Una non parabola: la catenaria con qualche cenno al calcolo della sua equazione franco ghione

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1 Quadeni di laboatoio 009 Una non paabola: la catenaia con qualche cenno al calcolo della sua equazione fanco ghione x y(x) = c ec + e " x c = c cosh( x c )

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3 Una non paabola: la catenaia con qualche cenno al calcolo della sua equazione fanco ghione La catenaia, detta anche cuva funicolae, è la cuva secondo cui si dispone una fune che supponiamo omogenea, flessibile e non estendibile, appesa a due punti estemi, che sia lasciata pendee soggetta soltanto al popio peso. In consideazione del fatto che una catenaia ha la popietà di avee in ogni suo punto una distibuzione unifome del suo peso totale, questo tipo di cuva è stata spesso utilizzata pe ealizzae manufatti e stuttue achitettoniche. Ecco alcuni esempi di catenaie ivoltate.. Cupola di St Paul ( ) a Londa pogettata da Si Chistophe Wen.

4 Il ponte feoviaio Gaabit ( ), pogettato da Gustave Eiffel, è sostenuto da una catenaia iflessa Bacellona, achi di catenaia nell attico di Casa Milà ( ) Gaudì Galileo Galilei che semba sia stato il pimo a posi il poblema di una descizione matematica di questa cuva, aveva pensato a una paabola. Non tanto pe la foma molto simile a quella paabolica che poteva speimentalmente ossevae, quanto piuttosto sulla base di una analogia col moto di un poiettile. Galileo pensò che, come il poiettile in moto in ogni istante è sottoposto a due azioni: una natuale che lo spinge veso il basso pe effetto del suo peso e l'alta " equabile" che ha la diezione del movimento, così anche nella catena ogni anello è sottoposto alle stesse due azioni. Pe il moto del poiettile Galileo ea iuscito a dimostae la natua paabolica dell'obita e nello stesso modo pensò si potesse fae pe la catena. Tuttavia in quel caso ogni anello della catena è sottoposto alla foza pesa e a una seconda foza, la tensione, che divesamente da quello che accade pe il poiettile è tangente alla cuva. Questa poblema può essee didatticamente utile pe sottolineae che non basta che una cuva assomigli come foma a una paabola pe essee una paabola. Pe capie se una cuva è veamente una paabola si devono conoscee delle sue distintive caatteistiche. Possiamo intanto iniziae in modo speimentale seguendo le indicazioni dello stesso Galileo scitte in una lingua italiana di gande bellezza. Lo stumento che abbiamo pepaato, che è lo stesso che lui suggeisce, consente di confontae divese catenaie con la paabola.

5 Ecco quello che Salviati affema nella Seconda gionata del dialogo Discosi e dimostazioni intono a due nuove scienze: Salviati: Feminsi ad alto due chiodi in un paete, equidistanti all'oizonte e ta di loo lontani il doppio della laghezza del ettangolo su 'l quale vogliamo notae la semipaabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile, e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del pisma: questa catenella si piega in figua paabolica, sì che andando punteggiando sopa 'l muo la stada che vi fa essa catenella, aemo descitta un'intea paabola, la quale con un pependicolo, che penda dal mezo di quei due chiodi, si divideà in pati eguali. Possiamo fae lo stesso espeimento punteggiando su un foglio di cata fomato A3 fissato sulla paete veticale del nosto stumento la stada che fa essa catenella. Galileo semba sostenee che la linea descitta sia un aco di paabola, tuttavia più avanti, nella quata gionata c'è un alto accenno alla catenaia nella quale l affemazione pecedente viene in qualche modo coetta. Salviati si espime oa utilizzando temini che fanno pensae alla catenaia come appossimazione della paabola : Salviati:..Ma più voglio divi, ecandovi insieme maaviglia e diletto, che la coda così tesa, e poco o molto tiata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paaboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segneete in una supeficie piana ed eetta all'oizonte una linea paabolica, e tenendola invesa, cioè col vetice in giù e con la base paallela all'oizonte, facendo pendee una catenella sostenuta nelle estemità della base della segnata paabola, vedete, allentando più o meno la detta catenuzza, incuvasi e adattasi alla medesima paabola, e tale adattamento tanto più esse peciso, quanto la segnata paabola saà men cuva, cioè più distesa; sì che nelle paabole descitte con elevazioni sotto a i g. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopa la paabola. Oa Galileo pecisa meglio il tipo di espeimento che suggeisce di fae e che possiamo ealizzae col nosto stumento. Si fissa sulla paete veticale un foglio sul quale punteggiamo il cammino della catena. Con un filo a piombo equidistante ai due chiodi si individua l'asse di simmetia della cuva ottenuta e il suo vetice. Si fa questo disegno su divesi fogli con catenelle men cuve L'elevazione è l'angolo fomato dalla cuva e dalla etta oizzontale che passa pe i due chiodi: ciò che Galileo sostiene, e che andemo a veificae, è che sotto i 45 la catenaia è meglio appossimata dalla paabola. Ma come possiamo confontae queste cuve con una paabola? Come fae a costuie una paabola esattamente? Cosa è una paabola? Pe ispondee a queste domande

