Il sistema di Rossler

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1 Il sistema di Rossler Il sistema di Rossler è considerato il più semplice sistema di terzo ordine a tempo continuo capace di manifestare comportamenti di tipo caotico. = = + (1) = + Questo sistema presenta un solo termine non lineare, il prodotto tra z e x nella terza equazione, il quale è parte fondamentale del processo di stretching and folding tipico dei sistemi caotici. Consideriamo le prime due equazioni e supponiamo che z sia abbastanza piccolo da essere trascurato. Pertanto il sottosistema = = +, che può essere trasformato nell oscillatore lineare del secondo ordine + =0, presenta autovalori, = ± 4 2 Con il parametro a positivo l oscillatore ha uno smorzamento negativo, in più se a è compreso tra 0 e 2 l origine è una spirale instabile. Vedendo il tutto in tre dimensioni questo significa che traiettorie vicine al piano (x,y) saranno respinte in maniera spiraliforme dall origine. Questo genera il dispiegamento delle traiettorie adiacenti, il quale è il primo ingrediente del caos. Tutto ciò è generato solo da termini lineari, ma questo non basta per ottenere un comportamento caotico perché, se l intero sistema fosse lineare, l effetto di stretching continuerebbe fino a far divergere le traiettorie all infinito. Per confinare l azione di allontanamento all interno di una regione di spazio limitata, il termine non lineare è necessario. Il parametro c nella terza equazione agisce da soglia per attivare l azione non lineare di ripiegamento o folding. Considerando solamente la terza equazione si nota che, quando il valore di x è minore della costante c, il coefficiente di z è negativo, il sottosistema z è stabile e tende a riportare z a valori prossimi a 1

2 = Come mostrato in Figura 1. Figura 1. Piano delle fasi del sottosistema relativo allaa variabile z. D altro canto, se x supera c alloraa z appare nella terza equazione moltiplicato per un fattore positivo e il precedente sistema stabile diverge. Scegliendo b>0 la divergenza avviene nel senso positivo degli z come è possibile vedere nella Figura 2. Figura 2. Traiettoria del sistema di Rossler nel piano delle fasi (x,y,z). 2

3 Cercheremo a questo punto di descrivere i comportamenti del sistema in funzione del parametro più rilevante e la scelta è ricaduta sul parametro a poiché la sua variazione determina la dinamica del sottosistema (2), cioè per alcuni dei suoi valori l oscillatore di secondo ordine presenta un punto fisso stabile oppure instabile. Cercheremo a questo punto di capire come tutto ciò si rifletta sul sistema completo e lo faremo fissando b e c rispettivamente ai valori 2 e 4 e calcolando i punti fissi del sistema in funzione del parametro a. I valori di b e di c sono stati scelti poiché rendono semplici molti conti, comunque, dove possibile, sarà specificato se lo studio fatto vale in generale o solo per i particolari valori di b e c. Le due soluzioni di equilibrio del sistema sono le seguenti:, = 1 2 ± 4, = 1 2 ± 4, = 1 2 ± 4 Si nota che, per b e c positivi, il sistema presenta due punti fissi fintanto che a è diverso da zero e minore di c 2 /(4b). E utile quindi concentrarsi inizialmente su valori di a negativi, vedere poi cosa succede se a=0 per poi spostarsi sull intervallo 0<a< c 2 /(4b). Per fare ciò è necessario calcolare la matrice A del sistema linearizzato che risulta uguale a: = Fissato un particolare valore negativo di a, ad esempio -6, si possono calcolare le coordinate dei punti e gli autovalori della matrice del sistema linearizzato descritto da A. Dai risultati ottenuti si nota che uno dei due punti fissi è un nodo (o fuoco) stabile mentre l altro una sella. Chiamiamo la sella S1ed il punto fisso P2, tanto che abbia un comportamento stabile che instabile (Figura 3). Analisi lineare di stabilità degli equilibri per a=-6 Coordinate del punto S1 = (6 1-1) Matrice del sistema linearizzato: A1(S1) = [0-1 -1; 1-6 0; ] Autovalori di A1: , , Coordinate del punto P2 = ( ) Matrice del sistema linearizzato: A2(P2) = [0-1 -1; 1-6 0; ] Autovalori di A2 = , ,

4 Figura 3. I punti di equilibrio S1 e P1 nel piano (x,y). Nella Figura 4 viene mostrato il diagrammaa di biforcazione per valori di a minori di zero. Per a che tende a meno infinito non sono state riscontrate variazioni nel comportamento qualitativo dei due punti. Il punto di sella per a= presenta due autovalori reali uguali in modulo ma di segno opposto. 4

