Introduzione. Modellizzazione: descrizione di un fenomeno fisico (biologico) con linguaggio matematico.

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1 Introduzione Modellizzazione: descrizione di un fenomeno fisico (biologico) con linguaggio matematico. Alcuni aspetti da tenere presenti: * range di validita del modello; * "profondita " o "risoluzione" del modello;... popolazione cellule "moduli" biochimica... * modello deterministico / stocastico; * modello discreto / continuo; * ordine / disordine (chaos); * semplicita / complessita ; * metodi e soluzioni: analitiche / numeriche.

2 Sistemi Dinamici Descrizione matematica di un fenomeno e della sua evoluzione nel tempo: modello matematico. Studio delle proprieta qualitative e quantitative deducibili dalla struttura matematica del modello. Definizione dello spazio delle fasi (o spazio delle configurazioni), per descrivere lo stato del sistema ad un determinato istante. Implementazione dei meccanismi di evoluzione del sistema: equazioni differenziali per i sistemi in tempo continuo e mappe per i sistemi in tempo discreto. Determinismo: per ogni stato del sistema viene definita la sua evoluzione al tempo successivo. Consideriamo sistemi in tempo discreto: Stato F Stato F Stato 3 F Esempio: F := x 3 x -3 F( ) =, F( ) =, F( ) = F( 3) =, F( -) =, F -3 9 = 4 Orbita: evoluzione temporale di un dato iniziale F( ) =, F ( F( ) ) =, F ( F ( F( ) )) =, F ( F ( F ( F( ) ))) = o con notazione alternativa: -3 F( ) = ( F ( ) )( ) ( F ( 3) )( ) ( F ( 4) )( ) 9 = 4-7 = 8 8 = 6 Alcuni dati iniziali possono essere lasciati fermi dalla dinamica: li chiameremo punti fissi. F( ) =

3 ( F ( ) )( ) = ( F ( 3) )( ) = ( F ( 4) )( ) =

4 Modelli di crescita esponenziale Possiamo modellare nella maniera piu elementare possibile la crescita di una popolazione (ad esempio di cellule) supponendo che ogni elemento della popolazione e in grado, ad ogni generazione, di generare un nuovo individuo: questo porta ad un raddoppio della popolazione ad ogni passo. Lo spazio degli stati e l insieme dei numeri interi (numero di individui), e la mappa che descrive la dinamica e la seguente: F := x x F( x) = x Questo genera una crescita esponenziale per ogni dato iniziale diverso da zero (vita), mentre lo zero e un punto fisso (morte, estinzione). n := generazioni :=,, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5, 4 Il dato iniziale puo poi essere anche un numero non intero, che verra interpretato come densita di popolazione: n :=.3 generazioni := 5.3, 4.6, 9., 8.4, 36.8, 73.6 Parliamo di crescita esponenziale perche si mostra che l evoluzione e descritta dalla seguente funzionninie: G ( x, t) = x t dove x e il dato iniziale e t e il tempo. Infatti: G (, 6) = 64 G (, 9) = 5 Crescita esponenziale alla Fibonacci Un raffinamento del modello precedente consiste nel considerare che ogni nuovo individuo deve raggiungere una maturita prima di poter a sua volta generare. Possiamo ad esempio ipotizzare che resti inattivo per una generazione e poi cominci anch esso a riprodursi. La successione che rappresenta l evoluzione temporale di una popolazione che si sviluppa da un solo individuo e nota come successione di Fibonacci. Ne diamo una definizione ricorsiva: g( n ) = g( n ) + g( n ) g( ) := g( ) := fib :=,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 6, 987, 597, 584, 48, 6765, 946

5 .e5.e5.8e4.e4.6e4.e3.4e4.e4.e Si ottiene dunque ancora una crescita esponenziale, solo con un tasso di crescita diverso. In questa impostazione l evoluzione dipende dallo stato nelle due generazioni precedenti. Infatti il giusto spazio delle fasi e bidimensionale: una coordinata rappresenta il numero di nuovi nati, e l altra il numero di adulti; in questo modo si puo costruire una mappa che genera l evoluzione basandosi solo sulla condizione al tempo precedente. Prima di vedere cio guardiamo la soluzione di questo sistema ricorsivo di equazioni: 4 n n 5 ( + 5 ) ( + 5 ) f( 3) = , f( 4) = , f( 5) = , f( 6) = , f( 7) = Torniamo alla rappresentazione dell evoluzione come mappa in uno spazio delle fasi bidimensionale. Risultando la mappa lineare, essa e rappresentabile tramite la seguente matrice: A := e con il dato iniziale v := si ha l evoluzione v =, Av =, AAv =, AAAv =, AAAAv =, AAAAAv =, AAAAAAv = 3 Se a questo punto proviamo a guardare alle proprieta della matrice che ci rappresenta la mappa, ad esempio guardando i suoi autovalori, vediamo che essi sono:

