Energia potenziale e dinamica del punto materiale

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1 Enegia potenziale e dinamica del punto mateiale Definizione geneale di enegia potenziale (facoltativo) In modo geneale, la definizione di enegia potenziale può esee pesentata come segue. Sia un punto di ifeimento (lo zeo dell enegia potenziale). lloa, pe definizione di enegia potenziale, si pone: L = U U Il lavoo L è dato da: L = F Quindi si ha: U = U + F La costante U() può essee intepetata come la costante abitaia che enta nella definizione di U. Se si sceglie U() = 0, segue che U = F Questa fomula dice che: l enegia potenziale in è uguale al lavoo compiuto dalla foza pe spostae il punto di applicazione da alla posizione di ifeimento. Calcolo della foza a patie dalla funzione enegia potenziale U = U(x) L espessione U = F isponde al poblema di deteminae l enegia potenziale, assegnata la foza. Si pone oa il poblema inveso: se è nota l enegia potenziale in funzione della posizione, è possibile isalie all espessione della foza? La isposta è sempe affemativa. Tuttavia, si deve consideae che, in geneale: U potebbe essee funzione di te coodinate spaziali: U = U (x, y, z) ; la foza è un vettoe, del quale si devono deteminae te componenti. Pe questi motivi, il poblema ha alcune difficoltà tecniche e, pe oa, si affonteà solo il caso unidimensionale. Si danno alloa due cicostanze che semplificano il poblema: l enegia potenziale dipende solo da x: U = U(x) la foza ha solo la componente x, e questa può dipendee solo dalla vaiabile x: F = F x î, = (x)

2 Si applichi la definizione di diffeenza di enegia potenziale al caso di due punti e B molto vicini ta loo. Il lavoo L B diventa alloa un lavoo elementae, sicché si tova: U U B = B F F s Il vettoe spostamento è allineato all asse x; quindi F s = F x x Si icodi che, pe definizione di opeatoe, si ha U U B = U e quindi: U Fx x ; U x Nel limite x 0, il appoto incementale diventa una deivata e la elazione diventa esatta: = Intepetazione dei gafici U(x) E impotante essee in gado di tae infomazioni fisiche dai gafici della funzione U(x) di una ceta foza. L idea di fondo è questa. Si ha una foza consevativa che non è diettamente nota; se ne conosce peò la sua enegia potenziale U(x). Pocedendo pe via analitica, si può deteminae in ogni punto, calcolando la deivata di U: = Si supponga oa di non conoscee la elazione analitica U(x), ma di avee solo un gafico qualitativo. E possibile comunque desumee alcune popietà impotanti, icodando che il segno della deivata è collegato ai concetti di cescenza e decescenza di una funzione. La tabella si spiega da sè. U(x) Cescente Decescente Minimo, massimo elativo > 0 Fx < 0 < 0 Fx > 0 = 0 Fx = 0

3 Nel gafico di esempio, pe x < x o si ha U decescente; quindi > 0 e la foza ha la diezione della feccia nella zona punteggiata in osso. Se x > x o si ha U cescente; quindi < 0 e la foza ha la diezione della feccia nella zona punteggiata in azzuo. Nel punto x = x o si ha un minimo di U; quindi = 0. Equilibio stabile, instabile, indiffeente Nell esempio pecedente, nel punto x = x o si ha un minimo di U e, quindi, = 0. Se si pone il punto mateiale esattamente in x o, con velocità iniziale nulla, esso esta femo. Si dice alloa che x o è un punto di equilibio. Si vede dunque che: Se = 0 in x = xo alloa x o è un punto di equilibio (e vicevesa). La deivata di una funzione è nulla tanto nei punti di minimo elativo, quanto in quelli di massimo elativo. Tali punti non hanno le stesse popietà, come mostato schematicamente in tabella. equilibio stabile U ha un mimimo elativo Se il punto mateiale è spostato da x o, una foza di ichiamo lo spinge di nuovo veso x o equilibio instabile U ha un massimo elativo Se il punto mateiale è spostato da x o, una foza lo spinge lontano da x o equilibio indiffeente U è costante Se il punto mateiale è spostato da x o, non agiscono foze su di esso Si noti che la distinzione ta equilibio stabile, instabile, indiffeente va fatta in ifeimento a piccoli spostamenti dal punto di equilibio. La conoscenza del valoe di U in un solo punto non dà alcuna infomazione utile; e d altonde, non si dimentichi che U è definita a meno di una costante additiva, sicché i gafici possono essee taslati libeamente in alto o in basso.

4 Buca di potenziale Nella egione di spazio intono a un minimo di enegia potenziale si dice che sia pesente una buca di potenziale. Pe descivee qualitativamente il moto del punto mateiale, si ipoti l enegia meccanica E nel gafico di U(x). Il valoe di E è costante, quindi il gafico è una etta (tatteggiata in figua). Si ossevi che: K = E U ; il valoe di K, punto pe punto, può essee dunque stimato gaficamente come in figua; l enegia cinetica è sempe positiva; quindi, il moto è pemesso solo nelle egioni in cui E U 0 E U Gaficamente, tali egioni sono identificate dal fatto che la linea tatteggiata si tova al di sopa del gafico di U. Nell esempio del gafico a fianco, la paticella non potà mai entae nelle egioni tatteggiate: la sua enegia cinetica diventeebbe negativa (siccome in quelle egioni U > E). Resta petanto intappolata nella egione ta x e x B, dove U E. I punti di invesione, x e x B, sono quelli in cui K = 0 e, quindi, E = U. Quando la paticella si avvicina a x B pocedendo da sinista, è soggetta a una foza dietta veso desta; la sua velocità diminuisce fino a diventae nulla in x B. Qui, sotto l azione della foza, non può estae fema, ma accelea veso sinista. Situazione analoga si detemina all avvicinasi a x. Come isultato, la paticella oscilla ta gli estemi x e x B. Stati libei e stati legati Si considei il gafico U(x) in figua. ll enegia meccanica E 1 coispondono due punti di invesione e, come nel caso discusso in pecedenza, la paticella oscilla ta di loo. Si dice che la paticella si tova in uno stato legato. ll enegia meccanica E 2, invece, coisponde un solo punto di invesione. La paticella non può avvicinasi all oigine olte un ceto limite; ma può allontanasene indefinitamente. Si dice che la paticella si tova in uno stato libeo. Un esempio di buca di potenziale di questo genee è dato dal potenziale di Van De Waals. La foza di Van De Waals tiene uniti, ad esmpio, due atomi di un gas pefetto pe fomae una molecola debolmente legata. In questo caso, l enegia cinetica è enegia di agitazione temica che povoca oscillazioni della molecola. Se l enegia cinetica è piccola, la molecola è stabile (E = E 1 ; abbiamo uno stato legato). Se l enegia cinetica è eccessiva (cioè la tempeatua è sufficientemente alta) la molecola si ompe (E = E 2 ; x può diventae gande a piacee e gli atomi si allontanano).

5 Baiea di potenziale Si considei oa un gafico U(x) che pesenti un massimo. Si immagini una paticella inizialmente in x. Si danno due casi: Enegia meccanica E 1 : la paticella non può passae da x a x B. Infatti essa dovebbe attavesae la egione della baiea, nella quale U > E 1 (zona poibita). Enegia meccanica E 2 : la paticella potà passae da x a x B. In conclusione, pe supeae la baiea è necessaia un enegia E che supei il massimo valoe di U, detto altezza di baiea.