Cambiamento del Sistema di Riferimento

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1 Cambiamento del Sistema di Rifeimento Il moto dipende dal sistema di ifeimento dal quale viene ossevato: Un viaggiatoe seduto sul sedile di una caozza feoviaia non si muove ispetto al vagone Se ossevato dal maciapiede della stazione, egli invece pecoe divesi meti al secondo. Il viaggiatoe, se lascia cadee un oggetto nel vagone, desciveà il moto come un moto ettilineo (unifomemente acceleato) Lo stesso moto appaià paabolico (moto del poiettile) ad un ossevatoe sul maciapiede della stazione. Come si fa a tasfomae le gandezze cinematiche, posizione, velocità, acceleazione da un sistema di ifeimento ad un alto?

2 TEST IN ITINERE A-M Aula T1 N-Z Aula 1 Sogene ORE PORTARE DOCUMENTO DI IDENTITA NON PORTARE LIBRI, APPUNTI, FOGLI. SOLO LA PENNA

3 Tasfomazioni della posizione Studieemo il caso molto paticolae in cui gli assi del sistema O x y z sono costantemente paalleli a quelli coispondenti nel sistema Oxyz e l oigine O del secondo sistema si muove sull asse delle x. = ' +OO' = x i +y j +z k ' = x' i '+y' j ' +z' k '= x' i + y' j +z' k OO' = xo' i z z y O z' y' O' x = x'+x o' y = y' z =z' ' x x'

4 Tasfomazioni della velocità v = d dt = d x i + y j + zk dt v ' = d ' = d x' i ' +y' j ' +z' k ' dt dt v = d dt = ( ) ( ) v O' = d OO' dt = d x O' dt d ' + OO' dt i ( ) = dx O' dt = dx dt = dx' dt i = d ' dt + d OO' dt i + dy dt i + dy' dt = d ' dt + v O' j + dz dt j + dz' dt z z k k y O z' y' O' ' x x' v = v ' + v O ' v x = v ' x ' + v xo ' v y = v ' y ' v z = v ' z '

5 a = d v dt Tasfomazioni dell acceleazione ( ) = d v ' + dt v O' a = a ' + a O' = d v ' dt + d v O' dt a x = a' x' +a xo' a y = a' y' a z = a' z' = d v ' dt + a O' Solo se a o =0 l acceleazione nei due sistemi di ifeimento è la stessa! z z y O z' y' O' ' x x' a = a '+ a O' a x =a' x' +a xo' a y =a' y' a z =a' z'

6 Tasfomazioni di Galilei x = x' +v xo ' t y = y' z = z' Se O si muove lungo l asse x con velocità costante e O coincide con O a t=0: = '+ OO' y y' v x = v' x' +v xo' v y = v' y' v z = v' z' v = v ' + v O' z z O z' O' ' x x' a x = a' x' a y = a' y' a z = a' z' a = a '

7 DINAMICA CAUSE del moto FORZA effetti della foza sul moto MECCANICA CLASSICA Galileo ( ) sistemi macoscopici v << c TRE LEGGI DI NEWTON ( )

8 DINAMICA CAUSE del moto FORZA effetti della foza sul moto MECCANICA CLASSICA Galileo ( ) sistemi macoscopici v << c TRE LEGGI DI NEWTON ( )

9 Le cause del moto: la situazione pima di Galilei e di Newton Ogni elemento ha una sua posizione natuale: la tea e l acqua sotto, l aia e il fuoco sopa. Ogni elemento ceca di aggiungee la sua posizione natuale dopo di che imane in quiete Lo stato natuale dei copi è la quiete Pe fa muovee un copo o pe mantenelo in moto occoe esecitae un azione su di esso! Il moto dei copi celesti ea assicuato da schiee di angeli(o dei) che spingevano i pianeti, il sole (Apollo con il cao) e le stelle nel loo moto attono alla tea.

