Elementi della teoria della diffusione

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1 Elementi della teoia della diffusione Pe ottenee infomazioni sulla stuttua della mateia, dai nuclei ai solidi, si studia la diffusione scatteing) di paticelle: elettoni, paticelle alfa, potoni, neutoni, fotoni, ecc.. Dallo studio della diffusione di paticelle alfa, emesse da sostanze adioattive, su un besaglio di oo Ruthefod fu in gado di scatae il modello atomico di Thompson nucleo costituito da una distibuzione estesa di caica positiva Ze contenente all inteno Z elettoni puntifomi) e di popoe il cosidetto modello planetaio dell atomo in cui la caica positiva è concentata all oigine e gli elettoni uotano intono. Uno studio igooso dovebbe consideae il pacchetto d onda, descivente la paticella incidente, di dimensioni finite e gandi ispetto alle dimensione della zona in cui gli effetti del inteazione con il besaglio sono ilevanti, ma piccole ispetto alle alte dimensioni spaziale es. la distanza ta besaglio e ivelatoe). Pe semplicità studiamo la diffusione consideando gli autostati dell equazione di Schödinge pe il potenziale centale V ), limitandoci solo a qualche ossevazione sulla tattazione in temini di pacchetti d onda. Consideiamo solo la diffusione da potenziale centale V ) con la condizione all infinito V ) ε ε > ) Inolte ichiediamo che l eventuale singolaità di V ) all oigine sia del tipo V ) +ε ε > ) Abbiamo già visto nello studio degli stati legati dell atomo di idogeno come un pocesso di inteazione a due copi, quindi descitto da un potenziale V dove i denota la posizione della i ma paticella di massa m i i =, ) puó essee icondotto allo studio di una paticella di massa idotta m m = m + m 3) in pesenza di un potenziale centale V ) con =. Sezione d uto di diffusione La sezione d uto diffeenziale denotata con dσ/dω σω) σθ, φ)) è definita come il numeo di paticelle diffuse, pe unità di tempo, nell elemento di angolo solido dω = sin θdθdφ nella diezione θ, φ) diviso pe il numeo di paticelle incidenti, pe unità di tempo, N in ) pe cm dσ dω = dnω) N in dω 4) dove dnω) indica il numeo di paticelle diffuse nell elemento di angolo solido dω. La sezione d uto totale si ottiene integando la sezione d uto diffeenziale su tutto l angolo solido dσ π π σ tot = dω dω = σθ, φ) sin θdθdφ 5) La sezione d uto ha le dimensioni di una supeficie e l unità di misua usata è il ban ban = 4 cm 6)

2 La sezione d uto diffeenziale dipende dal sistema di ifeimento in cui si considea il pocesso di diffusione. Di solito si usano il sistema del laboatoio, σ LAB Ω), in cui la paticella besaglio è supposta inizialmente fema. ed il sistema del cento massa, σ CM Ω ), in cui la quantità di moto totale è nulla. La elazione ta le due sezioni d uto è data da dω [ dω = σ LAB Ω) = σ CM Ω ) dω dω + τ cos θ + τ cos θ + τ ) 3/ Si assume che le seguenti condizioni sono soddisfatte:. Le paticelle del fascio non inteagiscono ta di loo fasci non intensi). 7) ] τ = m m 8). Nella definizione della sezione d uto abbiamo implicitamente fatto l ipotesi che una paticella incidente sia diffusa da un solo cento diffusoe. Questo ichiede che la distanza ta i centi diffusoi sia maggioe del aggio in cui gli effetti del cento diffusoe sulle paticelle incidenti sono sensibili e che il besaglio sia sottile, in modo che la diffusione multipla sia tascuabile. 3. Consideiamo uti elastici che implica consevazione dell enegia cinetica della paticella incidente, quindi la collisione non eccita livelli inteni nel besaglio. Comunque il concetto di sezione d uto non è limitato al coso di uti elastici. 4. La sogente del fascio incidente ed i ivelatoi siano poste a distanza tali che le paticelle possono essee consideate libee al momento dell emissione e della ivelazione. 5. Le paticelle incidenti e le paticelle del besaglio non hanno spin. Questa ipotesi semplifica la tattazione, ma non implica che lo spin non sia impotante nei pocessi di diffusione. 6. Gli effetti di coeenza ta le onde delle diffeenti paticelle diffuse sono tascuabili, quindi non consideiamo tutta una classe di fenomeni impotanti, quali, pe esempio, la diffusione di aggi X da cistalli diffazione di Bagg). Onde di diffusione stazionaie Consideiamo una paticella incidente di massa idotta) m, enegia cinetica E > ed impulso p = h k. La sezione d uto diffeenziale puó essee calcolata in funzione delle soluzioni ψ k ) dell equazione stazionaia di Schödinge [ ] p H ψ k ) = m + V ) ψ k ) = E ψ k ) 9) il cui compotamento all infinito all infinito è della foma ψ k ) e i k + f k Ω) eik Non cecheemo di dimostae la foma dell eq.), che chiameemo onda stazionaia di diffusione, ma daemo solo degli agomenti di plausibilità pe la foma scelta. Pe giustificae l eq.), notiamo che: )

3 si ha denota il laplaciano) ) [ + k ] eik = ) Siccome la diffusione è in geneale anisotopa moltiplichiamo il temine e ik / pe una funzione dell angolo f k Ω) = f k θ, φ). L eq.) diventa [ + k ] f k θ, φ) eik Ricodiamo che in coodinate sfeiche il laplaciano si scive = ) + sin θ = + O/ 3 ) ) sin θ ) + θ θ sin θ ϕ 3) pe l ipotesi fatta sull andamento del potenziale all infinito, l eq.9), pe molto gande, si scive [ + k ] ψ k ) = 4) Quindi l espessione scitta nell eq.) soddisfa asintoticamente l eq.9). Nell eq.) appaiono due temini: il pimo puó essee intepetato come l onda piana incidente ed il secondo appesenta un onda sfeica di densità f k Ω) / avente oigine all oigine. Dalla definizione geneale di coente di Schödinge Im denota la pate immaginaia) j = h im ψ ψ ψ ψ ) = h m Imψ ψ) 5) la coente incidente j in è data da, sostituendo nella definizione eq.5) il pimo temine dell eq.), j in = h im Ψ Ψ Ψ Ψ ) = h im e i k e i k e i k e i k ) = h k m dove Ψ è la soluzione dell equazione di Schödinge libea ed è intepetabile come un fascio di paticelle incidente di impulso h k e di densità. NOTA - Abbiamo usato ψ ) = e i k ma in effetti Ψ andebbe appesentata da un pacchetto d onda nomalizzato Ψ ) = con a k ) centata intono al valoe k = k. π) 3/ 3 6) 7) d 3 k e i k a k ) 8)

