1) In un piano sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza nota r ed una parabola p che seca k nei punti A e B

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1 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento ) n un piano sono assegnate una ciconeenza di aggio di lunghezza nota ed una paabola p che seca nei punti A e B e passa pe il suo cento C. nolte l'asse di simmetia della paabola è pependicolae alla etta AC e la coda AB è lunga quanto il lato del tiangolo equilateo inscitto in. Dopo ave ieito il piano ad un conveniente sistema di assi catesiani (O): a) deteminae l'equazione della paabola p; b) calcolae il volume del solido geneato, con una otazione completa attono alla etta AC, dalla egione piana delimitata dai segmenti di ette AB e AC e dall'aco BC della paabola p; c) consideata la etta t, tangente alla paabola p e paallela alla etta AB, tovae la distanza delle ette t ed AB; d) dopo ave dimostato analiticamente che p e non hanno alti punti comuni olte ad A e B, calcolae le aee delle egioni piane in cui p divide il cechio delimitato da. a) Consideiamo il sistema di ieimento in modo da avee il cento della ciconeenza coincidente con l oigine del sistema stesso (,). Con tale assunzione la ciconeenza avà equazione: : Consideiamo oa la igua seguente in cui è stato inscitto nella ciconeenza il tiangolo equilateo: Dal gaico si evince che:

2 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento AB BH BC sin HC BC sin( ) ( 6 ) Con tali consideazioni i punti A,B si deteminano subito: inatti A,, B, n tal modo imponendo il passaggio pe i punti (, ), B,, C (,) equazione A alla paabola di a b c si icava il sistema seguente: a b c a b c c a b a b c a b c Pe cui l equazione è: p : b) Consideiamo la igua sottostante.

3 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento nnanzitutto calcoliamo la etta AB: AB * * : l volume desideato lo calcoliamo in questo modo: d d d d

4 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento c) La etta tangente alla paabola e paallela alla etta AB ha equazione dove il valoe lo toviamo imponendo la condizione di tangenza: Da cui la condizione di tangenza impone: * Da cui la tangente è : t Calcoliamo oa il punto di contatto ta tangente e paabola: 6 6 Quindi il punto di contatto è, T La etta AB la isciviamo come : AB Pe cui la distanza di T dalla etta AB è: 6 * d

5 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento 5 d) Calcoliamo i punti di intesezione ta ciconeenza e paabola:, 7 Consideiamo oa la seguente igua: Le aee di inteesse si calcolano in tal modo: d d d S

6 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento 6 Calcolo d Si eettua la sostituzione d d sin * cos * Oa cos cos Pe cui sin cos sin *sin cos d d d d Calcolo 6 d Pe cui S Da cui 6 S S

7 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento a b ) Sono assegnate le unzioni in : dove a, b sono paameti eali. a) Fa tali unzioni indicae con () quella pe cui la cuva di equazione (), disegnata in un piano ieito ad un sistema di assi catesiani otogonali (O), soddisi alle seguenti condizioni: la etta di equazione sechi in due punti e sia tangente ad essa in un punto; l'asse sia tangente a in due punti distinti. b) Disegnae l'andamento di. c) Calcolae l'aea della egione piana delimitata da e dall'asse. d) Calcolae: d. ) mponiamo la pima condizione di tangenza in un punto alla etta e che la etta sechi la cuva in punti: a b ( a ) ( b ) Oa die che la cuva ha un punto di tangenza con la etta e che la suddetta etta sechi la cuva stessa in due punti distinti, equivale a die che l equazione isolvente ( a ) ( b ) deve avee due soluzioni distinte e due coincidenti. La pesenza di due soluzioni coincidenti è assicuata se e solo se ( b ) b [ ] Da cui l equazione isolvente diventa ( a ) ( a ) la quale pesenteà due soluzioni coincidenti elative all ascissa e due soluzioni distinte e eali se e solo se ( a ) a Ed in tal caso le soluzioni distinte hanno ascisse, ± a Con queste consideazioni imponiamo l alta condizione e cioè che l asse delle ascisse sia tangente alla cuva in due punti distinti. nnanzitutto imponiamo il sistema: a b a b che con la condizione b impone l equazione a. Ma tale equazione può essee iscitta anche nel seguente modo: 7