10 Le cause del moto: la visione attuale La visione attuale è condensata nelle te leggi di Newton. Questi vanno consideati come dei postulati, dei pincipi fondamentali, non dimostabili, fomulati sulla base delle intuizioni di gandi fisici, Galilei, Newton, da cui si possono fa discendee tutte le alte leggi che descivono i fenomeni paticolai. E dunque il confonto delle pevisioni dedotte dai pincipi fondamentali con i isultati di espeimenti che ci pemette di appezzae la coettezza dei postulati iniziali. I legge di Newton II legge di Newton III legge di Newton

11 Dinamica del punto Le leggi del moto di Newton Espimono il legame ta la vaiazione del moto e le sue cause Compensione elementae di foza Definizione opeativa Modello di punto mateiale Inteazione con ambiente vaiazione stato di moto Tipi di foze: contatto distanza campi Le foze sono vettoi

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13 DINAMICA CAUSE del moto FORZA effetti della foza sul moto MECCANICA CLASSICA Galileo ( ) sistemi macoscopici v << c TRE LEGGI DI NEWTON ( )

14 FORZE CONCETTO INTUITIVO spingee un oggetto si esecita una foza sull'oggetto (es: muscolae) tiae una molla attaccata ad un oggetto: la molla applica una foza all'oggetto copo che cade sulla tea: la tea esecita sul copo una. foza di attazione costante

15 FORZE CONCETTO INTUITIVO spingee un oggetto si esecita una foza sull'oggetto (es: muscolae) tiae una molla attaccata ad un oggetto: la molla applica una foza all'oggetto copo che cade sulla tea: la tea esecita sul copo una. foza di attazione costante

16 FORZA GRANDEZZA VETTORIALE foza isultante applicata ad un copo = somma vettoiale delle foze applicate al copo

17 FORZA GRANDEZZA VETTORIALE foza isultante applicata ad un copo = somma vettoiale delle foze applicate al copo

18 Massa L espeienza ci dice che se vogliamo impimee la stessa acceleazione a oggetti divesi, l intensità della foza dovà essee divesa (pe tainae un teno occoe un locomotoe, pe tainae una slitta basta una pesona ). Nomalmente noi associamo all intensità della foza necessaia pe muovee un ceto oggetto la definizione di massa (tanto più l oggetto è massiccio, più foza mi occoe pe spostalo). La massa e una caatteistica intinseca del copo che mette in elazione la foza applicata con l acceleazione che ne isulta L unità di misua SI della massa è il kilogammo (kg)

19 LE LEGGI DELLA DINAMICA I a Legge di Newton (legge di inezia) Ogni copo pesiste nel suo stato di quiete o di moto ettilineo unifome, finchè foze estene ad esso applicate non lo costingono a mutae questo stato. Se la foza isultante applicata ad un oggetto è nulla, il suo moto non subià alcuna vaiazione. Se l'oggetto è femo esso continueà a imanee femo, se è in moto esso continueà a muovesi con velocità costante su di etta.

20 ESPERIMENTI (GALILEO) CONCLUSIONE: non è necessaia la foza pe mantenee la velocità. La foza è necessaia pe mutae la velocità

21 II a Legge di Newton: Lega il moto di un copo alle foze agenti su di esso La foza non equilibata che agisce su di un copo è diettamente popozionale alla acceleazione del copo e ne ha la stessa diezione e veso: F = m a

22 Espeimento : F = cost v cesce nel tempo l = cost a = cost Si ipete l'espeimento con F doppia, tipla ecc. e con l doppio, tiplo ecc. e si veifica che a è doppia, tipla ecc. Quindi che la foza è popozionale all acceleazione e che diezione e veso del vettoe foza è uguale alla diezione e veso del vettoe a Costante di popozionalità F = k a nell'espeimento: - foze divese sullo stesso copo k - espeimenti con copi divesi cambia k cioè: k è caatteistica del copo La costante di popozionalità è chiamata "MASSA" del copo m (massa ineziale)

23 La costante di popozionalità è chiamata "MASSA" del copo m (massa ineziale) m = Quantità di mateia appesenta la capacità che ha il copo di essee messo in movimento (inezia) Se m aumenta, significa che pe avee la stessa acceleazione occoe applicae una foza maggioe. Si può assegnae una massa m (scalae) confontando la sua acceleazione con quella di un alto copo di ifeimento la cui massa si assume come massa unitaia. Le masse sono additive: m = m 1 + m 2 cioè due masse collegate insieme si compotano come una sola massa (somma scalae)

24 LA SECONDA LEGGE DEL MOTO DI NEWTON (Equazione fondamentale della Meccanica Classica) L acceleazione è causata da una o più foze applicate ad un copo: È popozionale in modulo al modulo della isultante delle foze

25 La IIa legge della dinamica contiene la Ia legge come caso paticolae L'equazione vettoiale F ma = appesenta te equazioni scalai