4 La densità di coente dell onda diffusa j nella diezione e, che si calcola inseendo nella definizione eq.5) il secondo temine dell eq.), è j = h m Im f k e ik = hk m f k Ω) ) f k eik 9) ed è intepetabile come il fascio di paticelle diffuse adialmente. In accodo con questa intepetazione, espimendo la sezione d uto diffeenziale in temini della densità di coente di Schödinge si ha, essendo il numeo di paticelle incidenti pe unità di tempo flusso incidente) N in = j in e k ) ed il numeo di paticelle ilevate nell unità di tempo nella supeficie infinitesima ds = dω nella diezione Ω dnω) = j dω ) dσ dω = σω) = f kω) ) fω) è chiamata ampiezza di diffusione. Calcolando la coente della funzione d onda eq.), olte a i due temini j in e j, appae un temine di intefeenza ta il e i k ) ed il temine f k Ω) e ik /). Abbiamo tascuato questo temine pechè nella tattazione con il pacchetto d onda le espessioni coispondenti al pacchetto incidente ed al pacchetto diffuso ilevato sono non nulle in egioni spaziali divese, se consideiamo i ivelatoi posti in una diezione con θ >. Sebbene il secondo temine dell eq.) dipenda anche da θ, φ), non abbiamo peso in conto le componenti della coente neile diezioni e θ e e φ pechè sono tascuabili ispetto a j, nel limite. Infatti si ha, essendo ) θ = θ ) φ = sin θ φ 3) j θ = hk m j φ = hk m Im 3 3 sin θ Im f k θ, φ) θ f kθ, φ) ) fk θ, φ) ) φ f kθ, φ) 4) 4

5 3 Decomposizione in onde paziali Nel seguito supponiamo che il fascio incidente sia dietto lungo l asse z, quindi k = k cos θ. Con questa ipotesi, essendo il potenziale centale, il poblema della diffusione diventa un poblema a simmetia cilindica lungo l asse z) e quindi possiamo eliminae la dipendenza dall angolo φ. Quindi l ampiezza di diffusione dipende solo dall angolo θ e da k. Nel seguito non sciviamo esplicitamente la dipendenza da k o da k in quanto consideiamo pocessi di diffusione ad enegia fissata. Pe la completezza dei polinomi di Legende si ha fθ) = l= f l P l cos θ) 5) Utilizzando lo sviluppo di un onda piana in amoniche sfeiche, che, pe la configuazione scelta, è uno sviluppo in temini dei polinomi di Legende, vedi Appendice A, l eq.) si scive e i k = e ik cos θ = e ikz = l + ) i l j l k) P l cos θ) 6) l= ψ ) l + ) i l e ik ) j l k) + f l P l cos θ) 7) l= Inseendo nell eq.7) lo sviluppo asintotico delle funzioni di Bessel j l k) j l k) k dove abbiamo usato si ha ψ ) l sink lπ/) k = eik lπ/) e ik lπ/) ik = i)l e ik i) l e ik ik 8) e ±ilπ/ = ±i) l 9) [ ) ] l+ l + l + ) ik e ik + ik + f l e ik P l cos θ) 3) Con la scelta degli assi fatti, possiamo scivee ψ ) = ψ, θ) ed, espandendo in seie di polinomi di Legende y l ) ψ, θ) = P l cos θ) 3) l= dove y l ) sono le soluzioni che si annullano all oigine y l = ) = ) dell equazione adiale di Schödinge [ )] d d + ll + ) ε U) y l ) = 3) con ε = m h E m U) = V ) 33) h Pe l eq.3) si iduce [ ] d d + k y l ) = 34) 5

6 La soluzione geneale dell eq.34) è y l ) = a l sink β l ) 35) Siccome il compotamento asintotico della soluzione dell eq.3) pe la paticella libea è espimibile in temini della funzione di Bessel conviene iscivee l eq.59) nella foma j l k) sink lπ/) k y l ) = a l sink lπ/+δ l ) = a l e ik lπ/+δ l) e ik lπ/+δ l)) i = a l i) l e ik+iδ l i) l e ik δ l i dove δ l, chiamato sfasamento nell onda di momento angolae l, ha la popietà:δ l se V ) =. La conoscenza degli sfasamenti pemette di calcolae l ampiezza di diffusione. Infatti, inseendo l eq.37) nell eq.3), dal confonto con l eq.3) si deduce 36) 37) a l = i) l l + e iδ l k f l = l + e iδ l sin δ l 38) k L eq.38), coispondente al coefficiente di e ik ell eq.3), si deiva utilizzando la pima espessione dell eq.38) l + ik + f l = i)l a l e δl) f l = l + i ik eiδ l ) 39) Sostituendo l eq.38) questa espessione nell eq.5) si ottiene fθ) = k l + ) e iδ l sin δ l P l cos θ) = a l i) l P l cos θ) 4) l= l= La sezione d uto diffeenziale si tova, vedi eq.), calcolando il modulo quado di fθ) data dall eq.4) dσ dω = l + )l + ) e iδ l e iδ l sin δ k l sin δ l P l cos θ) P l cos θ) 4) l,l Integando sull angolo solido, usando le elazioni di otonomalità dei Polinomi di Legende, eq.54) pe la sezione d uto totale si ottiene la seguente espessione σ tot = 4π k l + ) sin δ l = σ l 4) l= l= dove σ l = 4π k l + ) sin δ l 43) appesenta il contibuto alla sezione d uto dell onda di momento angolae l sin δ l σ l 4π l + ) 44) k 6

7 Il valoe massimo di σ l si ha pe δ l = n + )π sin δ l = 45) Nell eq.4) la sezione d uto totale è espessa come una somma infinita di sezioni d uto paziali σ l. In patica la seie si puó limitae ad una somma su un numeo finito di l pechè le onde paziali con alti valoi di l non contibuiscono alla sezione di diffusione non isentendo degli effetti del potenziale. Questo si deduce dall andamento nelle vicinanze dell oigine, =, della densità di pobabilità adiale, data pe il modulo quado della pate adiale della funzione di momento angolae l, cioè j l k). In effetti il compotamento all oigine della funzione di Bessel è n+)!! = n+)) j l ρ) ρ ρ l l + )!! j l k) k) l l + )!! 46) quindi la pobabilità vicino all oigine decesce al cescee di l. Tale effetto è la taduzione quantistico di un analogo effetto classico. Infatti, se si considea la diffusione classica di una paticella di impulso p e paameto d impatto b il paameto d impatto è la distanza minima della paticella incidente dal cento diffusoe), la paticella ha momento angolae l = pb. Al cescee del momento angolae la paticella si tovano ad una distanza b dal cento diffusoe e, quindi, isente di meno o pe niente dell effetto dell inteazione. Dall eq.4) possiamo dedue l andamento in θ della sezione d uto diffenziale tipico dell onda paziale che domina il pocesso di diffusione. In tal modo si puó fittae la sezione d uto speimentale in funzione di un numeo finito di paameti. Si ha Se il pocesso di diffusione è dominato dal temine con l = onda S), cioè f l =, l, quindi la sezione d uto non dipende da θ, cioè è isotopa, dσ dω = k sin δ 47) Se il pocesso di diffusione è dominato dal temine con l = onda P), cioè f l =, l, quindi la sezione d uto dipende dal quadato di θ. dσ dω = 9 k sin δ cos θ 48) Se il pocesso di diffusione è dominato dal temine con l =, onda S e P), cioè f l =, l., dσ dω = k A + B cos θ + C cos θ) A = sin δ B = 6 sin δ sin δ cosδ δ ) C = 9 sin δ 49) Se δ, sviluppando in seie cos δ e sin δ a meno di temini in δ si ha dσ dω k sin δ + 3δ sin δ cos θ) 5) 7