6 occoe una popietà geometica che iesca a caatteizzae tutti i punti che si tovano sulla paabola. Possiamo intanto die che la paabola ha un asse di simmetia e un vetice che è l'unico punto della paabola che si tova sull'asse. Le stesse case abbiamo anche pe la catenaia. Occoe dunque qualche ata popietà. Non è difficile vedee che se assegniamo, olte al vetice e all'asse, anche un punto del piano, esiste una sola paabola che ha quel vetice, quel asse e che passa pe quel punto: tutti gli alti infiniti punti della paabola si tovano in una posizione ben pecisa e deteminata da questi dati. Infatti i punti P=(x,y) della paabola, che ha il vetice nell'oigine del ifeimento, e l'asse coincidente con l'asse delle ascisse, sono caatteizzati dal fatto che y =px Ciò può essee intepetato geometicamente dicendo che, se x è l'ascissa di un punto P della paabola, alloa, costuito il tiangolo ettangolo OPS ettangolo in P, la poiezione del cateto PS sull'ipotenusa è costantemente uguale a p, dato che l'altezza y deve essee media popozionale ta le poiezioni x e p dei due cateti. Ne segue che, se Q un nuovo punto, costuito il tiangolo ettangolo OQT, il punto Q si tova sulla paabola se e solo se la poiezione di QT è uguale alla poiezione di PS. Q si tova sulla paabola peché la poiezione di QT è uguale alla poiezione di PS. M non si tova sulla paabola peché la poiezione di ML è più piccola di p; pe U invece la poiezione è più piccola di p; pe U invece la poiezione Individuando l'asse e il vetice e un punto di una cuva che assomiglia a una paabola, possiamo, a patie da questi dati, costuie tutti gli alti punti della paabola e contollae se questi si sovappongono o meno alla data cuva. Possiamo fae questo esecizio col nosto stumento: mettiamo un foglio A3 sulla paete facciamo pendee una catena e segniamo sul foglio i suoi punti. mettiamo un filo a piombo pe individuae con pecisione l'asse di simmetia e il vetice stacchiamo il foglio dallo stumento pe poteci disegnae sopa pendiamo un punto P che non sia il vetice della cuva e costuiamo con una squada il tiangolo ettangolo OPS (S sull'asse) pendiamo un secondo punto Q, tacciamo con una squada il tiangolo OQT e veifichiamo se le poiezioni di PS e QT sono uguali Se esistono due punti pe i quali le poiezioni sono divese la linea che abbiamo tacciato non può essee una paabola.

7 Possiamo anche sevici un softwae di geometia dinamica come ad esempio Geogeba. Si costuisce una maco che disegna, come luogo, tutti i punti di una paabola a patie dai seguenti oggetti iniziali: una etta (l'asse), un punto O sulla etta (vetice), un punto P fuoi dall'asse. La maco si costuisce facilmente usando la caatteizzazione pecedente dei punti della paabola. Fatto questo possiamo veificae col nosto softwae se una data linea sia o meno un aco di paabola. Consideiamo, ad esempio, il gande aco di Saint Louis. Possiamo pocedee in questo modo: si impota nel foglio da disegno di geogeba l'immagine dell'aco si individua l'asse di simmetia e il vetice supeioe di questa cuva si sceglie un punto sulla cuva e si costuisce col softwae la paabola con quel vetice, quel asse e passante pe quel punto. si va poi a vedee se questa paabola si sovappone alla data cuva. Un alto modo di pocedee, se si vuole dimostae che una cuva non è un aco di paabola, è quello di tovae una popietà geometica delle paabole che non si veifica nell'esempio consideato. Una di queste iguada i punti medi di una famiglia di code paallele: nel caso di una paabola questi punti si tovano su una etta paallela all'asse. Non è difficile dimostae questa popietà con gli stumenti della geometia analitica. Ecco un esempio ealizzato con Geogeba nel quale confontiamo una cuva, dotata di asse di simmetia e di vetice, con una paabola.