5 Figura 4. Diagramma di biforcazione in funzione del parametro a, per a<0. 5

6 Figura 5. I punti di equilibrio P1 e S1 per a tendente a 0 negativamente. Per a=0 si ha un comportamentoo del sistema abbastanza bizzarro poiché i punti fissi non mutano il loro comportamento qualitativo ma, mentree il punto stabile P2 presenta coordinate finite, la sella S1 diverge all infinito (vedi Figura 5). Per a>0 si ha la dinamica più interessante dato che il sistema si avvicina alla zona di comportamento caotico. Comunque inizialmentee prenderemo in considerazionee il punto S1, il quale ricompare dall infinito e continua a comportarsi come una sella fin tanto che a risulta minore di c 2 /(4b). Al raggiungimento di questo valore si ha una biforcazione di tipo nodo-sella (vedi Figura 6), cioè S1 e P2 collidono in un unico punto per poi scomparire definitivamente per a> c 2 /(4b). Questo si vede bene dallo studio dei punti fissi, infatti quando a=c 2 /(4b) si ha che: = 4 4 =0, = 1 2, = 1 2 = 2 6

7 , = 1 2 =2 Figura 6. Diagramma di biforcazione del sistema di Rossler per a>0. Nella figura precedente la sigla LP (Limit Point) indica che, superato quel valore particolare di a, il punto fisso in esame scompare. L ulteriore marker H indica che il punto fisso, risultante dalla fusione di S1 e P1 in a= c 2 /(4b), è una sella neutra ( Neutral Saddle ), cioè ha due autovalori uguali in modulo ma di segno opposto. A questo punto è necessario concentrarsi sulle biforcazioni cui va incontro il punto P2 per a appartenente all intervallo [0,c 2 /4b], sempree nel caso particolare in cui b=2 e c=4. Si vedee che il punto presenta una biforcazione di Hopf supercritica quando a= Conseguentemente P2 diviene una spirale instabile (due autovalori complessi e coniugati attraversano l asse immaginario divenendo a parte reale positiva, mentre il terzo autovalore è realee negativo) circondata un ciclo limite stabile. Il diagrammaa di biforcazione del sistema per a> >0 viene mostrato in Figura 7. 7

8 Figura 7. Diagramma di biforcazione per a>0 e stabilita' degli equilibri P1 e S1. 8

9 Figura 8. Ciclo limite di periodo T stabile per a=0.2. Come si può vedere dalla Figura 8 la spirale instabile P2 è circondata da un nuovo attrattore, il ciclo limite C3, il quale è stabile e in questo caso, cioè con a=0.2, ha periodo T= = Per a proprio uguale al valore di biforcazione il periodo T del ciclo è

10 Figura 9. Cascata di raddoppiamenti di periodo del ciclo limite di periodo T. Come si vede dalla Figura 9, e come ci aspettavamo, il ciclo stabile, nato con la biforcazione di Hopf, all aumentare di a presenta un raddoppiamento di periodo, che avviene per a= = Si comprende bene come questo primo raddoppiamento sia legato in qualche modo all azione della terza equazione del sistema, questo perché all aumentare del parametro a, il ciclo limite, che è più o meno centrato in zero, aumentaa di raggio ed in particolare vicino al valore del raddoppiamento di periodo il ciclo limite raggiunge il valore 4 lungo la coordinata x. Questo valore, per c=4, destabilizza la terza equazione del sistema mettendo in moto il processo di folding già citato nelle prime pagine e causando la divisione dell orbita. 10

11 Figura 10. Il meccanismo di stretching and folding indotto dalla terza equazione del sistema. Questo si comprende meglio pensando che l orbita del ciclo limite attraversaa due zone ben distinte, separate dalla retta x=4 e di stabilità opposta, cioè una stabile e una instabile lungo l asse z, come mostrato nella Figura 10. La penetrazione dell orbita nella zona instabile porta questa a divergere lungo le zeta positive e continuerebbe all infinito se nonn fosse presente una retroazione negativa nelle prima equazione capace di riportala nella zona di equilibrio. 11

12 Figura 11. Il ciclo di periodo 2T. La formazione di un nuovo ciclo limite stabile di periodo doppioo rispetto all originale, mostrato in Figura 11, è analoga ad una biforcazione di Hopf di cicli, oppure ad una biforcazione pitchfork di una mappa. Questo comportamento mette in luce l effetto di stretching e folding presente nel sistema, poiché l evoluzione stabile del ciclo non è altro che un suo stiramento e ripiegamento nello spazio. La Figura 12 mostra approssimativamentee l evoluzione del sistema al variare di a ed evidenzia l intervallo dei valori nei quali il sistema si comporta in maniera caotica. Superata questa finestra, il sistema diverge all infinito dato un qualsiasi stato iniziale. Figura 12. Valori del parametro a e le corrispondenti biforcazioni. 12

13 Nella Figura 13 si possono osservare i successivi raddoppiamenti di periodo e l attrattore caotico del sistema. Figura 13. I cicli di periodo 4T, 8T e l'attrattore caotico. Rössler O.E., An equation for continuous chaos, Physics Letters A,, Vol. 57, pp (1976). 13