26 1 N: è la foza capace di impimee ad un copo di massa 1 kg l acceleazione di 1 ms -2 1 N = (1 kg) * (1 m s 2 ) = 1kg m s 2 CGS unità di misua della FORZA dina 1 dina: è la foza capace di impimee ad un copo di massa 1 g l acceleazione di 1 cm s 2 1 dina = (1g) * (1 cm s 2 ) = 1 g cm s -2 1N = 1000 g * 100 cm s -2 =10 5 dine DIMENSIONI DELLA FORZA: [F] = M L T -2

27 LA TERZA LEGGE DEL MOTO DI NEWTON (Legge di azione e eazione) Pe ogni azione esiste sempe una eazione uguale ed opposta Le foze agenti su di un copo sono sempe oiginate da alti copi. ogni qualvolta un copo (A) esecita una foza su di un alto copo (B), il copo (B) esecita una foza sul copo (A). Le due foze hanno: Modulo Diezione Veso uguale uguale opposto

28 Una singola foza è solo un aspetto della inteazione ecipoca ta i due copi. Una delle due foze è chiamata "azione" l'alta è chiamata "eazione IMPORTANTE! LE DUE FORZE (AZIONE E REAZIONE) AGISCONO SU CORPI DIVERSI se agisseo sullo stesso copo, non potemmo mai avee un moto acceleato (isultante delle foze = 0 )

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31 LE FORZE FONDAMENTALI DELLA NATURA 1) foza GRAVITAZIONALE 2) foza ELETTROMAGNETICA 3) foza NUCLEARE FORTE 4) foza NUCLEARE DEBOLE 1) e 2) sono all'oigine dei fenomeni che veanno discussi in: MECCANICA, DINAMICA DEI FLUIDI, ONDE, TERMODINAMICA, ELETTRICITÀ, MAGNETISMO, OTTICA. Effetti della 1): MOTO DEI CORPI ASTRONOMICI, PESO DEI CORPI. La foza 2, combinata con le leggi della dinamica atomica (meccanica quantistica), è esponsabile della stuttua degli atomi, delle molecole e dei solidi. 3) e 4) hanno un aggio di azione molto piccolo (minoe del aggio dei nuclei degli atomi m). Esse deteminano la stuttua e la stabilità dei nuclei atomici (p. es.: O 16 stabile, K 40 adioattivo, U 235 disintegabile pe fissione).

32 G = costante gavitazionale = N m 2 kg -2 m 1, m 2 masse gavitazionali La massa gavitazionale (m G ) è divesa dalla massa ineziale (m i ) della IIa legge della dinamica? speimentalmente : m mg i = 1± 10 11

33 G = costante gavitazionale = N m 2 kg -2 m 1, m 2 masse gavitazionali La massa gavitazionale (m G ) è divesa dalla massa ineziale (m i ) della IIa legge della dinamica? speimentalmente : m mg i = 1± 10 11

34 ESEMPIO: ( kg p =chilogammo peso = peso di una massa di 1 kg.)

35 MASSA e PESO la MASSA m di un copo si ifeisce alla sua inezia. il PESO w di un copo è l'espessione della FORZA che la gavità esecita su di esso.

36 MASSA e PESO la MASSA m di un copo si ifeisce alla sua inezia. il PESO w di un copo è l'espessione della FORZA che la gavità esecita su di esso.

37 DINAMOMETRO - BILANCIA

38 APPLICAZIONI DELLE LEGGI DI NEWTON Il caso più semplice: una singola massa su cui agisce una sola foza di cui si conosce intensità, diezione e veso 1 m isolvee l'equazione: a = F(, v, t) genealmente: sistema di più copi che inteagiscono fa di loo. pocedimento: 1) scompoe il sistema in singole pati 2) pe ogni pate disegnae tutte le foze ad essa applicate 3) scegliee un sistema di ifeimento ispetto al quale espimee le componenti delle foze, velocità ed acceleazioni. 4) scivee la seconda legge di Newton pe ogni pate del sistema, scomponendo le foze sugli assi coodinati.

