Momenti. Momento di inerzia, momento di una forza, momento angolare

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1 Momenti Momento di inezia, momento di una foza, momento angolae

2 Conce&o di Momento I momenti in fisica sono cose molto divese fa loo. Cetamente non hanno sempe la stessa unità di misua; ed avemo cua di definili volta pe volta Esistono momenti di inezia, momenti di foze, momento della quantità di moto (anche detti momenti angolai), momenti tocenti, momento elettici e momenti magnetici, etc.etc. Comunque, si intoduce il concetto di momento quando una ceta gandezza fisica viene modificata pe l intoduzione di una distanza. Non possiamo essee più pecisi nella definizione peché di pe se in significato è ambiguo. In questa pate del coso noi ci inteesseemo solo del ü Momento di inezia, ü Momento di una foza, ü Momento della quantità di moto (o momento angolae)

3 Momento di una Foza

4 Momento di una foza Supponiamo di avee una pota vista dall alto e supponiamo che sia incadinata su un lato, diciamo in A. A Se applicassimo la stessa foza F in punti divesi, come nei punti,, 3, 4, 5 e 6; osseveemmo che il moto della pota saebbe diveso a secondo della diezione della foza e del suo punto di applicazione. 3 In qualche caso non si muoveebbe affatto, in alti si muoveebbe in senso oaio e in qualche caso in senso antioaio In conclusione l effetto di una foza che agisca (su un oggetto basculante o comunque incenieato) in un punto lontano dall asse di otazione dipende fotemente dal suo punto di applicazione e dalla diezione della foza 4 6 5

5 Podo&o ve&oiale Pe compendee come agisce una azione applicata ad un punto qualsiasi (diveso dal cento di massa) di un copo igido è necessaio intodue una nuova opeazione che si può fae con i vettoi. L algoitmo che descivee l effetto di un azione applicata in un punto abitaio di un copo igido è il podotto vettoiale che si indica con τ x F (- τ F x ). il modulo di tale podotto vale, τ F senθ, dove θ è l angolo individuato dai vettoi ed F, quando sono taslati nello stesso punto d oigine. la diezione di τ è pependicolae al piano individuato dai vettoi ed F 3. il veso segue la egola della mano desta τ F

6 I momen> nelle leve Se la diezione delle foze (potenza P o esistenza ) e il vettoe, distanza dall asse di otazione sono pependicolai, come nel caso delle leve, il calcolo dei momenti ispetto al fulco è semplice; infatti in questi casi θ 90 e senθ. Il momento della foza τ è semplicemente il podotto del baccio pe il modulo della foza τ F o τ F Pe l equilibio di una leva τ 0 e quindi deve valee la elazione: P b b ovveo b /b /P Se ne conclude che pe b > b alloa > P oppue se b > b alloa P > P P P b F b b b F F

7 Le Leve nel copo umano Le leve si dividono in te categoie. Leve di pimo genee, indiffeenti (aticolazione della testa). Leve di secondo genee, sempe vantaggiose (sollevamento del calcagno) 3. Leve di tezo genee, sempe svantaggiose (sollevamento dell avambaccio)

8 Momento di Inezia

9 Enegia cinetica otazionale Abbiamo visto che E k ½ m v è l enegia cinetica ifeita al moto di un punto mateiale m che si muove con velocità v. Nel caso di un copo in otazione dovemo fae la somma delle E k di tutti i punti del copo in otazione: E k Σ i ½ m i v i Se volessimo utilizzae la velocità angolae ω v/ i, avemo pe ciascun punto. Quindi: E k Σ i ½ m i ω i ovveo E k ½ ω Σ i m i i In questo modo la foma dell enegia cinetica in un moto otatoio diviene omomofa all enegia cinetica dei moti ettilinei e la gandezza Σ i m i i I, si chiama momento di inezia ed è l equivalente otazionale della massa ineziale nei moti lineai.

10 Momento di Inezia Come la massa si oppone alla vaiazione della velocità, così il Momento di inezia si oppone alla vaiazione della velocità angolae, ma l efficacia della sua opposizione dipende da come la massa è distibuita attono all asse di otazione Se l oggetto di cui vogliamo conoscee il momento di inezia I è un sistema disceto di n punti basteà applicae pe ogni punto la definizione di I m e poi sommae i vai contibuti pe ottenee in momento di inezia totale. n i I m i Se invece l oggetto è una gandezza continua alloa saà più semplice calcolae: I ma x min dm

11 Casi pa>colai: cilindo cavo ) ( ) ( ) ( 4 ) ( M L L d L dl dm dl dm L d dv dv dm + + I I I ρπ ρ π ρ π ρ π ρ π π ρ L V M ) ( ρπ ρ

12 Momento di inezia di una sfea Si voglia calcolae il Momento di Inezia di una sfea di massa M e aggio Sia M ρ la sua densità 4 3π 3 Se poniamo l oigine degli assi al cento della sfea, avemo che il dischetto di spessoe dz a distanza z dal cento avà una massa pai a dm ρ p dz dove - z ed è il aggio del dischetto. di dm I ρπ dz I ρπ 0 I ρπ dz 4 ( z ) 4 4 ( z + z ) z 3 ρπ z 3 4 dz ρπ 5 z + 5 ρπ 0 I M 5 ( z ) ρπ dz dz 0 8 ρπ 5 5 z dz + 0 z 4 dz M ρ 4 3π 3 dz z

13 Momen> di Inezia Si ipotano alcuni copi igidi modello di cui sono no> i momen> di inezia

14 Teoema degli assi paalleli I Momen> di Inezia dei copi modello sono molto u>li, ma sono tuh calcola> pe un asse di otazione passante pe il cento di massa. Se invece volessimo calcolae il momento di inezia di un copo ispe&o ad un asse paallelo all asse di otazione passante pe il baicento alloa dovemmo fae il seguente calcolo: I I ( x I dm + cm + y Mh ) dm + [( x a) ( a + ( y + b b) ] dm ) dm a xdm b ydm ques> integali valgono zeo

15 Momento Angolae

16 Momento della quan>tà di moto Supponiamo di avee un punto di massa m che si muove con velocità v, quindi la sua quantità di moto è p mv. Il momento di questa quantità di moto ispetto ad un asse di otazione passante pe un punto qualunque q saà L x p i x m v j mv k e in coodinate otazionali saà : L m (v/) m ω Se invece di un solo punto ne dovessimo consideae un numeo molto gande alloa: dl L vdm ω dl ω dm dm ω dm q L I ω p mv I

17 Momento angolae Come l enegia meccanica e la quantità di moto, il momento della quantità di moto (o momento angolae) è una gandezza fisica che si conseva. Il momento angolae è una gandezza vettoiale definita dal podotto vettoiale fa la distanza da un punto fisso e dal vettoe quantità di moto p. L x p m ( x v) Come calcolae il modulo, la diezione ed il veso è già stato detto nel calcolo del momento di una foza τ

18 !!! l m( v)!! dl (! dv m& + dt ' dt! dl!!! m dt! dl!! F! tot τ dt ( a + v v) Consevazione di L Conosciamo la a legge della dinamica nella foma F ext dp/dt e quindi possiamo dedue che τ ext dl/dt! d!% v # dt $!!! ma La descizione fin qui fatta ha iguadato il moto di un punto mateiale attono ad un punto fisso, ma anche pe un copo esteso si aiva alle stesse conclusioni. τ tot dl/dt L l +l + l n Se una deivata vale zeo vuol die che la sua funzione pimitiva è costante. Se il momento delle foze applicato ad un copo è nullo τ 0, alloa il momento angolae L di quel copo si conseva