8 4 Rappesentazione integale degli sfasamenti Consideiamo l equazione adiale di Schödinge pe due potenziali divesi V ) e V ) elativi a paticella di stessa enegia [ )] d d + ll + ) ε U ) y,l ) = 5) [ d d + ε U ) )] ll + ) y,l ) = 5) Moltiplichiamo l eq.5) l eq.5)) pe y,l ) ispettivamente pe y,l )) e sottaendo la seconda equazione dalla pima, si ha, denotando con l apice la deivata ispetto a : d d [y,l)y,l ) y,l ) y,l )] = y,l ) U ) U )) y,l ) 53) Integando il lato sinisto dell eq.53) ta e ed usando la condizione y i,l = ) =, i =,, condizione che deve essee soddisfatta in quanto le y i,l ) sono soluzioni dell equazione adiale di Schödinge, e il compotamento asintotico delle funzioni y,l ) e y,l ), vedi eq.35), si ottiene d d [y,l)y,l ) y,l ) y,l )] d = y,l )y,l ) y,l ) y,l )] = lim R k [sinkr l/π + δ,l ) coskr l/π + δ,l ) coskr l/π + δ,l ) sinkr l/π + δ,l )] = lim R k sinkr l/π kr + l/π + δ,l δ,l ) = k sin δ,l δ,l ) 54) Integando il lato desto dell eq.53) ed uguagliando all eq.54) si ottiene sin δ,l δ,l ) = k y,l ) U ) U )) y,l ) d 55) Questa equazione vale qualunque siano i potenziali V ) e V ), puchè soddisfino le condizioni eq.) ed eq.). In paticolae se V ) =, quindi δ,l = e y,l ) = kj l k), l eq.55) si ottiene l equazione integale pe lo sfasamento sin δ l = j l k)u)y,l ) d 56) Se assumiamo che U ) U ) = U) sia piccolo = δ,l δ,l = δ l << ) e y,l ) y,l ) = y l ), sviluppando sin δ,l δ,l ) in seie, l eq.55) diventa δ l = k U)y l ) d 57) Se U) ha lo stesso segno pe tutto i valoi di ne segue che la vaiazione δ l ha il segno opposto. Questo ci pemette di imuovee l ambiguità nella definizione di δ l che, come ogni fase, è definita a meno di πn. Infatti facendo vaiae U) con continuità da ad un valoe U) δ l vaia da ad un ceto valoe δ l. Inolte se U) è epulsivo attattivo) pe ogni valoe di deduciamo che δ l è, ispettivamente, negativo e positivo. L espessione in paentesi quada viene chiamata il Wonskiano di y,l ), y,l ) ed è, di solito, denotata come W y.l ), y,l )). 8

9 5 Diffusione da potenziale a ange finito Studiamo in dettaglio il caso di diffusione da potenziale V ) a ange finito V ) a V ) = > a 58) In questo caso l equazione adiale di Schödinge eq.3) si scive L eq.6) ammette come soluzione [ )] d d + k ll + ) U) y l ) = a 59) [ )] d d + k ll + ) y l ) = > a 6) y l k) = B l k j l k) + C l k n l k) 6) dove j l k) e n l k) denotano ispettivamente le funzioni di Bessel di pimo e secondo tipo funzioni di Neumann) il cui compotamento asintotico è dato dall eq.36) e da L eq.6) asintoticamente si scive n l k) k cosk lπ/) k 6) y l k) k sink lπ/ + δ l ) 63) dove si è posto a l = nell eq.35) e B l = cos δ l e C l = sin δ l. Si noti che il compotamento asintotico dell eq.6) è tipico del compotamento asintotico della soluzione dell equazione adiale di Schödinge, vedi eq.35). L eq.56) in questo caso diventa a sin δ l = j l k)u)y l ) d 64) Nell eq.64) appae la funzione incognita y l ) soluzione dell eq.59). In geneale, non siamo in gado di calcolae la soluzione esatta dell eq.59), ma possiamo calcolane una soluzione appossimata, vedi la Sez. 6. Talvolta è conveniente paametizzae lo sfasamento in funzione della deivata logaitmica 3 della soluzione dell equazione adiale di Schödinge. Indichiamo con yl I ) e yl II ) ispettivamente la soluzione dell eq.59) e dell eq.6). Pe la continuità della funzione d onda e della sua deivata le deivate logaitmiche delle due funzioni, calcolate pe = a, devono essee uguali pe comodità di calcolo, come si vedà, si è inseito il fattoe costante a) q I l k) a yi l a) y I l a) = a yii l a) y II a) l q II l k) 65) Il segno di C l dipende dalla convenzione sul segno della funzione n l k). 3 dfx) Pe deivata logaitmica della funzione fx) si denota il appoto fx) dx 9

10 Esempio - Consideiamo il potenziale V ) = V a V ) = > a 66) In questo caso il poblema è esattamente isolubile peché l eq.59) diventa la cui soluzione è [ d d + k )] ll + ) y l ) = k me + V ) = h = ε + U 67) y l ) = A l k j l k) a 68) Facciamo il calcolo in dettaglio pe la diffusione in onda S l = ). Ricodiamo che j ρ) = sin ρ ρ n ρ) = cos ρ ρ 69) Ne segue che ρ = k) q I = k a cot k a 7) La soluzione dell equazione eq.6) si scive, usando l eq.6) pe l =, e B = a cos δ e C = a sin δ pe l = y Il ) = a sink + δ ) 7) Quindi si ha q II = ka cotka + δ ) 7) Nel caso che stiamo consideando, uguagliando la soluzione e la sua deivata pima nella egione I e nella egione II pe = a, la soluzione esatta è, a meno della costante abitaia a non deteminabile non essendo la funzione y) nomalizzabile, y) = a k sin k < a k + k cos k a y) = a sink + δ ) > a 73) Uguagliando l eq.4) e l eq.7) si tova Quindi k a tanka + δ ) = ka tan ka 74) δ = actan tan ka k k ka 75) Nel limite k = k = mv / h = k e l eq.75) diventa ) ) δ k k tan k a a k 76)

11 Quindi la sezione d uto diffeenziale in onda S diventa σ ) = k sin δ k δ = tan k a a) 77) k Studiamo in più dettaglio la diffusione a bassa enegia. Espandiamo tan ka in seie di Taylo in k consideando anche il pimo temine in k tan ka = tana k + k) ak = tan k a + k cos k a ) L eq.75) diventa, tascuando potenze in k di odine supeioe a k nello sviluppo di k, { k δ actan Ricodiamo lo sviluppo in seie di k k k ) [ tan k a + ak ]} ka 79) k cos k a tan x x + x ) actan x x x ) Se k a << possiamo sviluppae tan k a al pimo odine e l eq.79) diventa, tascuando i temini di odine supeioe a k 3, δ actan [ ka k3 a k + ak 3 ] ka 8) k cos k a Sviluppando actan ai pimi due odine e consevando solo i temini di odine k 3 l eq.8) diventa δ k 3 a k cos k a k ) a 3 Pe studiae la vaiazione dello sfasamento δ in funzione dell enegia della paticella incidente, isciviamo l eq.75) usando l eq.4) ) ka δ = actan ka 84) q I, eq.4), è una funzione decescente dell enegia e vaia molto velocemente intono ai valoi ka nπ. La diffeenza di enegia E ta due asintoti vicini o ta due zei vicini) e, supponendo k << k, q I ) k nπ = ak + k + ) ) k k n + )π = ak + k + ) k k k k k π = a k k ) = E h k k ) πv k m k a 83) 85)