6 , uno positivo e uno negativo, e se ricordiamo l espressione di f, soluzione del problema: n + 5 n ( ) + 5 ( ) + 5 ci accorgiamo che l autovalore positivo da il tasso di crescita. Possiamo provare a cambiare il dato iniziale e ci a ccorgiamo che asintoticamente il comportamento e il medesimo. := v ,,,,,,,,,,,,, ,, := v 5,,,,,,,,,,,

7 Sulle mappe Prima di passare ad applicazioni su modelli piu complessi, facciamo qualche considerazione sulle mappe. Una mappa sara una funzione definita sullo spazio delle fasi a valori nello spazio delle fasi. Alcune delle caratteristiche di una mappa sono determinate dal valore della sua derivata (la pendenza ) e dall intersezione con la diagonale (o bisettrice) del primo e terzo quadrante del piano cartesiano. Graficamente si puo vedere molto bene l evoluzione data da una mappa nel modo seguente. Consideriamo una mappa qualsiasi e vediamone l evoluzione su qualche dato iniziale: g( n) = + n n := Focalizziamo l attenzione sui punti fissi della mappa, che essendo punti che non sono modificati durante l evoluzione, devono soddisfare l equazione: f( x) = x e dunque coincidono con l intersezione tra i grafici della funzione y=f(x) e della retta y=x. Fondamentale e poi il concetto di stabilita di un punto di equilibrio: ci interessa conoscere l evoluzione dei dati iniziali vicini al punto fisso, per sapere se rimarranno vicini o si allontaneranno. Per sapere cio e sufficiente guardare la derivata della mappa nel punto di equilibrio (linearizzazione). Si distinguono 4 casi (piu due casi degeneri). Stabilita (asintotica) con o senza oscillazioni Il modulo della derivata nel punto di equilibrio e minore di uno; se e negativo si hanno oscillazioni, altrimenti no. g( n) = n :=. n

8 g( n) = arctan( n) n := n Instabilita, con o senza oscillazioni Il modulo della derivata nel punto di equilibrio e maggiore di uno; se e negativo si hanno oscillazioni, altrimenti no. g( n) =.5 n n :=.8

9 n.5 g( n) = n n := n

10 Modelli di crescita logistica Passiamo ora ad un modello di crescita piu realistico; nella crescita esponenziale si ha un aumento senza limiti della popolazione ma questo e sensato solo finche la popolazione e piccola rispetto alle risorse disponibile. Oltre certi livelli il tasso di cresita deve cominciare a calare e puo addrittura diventare un tasso di decrescita se ci si trova oltre il livello di popolazione sopportato dalle risorse ambientali. Guardiamo dunque il modello logistico: F( x) = r x ( x) Guardiamone il grafico al variare del parametro r x Osserviamo che si tratta di una mappa che manda l intervallo [,] in se (parleremo di densita di popolazione). Per basse densita il termine dominante e rx ; dunque serve r > per avere crescita. Al crescere della densita si fara sentire il termine (-x) che possiamo pensave come l effetto dell aumento della popolazione sul tasso di crescita. I punti di equilibrio per la nostra mappa sono i seguenti: r, r e possiamo osservare che prima del secondo punto di equilibrio il tasso di crescita e >, mentre per valori di popolazione superiori si ha una decrescita ( f(x) < x ). r x equil := r = x F( x equil ) r Possiamo aspettarci che il punto di equilibrio non banale sia stabile per valori del parametro compresi tra e 3 (modulo della derivata nell equilibrio <). Vediamo allora un po di dinamica con la mappa logistica.

11 F( x) =.8 x ( x) n := cambiamo il valore del parametro; effettivamente tra e 3 il punto di equilibrio e stabile. Oltre diventa instabile. E tutto in maniera indipendente dal dato iniziale. Aumentando sempre piu il parametro succedono fenomeni strani e a prima vista difficili da spiegare. Proviamo a iterare la mappa un po di volte senza visualizzarla (ipotizziamo ci sia un fenomeno transitorio dopo il quale la situazione si stabilizza) e proviamo i seguenti valori del parametro: Si vede, per alcuni valori di r che effettivamente dopo un transitorio la traiettoria si stabilizza in un orbita periodica, mentre per altri valori si ha comunque un comportamento apparentemente casuale. Vogliamo capire cosa accade, riuscendo almeno a spiegare l insorgere delle orbite periodiche di periodo e 4. Analizziamo il grafico della mappa ottenuta applicando volte la nostra mappa logistica, al variare del parametro.

