Cinematica - M. Scarselli Corso di Fisica I 1

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1 Il moto cicolae unifome Ta i ai moti che si solgono nel piano, il moto cicolae unifome ieste un impotanza paticolae. Esempi: il moto dei pianeti intono al sole il moto di un elettone nell atomo il moto di una giosta il moto di un automobile che affonta una cua ecc. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 1

2 Ciconfeenza e il adiante Ciconfeenza di aggio B s A AB è un aco della ciconfeenza (s) = angolo al cento misuato in adianti AB s Se misuiamo l angolo in adianti, la lunghezza dell aco s è uguale al podotto dell angolo (in adianti) pe il aggio. Un angolo gio è uguale a 360 e la lunghezza dell aco coispondente è uguale alla lunghezza della ciconfeenza l π ad : 360 = ad : gadi Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I

3 Nel moto cicolae unifome il p.m. si muoe con elocità di modulo costante su una supeficie piana e lungo una taiettoia cicolae. t = tempo pe pecoee un quato di ciconfeenza (AP) A A t = tempo pe pecoee metà ciconfeenza (AP) Quindi Il p.m. pecoe achi di ciconfeenza uguali in tempi uguali. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 3

4 Ad un ceto t il p.m. si toeà nel punto geneico (t) s(t) P Pe t=0 il p.m. P si toa nel punto di patenza (oigine) del moto Ed aà pecoso un aco di ciconfeenza s che è legata all angolo al cento dalla elazione: s(t) (t) Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 4

5 1 s(t) Δθ Consideiamo due posizioni angolai ( 1 e ) coispondenti a due istanti successii (t 1 e t ). Lo spostamento angolae () saà: θ θ 1 spostamento angolae ω m Δθ Δt Il appoto ta e l inteallo di tempo t impiegato a compiee tale spostamento consentono di definie una elocità angolae media come segue: elocità angolae media La elocità angolae espime la apidità con cui il aggio, che collega il cento della ciconfeenza al copo, descie l angolo al cento coispondente all aco di ciconfeenza pecoso dal copo. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 5

6 La elocità angolae mediaa è definita come il appoto nel tempo t La elocità angolae istantanea è definita come il limite pe t0 ω ω m Δθ Δt lim Δt 0 Δθ Δt dθ Poiché nel moto cicolae unifome, la elocità angolae media ( m ) assume aloi costanti, si ha che essa coincide con la elocità angolae istantanea. Unità di misua []= ad/s Essendo il adiante un numeo puo, la dimensione della elocità angolae è misuata in s -1. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 6

7 OSSERVAZIONE: Un copo che si muoe di moto cicolae unifome pecoe achi uguali in intealli di tempo uguali, e quindi il aggio che passa pe esso descie angoli al cento uguali in intealli di tempo uguali. ω m Δθ Δt Petanto il modulo della elocità angolae è costante Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 7

8 La elocità angolae istantanea è definita come il limite pe t0 ω lim Δt 0 Δθ Δt dθ Se si tiene conto della elazione: s(t) (t) ω dθ 1 ds(t) è popozionale alla elocità con cui è descitta la ciconfeenza Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 8

9 Popietà della elocità Se il p.m. si muoe lungo una ciconfeenza, la sua elocità è appesentata da un ettoe tangente alla ciconfeenza. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 9

10 Velocità angolae e tangenziale Dalla figua si ossea che copi che desciono angoli al cento uguali in intealli di tempo uguali hanno la stessa elocità angolae, ma pecoono achi di ciconfeenza diesi a seconda della loo distanza dal cento della ciconfeenza, e quindi hanno elocità tangenziali diese. ω Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 10

11 Moto cicolae unifome Nel moto cicolae unifome il p.m. si muoe su una ciconfeenza con elocità di MODULO costante => pecoe achi uguali in tempi uguali Rifeimento Oxy La posizione del punto P in funzione di P x p = cos = cos(t) y p = sin = sin(t) legge oaia del moto taiettoia: ciconfeenza Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 11