39 LEGGE DI COULOMB Descive la foza elettostatica fa due caiche puntifomi stazionaie. La foza è attattiva se le caiche hanno segno opposto, epulsiva se hanno segno uguale. Il modulo della foza elettostatica fa due caiche sepaate da una distanza è: F = k e q 1 q2 2 Dove k e = 9 * 10 9 N*m 2 C 2 viene detta COSTANTE DI COULOMB (nel vuoto) L unità di caica è detta COULOMB ed è definita in temini dell unità fondamentale della coente (l ampèe) La quantità di caica taspotata dalla coente di 1 ampèe in un secondo attaveso la sezione del conduttoe.

40 Applicazioni delle Leggi di Newton 1. Applicazione della legge di Hooke: il moto amonico 2. Oscillazioni ed onde 3. La statica: studio delle foze nel caso di isultante nulla. 4. Foze di attito statico e dinamico.

41 Il moto oscillatoio La legge di Hooke ci fonisce l andamento della foza di un copo soggetto ad una foza elastica. L equazione del moto si puo oa icavae dalla seconda legge di Newton: F = m a = - k (x-x 0 ). Se pe semplicita poniamo x 0 =0 alloa si ottiene una elazione che collega acceleazione a posizione: a=-k/m x ovveo d 2 x/dt 2 = -k/m x La soluzione di questa equazione e una funzione tigonometica che appesenta una oscillazione: x(t)= Acos(ω t+ϕ) Dove ω 2 = k/m -> ω = vk/m

42 Le popieta delle oscillazioni Data l equazione del moto si possono deteminae alcune popieta del moto oscillatoio: la pulsazione ω ed il peiodo T. Il peiodo T e pai al tempo minimo che impiega l oscillazione a tonae alla stessa posizione. T si icava dalla pulsazione ω tamite la elazione: T= 2π/ω E dunque: T= 2π vm/k Le gandezze A e ϕ che compaiono nella soluzione sono dette ispettivamente ampiezza e fase e dipendono dalle condizioni

43 Le popieta del moto amonico (detto anche oscillatoio ) Data l equazione oaia possiamo espimee velocita ed acceleazione in un moto amonico: x(t) = Acos(ω t+ϕ) v(t) = - ω A sin(ω t+ϕ) a(t) = - ω 2 A cos(ω t+ϕ) Dunque (come ci aspettiamo) vale la elazione: a(t) = - ω 2 x(t) Ovveo l acceleazione e sempe di segno opposto ispetto alla posizione, o piu in geneale allo spostamento.

44 Il moto amonico ed il moto y cicolae unifome R θ = θ(t) = ωt + ϕ θ X=Rcos(θ) x Consideiamo un punto che si muove di moto cicolae unifome su una ciconfeenza di aggio R. Se θ e l angolo fomato con l asse catesiano x alloa la coodinata x del punto mateiale e x=rcos(θ) Se il punto pecoe achi uguali in tempi uguali alloa l angolo fomato con l asse x in un ceto istante e pai a: θ = ωt + ϕ Dove ω e la velocita angolae o pulsazione ed e ipotizzata costante; ϕ e l angolo fomato dal aggio vettoe con l asse x all istante iniziale t=0 ed e detto fase. Vediamo che se poniamo A=R otteniamo pe la coodinata x(x) del moto cicolae unifome popio il moto amonico: x(t) = Rcos(θ) = A cos (ωt + ϕ )

45 Le onde In figua sono mostati gli andamenti della posizione, della velocita e dall acceleazione nel moto amonico, in funzione del tempo. Si osseva che nell istante in cui lo spostamento dalla posizione di equilibio e massimo, la velocita e nulla e l acceleazione e massima in modulo ma di segno opposto ad x. Quando invece la velocita e massima in modulo sia spostamento che acceleazione sono nulle. Lo studio delle onde e impotante peche si puo dimostae che qualunque fenomeno peiodico di puo scompoe in una somma di moti amonici. (Analisi di Fouie)

46 La scomposizione delle Foze Sia pe lo studio della statica che della dinamica di un punto mateiale e impotante sape deteminae quali sono le diezioni piu oppotune pe scompoe le foze che intevengono (e di conseguenza l acceleazione). Spesso le diezioni in cui l analisi del moto e piu semplice sono quelle paallela ed otogonale alla taiettoia. In tal caso non e detto che le diezioni dei vesoi coincidani con quelli degli assi del sistema di ifeimento catesiano.

