Cinematica dei corpi rigidi. Momenti di inerzia

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1 Cinematica dei copi igidi Momenti di ineia

2 elaioni fa moto lineae e moto angolae La distana (l aco) pecosa da un copo igido che uota attono ad un asse di un angolo θ, è dato da s θ La velocità di questo punto saà data da v ds/dt d(θ )/dt ovveo v (dθ/dt) ω ) La velocità tangeniale aumenta con l aumentae di ) Se ω è costante anche v è costante, quindi ogni punto descive un moto cicolae unifome; 3) Il tempo impiegato a pecoee un ciclo è T π/v π/ω π/ω

3 Acceleaione otaionale L acceleaione di un punto in otaione può avee una componente adiale ed una componente tangeniale. La componente tangeniale è a t dv/dt (dω/dt) ovveo a t α. L acceleaione tangeniale è pesente quando il punto in otaione ha una velocità il cui modulo non è costante cioè è sottoposto ad acceleaione angolae La componente adiale o centipeta vale a v / ω ed è avvetita da ogni copo che sia in otaione con una velocità di modulo costante.

4 Enegia cinetica otaionale E k ½ m v è l enegia cinetica ifeita al moto di un punto che si muove con velocità il cui modulo sia v. Nel caso di un copo in otaione dovemo sommae le E k di tutti i punti del copo in otaione: E k Σ i ½ m i v i Volendo utiliae la velocità angolae ω, anch essa costante, avemo pe ciascun punto saebbe v i ω i. E quindi: E k Σ i ½ m i ω i ovveo E k ½ω Σ ι m i i La gandea I Σ ι m i i si chiama momento di ineia ed agisce come l equivalente otaionale della massa nei moti lineai. Il momento di ineia si oppone alla vaiaione della velocità angolae come la massa si oppone alla vaiaione della velocità lineae

5 Calcolo del momento di ineia Se l oggetto di cui vogliamo conoscee il momento di ineia I è un sistema disceto basteà applicae pe ogni punto la definiione di I m e poi sommae i vai contibuti pe ottenee in momento di ineia totale. I Σ ι m i i Se invece l oggetto è una gandea continua alloa saà più semplice calcolae: I dm

6 Momento della quantità di moto Supponiamo di avee un punto di massa m che si muove con velocità v, quindi la sua quantità di moto è pmv. Il momento ispetto ad un asse di otaione passante pe q saà L x p i x m v j mv k e in coodinate otaionali saà : L m (v/) m w Se invece di un solo punto ne dobbiamo consideae un numeo infinitamente gande alloa: dl L ω dl ω dm vdm dm ω dm L I ω (omomofo a) p mv q

7 Calcolo del momento di ineia dm ρdv dv (πd ) L dm πdlρ I dm πdlρ πlρ 3 d 4 4 I πlρ ρπ ( ) L( + ) 4 I M ( + ) M ρπ ( ) L

8 Momento di ineia di una sfea Si voglia calcolae il Momento di Ineia di una sfea di Massa M e aggio, e la sua densità sia M d ρ 3 4 3π Se poniamo l oigine degli assi al cento della sfea, avemo che il dischetto di spessoe d a distana dal cento avà una massa pai a dm ρ π d con dedotto da - è il aggio del dischetto. di dm I ρπ I ρπ I ρπ ( ) 4 4 ( + ) 4 ρπ 3 4 d d ρπ d I M 5 ( ) ρπ ρπ 5 d d 8 ρπ 5 5 d + 4 d M ρ 4 3π 3

9 Momento di Ineia Si ipotano alcuni copi igidi modello di cui sono noti i momenti di ineia

10 Teoema degli assi paalleli I Momenti di Ineia dei copi modello sono molto utili, ma tutti hanno l asse di otaione passante pe il cento di massa. Se vogliamo un I passante pe un asse di otaione non coincidente con il baicento dobbiamo fae il seguente calcolo. I I dm [( x a) + ( b) ( x + ) dm + ( a + b ) dm a xdm b dm I + cm Mh ] dm Gli integali valgono eo

11 Teoema degli assi pependicolai Una lamina di foma abitaia può uotae attono ad un asse qualunque e la elaione fa i suoi momenti di ineia è I I x + I x di di x dm dm ρ ρ dv dv x di di x dm ρ ρx dv ( x + ) dv di x + di Da cui la conclusione I ( + ) x dv I dv I x ρ ρ ρx dv