Capitolo 20:La Circonferenza nel piano Cartesiano

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1 Capitolo 20:La Ciconfeenza nel piano Catesiano 20.1) Una ciconfeenza è una conica la cui equazione geneale è del tipo x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 oppue (x α) 2 + (y β) 2 = 2 ed individua il luogo geometico dei punti equidistanti da un punto fisso detto cento. Il cento della ciconfeenza ha coodinate C (α, β), in cui α = 1 a e β = 1 b. 2 2 Il aggio di tale ciconfeenza si può ottenee dalla = a2 4 + b2 4 c. Qualoa sia a = b = 0 (α = β = 0) le equazioni si iducono a x 2 + y 2 c = 0 o x 2 + y 2 = 2 che appesenta una ciconfeenza centata nell oigine (0; 0) e di aggio. Così pe esempio la x 2 + y 2 9 = 0 e la x 2 + y 2 1 = 0 sono due ciconfeenze concentiche centate nell oigine e di aggio ispettivamente 3 e 1. Equazioni del tipo x 2 + y 2 + ax + c = 0 (b = 0) e x 2 + y 2 + by + c = 0 (a = 0) coispondono a ciconfeenze aventi il cento sull asse delle x ( 1 a; 0) e delle y (0; 1 b) ispettivamente: 2 2 x 2 + y 2 + ax + c = 0 x 2 + y 2 + ax + c = 0 x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 x 2 + y 2 + c = ) Data la ciconfeenza di equazione x 2 + y 2 + aa + bb + c = 0 e la etta di equazione y = mm + q si possono deteminae le coodinate degli eventuali punti in comune mettendo a sistema le due equazioni. Si ottiene l equazione isolvente x 2 + (mm + q) 2 + aa + b(mm + q) + c = 0: se il disciminante,, dell equazione è negativo la etta e la ciconfeenza non si incontano; se il disciminante,, dell equazione è nullo la etta e la ciconfeenza si incontano in un punto e la etta è tangente alla ciconfeenza; se il disciminante,, dell equazione è positivo la etta e la ciconfeenza si incontano in due punti e la etta è secante alla ciconfeenza. Come applicazione condideiamo i seguenti esempi..1. Data la ciconfeenza di equazione x 2 + y 2 16 = 0 ed il punto P(5; 0) vogliamo tovae le equazioni delle ette pe P tangenti alla ciconfeenza e le coodinate dei punti di tangenza.

2 Le ette del fascio pe P hanno equazione y = m(x 5), e, mettendo a sistema con l equazione della ciconfeenza si ha x2 + y 2 16 = 0 da cui,pe sostituzione, l equazione isolvente y = m(x 5) x 2 + m 2 (x 5) 2 16 = 0 cioè (m 2 + 1)x 2 10m 2 x + 25m 2 16 = 0. Pe la tangenza è necessaio che il disciminante dell equazione sia nullo, cioè: 25m 4 (25m 2 16)(m 2 + 1) = 0 da cui m = 4 e le ette tangenti hanno equazione y = 4 20 x e y = x 3 3 P 5;0 P Pe le coodinate dei punti di tangenza si mettono a sistema le equazioni della ciconfeenza e delle ette: y = 4 20 x x 2 + y 2 16 = y = x cioè x ( x + 9 5)2 16 = 0 y = 12 5 da cui x = 16 5 P ; pe il punto P pe ovvie agioni di simmetia si ha P ( 16 5 ; 12 5 ). che sono le coodinate del punto.2. Deteminae l equazione della etta tangente alla ciconfeenza di equazione x 2 + y 2 + 4x + 2y = 0 nel suo punto P(0; 0). Il fascio di ette pe l oigine ha equazione y = mm e mettendo a sistema si ha l equazione isolvente (m 2 + 1)x 2 + 2x(m + 2) = 0. Pe avee tangenza deve essee = (m + 2) 2 = 0 quindi m = 2 e l equazione cecata è y = 2x. Altenativamente, siccome la ciconfeenza data ha cento C( 2; 1) la pependicolae alla tangente cecata che passa pe C e pe P avà equazione y = y+1 cioè y = 1 x da cui la tangente avà coefficiente x x+2 2 angolae m = 2. Ancoa si può impoe che la distanza ta la etta tangente in (0;0) ed il cento della ciconfeenza sia uguale al aggio della stessa che è = = 5. Quindi 5 = 2m+1 da cui m m2 + 5 = 4m m o (m + 2) 2 = 0 e m = 2. C