47 IL moto cicolae e la seconda legge di Newton Nel caso del moto cicolae e evidente l utilita di scompoe le foze secondo le diezioni tangente e 2 adiale. Se il moto e cicolae unifome alloa: F = ma 2 v = m Tale acceleazione e detta centipeta ed e fonita da una foza: ˆ a = v ˆ

48 IL moto cicolae e la seconda legge di Newton Se il moto non e cicolae unifome alloa olte alla foza centipeta si ha l azione della foza tangenziale. La foza centipeta inolte puo non essee costante.

49 Le leggi di Kepleo Lo studio del moto dei pianeti, tamite accuate misue, pemise a Kepleo ta il 1600 ed il 1620 di fomulae le sue te leggi: I legge: I pianeti pecoono obite ellittiche intono al sole che occupa uno dei fuochi dell ellisse. II Legge: La velocità aeale, con cui il aggio vettoe che unisce il sole ad un pianeta descive l obita, e costante. III Legge: Il quadato del peiodo di ivoluzione di ogni pianeta e popozionale al cubo del semiasse maggioe dell ellisse: T 2 = k 3 A patie da tali leggi Newton fu in gado di deteminae la foza che espime l inteazione gavitazionale geneata dalla pesenza di due copi dotati di massa.

50 La Foza Gavitazionale Seguiamo il agionamento di Newton. Se in paticolae l obita è cicolae, alloa il fatto che la velocità aeale è costante (il aggio vettoe spazza aee uguali in tempi uguali) implica che il moto sia cicolae unifome. da/dt = (1/2) 2 dθ/dt = costante= (1/2) 2 ω Alloa l unica acceleazione pesente e una acceleazione centipeta: a c = ω 2 e dunque l unica foza agente e una foza centipeta: F c = m ω 2 Dove ω = 2π/T implica F c = m (2π/T) 2 Utilizzando la teza legge di Kepleo T 2 = k 3 si ottiene F c = m (2π) 2 /k 3 = (4 π 2 /k) m / 2 Ovveo: La foza esecitata dal sole sui pianeti e invesamente popozionale al quadato della distanza.

51 La Foza Gavitazionale Se oa consideiamo il sistema tea-sole alloa possiamo die che la foza che il sole esecita sulla tea è: F st = (4 π 2 /kt) m t / 2 mente la foza che la tea esecita sul sole saà della foma: F ts = (4 π 2 /ks) m s / 2 Applichiamo il pincipio di azione e eazione: le foze devono essee uguali in modulo: (4 π 2 /kt) m t / 2 = (4 π 2 /ks) m s / 2 E dunque: m t /kt = m s /ks oppue m t ks = m s kt =costante Se intoduciamo la costante: G = 4 π 2 /(kt m s ) = 4 π 2 /(ks m t ) Otteniamo il modulo della foza tea-sole: F = G m s m t / 2

52 La Foza Gavitazionale Newton ipotizzò l esistenza di una fomula univesale ed enunciò la seguente legge di Gavitazione Univesale: Ta due masse qualsiasi di dimensioni tascuabili ispetto alla loo distanza, agisce una foza attattiva dietta lungo la etta congiungente le due masse, il cui modulo dipende dal podotto delle due masse ed invesamente al quadato della loo distanza. F 12 = - G m 1 m 2 / 2 1,2 La costante di popozionalità G e detta costante di gavitazione univesale: G = m 3 /kg s 2

53 Il moto dei satelliti Consideiamo un satellite che sia in obita cicolae intono alla tea. Il suo peiodo di otazione attono alla tea si può calcolae in base alla sua distanza dalla tea: F= G mt ms/r 2 = ms ω 2 R Alloa ω 2 = (2π/T) 2 = G mt /R 3 T = 2π v R 3 /(Gmt) Sostituendo i valoi numeici: T = v R 3 s Alla distanza R = km il peiodo è pai a T= 24 h ovveo il satellite è geostazionaio.

