REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

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1 REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO 1 La siepe Sul eto di una villetta deve essee ealizzato un piccolo giadino ettangolae di m, ipaato da una siepe posta lungo il bodo Dato che un lato del giadino è occupato dalla paete della casa, quali dimensioni deve avee il giadino pe minimizzae la lunghezza e, di conseguenza, il costo della siepe? Schematizziamo la situazione in figua Figua 1 Indichiamo con L la lunghezza della siepe da allestie Tenendo conto che un lato è già occupato (dalla paete della casa) si avà: L = + con la condizione che la supeficie sia uguale a : = " = " L = + Pe minimizzae la funzione calcoliamo la sua deivata pima ispetto alla vaiabile : dl = - d Studiamo il segno della deivata pima: - $ 0 " - $ 0 " $ 5 " #- $ 5 Ignoiamo la soluzione = - 5 poiché appesenta la dimensione di un ettangolo e quindi è positiva La soluzione = 5 appesenta un minimo della funzione in quanto pe è fl ( ) 1 0, pe 5 è fl ( ) 0 Il giadino con la siepe di lunghezza minima avà dimensioni = 5 m e = = 10 m I pacchetti egalo Un azienda poduttice di confezioni egalo deve podue scatole a foma cilindica in modo tale che, a paità di volume, sia minima la supeficie totale della scatola e quindi la quantità di cata egalo da utilizzae pe il suo confezionamento Quali caatteistiche devono avee le dimensioni del cilindo? Nel caso in cui la cata da egalo costasse 0,90 euo/m, e il aggio del cilindo fosse di 6 cm, quanto costeebbe alla ditta confezionae 1000 scatole di supeficie minima? (Considea che, a causa dei lembi di cata da sovappoe, seve cica il 0% di cata in più ispetto all effettiva supeficie da copie) Indichiamo con il aggio di base e con h l altezza della scatola cilindica Il suo volume saà: V V = h " h =, Copight 01 Zanichelli editoe SpA, Bologna 1

2 e la supeficie totale: A = + h Risciviamo la supeficie totale in funzione solo del aggio: V V A = + h = + = + Deiviamo ispetto alla vaiabile la funzione ottenuta e studiamone il segno: da V = - d, V V V - $ 0 " V $ 0 " $ V " $ " $ - V Quindi la supeficie A() è decescente pe e cescente pe V $ V Il punto = appesenta un punto di minimo pe la funzione A() Il valoe di h coispondente è: V V V V V h = = b l = " h = 8 $ = = V La foma miglioe pe la scatola cilindica è quella con altezza uguale al diameto di base Se il cilindo è quello di supeficie minima, cioè ha h =, alloa saà = 6 cm e h = 1 cm La supeficie da copie di una scatola è: A = + h - 6, 19 cm + 5, 9 cm = 678, 58 cm = 0, m La supeficie da confezionae pe 1000 scatole, consideando lo scato di cata necessaio, di cica il 0%, saà: A tot = 1000 A + 00 A = 100 $ 0, m Poiché la cata egalo costa 0,90 euo/m, la spesa saà: Spesa - 0,90 euo/m $ 8 m - 75 euo Il flacone di pofumo Un azienda poduce una bottiglietta pe pofumo con la foma di una sfea somontata da un cilindo La bottiglietta deve contenee 70 ml di pofumo e il foo di passaggio ta la sfea e il cilindo deve avee il aggio di 0,7 cm Tova il aggio della sfea che ende minimo il peso della bottiglietta (lo spessoe del cistallo è di cica 1 mm e il suo peso specifico è di,9 kg/dm ; appossima la calotta sfeica che viene tolta a causa dell innesto del cilindo con la base del cilindo stesso; tascua il taglio della sfea nella pate infeioe della boccetta, necessaio pe ceae la supeficie di appoggio) Detemina l altezza totale e il peso della bottiglietta Pe ottenee il peso minimo basta minimizzae la supeficie totale della bottiglietta Indicato con il aggio della sfea (in cm) si detemina l altezza h del cilindo, utilizzando il volume (l unità di misua usata è il cm ): , h h = + $ " = 5, 5, $ 07, Copight 01 Zanichelli editoe SpA, Bologna