12 x Notiamo che questa mappa ha un punto fisso per bassi valori del parametro, ma per valori alti compaiono altri punti fissi; dal grafico seguente vediamo che il valore limite tra una situazione e l altra e proprio il valore oltre il quale il punto fisso di F diventa instabile. > r = 3 Grafico della mappa applicata due volte x Siamo di fronte ad una biforcazione: all aumentare del parametro il punto di equilibrio (che e un orbita periodica di periodo ) diventa instabile e contemporaneamente si crea un orbita periodica (di periodo ) stabile. Essa e rappresentata dai nuovi punti fissi della mappa al quadrato. Riosservando al variare di r la mappa la quadrato notiamo che anche questi nuovi punti fissi diventano poi instabili; in quel momento saranno nati dei punti fissi per mappa alla quarta, facendo cosi nascere

13 poi instabili; in quel momento saranno nati dei punti fissi per mappa alla quarta, facendo cosi nascere un orbita periodica di periodo 4. Si puo dimostrare che esiste una cascata di biforcazioni e che esistono per la mappa logistica orbite periodiche di ogni periodo intero. Grafico della mappa applicata n volte x

14 Modelli di competizione: il sistema di Lotka-Volterra Consideriamo ora dei modelli tipo preda - predatore, con due specie, una delle quali cresce spontaneamente (le prede) ma decresce in presenza di predatori, i quali aloro volta tenderebbero ad estinguersi e possono crescere solo in presenza di prede (la loro unica fonte di cibo). Lo spazio delle fasi e bidimensionale (per rappresentare le due specie in competizione), e una possibile dinamica e rappresentata dalla seguente mappa: α x η A := ( x, y), y + η y ( β + δ x) dove x sono le prede e y i predatori. (alpha>, beta<) Osserviamo la dinamica per alcuni valori dei parametri e per alcuni dati iniziali. x A ( x, y) =.4, y + y (.8 + x) x :=.5 y := > Possiamo osservare la presenza di due punti di equilibrio: l origine (,) che rappresenta l estinzione di entrambe le specie, e un altro punto, le cui coordinate dipendono dai parametri, nel quale c e coesistenza. Questo secondo punto di equilibrio si motra pero essere un fuoco instabile (instabilita con oscillazioni), con oscillazioni sempre piu ampie (poco ragionevole). equil := { y =, x = }, { y = α η η, x = β } δ α η J := y + η α x η ( y + η) y δ β + δ x

15 β J( equilibrio) = α δ η ( α η η) δ α + ( β ) α ( α ) α ( β ) α ( α ) autovalori =, α α determinante = α + + β α β α Gli autovalori sono complessi e coniugati (oscillazione), con modulo > (instabilita ) avendo parte reale =. Nella variante che segue rimangono i due punti di equilibrio di prima, ma si crea un ciclo limite stabile, che rende piu ragionevole il modello eliminando le oscillazioni illimitate. B := ( x, y) α x, η y + η ( x κ) y ( β + δ x) aumentiamo il numero di passi di iterazione fino a individuare il ciclo limite. B ( x, y) =. x, ( x.) y (.8 + x) y + x :=.4 y := >

16 Qualcosa di esotico: l attrattore strano Henon := ( x, y ) ( + y α x, β x) Henon ( x, y ) = ( + y.4 x,.3 x) x :=.6 y := Henon ( x, y ) = ( + y.4 x,.3 x) x := y :=

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18 Conclusioni Le mappe (sistemi dinamici in tempo discreto) permettono una descrizione semplice, ma riproducono una grande varieta fenomenologica. Per avere una dinamica ricca, "complessa", caotica, non servono sistemi complicati (si vedano la mappa logistica e la mappa di Henon). Analogamente sistemi complicati (molte variabili, molte equazioni,...) possono avere comportamenti ordinati, o piu "semplici" di quanto ci si possa immaginare. Anche nei fenomeni complessi e possibile a volte riconoscere delle regolarita (ad esempio la cascata di biforcazioni della mappa logistica). Le simulazioni al computer da sole non bastano: serve una comprensione matematica del modello e della sua dinamica.