ANALISI E CONTROLLO DI UN MODELLO DI IMPATTO PUBBLICITARIO

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Nicoletta Volpi
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1 ANALISI E CONTROLLO DI UN MODELLO DI IMPATTO PUBBLICITARIO Un modello di impatto pubblicitario Analisi del modello: il caso stazionario Analisi del modello: il caso periodico Analisi picco-picco Controllo picco-picco C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 1

stazionario Analisi del modello: il caso periodico Analisi

2 UN MODELLO DI IMPATTO PUBBLICITARIO Consideriamo un prodotto a basso prezzo, riacquistato frequentemente, di cui esistono vari prodotti concorrenti (p.e. detersivo, dentifricio, acqua minerale, bibite, passata di pomodoro, ). x ( ) = acquirenti potenziali ( ) 1 t x t = acquirenti effettivi ˆ α x x I contatti (casuali), al tasso 1, trasformano acquirenti potenziali in effettivi: effetto passaparola (analogia con i meccanismi epidemiologici). L impresa investe in pubblicità una frazione prefissata α x dei ricavi. α La pubblicità rafforza l effetto del passaparola : ˆ = αx = α α x. x& 1 = α x1 x + βx( t) x& = α x1 x ( β + δ ) x( t) C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004

passaparola (analogia con i meccanismi epidemiologici). L impresa investe in pubblicità una frazione prefissata α x dei ricavi.

3 ANALISI DEL MODELLO: IL CASO STAZIONARIO Il quadrante positivo è invariante: x 1( 0), x (0) 0 x1, x 0 t 0. Esiste un unico equilibrio ( x 1, x) = (( β + δ ) δ / α, / δ ) per tutti i valori dei parametri. Per ogni α, ci sono traiettorie illimitate con ( 1, x ) ( +,0) prodotto). x (=fallimento del Tutte le traiettorie che partono al di sotto di S ( separatrice ) sono illimitate. C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 3

Per ogni α, ci sono traiettorie illimitate con ( 1, x ) ( +,0) prodotto).

4 Biforcazione di Hopf L equilibrio ( x 1, x ) = (( β + δ ) δ / α, / δ ) subisce una biforcazione di Hopf supercritica quando α = α HP = ( β + δ ) δ α > α, l equilibrio, ) Per HP asintoticamente stabile. ( x 1 x è For α < α HP, l equilibrio ( x 1, x) è instabile, e per α prossimo ad α HP esiste un ciclo limite asintoticamente stabile. x x 1 C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 4

5 Biforcazione omoclina all infinito L analisi numerica rivela che sia l ampiezza che il periodo del ciclo limite tendono ad infinito quando α diminuisce per tendere ad un valore finito α = α HM. ampiezza periodo C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 5

infinito quando α diminuisce per tendere ad un valore finito α =

6 Al diminuire di α, quando il ciclo limite collide con la traiettoria separatrice S (=la frontiera della regione di traiettorie illimitate) si verifica una biforcazione omoclina all infinito. Tanto più α è piccolo, tanto più la separatrice S si sposta verso l alto, tanto più elevata è la possibilità di fallimento del prodotto. Il fallimento è certo quando α < α HM. C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 6

Tanto più α è piccolo, tanto più la separatrice S si sposta verso l alto, tanto più elevata è la

7 ANALISI DEL MODELLO: IL CASO PERIODICO In molti casi, sia la spesa pubblicitaria (α ) che la sua efficacia (α ) variano stagionalmente: l audience dei media (televisione, stampa, ) è più elevato nelle stagioni fredde molti prodotti hanno carattere stagionale: bevande, articoli sportivi, α = α( t ) = α 0 (1 + ε sin(πt )), α 0 > 0, 0 ε 1 Abbiamo quindi un sistema periodico x & = f ( x, t), R x, con periodo = 1 T anno Equivale ad una mappa di Poincaré (stroboscopica) x ( + 1) = F( x( )), x R. Analisi di biforcazione (numerica) rispetto ai parametri ( ε, α0). C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 7

0 (1 + ε sin(πt )), α 0 > 0, 0 ε 1 Abbiamo quindi un sistema periodico x & = f ( x, t), R x, con periodo = 1 T anno Equivale ad una mappa di Poincaré

8 Diagramma di biforcazione ( = δ = 9.5, β = 0.5) T = biforcazione tangente (nodo-sella) F = biforcazione flip N = biforcazione Naimar-Sacer C = biforcazione cuspide (codim ) A = risonanza forte 1:1 (codim ) Per ε = 0 (sistema autonomo), il ciclo limite nasce dalla biforcazione di Hopf con periodo τ = π / δ ( β + δ ) , e τ + per α α HM. Ci sono infinite lingue di Arnold che corrispondono a soluzioni di periodo intero. All intero di ciascuna lingua di Arnold vi può essere una cascata di Feigenbaum. Coesistenza di attrattori. ε C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 8

forte 1:1 (codim ) Per ε = 0 (sistema autonomo), il ciclo limite nasce dalla biforcazione di Hopf con periodo τ = π / δ ( β + δ ) 0.