3 Da qui icaviamo anche la limitazione supeioe pe, dato che deve essee: h 0 " 5,5-,7 0 " # 5, La supeficie totale S della bottiglietta è data dalla supeficie lateale del cilindo e dalla supeficie della sfea, da cui bisogna togliee una piccola calotta che consideiamo uguale alla base del cilindo: S = $ 0,7 $ (5,5-,7 ) + - $ 0,7 La funzione da minimizzae isulta: S ( ) =- 11, 9 + 1, , 6 con 0 1 #, 5 Deivando si ottiene: Sl ( ) =- 5,7 + 5,, Sl ( ) 0 " ( - 5,7+ 5,) $ 0 " 0 # # 07, La funzione S è quindi cescente in , e decescente in 0, , Pe - 0,7 si ha un massimo elativo Dato che S(0) = 198,6 e S(,5) = 91, la supeficie minima della bottiglietta si ottiene con il aggio della sfea uguale a cica,5 cm L altezza del cilindo è: h = 5, 5 -, 7 $ (, 5) -, cm L altezza complessiva della bottiglietta, se tascuiamo la iduzione del diameto della sfea dovuta all innesto del cilindo, è: H = + h = $,5 +, = 8, cm Pe calcolae il peso della bottiglietta appossimiamo il volume del mateiale utilizzato mediante il podotto della supeficie totale pe lo spessoe del cistallo: Peso = Volume del cistallo $ Peso specifico = 91, $ 0,1 $,9 = 6,5 g L uovo di cioccolato All inteno di un «uovo» di cioccolato di foma sfeica si inseisce una scatola, di foma cilindica, che contiene la sopesa Tova il volume massimo che può avee la scatola supponendo che l uovo contenitoe abbia aggio R Calcola il appoto ta il diameto di base e l altezza del cilindo tovati al punto pecedente Desciviamo la situazione nella seguente figua A R B C Figua Copight 01 Zanichelli editoe SpA, Bologna

4 Indichiamo con il aggio di base del cilindo, con metà della sua altezza e con R il aggio della sfea Il volume del cilindo saà: V = Applicando il teoema di Pitagoa al tiangolo ABC otteniamo: + = R " = R - Il volume del cilindo in funzione di R ed è quindi: V = ( R - ) = ( R - ) Deiviamo ispetto alla vaiabile e studiamo il segno della deivata pima: dv d = ( R - ), R R R - 0 " R Consideato che R pe agioni geometiche, abbiamo che V() è cescente pe e decescente pe 1 1 R Il massimo del volume del cilindo si ha pe = ; il volume coispondente R R della scatola cilindica è: R R R R R R V ( R ) R = - = b - l - = $ = Il appoto ta il diameto di base e l altezza è: = = R $ = R 5 Il maatoneta Un atleta sta patecipando a una maatona; in un tatto il pecoso segue una taiettoia di equazione = (con $ 0), ispetto a un oppotuno sistema di assi Nello stesso sistema, il suo allenatoe si tova nel punto A(1; 5) e gli deve lanciae una spugna bagnata pe falo idatae In che punto del pecoso il maatoneta si toveà più vicino al suo allenatoe pe icevee la spugna? Disegniamo la taiettoia del pecoso e il punto in cui si tova l allenatoe 7 L equazione della taiettoia ha come gafico la pate di paabola, con vetice nell oigine e asse coincidente con l asse, che attavesa il pimo quadante 6 5 A d P 1 O Figua Copight 01 Zanichelli editoe SpA, Bologna

5 La distanza ta il punto A(1; 5) e il punto P(; ) geneico della cuva è: d = ( - 1) + ( - 5) Se P appatiene alla paabola avà coodinate Pc ; m e la distanza da A diventa: d = c - 1 m + ( -5) Invece di minimizzae d, minimizziamo d in quanto il minimo di d coincide con il minimo di d : d = c - 1m + ( -5) Deiviamo ispetto ad : f l () = c - 1m + ( - 5) = = -10 Studiamo il segno della deivata: $ 10 " $ 10 -,, fl () 1 0 pe 1 10, fl () 0 pe 10 Peciò il punto = 10 coisponde a un minimo elativo della funzione Il punto in cui il maatoneta si toveà più vicino al suo allenatoe avà coodinate: ( ) P c ; m 10 = c ; 10m - (, ;, 15) Copight 01 Zanichelli editoe SpA, Bologna 5