8 I punti ossi non sono allineati. Ecco alti esempi che si possono scaicae dalla ete Bacellona, Collegio delle teesinas, Gaudì

9 Londa, Millennium Bidge Iaq, Ctesiphon (IV sec A.C.)

10 Il segeto della catenaia: il coseno ipebolico Nel 1699 Jungius dimostò che la cuva di una catena appesa, sotto l'azione della gavità, non è una paabola. Johann Benoulli, attaveso una ivista scientifica, lanciò nel 1690, una sfida ai più impotanti matematici del suo tempo invitandoli a isolvee il poblema di tovae una equazione pe descivee la cuva-catena. La isposta fu data poco dopo nel 1691 da Leibniz, Huygens e Johann Benoulli. Huygens fu il pimo ad usae il temine "catenaia" in una lettea a Leibniz nel 1690 e David Gegoy scisse nello stesso anno un tattato su questa cuva. Pe pote iniziae lo studio teoico della catenaia scegliamo un sistema di ifeimento otogonale. Pendiamo come asse delle odinate la etta passante pe il punto O, il punto più basso della catenaia e pependicolae alla tangente in O alla cuva. Sia P=(x,y) un punto della cuva e s la lunghezza dell'aco OP. In questo modo x=x(s) e y=y(s) isulteanno delle funzioni di s e vicevesa s saà una funzione di P cioè di x e y. In paticolae x(0)=0. Ricodiamo che le deivate di queste funzioni ispetto ad s danno le componenti del vettoe tangente alla cuva in P. Sia T (s) la tensione della catena nel punto P. Il vettoe T (s) è un vettoe tangente alla cuva e, se T (s) =T(s) è il modulo di questo vettoe, alloa le sue due componenti oizzontale e veticale sono date da dato che, come abbiamo detto, T (s) = (T(s) dx ds ( dx ds, dy ds ) dy,t(s) ds ) sono le componenti del vesoe tangente alla cuva nel punto P. Sull'elemento ds della catena agiscono te foze: la tensione T (s) nel punto P, che tia veso O, la tensione T (s+ ds) nel punto P' che tia nel veso opposto e la foza peso " F ds dell'elemento ds che tia veso il basso. F è un vettoe la cui componente nella diezione oizzontale è nulla e quella veticale è il peso specifico p (o la densità) dell'elemento ds. Nel caso della catenaia si suppone che la catena sia di mateiale omogeneo ed eteogeneo e che quindi la densità p sia costante. Un caso diveso molto

11 inteessante, come vedemo si ottiene quando p cesce popozionalmente con l'ascissa di P. Queste te foze si devono equilibae in ogni punto s della catena: T (s+ ds)" T (s)" F ds = 0 Dividendo pe ds toviamo la condizione di equilibio d T (s) = F ds che scitta pe componenti dà le due equazioni integando otteniamo d dx (T(s) ds ds ) = 0, d dy (T(s) ds ds ) = p T(s) dx dy = costan te, T(s) ds ds = La pima equazione ci dice che la tensione oizzontale è costante pe tutta la lunghezza della catenaia, mente la seconda equazione, supponendo che p sia costante (e in questo caso l'integale è semplicemente ps) ci dice che la tensione veticale cesce, a patie dal punto più basso O, popozionalmente alla lunghezza s dell'aco da O a P. Facciamo oa, nel caso della catenaia (quando cioè p si suppone costante), il appoto ta queste equazioni. La tensione spaisce (si semplifica) e, chiamando pc la costante elativa alla pima equazione, toviamo c dy = s dx che, unita alla elazione ds = dx +dy, fonisce le elazioni c dy = s dx ds = dx +dy Queste equazioni legano ta loo i diffeenziali delle quantità x, y, s e il poblema si iduce a quello di calcolae le funzioni che veificano queste elazioni. Eliminando dy toviamo c ds = c + s dx Questa elazione che lega x, s e i loo diffeenziali, se integata, pemette di tovae la dipendenza di x da s e vicevesa. P " 0 pds