12 Pe studiae la vaiazione di q I con l enegia con uno sviluppo in seie, calcoliamo la deivata dq I de = ma cot ka h ) ka sin ka 86) Dall eq.84) si vede che il massimo valoe dello sfasamento si ha pe q I ka n + )π/. Definiamo l enegia di isonanza E il valoe dell enegia E tale che ka n + )π/. Si ha ] q I = E=E dq I ] = ma de E=E h 87) Facendo uno sviluppo di Taylo di q I al pimo odine in E intono a E si ha Usando le identità q I ma h E E ) 88) tanα + β) = tan α + tan β tan α tan β 89) e la definizione l eq.74) assume la foma dove e iδ = + i tan δ i tan δ i tan δ = + eiδ e iδ 9) i tan ka = + e iξ e iξ e iδ = e iξ qi + ika q I ika E E e iξ E E iγ E E + iγ Γ = k h 93) ma In un esempio specifico, abbiamo visto le caatteistiche della diffusione di isonanza ed intodotto la paametizzazione alla Beit-Wigne. Pe paticelle quantistiche e potenziali che vanno a zeo pe come n n > ) possiamo deteminae un valoe di = a tale che il potenziale puó essee consideato nullo pe valoi > a. Infatti se consideiamo una paticella descitta da un pacchetto d onda di indeteminazione localizzata nel punto, dobbiamo ichiedee <<. Le elazioni di indeteminazione ta e p sono p h/. L enegia cinetica della paticella soddisfa le seguenti disuguaglianze E cin p m h 8m >> Se consideiamo un potenziale V ) = C n, esiste un punto a tale che 9) 9) h m = Ê 94) V a) = Ê = C a n = h ma a = ) C m n h 95)

13 Pe > a l enegia cinetica della paticella è sicuamente molto maggioe dell enegia potenziale E cin >> V )) e quindi possiamo consideae tascuabile l effetto del potenziale. 6 Appossimazione di Bon pe gli sfasamenti Pe potenziali non toppo intensi, possiamo fae uno sviluppo della funzione y l ) che appae nell equazione integale eq.64) y l ) j l k) + OV ) 96) in cui il pimo temine odine zeo nel potenziale) è la soluzione pe V = ed i temini successivi dipendono dal potenziale. L appossimazione di Bon consiste nel sostituie nell eq.64) la funzione y l ) con la sua funzione all odine zeo, cioè j l k) sin δ l = mk h V ) j l k) d 97) L eq.) è un integale in quanto nel lato desto non appae più la funzione y l ) = fδ l ). Dall eq.) si deduce che, pe potenziali con segno definito pe ogni valoe di, lo sfasamento δ l, in appossimazione di Bon, è negativo pe potenziali epulsivi V ) > ) e positivo pe potenziali attattivi V ) < ). Esempio - Come esempio calcoliamo in appossimazione di Bon la sezione d uto diffeenziale pe l onda l = onda S) pe il potenziale L eq.) si scive V ) = V e α, V costante 98) sin δ = V mk h = V m h k = V m h kα e α j k) d e α sin k) d ) + k/α) 99) Calcolo dell integale che appae nel lato desto dell equazione pecedente e α sin k) d = /4 [ e α e ik + e α e ik ] d = 4 [ + ] α ik α+ik α = ) α α+8k /α Studiamo l espessione eq.) nei limiti di bassa ed alta enegia α α + 4k /α k/α α [ k α )] = α k α ) 3

14 α α + 4k /α k/α α ) α k α ) Inseendo l espessione di δ nell eq.38) pe l = si tova pe k >> α f = ) m k sin δ = V h 3) k α Quindi la sezione d uto totale, nell ipotesi che il contibuto in onda S sia il solo ilevante alla diffusione, è dall eqs.4)-43) σ tot = σ = 4π k sin δ = 4π ) m k V 4 h 4) α Esempio - Come esempio calcoliamo in appossimazione di Bon la sezione d uto diffeenziale pe l onda l = onda S) pe la buca di potenziale L eq.) si scive V ) = V a V = > a 5) sin δ = V mk h = V m h k = V m h k = V m h k a a a j k) d sin k) d cos k) d ] [ a sin ka 4k 6) Studiamo l espessione eq.6) nei limiti di bassa enegia ka [ m a sin δ ka V h k a ] + ka)3 mka 3 = V 4k3! 3 h 7) quindi 7 Teoema Ottico f θ) = k sin δ = V ma 3 3 h 8) Pendendo la pate immaginaia Im) dell eq.4) pe θ =, essendo P l cos θ = ) =, si ha Im f) = l + ) sin δ l = k k 4π k σ tot 9) l= dove abbiamo usato l eq.4). Tale espessione è chiamata teoema ottico e collega la sezione d uto totale elastica alla pate immaginaia dell ampiezza di diffusione nella diezione θ = ). Si noti che in questa elazione la sezione d uto fisicamente misuabile è collegata alla pate immaginaia di fθ ), anche se nella diezione avanti l ampiezza di diffusione non è misuabile in quanto in tale diezione toviamo la maggio pate di paticelle non diffuse. Il teoema ottico è una conseguenza della consevazione della densità di pobabilità e nella sua dimostazione dobbiamo pendee in conto, nel calcolo della coente di densità di pobabilità, l intefeenza ta coente incidente e la coente diffusa, temine che abbiamo tascuato nel calcolo in Sezione. 4

15 8 Equazione integale pe l ampiezza di diffusione L equazione stazionaia di Schödinge eq.9) può essee tasfomata in un equazione integale con l uso della funzione di Geen e la funzione d onda di diffusione, cioé il secondo temine dell eq.) soddisfa l equazione integale ψ S ) = m 4π h d 3 V ) eik ψ ) ) dove abbiamo usato l espessione della funzione di Geen icavata in Appendice B. Ricodiamo che α angolo ta e ) = + cos α = = Se = nβ, γ) e = n β, γ ) si ha l= ) / + cos α >> e ) l l+ P lcos α) > ) ) cos α = cos β cos β + sin β sin β cosγ γ ) 3) e, usando il cosidetto teoema di somma delle amoniche sfeiche, P l cos α) = 4π l + l m= l Y lm β, γ)y lmβ, γ ) 4) Consideando >>, pendendo il temine l = dell eq.), possiamo sostituie nell eq.) e ik e ik e ik cos θ 5) dove θ è l angolo ta k e. ψ S ) = m e ik 4π h d 3 V ) e ik cos θ ψ ) 6) 9 Appossimazione di Bon pe l ampiezza di diffusione Nell appossimazione di Bon sostituiamo nell eq.6) la funzione d onda con la funzione d onda libea cioé con l onda piana. Sia ψ S ) = m 4π h d 3 V ) eik ei k 7) Pe calcolae l eq.7) consideiamo che, posizione del ivelatoe, è molto più gande dei valoi di che danno un contibuto non tascuabile all integale a causa della pesenza di V ) che all infinito va a zeo apidamente) quindi possiamo usae l eq.5) e toviamo ψ S ) == eik m 4π h d 3 V ) e ik e e i k ) 5 = eik fθ) 8)