54 La legge di Coulomb Analogamente alla foza agente ta due masse la foza agente ta due caiche è invesamente popozionale al quadato della distanza e diettamente popozionale a ciascuna delle caiche. La foza è epulsiva se le due caiche hanno lo stesso segno ed attattiva se le due caiche sono di segno opposto. F c = γ qq/ 2 12 Osseviamo che contaiamente al caso della foza gavitazionale, si può scegliee una unità di misua pe la caica elettica tale che γ =1. [q] 2 = [M][L][T] -2 [L] 2 dunque [q] = [M] 1/2 [L] 3/2 [T] -1 In unità elettostatiche l unità di misua della caica è 1 u.e.s. tale che due caiche unitaie si attaggono dalla distanza di 1 cm con al foza di 1 dine. Nel sistema Intenazionale la caica è consideata una gandezza fondamentale e dunque γ è diveso da 1 ed ha dimensioni fisiche. γ = 1/4πε = Nm 2 /C 2

55 Il Concetto di Campo Sia pe la foza Gavitazionale che pe quella di Coulomb valgono alcune impotanti popietà: 1) Le foze sono godono del pincipio di sovapposizione, ovveo la foza esecitata su un copo da più copi è pai alla somma delle foze esecitate sul copo come ciascuno degli alti copi fosse l unico pesente. 2) Le foze agiscono a distanza 3) In assenza di alti copi si può pensae che il singolo copo genei una defomazione dello spazio, detta campo che pemette di associae ad ogni punto dello spazio una gandezza vettoiale pai alla foza che agiebbe su un secondo copo dotato di massa o caica unitaia. Alloa la foza esecitata dal copo consideato su un alto copo è dato dal podotto del campo (gavitazionale o elettostatico) ispettivamente pe la massa o la caica del secondo copo.

56 FORZE NON FONDAMENTALI ATTRITO Due copi a contatto esecitano una foza uno sull'alto foze di contatto : Esempio: attito adente - volvente ATTRITO RADENTE 1) - Attito statico 2) - Attito cinetico

57 Attito Statico copo appoggiato ad un piano Ts = foza di attito paallela al piano, che si oppone al moto La foza di attito statico cesce al cescee della foza applicata fino ad un valoe massimo olte al quale il copo incomincia a muovesi (veso di Ts, opposto a F)

58 Caatteistiche Della Foza Di Attito Statico 1. è indipendente dall'aea di contatto 2. è popozionale alla foza nomale 3. è paallela al piano si può scivee: T s µ s N il segno uguale vale solo quando T s aggiunge il suo valoe massimo ( ad esempio il coefficiente di attito statico µ s degli sci sulla neve vaia ta (neve bagnata)

59 Attito Cinetico supeato il valoe T s il copo incomincia a muovesi anche nel caso di moto è pesente la foza di attito T k = foza di attito cinetico T k < T M µ k < µ s (µ k = coefficiente di attito cinetico) Riducendo la foza applicata (dopo l'inizio del moto) si può ottenee un moto ettilineo unifome ( T k = F )

60 Caatteistiche della foza di attito cinetico T k = µ k N 1. è indipendente dall'aea di contatto 2. è popozionale alla foza nomale 3. è paallela al piano 4. è quasi indipendente dalla velocità in genee k diminuisce quando aumenta v: µ 3 1 v = m s µ k = acciaio 1 su acciaio v =2.5 m s µ = k

61 MECCANISMO DELL'ATTRITO RADENTE Da un punto di vista micoscopico non esiste una supeficie piana: Le aee di contatto sono idotte L aea complessiva di contatto è popozionale alla foza nomale: defomazione plastica L aea effettiva di contatto imane uguale anche iducendo l aea totale (aumenta la foza nomale pe unità di aea) ATTRITO VOLVENTE Esempio: otolamento di una uota Nota: è minoe di quello adente dipende dall'inveso del aggio

62 LAVORO: Foza costante W = F s = F s cosθ Foza non costante (es. foza che vaia in intensità in funzione della posizione x) Si divide la distanza pecosa x 2 - x 1 in piccoli intevalli uguali x pe cui F~cost in x. Il lavoo in x saà: W = F x Il lavoo totale saà dato da: W = 2 x x 1 Fdx

63 I moti elativi 1. Moti elativi e Sistemi di ifeimento non ineziali 2. Composizione delle velocita 3. Composizione delle acceleazioni 4. Foze appaenti: la foza di tascinamento, la foza centifuga e la foza di Coiolis

64 Moti elativi Le leggi fisiche non dipendono dalla scelta del sistema di ifeimento scelto pe descivee il moto. Lo spazio e omogeneo ed isotopo ovveo non esistono un punto o una diezione pivilegiata dello spazio. Se un moto e descitto in un sistema di ifeimento, alloa lo stesso moto visto da un secondo sistema di ifeimento si ottiene dalla somma del vettoe posizione nel pimo ifeimento piu il vettoe posizione che espime lo spostamento ta i due sistemi di ifeimento. = OO + Con = x i + y j+ z k = x i + y j + z k OO = xo i + yo j+ zo k