12 x(s)" x(0) = x(s) = P P ds dt # = c#, t = s 0 1+ s 0 1+ t c c L'integale può essee esplicitamente calcolato con un po di astuzia tamite il logaitmo natuale. P # dt # " = log t + 1+ t & P % ( 0 1+ t $ ' = log s & % s + 1+ ( 0 % c $ c ( ' questo calcolo ci pemette di tovae l'espessione esplicita della funzione incognita x(s): " x(s) c = log s % $ s + 1+ ' $ c # c ' & Questa funzione ha una espessione complicata mente la sua invesa, che espime s in funzione di x, ha una foma più semplice. Si tatta di una nuova funzione di gande inteesse e semplicità che nasce come funzione invesa di un integale, situazione questa che si ipesenta nello studio degli integali ellittici e non del tutto nuova se pensiamo che dt # = ac sen(t) 1" t è la funzione invesa della funzione sen(t). Calcoliamo esplicitamente s in funzione di x. Cominciamo col togliee il logaitmo usando la sua funzione invesa, abbiamo x e c = s c + s 1+ c con facili calcoli, # x e c " s & % ( % c = 1+ s ( c $ ', e x c " s x c ec = 1 e quindi, icavando s, otteniamo la funzione cecata x s(x) = c ec " e " x c

13 Questa funzione è molto impotante e le si dà una suo nome popio. Pe agioni di stettissima paentela con la funzione seno, agioni che vedemo più avanti, questa funzione si chiama seno ipebolico e si indica con sinh. Abbiamo quindi s(x) = c sinh( x c ) dove sinh(t) = et " e "t Questa funzione espime la lunghezza s dell'aco di catenaia che va da O al punto P di ascissa x. Non è difficile vedee che la sua deivata, che chiamiamo coseno ipebolico, è data da cosh(t) = et + e "t Ci sono molte analogie con le funzioni tigonometiche standad ta cui cosh (t) - senh (t) = 1 pe ogni t e quindi i punti di coodinate (cosh(t), senh(t)) si tovano tutti sull'ipebole equilatea di equazione X - Y = 1 Alte analogie, intoducendo ad esempio la funzione tanh(t), possono essee tovate diettamente dagli studenti. La diffeenza essenziale con le funzioni tigonometiche (dette anche cicolai) è tutta in un segno Tonando alla catenaia, se vogliamo tovae l'espessione di y in funzione di x basta tene conto del fatto che c dy = s dx : sostituendo il valoe di s che abbiamo tovato isulta dy = s c dx = sinh(x c ) dx da cui, integando x P y(x)" y(0) = sinh( x P # ) dx = c sinh(t) dt c # = c et + e "t P = c ec + e " x c " c in definitiva, se pendiamo l'oigine del sistema di ifeimento in modo che l' odinata del punto O sia c, l'equazione della catenaia è semplicemente un coseno ipebolico x y(x) = c ec + e " x c = c cosh( x c ) mente la lunghezza di un aco di catenatia dal punto O a un opunto P di ascissa x è data da

14 x x s(x) = c ec " e c = c sinh( x c ) Questa equazione può essee facilmente tabulata anche con un foglio elettonico e il suo gafico può essee tacciato pe vai valoi del paameto c. Si nota come man mano che il paameto c aumenta la catenaia si allaga sempe più. E' inteessante notae la foma della cuva quando la catena non sia omogenea ma il suo peso aumenti popozionalmente a x nella diezione oizzontale. In questo caso P " p ds = kx, (k cos tan te) 0 e l'equazione della cuva diventa, aggiustando oppotunamente le costanti, c dy = x dx che integata fonisce l'equazione di una paabola (come sosteneva Galileo Galilei) y(x) = x c La situazione in cui il caico della stuttua è popozionale alla distanza in oizzontale dal punto O è molto facile da ealizzae: Nel caso descitto dalla figua la cuva OP sostiene con dei tianti veticali, una stuttua oizzontale AB molto più pesante. Supponendo che i fili con cui sono fatti i tianti e la linea OP siano molto più leggei del tatto oizzontale AB, abbiamo che la tensione veticale cesce in popozione alla distanza AB.

15 Molti ponti sono costuiti in questa maniea sopatutto quelli più pimitivi fatti di liane e tavole. Famoso è il ponte di San Fancisco in Califonia la cui cuva sovastante non è una catenaia ma una paabola