16 dove fθ) = m 4π h d 3 V ) e i k k) 9) con k = k e. Integando sull angolo solido l eq.9) si ottiene fθ) = m h q V ) sin q d ) q = k k k = k q = k sin θ/ ) Si noti che fθ) calcolata con l eq.) è eale, mente, pe il teoema ottico sappiamo che fθ) deve essee complessa. Esempio - Calcoliamo l ampiezza di diffusione in appossimazione di Bon pe la buca di potenziale eq.66). L eq.) diventa fθ) = m V a h q sin q d ) Calcolo l integale a a Quindi Pe k si ha sin q d = fθ) k mv h q ] a cos q + q q fθ) = mv h q a q a 3 3! Confontae l equazione pecedente con l eq.8). cos qa a sin qa cos q d = + 3) q q ) sin qa a cos qa q a + a q a )... Oq 4 )! 4) = mv a 3 3 h 5) Esempio - Calcoliamo l ampiezza di diffusione in appossimazione di Bon pe il potenziale L eq.) diventa Calcolo l integale i V ) = C e λ fθ) = m h e λ e iq e iq) d = i C q λ > 6) e λ sin q d 7) e λ+iq) ] λ + iq i e λ+iq) ] = λ iq q λ + q 8) Quindi mc fθ) = h 9) λ + q ) Se C = Z ez e e consideo il limite λ toviamo l ampiezza di diffusione pe scatteing coulombiano fθ) = mz Z e h = dσ q dω = Z Z e ) 6 E sin 4 3) θ/ 6

17 Appossimazione di Bon pe la diffusione da potenziale elettostatico Nel calcolo, in appossimazione di Bon, dell ampiezza di diffusione podotta da un potenziale geneato da una distibuzione di caica conviene usae la seguente identità. Poposizione: Sia V ) il potenziale elettostatic geneato dalla densità di caica finita ρ), cioè soluzione dell equazione di Poisson V ) = 4πρ) 3) si ha V ) sin q d = d ) V ) sin q d 3) q d Pova: Pe l eq.9) l ampiezza di diffusione pe un potenziale elettostatico, schemato con un temine alla Yukawa, può essee scitta: fθ) = m 4π h d 3 V ) e i q m 4π h d 3 V ) e i q e λ m 4π h I 33) Nell integale I intoduco le tasfomate di Fouie e λ = d 3 t F π) 3 λ t) e i t 34) V ) = d 3 z V z) e i z 35) π) 3 L integale I del lato desto dell eq.3) diventa I = d 3 e i q π) 3 Inseendo l eq.35) nell eq.3) si ottiene π) 3 d 3 z V z) e i z = π) 3 d 3 t F λ t) e i t π) 3 d 3 z V z) e i z 36) d 3 z z V z) e i z = 4πρ) 37) Moltiplicando l equazione pecedente pe e i z ed integando in d 3 si ottiene d 3 d 3 z z V z) e i z z) = d 3 z z V z) δ z π) z) = z V z ) 3 = 4π d 3 ρ) e i z V z) = 4π d 3 ρ) e i z 38) z Inseendo la pecedente espessione nell eq.36) si ottiene I = d 3 e i q π) 3 d 3 t F λ t) e i t π) 3 d 3 z 4π z d 3 ρ ) e i z e i z 39) Integando in d 3 si ottiene I = π) 3 d 3 t F λ t) d 3 z 4π z d 3 ρ ) e i z δ q t z) 4) 7

18 integando in d 3 z si ottiene I = π) 3 d 3 t F λ t) 4π q t d 3 ρ ) e i q t) 4) L integale in d 3 è ben definito qualunque sia il valoe di q e t, quindi posso fae il limite λ F λ t) π) 3 δ t) e otteniamo I = 4π d 3 ρ ) e i q 4) q Inseendo l eq.4) nell eq.33), nel limite λ, si ottiene: fθ) = m h q d 3 ρ) e i q = m h 4π q 3 ρ) sin q d 43) che è l eq.3), ossevando che, pe una distibuzione di caica ρ) a simmetia sfeica, scivendo il laplaciano in coodinate sfeiche si ha Lunghezza di diffusione d V ) d = 4π ρ) 44) Pe una laga classe di potenziali, a bassa enegia, la diffusione in onda S, l =, da il contibuto dominante alla sezione d uto che quindi saà isotopa. Definiamo la lunghezza di diffusione scatteing length) 4 a = lim k δ k) k lim k f k) lim k fk) 45) dove abbiamo usato l eq.38) e l eq.4) e lo sviluppo in seie al pimo odine in δ di e iδ sin δ. La scelta del segno è convenzionale. Possiamo calcolae la lunghezza di diffusione usando l appossimazione di Bon pe l ampiezza eq.), e sostituendo sin q q q, otteniamo a m h V ) d = m π h d 3 V ) 46) A bassa enegia la sezione d uto totale elastica è deteminata dalla lunghezza di diffusione Diffusione di paticelle identiche σ T ot k 4πa 47) Se consideiamo un pocesso di diffusione di due paticelle non identiche nel sistema del cento di massa CM) ed i ivelatoi non sono in gado di distinguee le paticelle la pobabilità che un ivelatoe posto nella diezione θ iveli una paticella nell unità di tempo è dato da Iθ) = fθ) + fπ θ). 4 tan δ In alcuni testi la lunghezza di diffusione è definita come a = lim k) sin δ k k o a = lim k) k k. Questa definizioni sono equivalenti ta di loo ed equivalente a quella data sopa pe δ <<. 8

19 Se le paticelle sono identiche la funzione d onda del sistema deve essee simmetica pe paticelle di spin inteo bosoni) o anti-simmetica pe paticelle di spin semi-inteo femioni).nel CM la funzione d onda Ψ pe la diffusione di due paticelle di spin S si scive, asintoticamente Ψ = { e i k ± e i k + eik [fθ) ± fπ θ)] } χ spin 48) dove il segno ± nella pima espessione dve essee scelto in modo che tenendo conto della simmetia della funzione di spin χ spin la funzione d onda Ψ abbia la coetta popietà di simmetia. La sezione d uto diffeenziale saà data da σθ) = fθ) ± fπ θ)] 49) Lo spin totale S t del sistema è compeso ta e S. Dalla composizione dei momenti angolai sappiamo che gli stati di S t = S, S, S 4,... sono simmetici mente gli stati con S t = S, S 3, S 5,... sono anti-simmetici. Si ha La somma degli stati da il coetto numeo di stati totale S + ). Pe bosoni quando χ spin è simmetica anti-simmetica) la pima espessione nell eq.48) deve essee simmetica ispettivamente anti-simmetica), mente pe i femioni avviene il contaio. Se quindi consideiamo la ivelazione di paticelle bosoniche non polaizzate dobbiamo sommae l espessione data dall eq.49) con il segno + moltiplicata pe la fazione di stati di χ spin simmetici e con il segno - pe la fazione di stati di χ spin anti-simmetici ed il contaio pe paticelle femioniche Iθ) = S + S + fθ) + fπ θ)] + S fθ) fπ θ)] S + = fθ) + fπ θ)] + S + Re[fθ)f π θ)] Bosoni 5) Iθ) = S + S + fθ) fπ θ)] + S fθ) + fπ θ)] S + = fθ) + fπ θ)] S + Re[fθ)f π θ)] Femioni 5) 9

