GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE

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1 GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE Sommaio. In queste pagine studiamo il poblema delle obite dei copi soggetti ad un campo gavitazionale centale, g = G m 3 (dove m è la massa del copo centale e iduemo questo poblema ad un poblema equivalente di un copo che si muove in una sola dimensione, soggetto all enegia potenziale efficace U ( = L2 z 2m 2 G mm (m è la massa del copo obitante, e L z è il suo momento angolae ispetto ad un ifeimento fisso con l oigine nel cento di attazione. Una volta stabilita questa equivalenza fomale saemo in gado di deteminae la distanza minima e quella massima del copo obitante dal cento di attazione lungo l obita, patendo dai dati iniziali - posizione e velocità.. Intoduzione: obite cicolai La situazione più semplice è quella in cui un copo compie un obita cicolae attono ad un copo centale. Affinché si ealizzi l obita cicolae devono veificasi due cicostanze: ( in un dato istante la velocità del copo deve essee pependicolae al vettoe che collega il cento di attazione con il copo; (2 il modulo della velocità, inolte, non deve essee né toppo piccolo né toppo gande, esiste in alti temini, pe ogni distanza dal cento di attazione, un solo valoe della velocità che consente al copo di poseguie lungo l obita cicolae. In questa sezione ci concentiamo su questo caso speciale e deteminiamo la elazione ta la velocità obitale ed il aggio dell obita... Equazione della dinamica. Se l obita è cicolae e pecosa a velocità costante l acceleazione è adiale e centipeta: (. a = v2 Dato che la foza di gavità è adiale, possiamo limitaci a scivee l equazione del II pincipio lungo l asse : [IIp, ] m ( Semplificando m ed otteniamo: v2 = G mm 2 (.2 v 2 = Gm

2 GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE 2 Questa equazione pemette di deteminae la velocità di pecoenza dell obita cicolae con un dato aggio: in alti temini, se vogliamo collocae un satellite su una data obita cicolae di aggio dobbiamo dagli la velocità iniziale Gm/..2. Consevazione dell enegia. In un obita cicolae il pincipio di consevazione dell enegia si iduce all equazione (.3 2 m v 2 Gmm = E Sostituendo la.2 nella fomula dell enegia potenziale gavitaziononale otteniamo (.4 E g = 2E cin ed inseendo questa elazione nell equazione.3 otteniamo (.5 E = E cin o anche (attenti ai segni! (.6 E = 2 E g. Le equazioni.4,.5 e.6 sono valide solo nel caso dell obita cicolae. In paticolae la.6 mosta che l enegia obitale è funzione del aggio dell obita ed è negativa..3. Cambio di obita. Se decidiamo di potae un satellite da un obita di aggio ad un obita di aggio 2 > dobbiamo fonigli come minimo l enegia coispondente alla diffeenza delle enegie delle due obite: (.7 E = 2 Gmm ( 2 Notiamo il fattoe /2 e il cambio di segno ispetto all enegia potenziale gavitazionale. Entambi sono dovuti al fatto che a due obite diffeenti coispondono enegie potenziali diffeenti ma anche divese enegie cinetiche. 2. Obite ellittiche Nel caso più geneale le obite chiuse di un copo soggetto ad un campo gavitazionale centale hanno la foma di ellissi, e uno dei poblemi più semplici che possiamo isolvee è deteminae la distanza minima e quella massima dell obita dal cento di attazione. Pe isolvee questo poblema dobbiamo patie da due pincipi di consevazione: quello del momento angolae e quello dell enegia. In ealtà in un obita chiusa qualsiasi continua ad essee valide le stesse elazioni pe i valoi medi lungo l obita dell enegia cinetica e dell enegia potenziale.

3 GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE Momento angolae obitale. Il momento della foza di gavità (ispetto al cento di attazione è identicamente nullo lungo tutta l obita, peché la foza è paallela al aggio. τ = ( G mm 3 = 0 Questo significa che il momento angolae, calcolato ispetto al cento di attazione, è costante: dl dt = 0 L = costante Ricodiamo oa che il momento angolae è deteminato dalla fomula L = mv Usando questa fomula vediamo subito che e che ( mv 0 ( mv v 0 (basta usae la popietà ciclica del podotto misto. Questo significa che in ogni istante il aggio vettoe dell obita e la sua velocità sono vettoi pependicolai al momento angolae, e dato che il momento angolae è un vettoe costante e v appatengono in ogni istante al piano pependicolae ad L: in alti temini, tutta l obita si svolge su questo piano. Se indichiamo con z l asse pependicolae al piano possiamo espimee la consevazione del momento angolae affemando che L z = L = costante e che l obita si svolge sul piano pependicolae a z Enegia cinetica. Se indichiamo con û il vesoe adiale e con û ϕ il vesoe pependicolae (û û ϕ = û z possiamo espimee il vettoe velocità con la combinazione lineae v = v û + v ϕ û ϕ Usiamo questa elazione pe calcolae il momento angolae: L = m û (v û + v ϕ û ϕ = m v ϕ û z La componente z del momento angolae ci pemette così di espimee la legge di consevazione discussa nel paagafo pecedente: (2. m v ϕ = L z v ϕ = L z m Oa usiamo la 2. pe calcolae l enegia cinetica:

4 GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE 4 E cin = ( 2 m v 2 + vϕ 2 = = 2 m v 2 + ( 2 Lz 2 m m = = 2 m v 2 + L2 z (2.2 2m 2 La fomula 2.2 è la chiave di tutti i agionamenti, come vedemo ta poco Enegia potenziale efficace: intoduzione. Sostituiamo la 2.2 nel pincipio di consefvazione dell enegia: (2.3 2 m v 2 + L2 z 2m 2 Gmm = E Osseviamo che è imasta solo la velocità adiale e che gli alti due addendi dipendono solo dal aggio. Possiamo intodue a questo punto il «enegia potenziale efficace» con la definizione (2.4 U ( def = L2 z 2m 2 Gmm In tal modo l equazione dell enegia diventa (2.5 2 m ( 2 d + U ( = E dt Se ci dimentichiamo pe un attimo dell oigine dell equazione 2.5 vediamo che essa espime la consevazione dell enegia pe un copo di massa m che si muove lungo l asse, soggetto all enegia potenziale U (: il poblema delle obite si è idotto così ad un poblema unidimensionale. 3. Enegia potenziale efficace e obita Vedemo qui che la funzione U ( ha un minimo; questo significa che esiste una «buca di potenziale» e che pe i valoi del aggio in cui U ( = E abbiamo d/dt = 0: questi valoi coispondono ai «punti di invesione del moto» del poblema unidimensionale equivalente a quello delle obite. Teniamo sempe pesente, inolte, che il valoe dell enegia totale è deteminato dai dati iniziali. 3.. Gafico del potenziale efficace. La funzione U ( ha una sola intesezione con l asse : L 2 z 2m 2 Gmm 0 Usando questa infomazione vediamo anche che lim U ( = 0 L 2 z 2Gmm 2

5 GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE 5 Ciò significa che l asse è un asintoto oizzontale della funzione (che gli si avvicina da valoi negativi. È ancoa più facile vedee che = 0 è un asintoto veticale: ( L 2 lim U ( = lim z m Gmm = L 2 z = + 2m = + La funzione ha, infine, un punto di minimo: du d = L2 z m 3 + Gmm 2 = = ( 2 Gmm L2 z m du d 0 L2 z Gmm 2 Pe semplificae più avanti il discoso indichiamo con a la coodinata del minimo della funzione: a = L2 z Gmm 2 Il gafico dell enegia è mostato in fig. 3.. Figua Baiea centifuga. Dato che il momento angolae si conseva la velocità tangenziale deve essee invesamente popozionale alla distanza del copo obitante dal cento di attazione: (3. v 0ϕ = L z m Questo significa che tanto più il copo si avvicina al cento di attazione, tanto più gande deve essee la sua velocità tangenziale.

6 GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE 6 Pe classificae le obite dobbiamo discutee la loo foma in funzione dei valoi di E e di L Z. Caso degenee: L z = 0. Il momento angolae può essee uguale a zeo se la velocità iniziale è zeo ovveo, più in geneale, se la velocità iniziale è allineata con il aggio. In questo caso il potenziale efficace si iduce al potenziale gavitazionale e il copo si muove adialmente veso il cento di attazione o se ne allontana in diezione adiale. Figua 3.2. Se L z 0 la foma dell obita, ed in paticolae la possibilità che sia chiusa, dipende dal valoe dell enegia (vedi fig Pimo caso: L z 0 e E > 0. Il copo, in questo caso, si muove lungo un obita apeta (pe infomazione: un amo di ipebole con il cento di attazione collocato nel fuoco. Vediamo difatti nel gafico dell enegia che esiste una distanza minima dal cento di attazione ma non una distanza massima. Secondo caso: L z 0 e E = 0. È qualitativamente simile al pecedente, solo che in questo caso l obita è paabolica (ed il cento di attazione coincide con il fuoco. Tezo caso: L z 0 e E < 0. Il gafico dell enegia mosta che esistono, in questo caso, due «punti di invesione del moto», ossia una distanza minima ed una massima dal cento di attazione: queste distanze sono le ascisse delle intesezioni della linea dell enegia con la cuva dell enegia potenziale. In questo caso l obita è ellittica. Se confontiamo il pimo caso, classificato come degenee, ispetto agli alti te, vediamo che la pesenza di un momento angolae obitale non nullo ende impossibile al copo obitante avvicinasi al cento di attazione olte un ceto limite. Possiamo die in alto modo che è come si costituisse una baiea inviolabile, che espinge il copo dalla zona centale; questa baiea è dovuta al fatto che tanto più il copo è vicino e tanto più la sua velocità tangenziale deve essee gande (eq. 3., e quindi nella sua otazione attono al copo centale il copo se ne allontana (dal suo punto di vista, pe effetto centifugo. Questo meccanismo è detto «baiea centifuga».

7 GRAVITAZIONE: ENERGIA POTENZIALE EFFICACE L obita cicolae come caso speciale. Cosa succede se l enegia coincide esattamente con il valoe del minimo dell enegia potenziale? In questo caso è possibile un solo valoe del aggio, = a, poiché la linea dell enegia è tangente alla cuva dell enegia potenziale; il momento angolae è L z = m v ϕ a e la velocità adiale è zeo in ogni istante, peché il copo non si allontana né si avvicina al cento di attazione. Riconosciamo facilmente così il caso dell obita cicolae (e a questo punto la velocità è tangente all obita e possiamo scivee v ϕ = v. 4. Un applicazione della teoia Un satellite si muove su un obita cicolae di aggio. Gazie ad un meccanismo di populsione, attivato solo pe pochi istanti, la sua velocità addoppia (imandendo tangente all obita oiginale. Detemina la distanza minima e quella massima della nuova obita dal cento di attazione (il isultato dovà essee espesso in appoto al aggio oiginale.