolta detemina il compotamento dei cicuiti elettici in cui la f.e.m. o d.d.p. ai capi delle esistenza (o dei condensatoi, o dei vai componenti elettonici di cui non si è palato in questo coso come diodi, tiodi, tansisto, sistemi non ohmici) sia vaiabile nel tempo (pe esempio la ddp di ete fonita alle noste case:foza elettomotice vaiabile sinusoidalmente nel tempo con fequenza pai 50 Hz). -Una caatteistica dei cicuiti alimentati con fem vaiabile nel tempo o coente vaiabile nel tempo è l autoinduttanza di un cicuito: i definisce AUTONDUTTANZA (o induttanza) di un cicuito pecoso dalla coente (t) la quantità L Φ (t) = Unità di misua H (Heny) =Wb/A (t) 30

31 Autoinduttanza di un solenoide e enegia del canpo magnetico. e si considea un lungo solenoide (lunghezza L s ) con N spie e in cui cicola una coente e di sezione, si veifica facilmente che l induttanza associata al solo solenoide è L= m (N/ L 0 s) 2 ll s (solo gandezze geometiche). e nel solenoide cicola la coente (t) (in aumento pe esempio, quando si chiude un cicuito), si ha una potenza P(t) sviluppata dalla fem indotta pai (in valoe assoluto, il segno indica solo il veso di pecoenza della coente indotta) a f i (t) = (L d/dt) (t) [W] e la coente aumenta, l enegia nel cicuito aumenta, pe ogni intevallo di tempo dt, di du, pai a du = P(t)dt= L d [J] La vaiazione temina quando la coente aiva a egime. Nel tempo totale in cui si ha l aumento si tova che l enegia immagazzinata è U=(1/2)L 2 [J] ovveo, sostituendo a L il valoe dell induttanza di un solenoide L= m 0 (N/ L s ) 2 L s e consideando che nel solenoide = m 0 (N/ L s) U=(1/2) m 0 2 L s [J] dove L s = V =volume del solenoide consideato: questo significa che all inteno del solenoide è immagazzinata una enegia del campo magnetico u pe unità di volume pai a: u =(1/2 m 0 ) 2 [J/m 3 ] Questa espessione è l enegia pe unità di volume associata a qualunque campo magnetico. Estapolandolo questo isultato, si veifica che in una zona dello spazio dove vi sia un campo elettomagnetico ( sia elettico che magnetico) l enegia pe unità di volume associata è (vedee anche enegia in un condensatoe piano) u elettomagnetica =(1/2) e 0 E2 + ( 1/2 m 0 ) 2 [J/m 3 ]. 31

32 V equazione di Maxwell: Relazione ta Campo Elettico e Campo magnetico. Poiché una f.e.m è associata al lavoo (pe unità di caica) pe spostae una caica lungo un cicuito chiuso (ovveo pe podue una coente) o, equivalentemente, alla diffeenza di potenziale che questa f.e.m. mantiene in un cicuito apeto, e quindi al lavoo di una foza elettica (non coulombiana, e non consevativa), pe unità di caica, si può associae la f.e.m indotta dalle vaiazioni di flusso del campo magnetico al lavoo fatto lungo un cicuito chiuso da un campo elettico indotto E (o foza elettica indotta pe unità di caica) = E(t) dl 0 f i Questo campo elettico indotto E i è non consevativo, è pesente mateialmente nei cicuiti in cui si ha vaiazioni di flusso, ma è pesente anche in una zona dello spazio dove non via sia nulla di mateiale pe mettelo in evidenza e a misualo, se nella stessa zona vi è un campo magnetico vaiabile nel tempo. e in quella zona si mettesse una caica esploatice q che si muove con velocità v, essa saebbe sottoposta alla foza (di Loentz): F = qe(t) + qv (t) n definitiva questo insieme di espeienze mosta che ad un campo magnetico vaiabile (o alla vaiazione di flusso del campo magnetico) si associa un campo elettico vaiabile (così come la legge di Ampee genealizzata metteva in elazione un campo elettico vaiabile a un campo magnetico) C C E dl = (P) dl = µ d dt s d 0 c algebica + µ 0 ε 0 dφ dt E V eq. di Maxwell eq. di Maxwell 32