20 A Sviluppo di onde piana Ricaviamo l eq.6). L equazione libea di Schödinge in 3 dimensioni ammette come autofunzioni non nomalizzabili) coispondenti all enegia E = hk) /m, scivendo il laplaciano in coodinate catesiane, le onde piane e i k o, scivendo il laplaciano in coodinate sfeiche, il podotto delle funzioni di Bessel di pimo tipo pe le amoniche sfeiche j l k) Y lm θ, ϕ). Di conseguenza, pe la completezza delle autofunzioni, è possibile espandee le onde piane in temini delle soluzioni in ccodinate sfeiche e i k = c lm j l k) Y lm θ, ϕ) 5) lm Nel caso in cui k è dietto lungo l asse z si ha k = k cos θ, non c è dipendenza dall angolo ϕ e l eq.5) diventa e i k = e ik cos θ = l c l j l k) Y l θ) = l c l l + 4π j lk) P l cos θ) 53) Deteminiamo i coefficienti numeici c l. Moltiplicando l eq.53) a sinista pe P l cos θ) ed integando su cos θ, utilizzando la otogonalità dei polinomi di Legende + P l cos θ)p l cos θ) d cos θ = l + δ ll 54) si ottiene + c l πl + ) j lk) = P l cos θ) e ik cos θ d cos θ 55) Il coefficiente numeico c l non dipende da, quindi pe calcolalo possiamo consideae il limite e pendee il temine dominante nello sviluppo asintotico. Ricodiamo che. dove abbiamo usato l identità j l k) k k)l l + )!! = k)l l + )! l l! 56) l + )! = l + )!!l)!! = l + )!! l! l 57). cos θ) k = l k A l P l cos θ) 58) Usando l espessione dei polinomi di Legende P l cos θ) = )l d l sin l θ = )l d l cos θ) l 59) l l! d cos θ l l l! d cos θ l si icava facilmente il coefficiente della potenza più alta in cos θ P l cos θ) = )l ) l l! cos l d l x l θ + si icodi = l! ) 6) l l! l! dx l l! quindi A k = k k! k! k! 6)

21 Sviluppando l esponenziale del lato desto del eq.55) in seie di potenze, usando l eq.58) e lo sviluppo asintotico eq.56) si ha c l πl + ) = n= m n + k) l l + )! l l! = n= P l cos θ) ik)n n! + P l cos θ) ik cos θ)n n! d cos θ 6) A m P m cos θ) d cos θ 63) Pe l otogonalità dei polinomi di Legende solo il temine con m = n = l contibuisce al lato desto dell eq.63) e, usando l eq.54) e l eq.6) si ha c l πl + ) k) l l + )! l l! = ik)l l l! l! l! l! e sostituendo nell eq.53) si ottiene l l eq.6). l + = c l = i) l 4πl + ) 64) B Funzione di Geen pe l equazione di Schödinge Si considei l equazione diffeenziale inomogena pe la funzione ψx), D opeatoe diffeenziale, D ψx) = Φx) 65) La funzione di Geen Gx, x ) associata a D è definita dall equazione D Gx, x ) = δx x ) 66) Utilizzando la funzione di Geen Gx, x ) si puó tovae la soluzione geneale dell eq.65) pe qualunque temine inomogeneo Φx) ψx) = ψ x) + dove ψ x) è la soluzione dell equazione diffeenzile omogenea dx Gx, x ) Φx ) 67) D ψx) = Φx) 68) che soddisfa le condizioni iniziali. Nei pocessi di diffusione dobbiamo isolvee l equazione di Schödinge, vedi eq.9) [ + k ] ψ ) = U) ψ ) 69) Cechiamo la la funzione di Geen G ) dell opeatoe diffeenziale [ + k ], dove abbiamo usato l invaianza pe taslazione nello scivee l agomento di G. Pe definizione dobbiamo isolvee l equazione [ + k ] G ) = δ ) 7)

22 Sciviamo la funzione G come tasfomata di Fouie G ) = d 3 q e i q ) G q) 7) π) 3 Sostituendo l eq.7) nell eq.7) otteniamo π) 3 d 3 q q + k ) e i q ) G q) = δ ) 7) Moltiplicando l eq.7) pe e i q ed integando in d 3, utilizzando la appesentazione integale della funzione di Diac d 3 e i q q) = δ q π) q) 73) 3 l eq.7) diventa d 3 q q +k ) e i q δ q q) G q ) = e i q q +k ) G q) = e i q = G q) = q +k ) 74) Pe calcolae esplicitamente G ) inseiamo l eq.74) nell eq.7) e effettuiamo l integazione su dω G ) = = = = π) 3 π) π) π) q dq q dq π π sin θdθ π dϕ e i q ) q + k sin θdθ e iq cos θ q + k qdq eiq e iq ) i qdq eiq ) i q + k q + k 75) L integale eq.75) non è definito in quanto il denominatoe dell integando si annulla pe q = ±k. Pe evitae le singolaità intoduciamo un paameto eale ε e sostituiamo q + k q + k ± iε 76) Secondo la scelta del segno i poli si toveanno nei punti q = ±k ± iε). Possiamo usae l abitaietà della scelta del segno di ε pe fae in modo che la funzione di Geen ipoduca le condizioni iniziali. Una volta effettuato il calcolo mandiamo ε a zeo. Intodotto il fattoe ε possiamo calcolae l integale eq.75) estendendo la vaiabile q dall asse eale al piano complesso e chiudendo l integale con un semicechio nel semipiano supeioe o nel semipiano infeioe. Questo pocedimento è equivalente a defomae il pecoso di integazione sull asse eale in due modi divesi: lungo il cammino Γ + Γ ) che include la singolaità nel punto q = +k q = k) ed esclude la singolaità a q = k q = +k) e chiudendo l integale con un semicechio nel semipiano supeioe infeioe, scivendo nell eq.75) l esponenziale con q). In questo modo si ottengono due funzioni di Geen, G ± ), denotate ispettivamente funzione di Geen itadata ed avanzata. Noi consideiamo solo la funzione di Geen

23 G + e nel seguito ometteemo il pedice +. Applicando il teoema dei esidui, annullandosi il contibuto all integale del semicechio nel piano supeioe pe q, si ha G ) = π) = 4π q dq Γ+ eiq i q + k)q + k) = iπ) πi [ q k qq + k) e ] iq eik 77) La funzione di Geen si può scivee H hamiltoniana libea di Schödinge) In effetti si ha G ) = h m π) 3 G ) = h m < E H > 78) d 3 p π) 3 = h d 3 p m π) 3 π) 3 = d 3 p π) 3 π) 3 d 3 p < p >< p d 3 p < p > E E Integando in d 3 p otteniamo, tenendo conto dell eq.74), l eq.7). E H p >< p > < p p >< p > d 3 p e i p k p π)3 δ p p )e i p 79) C Nomalizzazione di ket posizione e momento Nomalizzando i ket posizione nel modo seguente e definendo si ha In effetti e analogamente = < x x >= δ x x ) = < p p >= < x x >= δ x x ) 8) < x p > = e i p x 8) d 3 x x >< x = π) 3 d 3 p < x p >< p x >= π) 3 d 3 x < p x >< x p >= d 3 p p >< p 8) d 3 p e i p x x ) 83) d 3 x e i x p p ) = π) 3 δ p p ) 84) 3

