. Il corpo m potrebbe allontanarsi da M: la

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1 Potenziale, enegia potenziale pe copi legati ad un campo di foza gavitazionale. Supponiamo che il copo di massa M genei un campo di foza gavitazionale g( ) = GM ˆ. Su una massa campione posta alla geneica distanza da M agisce la foza f ( ) = GMm ˆ il cui potenziale è dato da V() = GMm d = GMm + cost. La costante può essee scelta in modo "natuale" visto che V() = V( ) = 0. notando che pe Quindi pe una geneica posizione di m alla distanza dalla massa M il potenziale vale V() = GMm e l enegia potenziale che compete ad m vale U() = V() = GMm < 0. Supponiamo oa che il copo campione di massa m sia inizialmente femo all infinito (K in =K =0; U in =U =0 ), quindi E tot =K in +U in =0. Supponiamo oa che sotto l'azione del campo gavitazionale, consevativo, m venga potato nella posizione fin, il lavoo compiuto dalla foza del campo, positivo visto che foza e spostamento hanno lo stesso veso, coisponde alla vaiazione della enegia cinetica K fin > K in = K fin > 0. Essendo il campo consevativo K fin +U fin = K in +U in = 0 pe cui K fin > 0 e quindi U fin = K fin < 0. Pe il copo di massa m peso in esame, soggetto solo al campo gavitazionale consevativo, l'enegia meccanica totale è data da E tot = K fin +U fin = K in +U in. Il copo m potebbe allontanasi da M: la sua enegia cinetica diminuiebbe (pe via del fatto che la foza del campo, attattiva, è dietta come lo spostamento ma ha veso contaio il lavoo delle foze del campo isulta essee negativo: L=K fin -K in <0 à K fin <K in ) tendendo a 0 pe =. Di conseguenza l enegia potenziale (negativa) aumenteebbe tendendo a anch essa a 0 pe =. Il copo saebbe libeo dall attazione gavitazionale solo all infinito.

2 Assumiamo oa che la massa m sia in moto alla distanza, possegga l'enegia cinetica K e l'enegia potenziale U ( ) = GMm < 0 : E tot = U + K potà essee >0, <0 o nulla (il caso pecedente). Se E tot <0 il copo potà allontanasi fino alla distanza, dove aiveà con velocità nulla: K fin = K( )=0; U ( )=E tot =U ( )+K >U ( ) il copo m non può allontanasi indefinitamente dal copo M: è "legato". Se l'enegia meccanica totale è maggioe di zeo (E tot >0) alloa K in > U ( ) ed il copo m potà allontanasi dal copo di massa M, non è legato. Supponiamo che il copo m sia alla distanza R 0 dal copo M che genea il campo e si muova con velocità v 0 lungo una taiettoia cicolae con cento in M. Ossevando m in un Sistema di Rif. ineziale possiamo scivee f = ma dove f R = "# ed a è l'acceleazione centipeta a = : f = "# = ma = m poiettando tale elazione vettoiale su abbiamo "# = m da cui si icava il valoe v = " : se il copo di massa m è in moto attono ad M alla distanza R 0 con velocità v 0, otogonale al aggio, la foza di attazione gavitazionale è in gado di fonie l'acceleazione centipeta necessaia pe un "moto cicolae unifome": il copo di massa m si tova in un'obita di equilibio attono ad M. Pe questo sistema "stabile" abbiamo K + U = mv "# = E " = cost = " m "# = "# <0. Se m, alla distanza R 0, avesse v < v cadebbe su M. Se invece v > v ma E " < 0 m saebbe ancoa legato ad M con enegia totale maggioe di quella minima ( "# ). Abbiamo fatto le consideazioni pecedenti in un SR ineziale solidale con le "stelle fisse".