65 Composizione delle velocita Supponiamo di tovaci nel sistema di ifeimento Oxyz. I vesoi degli assi pe noi sono fissi. La velocita espessa nel nosto sistema di ifeimento e data da: v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k = d/dt Ma deivando l espessione di vista come la somma del moto del seconso sistema di ifeimento (di O ispetto ad O) e del moto visto dal secondo ifeimento in moto otteniamo: v= dx o /dt i + dy o /dt j + dz o /dt k + + dx /dt i + dy /dt j + dz /dt k + x di /dt + y dj /dt + z d k /dt Dove di /dt = w i dj /dt = w j dk /dt = w k

66 Composizione delle velocita Si ottiene cosi che: v = v 0 + v + w Ovveo la velocita nel sistema fisso v e pai alla somma della velocita misuata nel ifeimento in moto v piu due temini: v t = v - v = v 0 + w v 0 e la velocita dell oigine del ifeimento in moto ed espime la taslazione ta i due ifeimenti w e la velocita dovuta alla otazione del ifeimento in moto ispetto a quello fisso la loo somma v t e detta velocita di tascinamento

67 Composizione delle acceleazioni Analogamente si puo deivae ciascuno dei temini che espime la velocita nel sistema fisso ispetto a quella nel sistema in moto. Si ottiene pe le acceleazioni : a a = a 0 + a + w (w ) + d w/dt + 2 w v e l acceleazione nel ifeimento fisso a e l acceleazione nel ifeimento in moto a 0 w (w ) e l acceleazione dell oigine del ifeimento in moto ed espime la taslazione del ifeimento in moto ha come modulo ω 2 ed e l acceleazione centipeta del ifeimento in moto. d w/dt e l acceleazione dovuta alla vaiazione di velocita angolae 2 w v e detta acceleazione di Coiolis e dipende dalla velocita nel ifeimento in moto.

68 Composizione delle acceleazioni Se il ifeimento in moto si muove di moto ettilineo unifome: w = 0 e a 0 = 0 ed alloa a = a Se il ifeimento in moto e unifomemente acceleato : w = 0 a 0 0 a = a 0 + a Se il ifeimento in moto e in otazione a velocita angolae costante : w 0 a 0 = 0 ma d w/dt = 0 a = a + w (w ) + 2 w v dove l acceleazione di Coiolis appae solo se il punto mateiale e in moto nel ifeimento otante. Osseviamo che solo nel pimo caso l acceleazione e la stessa. Poiche le foze applicate ad un copo non dipendono dal ifeimento scelto pe descivee il moto alloa non puo valee la seconda legge di newton nel ifeimento acceleato ed in quello fisso. F = ma ma

69 Sistemi non ineziali Un ifeimento che si muove di moto acceleato ispetto ad un ifeimento ineziale e detto non ineziale. Applicando la seconda legge di Newton nel ifeimento ineziale ed utilizzando il teoema pe la composizione delle acceleazioni si ottiene: F = ma =ma +ma 0 + mw (w ) + mdw/dt + m2w v Che si puo iscivee: F - ma 0 -mw (w ) - mdw/dt - m2w v = ma Possiamo alloa intodue le definizioni: F t = - ma 0 F c = -mw (w ) di modulo m w 2 detta foza centifuga F co = - m2w v detta foza di Coiolis F a = - mdw/dt La loo somma e detta foza di tascinamento.

70 Foze appaenti In un ifeimento in moto si puo scivee alloa che: F + F t + F c + F co + F a = ma Pe pote applicae la seconda legge di Newton utilizzando l acceleazione misuata nel ifeimento non ineziale a, bisogna intodue delle foze che hanno oigine dall acceleazione del ifeimento in moto e che devono essee sommate alle foze effettivamente agenti. Tali foze sono dette foze di tascinamento o foze appaenti. Esse deteminano una acceleazione nel ifeimento acceleato anche in assenza di foze ealmente applicate al copo.