3 .3. Data la ciconfeenza di equazione x 2 + y 2 + 2y = 0 ed il punto P(- 2; 0) deteminae le equazioni delle ette pe P tangenti alla ciconfeenza e le coodinate dei punti di tangenza. P(-2;0) C Il fascio di ette pe P ha equazione y = m(x + 2); mettendo a sistema con l equazione della ciconfeenza si ha l equazione isolvente x 2 + m 2 (x + 2) 2 + 2m(x + 2) = 0 cioè (m 2 + 1)x 2 + 2mm(2m + 1) + 4m(m + 1) = 0. Pe avee tangenza deve essee = m 2 (2m + 1) 2 4m(m 2 + 1)(m + 1) = 0 cioè m = 0 e m 4(m 2 + 1)(m + 1) = 0 da cui m = 4. 3 Le equazioni delle tangenti sono quindi y = 0 ed y = 4 (x + 2) = 4 x 8. Pe le coodinate dei punti di tangenza si mettono a sistema ciascuna delle equazioni e quella della ciconfeenza ottenendo (0;0) e x 2 + ( 4 x )2 + 2( 4 x 8 ) = 0 cioè x2 + 40x + 16 = 0 da cui x = 4 5 e y = = 8 5. È possibile icavae l equazione di una ciconfeenza dalla conoscenza di una seie di infomazioni ad essa elative. Illustiamo quanto affemato con una seie di esempi:.1. Deteminae l equazione della ciconfeenza passante pe i punti di coodinate A(- 2; 0); B(+3; 0); C(0, +4). 4 2a + c = 0 Deve essee, sostituendo le coodinate dei punti nella x 2 + y 2 + aa + bb + c = 0: 9 + 3a + c = b + c = 0 2a c = 4 cioè: 3a + c = 9. Sommando membo a membo le pime due equazioni si ha a = 1 e c = 6; 4b + c = 16 sostituendo c nella teza si ottiene b = 5 e l equazione cecata è 2 x2 + y 2 x 5 y 6 = Deteminae l equazione della ciconfeenza di cento C(1; 3) e passante pe il punto di coodinate A(- 2; 0).

4 Si ha a = 2 1 = 2 e b = 2(3) = 6 da cui sostituendo le coodinate di A ed i valoi di a e b nella x 2 + y 2 + aa + bb + c = 0 si ha 4 2( 2) + c = 0 e c = 8. L equazione cecata è alloa x 2 + y 2 2x 6y 8 = Deteminae l equazione della ciconfeenza passante pe i punti di coodinate A(+5; +3) e B( 3;+3) il cui cento si tova sulla etta di equazione y = x. Dovà essee a + 3b + c = 0; a + 3b + c = 0 e a = b da cui il sistema 5a + 3b + c = 34 2a + c = 34 3a + 3b + c = 18 cioè 6a c = 18 da cui a = 2; b = 2 e c = 30 che fonisce l equazione a = b a = b x 2 + y 2 2x + 2y 30 = 0.4. Deteminae l equazione della ciconfeenza di cento C(1;2) e tangente alla etta di equazione 4x + 3y + 15 = 0. Il aggio della ciconfeenza è pai alla distanza ta la tangente ed il cento cioè = = 5. L equazione della ciconfeenza saà (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25 cioè x 2 + y 2 2x 4y 20 = ) Dati due paameti eali α e β, non contempoaneamente nulli, e le due ciconfeenze di equazioni : x 2 + y 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 e : x 2 + y 2 + a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 la combinazione lineae, secondo α e β, delle equazioni stesse è α(x 2 + y 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 ) + β(x 2 + y 2 + a 2 x + b 2 y + c 2 ) = 0 o, equivalentemente, (α + β)x 2 + (α + β)y 2 + (αα 1 + βa 2 )x + (αα 1 + βb 2 )y + αc 1 + βc 2 = 0. Queste sono le equazioni di un fascio di ciconfeenze di geneatici e. Posto β = k con α 0, la seconda α equazione assume la foma (1 + k)x 2 + (1 + k)y 2 + (a 1 + ka 2 )x + (b 1 + kb 2 )y + c 1 + kc 2 = 0 che, pe k 1, appesenta le infinite ciconfeenze del fascio (tanne la che si ottiene pe α = 0 dall equazione pecedente). si possono pesentae vai casi. Se le due ciconfeenze geneatici sono secanti nei punti A e B tutte le alte ciconfeenze del fascio passano pe A e B che si dicono punti base del fascio, mente la etta pe A e B è il suo asse adicale. A B Pe k = 1 l equazione del fascio fonisce la (a 1 a 2 )x + (b 1 b 2 )y + c 1 c 2 = 0 che è l equazione dell asse adicale la cui combinazione lineae con la o con la, e cioè x 2 + y 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 + δ[(a 1 a 2 )x + (b 1 b 2 )y + c 1 c 2 ] = 0