12 La elocità 1) tangente alla taiettoia quindi alla ciconfeenza ) pependicolae al aggio 3) è dietta nello stesso eso del moto (antioaio in figua) elocità = legge oaia x P = cos = cos(t) y P = sin = sin(t) yp xp = - cos (/-)= -(sin)= - sin(t) xp yp = cos= cos= cos(t) Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 1

13 La elocità 1) tangente alla taiettoia quindi alla ciconfeenza ) pependicolae al aggio 3) è dietta nello stesso eso del moto (antioaio in figua) elocità = x P = xp = - sin(t) y P = yp = cos (t) modulo di x ω sin y ωt cos ω ωt sin ωt cos ω è COSTANTE Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 13 ω ωt modulo di

14 elocità x P = xp = - sin(t) y P = yp = cos (t) modulo = La elocità esta costante in modulo ma cambia costantemente diezione? Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 14

15 Consideiamo due istanti 1 successii t 1 (p.m. in A) e t (p.m. in B), cui sono associati i ettoi elocità 1 e. Il ettoe aiazione di elocità = - 1 Dalla appesentazione gafica si ossea che il ettoe è dietto eso l inteno della ciconfeenza. t t 1 a m t1 Posso definie un ettoe acceleazione media a m e osseo che è dietto eso l inteno della ciconfeenza. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 15

16 Acceleazione istantanea y (t+t) B (t+t) (t+t) (t) (t) (t) A x Il p.m. si toa in A all istante t e poi in B all istante t+t. Pe la deteminazione dell acceleazione istantanea, occoe consideae due istanti t 1 e t 1, sempe più icini e fa tendee a zeo l inteallo di tempo t 0 Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 16

17 (t+t) y (t+t) B (t+t) (t) (t) (t) A x Se il modulo del ettoe esta costante nel passae dal punto A a B, alloa cambieà solo la diezione e quindi l angolo iniziale passeà dal aloe +, quindi la aiazione dell angolo saà. A paità di tempo t si può die che e uotano dello stesso angolo. a lim Δt 0 Δ Δt d Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 17

18 Pe la deteminazione del modulo dell acceleazione istantanea, consideiamo i due tiangoli [OAB] e [ 1,,]. I due tiangoli [] sono simili e sono isosceli con lati uguali: OA= OB= e 1 = = ispettiamente. Pe similitudine: s:= : da cui = (s )/ Diidendo entambi pe t si ha: /t= (s/t) ()/ Quando t0 * il segmento s tende ad assumee la misua dell aco AB ** e quindi il modulo della elocità tende al aloe = (s/t) *** il appoto /t appesenta l acceleazione centipeta istantanea a i Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 18

19 Sostituendo nella elazione icaata a i =/t= (s/t) ()/ si ha: a i lim t0 t lim t0 s t lim t0 ds Poiché la elazione dipende soltanto dalle gandezze costanti modulo della elocità e aggio l acceleazione istantanea ha modulo costante. Inolte, essendo la elazione indipendente dall inteallo di tempo t, essa coincide, in modulo, con l acceleazione media. a c a i a m Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 19

20 elocità x p = xp = - sin(t) y p = yp = cost acceleazione x p = a xp = - cos(t) = - x p y p = a yp = - sin (t) = - y p a a x a y ω 4 cos ωt ω 4 sin ωt ω cos ωt sin ωt ω modulo a = = / Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 0

21 x p = a xp = - cos(t) = - x p y p = a yp = - sin (t) = - y p a = = / a(t) - ˆ diezione a ha la diezione del aggio ed è oientata eso il cento della ciconfeenza (taiettoia). a è pependicolae a unità di misua [a]=m/s Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 1

22 moto cicolae unifome: moto peiodico moto peiodico Il p.m. pe ceti aloi definiti del tempo si toa a passae pe una stessa posizione con le medesime caatteistiche cinematiche cioè: stessa elocità, acceleazione. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I