71 Il lavoo W è nullo se: La foza è nulla: F = 0 La paticella non si muove: s = 0 La foza è pependicolae allo spostamento: θ = π/2 cos θ = 0 Sistema SI cgs Unità di misua Newton * meto (N * m) Dina * centimeto (dyn * cm) Nome dell unità di misua deivata Joule (J) eg

72 POTENZA Si considea il tempo in cui il lavoo viene fatto. Potenza media: lavoo W diviso l'intevallo di tempo t in cui tale lavoo viene fatto P = W t Potenza istantanea: P = dw dt = F ds dt = F v Nel S. I. l unità di misua della potenza è il watt (W): W = J / s Un kilowattoa (kwh) è, invece, l unità di enegia in temini di potenza: Enegia convetita o consumata in un h con una apidità costante di 1 kw = 1000J / s ( 3 )( 3 ) 6 10 J/ s s 3. 6x10 J 3 1 kwh = ( 10 W)( 3600s) = =

73 ENERGIA CINETICA L'enegia cinetica è una misua del lavoo che un oggetto può compiee in vitù del suo movimento K = 1 mv 2 2 TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA Il lavoo compiuto dalla isultante delle foze applicate ad un oggetto è uguale alla vaiazione di enegia cinetica dell'oggetto W tot = K f K i = K

74 Una foza è consevativa se l'enegia cinetica di un oggetto su cui essa agisce tona ad assumee il suo valoe iniziale dopo un qualsiasi pecoso chiuso. Esempio: Molla (Analogamente il moto su di un piano inclinato.)

75 ENERGIA POTENZIALE CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA Foza consevativa: il lavoo che tale foza compie, quando l'oggetto a cui è applicata si muove su un pecoso chiuso, è zeo. Il lavoo ta A e B non dipende dal pecoso dell'oggetto. Il lavoo fatto da una foza consevativa dipende solo dalla posizione iniziale e finale dell'oggetto. Esempio: (moto ad una dimensione) se la foza dipende solo dalla posizione (x), è consevativa.

76 Esempio: Piano inclinato (calcolo del lavoo lungo un pecoso chiuso) Foza peso

77 Foza non consevativa (es. attito) L ABA 0 dipende dal pecoso non ipassa con la stessa K Foza di attito

78 Enegia Potenziale Il lavoo compiuto dalla foza di gavità quando un oggetto passa dall'altezza y a quella di ifeimento y=0 dipende solo dalla altezza iniziale e finale. È peció utile definie l'enegia potenziale (di posizione) U = m g y Analogamente, pe la foza consevativa della molla elastica che agisce sulla massa m, si può definie una enegia potenziale (di posizione)

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80 L`Enegia potenziale: a) dipende solo dalla posizione (è definita a meno di una costante additiva abitaia) b) costituisce una foma di enegia immagazzinata dal sistema ch e può totalmente essee ecupeata e tasfomata in enegia cinetica. c) c'è solo in caso di foze consevative, in quanto l'enegia cinetica deve ipendee il valoe iniziale quando il sistema ha ipeso la configuazione iniziale. Pe qualsiasi foza consevativa si può definie una Enegia Potenziale (gavitazionale, elettica, elastica,... ) d) ha senso palae di vaiazione di U (cioè U) Scelto un ifeimento in cui si assegna un deteminato valoe di U 0, alloa si può dae significato ad U in ogni posizione. e) In geneale è conveniente attibuie il valoe di U 0 =0 nel ifeimento scelto dove: v F = 0

81 PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA Se F consevativa è la isultante delle foze alloa vale il Teoema dell'enegia Cinetica U 0 U = K K 0 Quando la isultante delle foze è consevativa, la somma dell'enegia Cinetica e dell'enegia Potenziale (E) è costante duante il moto. K 0 + U 0 = K + U = E = cost

82 K 1 2 ( x, y, z) = = cost + U = mv + U E 2 dove U in geneale è funzione del punto P. Foze consevative E costante duante il moto m v1 + U1 = m v 2 + U =... non compae l'acceleazione ma solo velocità e posizione. È utile nella tattazione e soluzione di molti poblemi peché è indipendente dal moto, ma dipende solo da posizione iniziale e finale (non è necessaio utilizzae la legge di Newton).

83 CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA TOTALE L'enegia può tasfomasi nelle vaie fome, ma non può essee né ceata né distutta: l'enegia totale è costante. Fome di enegia meccanica temica elettomagnetica ecc. Tipi di foze consevative foze di attito foze non consevative (non di attito) Si può scivee: K + U + U int + (alte fome di enegia) = 0