3 Sempe nelle condizioni descitte pecedentemente supponiamo oa di scegliee un sistema di ifeimento (ρ, τ) che uoti assieme al copo m. In tale ifeimento, non ineziale, il copo di massa m è femo e "libeo": chiamando F la foza di attazione gavitazionale ed F "" la foza "centifuga" appaente si ha dove ω = = " " F + F "" = 0 = GMm + m v = GMm R R + mω R R è la velocità angolae istantanea di otazione di m attono ad M. Poiettando l'espessione della foza totale lungo ρ abbiamo: F() = "# + mω R o anche: F() = "# + m " " R. Se l'obita fosse cicolae = cost. " " Se l'obita fosse ellittica " " cost. Vediamo se ci sono alte quantità che si consevano. Notiamo che le foze che agiscono su m sono entambe diette come il aggio che unisce m ad M: sono foze "centali" che quindi hanno momento nullo se calcolato usando come polo la posizione occupata da M: OP ( "# ρ) = 0 ; OP (mω ρ) = 0 quindi essendo nulla la velocità della massa M (cioè del polo): " = 0 = " OP mv = " mv il momento della quantità di moto è costante p = mv = cost = mvn (p è costante in modulo, diezione e veso ). Ricodando che ω = " = = " = deduciamo che anche se l'obita non è " " cicolae si conseva p, quindi all'aumentae di diminuisce ω. 3

4 Il Potenziale efficace del campo di foza gavitazionale. Continuiamo a tattae il moto di m nel S.R. non ineziale uotante in cui m è femo. Ricodiamo peò che nel S.R. ineziale in cui M è fisso la massa m possiede l'enegia cinetica K = mv. Visto che nel moto si conseva p possiamo iscivee l'espessione della (poiezione della) foza totale in funzione di p F = GMm + m dφ dt = GMm + m p GMm m = + p m e quindi si ha F R = 0 se "# = e cioè se, dato p, si ha R = ". Abbiamo visto che il campo gavitazionale, come qualsiasi campo di foze "centali", è "consevativo", cioè ammette una funzione potenziale V() (e quindi pemette di definie una enegia potenziale: U() =-V() ). Integando la F in funzione di abbiamo U "" = F d = GMm p m + cost. Pe vogliamo U 0 quindi possiamo poe cost = U = 0 Si nota che il potenziale efficace assume il valoe nullo pe = R = " ed ha un minimo pe = R = " = R il cui valoe si ottiene inseendo l'espessione pe R U "" = GMm p R mr = G M m p Ricodiamo che tale minimo di U eff coisponde, nel SR ineziale legato alle stelle fisse, al caso in cui la massa m ha, alla distanza R 0, la velocità v 0 che pemette alla foza di attazione gavitazionale di fonie esattamente l'acceleazione centipeta necessaia a gaantie un moto cicolae unifome (obita chiusa, stabile, cicolae). 4

5 Se la velocità di m, nelle stesse condizioni, fosse v < v 0 la foza di attazione gavitazionale attaebbe m su M, se invece v > v 0 l'enegia meccanica totale saebbe maggioe del minimo: in tal caso se E tot 0 la massa non saebbe più legata ad M ( può cescee fino all'infinito lungo una ipebole) e se E tot <0 la massa m continueebbe ad essee legata ad M, si muoveebbe su di un'obita chiusa e saebbeo possibili tutti i valoi di compesi fa R min ed R max : m si muoveebbe su un'obita ellittica Ueff [Joule] 0 R min R max E tot U 0 = G M m 3 p E tot = U 0 =R 0 obita cicolae U 0 < E tot < 0 R min <<R max obita ellittica E tot > 0 copo libeo taiettoie ipeboliche Esistono quindi delle obite stabili che pemettono la otazione di copi di massa m attono al copo M che genea il campo gavitazionale. Potemmo chiedeci cosa potebbe succedee se una petubazione spostasse il copo di massa m dalla sua obita. Cioè dobbiamo vedee come vaieebbe il potenziale efficace se la distanza fa m ed M fosse modificata di una piccola quantità: = R + Δ ΔU = U U R = U Δ n d d 5

6 Passando a temini infinitesimi e femandoci al II odine abbiamo: du = GMm p m R + GMm + 3p m R e sostituendo in questa fomula = R = abbiamo: " =0 du = GMm R + GMm + R = = R = k R Questo quindi è il compotamento del potenziale efficace pe piccoli spostamenti attono ad R : si compota come il potenziale di ichiamo di una foza elastica di intensità F = k R. Ueff [Joule] 3 0 U()=U(R0)+k(- R0) 3 Tale foza elastica, in caso di piccoli spostamenti d, ipoteebbe la massa m in R [m] 6