23 Si può calcolae il tempo necessaio a pecoee una ciconfeenza e quindi affinchè il p.m. ipassi pe la posizione di patenza questo coisponde ad ae pecoso uno spazio di s= π oppue un angolo di = θ ωt t indichiamo con T il tempo necessaio a pecoee una ciconfeenza T T Definiamo T peiodo di ioluzione o peiodo del moto. T π Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 3 π ω

24 Moto peiodico +x m -x m La funzione tigonometica (es. seno o coseno) è peiodica ispetto al suo agomento che dipende dal lineamente dal tempo t petanto anche la legge oaia saà peiodica in t. Esempio: La funzione x(t) assume lo stesso aloe, ogni olta che l agomento aia di coispondente ad un inteallo di tempo T. T = [T] = ad ad/s = s unità di misua del peiodo è il s Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 4

25 Si definisce fequenza (indicata con la lettea f o anche ) il numeo di gii compiuto in un secondo. Se conosciamo il peiodo di un moto, possiamo calcolae la fequenza semplicemente applicando la fomula: f 1 T L unità di misua della fequenza nel S.I. è [] o [f] = [L 0 M 0 T -1 ]= s -1 s -1 è l Hetz ed il suo simbolo è Hz 1 Hz = 1 gio al secondo Un punto mateiale ha la fequenza di 1Hz se compie un gio completo della ciconfeenza in un secondo. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 5

26 Caatteistiche ettoiali di Se intoduciamo il ettoe elocità angolae. Definito come il ettoe che ha modulo, diezione coincidente con l asse di otazione e eso tale da edee la otazione pocedee in senso antioaio. (t) = t d ω x O Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 6

27 Relazione ta,a, e Ricodando la definizione di podotto ettoiale, se è il ettoe elocità angolae e il ettoe elocità tangenziale, l acceleazione centipeta in un qualunque punto P della taiettoia cicolae è espessa, in modulo, diezione e eso, dal podotto ettoiale: ω x a c del esto ale anche la elazione : = x Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 7

28 Caatteistiche ettoiali di Il ettoe elocità angolae è definito come il ettoe che ha modulo, diezione coincidente con l asse di otazione e eso tale da edee la otazione pocedee in senso antioaio. (t) = t d ω x O a(t) d(t) d d d Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 8

29 a(t) se poniamo d(t) d d d la aiazione nel tempo di d alloa possiamo definie l acceleazione a in funzione di e di a(t) O è l acceleazione tangenziale a T di modulo è l acceleazione nomale o centipeta a N di modulo Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 9

30 a(t) d(t) d d d Nel caso in cui il ettoe ha modulo costante si ha: a d ω O Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 30

31 d a d d d è il ettoe acceleazione angolae d Dal momento che il ettoe può aiae solo pependicolamente al piano della ciconfeenza, anche saà disposto nella stessa diezione di. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 31

32 Se aumenta, ha lo stesso eso di altimenti aà eso opposto. Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 3

33 a d d x x x x x x a a c N è l acceleazione centipeta o nomale di modulo a T x è un acceleazione dietta come il ettoe elocità, e quindi è popio l acceleazione tangenziale a T. di modulo a T = Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 33

34 Il ettoe acceleazione è quindi espesso dalla elazione: a a a T N Nel moto cicolae unifome è un ettoe costante anche in modulo e quindi = 0 è nulla e quindi a a N Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 34

35 Nel moto cicolae unifome algono le seguenti leggi oaie: s(t) s θ(t) a a N θ 0 0 t ωt s θ s θ 0 0 pe t 0 pe t 0 Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 35

36 Cinematica - M. Scaselli Coso di Fisica I 36 Moto cicolae unifomemente acceleato E un caso paticolae di moto cicolae non unifome in cui: = costante costan te a T In analogia alle leggi del moto ettilineo unifomemente acceleato a ) ( t x t 1 t