24 D Equazione di Schödinge in potenziale centale Studiamo l equazione di Schödinge pe un potenziale centale V ) = V ) H = p m + V ) = h m Si veifica facilmente che la hamiltoniana commuta con il momento angolae l cioè la hamiltoniana è a simmetia sfeica. Infatti si la + V ) 85) [ l, H] = 86) 3 3 [l i, ] = [l i, j ] = [l i, j ] j + j [l i, j ]) j= j= = i hε ijk k j + j k ) = 87) in quanto l espessione in paentesi è simmetica in j e k mente il tensoe di Levi-Civita è antisimmetico. In maniea analoga si dimosta [l i, p ] =. Quindi esiste una base di autostati comune a H, l e l z = l 3. Dalla definizione dell opeatoe momento angolae h = ) l = p = l = p p) + i h p 88) Nella pecedente equazione abbiamo tenuto conto della non commutatività degli opeatoi e p, l i e l j. Il calcolo esplicito è in seguito useemo la convenzione che gli indici ipetuti vanno sommati da a 3) l = 3 i l i = ε ijk j p k ε imn m p n = j p k j p k j p k k p j Dove abbiamo usato: Dall eq.88) dividendo pe ed usando = p i h p) j k p k p j + 3i h j p j = p i h p) j p j k p k i h j p j + 3i h j p j 89) ε ijk ε imn = δ jm δ kn δ jn δ km 9) j p j = p j j + 3i h 9) k p k p j = p j k p k + i hδ jk p k 9) p = i h = i h 93) si tova p = l h ) + 94) 4

25 Il lato desto dell eq.94) è, a pate il fattoe moltiplicativo h, il laplaciano in coodinate sfeiche. Il secondo temine dell eq.94) si puó scivee: + = + = ) = 95) Definiamo il momento adiale p che soddisfa p = i h = i h + ) 96) [, p ] = i h 97) Dimostiamo che la foma dell opeatoe momento adiale p è quella che ci aspetta applicando le elazioni di quantizzazione al momento adiale classico, che è definito come la poiezione sulla diezione del momento classico p = p e = p 98) Pe quantizzae p dobbiamo iscivee l eq.98) in foma simmetica e quindi sostotuie alle vaiabile classiche gli opeatoi cosipondenti p + ) p p = 99) Dimostiamo che la elazione di commutazione dell opeatoe eq.99) con la vaiabile soddisfa l eq.97) e quindi p è l opeatoe momento coniugato a : { p + p p } p [, p ] = {3i h + p p 3i h } = = { p } p = { p i h + p ) } = i h ) Nell eq.), il secondo igo è stato icavata dal pimo usando l eq.9) e l ultimo igo usando l identità i p j = i h δ ij i + p j i ) Una dimostazione altenativa dell eq.) è la seguente [, p ] = { p e p e + e p e p} = { p e ) + e p p e ) e p) e p + e p e p) e p} = { e p)} = i h x j j ) x j = i h j x j x j = i h ) 5

26 Mostiamo adesso che l eq.99) è equivalente all eq.96). x j p j + x ) j p j = i h x j Sommando su j si ha ) xj + x j 3 ) + = + ) L opeatoe p è hemitiano se ψ). Infatti si ha [ ψ ) i + ) ] ψ) d [ = ψ )ψ) + = [ i + ) i x j ) ψ)] ψ) d + i ψ )ψ) d ) 3) 4) ψ)] ψ) d 5) Dove abbiamo usato le condizioni ψ) e ψ) pe annullae il pimo temine del lato desto dell equazione pecedente. L opeatoe i non è hemitiano. Infatti si ha i dd ) ψ) ψ ) = ψ )ψ) + = L eq.94) puó essee iscitta d i d d ψ) ) ψ) d + i i d d ψ) ) ψ) d + i ψ )ψ) d ψ )ψ) d 6) p = l + p 7) Sostituendo l eq.7) nell eq.85) l equazione di Schödinge stazionaia si scive h m + ) + l m + V ) ψ nlm, θ, φ) = E nl ψ nlm, θ, φ) 8) dove abbiamo usato la popietà dell esistenza di una base comune pe gli opeatoi H, l e l z, conseguenza dell eq.86), e abbiamo scitto un indice n disceto peché in seguito siamo inteessati agli stati legati, descitti da uno spetto disceto. Inolte abbiamo usato l invaianza eq.86) pe dedue che gli autovaloi E nl non possono dipendee da m, degeneazione dei livelli di odine l +. Infatti si ha Hl ± ψ nlm = h ll + ) mm ± ) H ψ nl,m± = h ll + ) mm ± ) E nl,m± ψ nl,m± = l ± Hψ nlm = E nl,m l ± ψ nl,m = E nl,m h ll + ) mm ± ) ψ nl,m± = E nl,m = E nl,m± = E nl 9) 6

27 La soluzione ψ nlm deve soddisfae la condizione di essee a quadato integabile ψ nlm.θ, ϕ) d dω < ) Pe isolvee l eq.8) pocediamo pe sepaazione di vaiabile e, esplicitando le autofunzioni di l, sciviamo ψ nlm, θ, φ) = χ nl ) Y lm θ, φ) ) L eq.8) diventa quindi un equazione diffeenziale nella vaiabile, detta equazione di Schödinge adiale: [ h m + ) ] ll + ) + + V ) χ m nl ) = E nl χ nl ) ) Intoducendo la funzione u nl ) = χ nl ) 3) ed facendo uso della nomalizzazione delle amoniche sfeiche l eq.) diventa u nl ) d < 4) L eq.) pe la funzione u nl ) diventa [ h d ] m d + h ll + ) + V ) u m nl ) = E nl u nl ) 5) Quindi l equazione di Schödinge in te dimensioni con un potenziale centale è stata idotta ad un equazione in una solo vaiabile con un potenziale effettivo dato da V eff ) = V ) + h ll + ) m 6) Il secondo temine viene usualmente chiamato il temine di potenziale centifugo o di baiea centifuga pechè è diveso da zeo pe l e cesce con il cescee di l, quindi con l aumentae del valoe del momento angolae. La diffeenza ta l eq.5) e l equazione di Schödinge in una dimensione sta nella nomalizzaione. In una dimensione ichiediamo dx ψx) < 7) in te dimensioni Ne segue che, pe gli stati legati, si ha dv ψ) = d u) < 8) lim u) M M = cost ε > 9) /+ε Inolte dobbiamo ichiedee che, pe V ) δ ), u). In effetti si ha all oigine ψ = u) = δ ) u ) ) 7

28 L eq.5) è esattamente isolubile in pochi casi, ta cui l oscillatoe amonico tidimensionale e il potenziale coulombiano che sono di fondamentale impotanza in fisica. Possiamo fae delle ossevazioni geneali sul tipo di soluzioni dell eq.5), studiandone i limiti e. Nel limite il temine centifugo ll + )/ e puó essee tascuato. Se V ), possiamo tascuae anche il temine di potenziale e l eq.5) diventa Le cui soluzioni sono h m d d u nl) = E nl u nl ) ) E > - La soluzione è una funzione esponenziale immaginaia, con compotamento oscillatoio all infinito, non a quadato integabile. Lo spetto di enegia è continuo. E < - La soluzione accettabile è una funzione esponenziale eale u nl ) e k k = In questo caso si dimosta che lo spetto è disceto. m E h ) Nel limite, se V ) cost., possiamo tascuae il temine di potenziale ed il temine in / ispetto al temine centifugo e l eq.5) si scive ed ammette due soluzioni [ ] d ll + ) + d u nl ) = 3) u nl ) l+ u nl ) l 4) La seconda soluzione non è accettabile pechè la funzione u nl ) all oigine puó al più andae come una costante. Nel caso di E < la funzione u nl ), si annulla all oigine ed all infinito, quindi deve ammettee almeno un punto di massimo, essendo u nl ) continua con deivata pima continua si susspone che V ) abbia al più discontinuità finite). In conclusione la foma della funzione u nl ), pe E <, è del tipo u nl ) = l+ e k f) 5) dove la funzione fi) è deteminata dalla natua dettagliata del potenziale V ). Intoducendo la funzione f l ρ) = u lρ) ρ L eq.) assume la foma [ d dρ + ρ d dρ + ll + ) ρ ) ] 6) f l ρ) = 7) L eq7) è nota nella letteatua matematica come equazione di Bessel vedi Messiah - Vol. - App. B). La soluzione geneale dell eq7) si espime come combinazione lineae di due soluzioni paticolai: 8