9 Regime caotico: Due diverse strade al caos sono teoricamente possibili nel sistema: cascata di Feigenbaum: via simulazione, si rilevano soluzioni caotiche in regioni dello spazio dei parametri a destra della curva di biforcazione flip F. x x x 1 rottura di toro, nella regione al di sotto della curva di biforcazione N. Le simulazioni non hanno rilevato questo tipo di soluzione caotica. Come nel caso stazionario, le simulazioni rivelano l esistenza di traiettorie illimitate per tutti i valori dei parametri. C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 9

x x x 1 rottura di toro, nella regione al di sotto della curva di biforcazione N.

10 Riassumendo (fino a qui ): se gli acquirenti effettivi sono troppo pochi ( x (0) al di sotto della separatrice S), il prodotto è destinato a fallire qualunque sia la pressione pubblicitaria α (quindi: promozioni, omaggi, porta-a-porta, ). tanto più è bassa la pressione pubblicitaria α, tanto più è probabile il fallimento del prodotto (la separatrice S si sposta verso l alto). un valore sufficientemente alto del tasso di variazione stagionale ε della pressione pubblicitaria può dare origine a comportamento caotico. in regime caotico, gli acquirenti effettivi x sono soggetti ad oscillazioni molto marcate ed imprevedibili. Lo stesso succede quindi per i ricavi e per la spesa pubblicitaria (difficoltà nella pianificazione e nella logistica). C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 10

un valore sufficientemente alto del tasso di variazione stagionale ε della pressione pubblicitaria può dare origine a comportamento caotico.

11 ANALISI PICCO-PICCO In regime caotico, il sistema presenta dinamica picco-picco (PPD). La variabile misurata y = x corrisponde (a meno di un fattore di proporzionalità) ai ricavi. Poiché il diagramma picco-picco definisce una funzione y + 1 ( y ) a due valori, la PPD è complessa. = Ψ C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 11

La variabile misurata y = x corrisponde (a meno di un fattore di proporzionalità)

12 Partizionando il PPP { y, y )} mappe a un solo valore S = ( + 1 in sottoinsiemi S, in modo da definire y 1 = Y (, α) = 1, + y α si induce una partizione dell insieme S { y, y )} sottoinsiemi S. 1, S 1, S = ( 1 delle coppie di predecessori in due Quindi y + 1 viene predetta conoscendo il valore del picco precedente l indice { 1,} y (un numero reale) α dell insieme a cui appartiene la coppia dei predecessori, y ) ( y 1 C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 1

1, S 1, S = ( 1 delle coppie di predecessori in due Quindi y + 1 viene predetta conoscendo il valore del picco

13 CONTROLLO PICCO-PICCO Consideriamo il modello con sforzo pubblicitario stagionale: x& x& 1 = α (1 + ε sin(πt )) x = α (1 + ε sin(πt )) x x x 1 + βx ( β + δ ) x in cui ( ε, α0) sono tali da portare il sistema in regime caotico. Supponiamo che: si vogliano eliminare le oscillazioni irregolari (=impredicibili) delle vendite, sostituendole con oscillazioni regolari (=predicibili), allo scopo di agevolare la pianificazione della produzione e la logistica; mantenendo invariato lo sforzo pubblicitario medio α 0; agendo (con piccole variazioni) sul tasso di stagionalità ε (variabile di controllo). C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 13

Supponiamo che: si vogliano eliminare le oscillazioni irregolari (=impredicibili) delle vendite, sostituendole con oscillazioni regolari (=predicibili), allo

14 C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/ Un modello della PPD con variabile di controllo si ottiene ricavando (numericamente) il modello ),, ( ),, ( 1 1 ε α α ε α y Q y Y y = = + + per un insieme (fitto) di valori della variabile di controllo ε nell intervallo di ammissibilità ], [ max min ε ε.

( ),, ( 1 1 ε α α ε α y Q y Y y = = + + per un insieme (fitto) di valori

15 Si tratta ora di determinare una legge di controllo u = q( y, α ) che sostituisca il regime caotico con uno periodico (ciclo limite). Nota bene: in pratica, dopo ogni picco di vendita y, sulla base di y e y 1, l impresa deciderà l ammontare del tasso di stagionalità ε da applicare fino al prossimo picco. Il problema è riformulato come stabilizzazione di un equilibrio del modello della PPD y = Y ( y, α, u ) α = Q( y, α, u ) a sua volta equivalente al problema di controllo ottimo (risolvibile con tecniche numeriche standard) min J = N 1 lim N = 0 ( y y) C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 15

16 Applicando la legge di controllo, il sistema converge rapidamente alla soluzione periodica prefissata, caratterizzata da vendite periodiche (di periodicità annuale). C. Piccardi Politecnico di Milano - 08/01/004 16

caratterizzata da vendite periodiche (di periodicità

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