5 è un alta foma dell equazione del fascio di ciconfeenze passanti pe A e B. -Pe esempio, date le ciconfeenze di equazioni : x 2 + y 2 33 = 0 e : x 2 + y 2 22 = 0, si deteminino i loo punti di intesezione e si scivano le equazioni del coispondente fascio di ciconfeenze e dell asse adicale. I punti di intesezione si deteminano mettendo a sistema le due equazioni delle ciconfeenze geneatici: x2 + y 2 3y = 0 x 2 + y 2 2x = 0 + y y = 0 x2 3y + 2x = 0 9 x2 2x = 0 y = 2 x 3 x = 0; x = y = 0; y = intesezione sono l oigine e P 18 ; L equazione del fascio si può scivee come x 2 + y 2 3y + k(x 2 + y 2 2x) = 0 cioè (1 + k)x 2 + (1 + k)y 2 2kk 3y = 0. L equazione dell asse si ottiene pe k = 1: 2x 3y = 0. y ed i punti di P x -Dati i punti A(1; 2) e B(1; 2) scivee l equazione del fascio di ciconfeenze che ammette A e B come punti base. Si tatta di scivee la combinazione lineae ta una qualsiasi ciconfeenza passante pe A e B e l asse adicale. Scegliendo come ciconfeenza quella di diameto AB si ha: a + 2b + c = 0 a + 2b + c = 5 b = 0 b = a 2b + c = 0 a 2b + c = 5 c = 5 a c = 3 e l equazione della a 2 + b2 c = 4 a 2 + b 2 4c = 16 a 2 + 4a + 4 = 0 a = ciconfeenza è x 2 + y 2 2x 3 = 0; l equazione dell asse è x 1 = 0 e quindi quella del fascio saà x 2 + y 2 2x 3 + k(x 1) = 0 cioè x 2 + y 2 + (k 2)x 3 k = 0 Se le due ciconfeenze geneatici di un fascio sono tangenti in un punto A, punto base del fascio, sono anche entambe tangenti in A ad una etta che è l asse adicale del fascio stesso. A

6 L equazione del fascio si ottiene o pe combinazione lineae delle due equazioni delle geneatici oppue pe combinazione lineae dell equazione di una delle due ciconfeenze e dell equazione dell asse adicale che è (a 1 a 2 )x + (b 1 b 2 )y + c 1 c 2 = 0. -Pe esempio date le ciconfeenze di equazioni : x 2 + y 2 4 = 0 e : x 2 + y 2 6x + 8 = 0 veificae che siano tangenti, deteminae le coodinate del punto di tangenza e, consideandolo come punto di base del fascio elativo scivee le equazioni del fascio e del suo asse adicale. L eventuale punto di tangenza si ottiene mettendo a sistema le equazioni delle due ciconfeenze: x 2 + y 2 4 = 0 x 2 + y 2 6x + 8 = 0 + y 2 4 = 0 x2 6x + 12 = 0 y = 0 A(2; 0) x = 2 Nel caso paticolae la tangente in A alla si ottiene immediatamente consideando che la ciconfeenza ha cento nell oigine e aggio = 2, da cui l equazione dell asse adicale è x 2 = 0. y x Si poteva ottenee l equazione dell asse dalla (a 1 a 2 )x + (b 1 b 2 )y + c 1 c 2 = 0 sostituendo i dati: (0 + 6)x + (0 0)y 4 8 = 0 da cui 6x 12 = 0 e x 2 = 0. L equazione del fascio saà alloa x 2 + y k(x 2) = 0 cioè x 2 + y 2 + kk 2k 4 = 0 Se le due ciconfeenze geneatici di un fascio sono concentiche, e quindi a 1 = a 2, b 1 = b 2 e c 1 c 2, l equazione del fascio è (1 + k)x 2 + (1 + k)y 2 + (1 + k)aa + (1 + k)bb + c 1 + kc 2 = 0 che coisponde ad infinite ciconfeenze concentiche, come isulta immediatamente iscivendo l equazione nella foma x 2 + y 2 + aa + bb + c 1+kc 2 1+k = 0, con k 1: è evidente che tale equazione coisponde ad un fascio di ciconfeenze concentiche di cento C( 1 a; 1 b) e aggio = a2 + b2 c 1+kc k l equazione sia quella di una ciconfeenza è necessaio che > 0). (pechè