29 . j l ρ), detta funzione di Bessel di pima specie. n l ρ), detta funzione di Bessel di seconda specie o funzione di Neumann. Esplicitamente si ha pe le funzioni di Bessel di odine 5 j ρ) = sinρ) ρ n ρ) = cosρ) ρ 8) Le espessioni esplicite delle funzioni di odine successive si calcolano dalle fomule 6 ) l ) l j l ρ) = ρ) l d j ρ) n l ρ) = ρ) l d n ρ) 9) ρ dρ ρ dρ Ci inteessano i compotamenti di queste funzioni all oigine ed all infinito: j l ρ) ρ ρ l l + )!! l l + )!! n l ρ) ρ ρ l + ) 3) j l ρ) ρ sinρ lπ/) ρ n l ρ) ρ cosρ lπ/) ρ Sono utili le funzioni di Hankel che sono combinazioni lineai delle funzioni di Bessel 7 3) h ±) ρ) = n l ρ) ± ij l ρ) 3) h ±) ρ) ρ ρ e±iρ lπ/) 33) La ichiesta di un compotamento egolae della funzione d onda all oigine, u l ) = = f l ) finita, ci va scatae le funzioni n l come soluzioni accettabili. Quindi si ha f l ρ) = A l j l ρ) A l = cost. 34) e la soluzione dell eq.8) è ψ k)lm, θ, φ) = A l j l k) Y lm θ, φ) 35) E Buca di potenziale sfeica Nel seguito, assumendo che il potenziale V ) assume un valoe costante in una egione limitata, studiamo vaie situazioni. 5 In alcuni testi la funzione di Bessel di secondo tipo n ρ) è definita con un segno negativo. 6 Il fattoe ) l è convenzionale. 7 In alcuni testi il fattoe moltiplicativo i è posto dinanzi la funzione n l. 9

30 . Consideiamo il caso di una paticella confinata in una sfea, cioè il potenziale costante dato da V ) = { > a < a Studiamo gli autovaloi e le autofunzioni dell hamiltoniana eq.8) pe valoi dell enegia E >. L eq.8) diventa l equazione di Schödinge in coodinate polai pe una paticella libea con le condizioni al contono: ψ a, θ, φ) = 36) Definiamo Quindi la soluzione dell eq.8) è pe < a) k = me ρ = k 37) ψ k)lm, θ, φ) = A l j l k) Y lm θ, φ) 38) dove i valoi di k sono tali da soddisfae l eq.36) che implica j l ka) = 39) Siccome la funzione di Bessel pe ogni valoe di l ha un numeo infinito di zei, pe ogni valoe di l esistono un numeo infinito numeabile) di valoi di k e quindi dell enegia che soddisfano l eq.39). Discutiamo più in dettaglio il caso l = usando la funzione di Bessel di odine data dall eq.8). Quindi l eq.39) ha soluzione pe k n = nπ a n Z + La costante di nomalizzazione A si calcola da d dω ψ n, θ; φ) = = E n = nπ) ma 4) a d A sink n)) k n = 4) dove abbiamo usato l otonomalizzazione delle amoniche sfeiche, in paticolae Y = 4π. Effettuando l integale si tova, scegliendo la fase in modo che A sia eale A = nπ a 4). Studiamo gli stati legati podotti da una buca sfeica { > a V ) = V < a Dobbiamo isolvee l eq8) pe valoi dell enegia V < E < Definiamo: κ = m E k = mv k = mv E ) 43) 3

31 L equazione adiale di Schödinge, eq.5), assume la foma: a > > a [ ] d ll + ) + k d m [ ] d ll + ) κ d m u l ) = 44) u l ) = 45) Tasfomando l equazione adiale in equazione di Bessel come nel caso pecedente, si tova che le soluzioni dell eq.44) e dell eq.45), che sono ispettivamente egolai nell oigine e vanno a zeo all infinito, sono: u l ) = A l k j l k) a > u l ) = B l, k h ) l iκ) > a 46) dove h ) l è la funzione di Hankel di pimo tipo vedi Messiah, Vol. I - App. B) h ) l z) = n l z) + i j l z) 47) Le costanti A l e B l sono deteminate dalle condizioni di continuità della funzione d onda e della sua deivata o dalla continuità della deivata logaitmica) al punto = a e dalla nomalizzazione. Studiamo il caso l =. Le deivate logaitmiche della funzione sul punto = a dall inteno e dall esteno sono ispettivamente denotiamo con f a) la deivata della funzione f) ispetto alla vaiabile calcolata nel punto = a) dove abbiamo usato l eq.8) e j ka) j ka) = k cot ka a h ) iκa) h ) iκa) = + κa a 48) 49) h ) iκ) = n z) + i j z) = cosiκ) iκ + i siniκ) iκ = e κ iκ Uguagliando le due espessioni si ottiene l equazione tascendente 5) cot ka = κ k κ = k tan ka 5) la cui soluzione gafica o numeica detemina i valoi dell enegia degli stati legati con l = onda s). La costante di nomalizzazione si detemina dall integale usando a d A j k)) + d B h ) iκ) = 5) A j ka) = B h ) iκa) 53) 3

32 dove i valoi di k e κ soddisfano l eq.5) Esiste una fomula che detemina il numeo di stati legati in onda s. Da questa fomula, che non calcoliamo qui, si deduce che, contaiamente al caso unidimensionale in cui esiste sempe almeno uno stato legato, in 3 dimensioni esistono casi in cui non ci sono stati legati. Possiamo endeci conto di questo fatto da uno studio dell eq.5). Dall eq.43) si ha k = mv κ ) / κ + k = mv 54) Nel piano k ascissa), κ odinata) l eq.54) appesenta il pimo quadante di una ciconfeenza k, κ ). L eq.5) ammette soluzione se la cuva k, che ha un numeo tan ka infinito di discontinuità nei punti ka = nπ, ha uno o più punti di intesezione con il quadante della ciconfeenza, pe ka π/, modulo π. La ciconfeenza inteseca l asse k delle ascisse nel punto k = k mv pe κ = ). La cuva inteseca l asse delle ascisse pe tan ka tan ka = ka = π/ scegliendo il valoe più piccolo di k). Quindi se V < m π a ) 55) k la cuva inteseca l asse delle ascisse in un punto k > mv tan ka e quindi l eq.5) non ha soluzione e non ci sono stati legati in onda s. Refeenze A. Messiah - Quantum Mechanics - Vol.I J. Sakuai - Moden Quantum Mechanics K. Gottfied - Quantum Mechanics - Vol.I: Fundamentals 3