8 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento a Oa imponendo la condizione di tangenza sulla cuva a otteniamo un unico punto di tangenza in unzione di e quindi attaveso la condizione otteniamo che la cuva è tangente all asse delle ascisse in due punti distinti. Quindi la condizione da impoe è: a a ± Di cui solo la soluzione a è accettabile dovendosi avee a pe soddisae la pima condizione. n conclusione la cuva inale è: ( ) ( ) ( ) b) Studio della unzione Dominio: R ( ) ( ) ntesezione asse : ± ntesezione asse : Paità o dispaità: la unzione è pai, inatti ( ) ( ) ( ) ( )( ) Asintoti: non ci sono asintoti veticali, oizzontali ed obliqui ( ) ( ) Compotamento a ± : lim ± Cescenza e decescenza: attoe: ( )( )( ) ( ) > ( )( ) > che studiamo studiando sepaatamente ogni

9 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento nolte 6 ( 5 ) ( ) > (,) (,) è un minimo è un massimo () > (,) è un minimo 6 nolte si dimosta che ( 5 ) ( ) ± l gaico è sotto appesentato:

10 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento c) L aea cecata è appesentata dalla igua sottostante: E l aea è: () 6 actg actg d d A n cui abbiamo suttato la paità della unzione d) Calcoliamo: d Opeiamo la sostituzione t da cui deiva: dt d t t,, pe cui () () 6 dt t dt t d n cui ancoa una volta è stata suttata la paità della unzione.

11 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento ) Consideae i coni cicolai etti in cui è uguale a una lunghezza assegnata la somma del doppio dell'altezza col diameto della base. Fa tali coni deteminae quello di volume massimo e stabilie se ha anche la massima aea lateale. Nel cono di volume massimo inscivee poi il cilindo cicolae etto avente la base sul piano di base del cono e volume massimo. A completamento del poblema, consideata una unzione eale di vaiabile eale (), deinita in un intevallo, e detta () decescente in se ' '' implica (') > ('') pe ogni ', '', dimostae il seguente teoema: Sia () una unzione eale di vaiabile eale deivabile in un intevallo. Condizione suiciente ma non necessaia ainché () sia decescente in è che isulti '() pe ogni appatenente ad. a) Consideiamo il cono ABC con aggio di base BH ed altezza CH: Pe ipotesi si sa che CH AB in cui la costante assegnata pe comodità è stata indicata con, ovviamente con >. Quindi la elazione diventa: l volume del cono è: CH AB ( BH ) ( CH ) pe cui posto BH il volume lo si espime in questo modo: ( ) con la limitazione geometica. Calcoliamo oa le deivate del volume pe tovae eventuali punti di massimo o minimo:

12 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento 6 > > Pe cui il valoe massimo del volume del cono lo si ha in coispondenza di e tale massimo vale. L aea lateale è data dalla omula seguente: CH BH BH CB BH CB BH A L Anche in tal caso ne calcoliamo la deivata pima: [ ] A L, > > dal momento che il 7. Quindi il massimo dell aea lateale lo si aggiunge in uno degli estemi dell intevallo [ ], : in paticolae A A L L Pe cui l aea lateale massima la si ha pe in coispondenza del quale il volume assume valoe nullo. b) Si considei la igua sottostante:

13 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento l volume del cilindo EDFH è pai a: GE HE Oa poniamo, BH HE L altezza GE la si icava suttando la similitudine ta i tiangoli ettangolo CHB e GEB pe cui si ha: GE GE EB GE HB CH : : : : Pe cui il volume saà:, GE HE Calcoliamo le deivate: 6 > Pe cui il massimo del volume lo si ha pe e tale valoe massimo vale 7 6. c) La condizione suiciente del teoema la si dimosta icodando un ulteioe teoema, quello di Lagange: pendiamo a tal poposito un intevallo [ ] '' ', con '' ' in cui pe ipotesi. Tale teoema aema che ] [ ' '' ' '' '' ' :, ξ ξ Essendo [ ] '' ', si ha

14 Sessione odinaia 7 Liceo di odinamento come volevamo dimostae. '' ' ( ) ( ) ξ ( '' ) ( ' ) ( '' ) ( ' ) '' ' Pe dimostae che questa condizione non è necessaia poteemo un contoesempio: l esempio lampante è la unzione che è decescente R. Tuttavia se pendiamo un intevallo [ a, b] includente il punto non potemo die che in [ a, b] dal momento che la deivata pima ( ) in si annulla. natti la unzione in ha un lesso.