Complementi. 1) Come raggruppare oggetti.

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1 Complementi. ) Come agguppae oggetti. Quando consideiamo il poblema di agguppae oggetti, in ealtà affontiamo poblemi di tipo assai diveso. A volte dobbiamo distibuie degli oggetti in cete posizioni, tenendo conto dell odine e pemettendo che uno stesso oggetto si ipeta anche più di una volta, come nel caso della colonna del totocalcio X 2 X X 2 X In questo caso gli oggetti sono 3 ( X 2), i posti sono 3 (sono imasto al vecchio totocalcio) e l odine è fondamentale! Poiché in ogni casella si può inseie uno dei te simboli X 2 in modo (in teoia) del tutto abitaio, il numeo delle possibili colonne del totocalcio è dato da 3 3 = Se i te simboli fosseo equipobabili (in questo caso non è veo, ma, altimenti ci complicheemmo toppo la vita) la pobabilità di uscita della colonna scitta saebbe data da, =. Il caso consideato è quello delle disposizioni (conta l odine) con ipetizione (i simboli possono, in questo caso devono, ipetesi) di 3 oggetti in 3 posti. Un caso paticolamente impotante che si può affontae con le disposizioni con ipetizione è quello di deteminae il numeo di tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme finito. Supponiamo infatti che l insieme A che stiamo consideando contenga elementi a, a2,..., a : un sottoinsieme di A è deteminato dalla scelta di alcuni (al limite, nessuno (sottoinsieme vuoto, ) o tutti (sottoinsieme totale, A)) elementi di A. Un qualsiasi sottoinsieme di A può, dunque essee identificato, scivendo sì sopa gli elementi che ad esso appatengono e no sopa gli alti si si no si no no, 2 4 a, a2, a3, a4, a5..., a { a, a } no a a =, ; si tatta cioè di consideae tutte le possibili disposizioni di due simboli {sì, no} in posizioni, ciascuna coispondente ad un elemento di A (tutti sì : (sotto)insieme totale; tutti no : (sotto)insieme vuoto). Dunque il numeo di tutti i sottoinsiemi di un insieme contenente elementi è 2. In geneale il numeo delle disposizioni di n elementi in posizioni è dato da n n... n = n. volte Se invece passiamo alle estazioni del lotto e consideiamo i numei estatti (tenendo conto dell odine di estazione) in una ceta uota estatto: 23 2 estatto: 7 3 estatto: 82 4 estatto: 49 5 estatto: 9 siamo di fonte ad una situazione in cui gli oggetti sono 9 (tutti i numei intei da a 9), non possono ipetesi (una volta estatto, il numeo non viene einseito nell una) e i posti a disposizione sono 5. Il fatto di dove evitae ipetizioni pota ad un cambiamento ispetto all esempio pecedente: se il pimo estatto può ancoa essee uno qualsiasi degli oggetti a disposizione (9), pe il secondo le possibilità si estingono agli 89 numei divesi dal pimo estatto e, pe il tezo, ne estano a disposizione solo 88. In definitiva il numeo delle possibili estazioni dei cinque numei del lotto su una uota, tenendo conto dell odine, è dato da

2 = Il caso consideato è quello delle disposizioni (conta l odine) semplici (gli oggetti non possono ipetesi) di 9 oggetti in 5 posti. In ealtà ad uno scommettitoe che ha giocato una cinquina non inteessa l odine in cui i numei sono stati estatti, ma solo il fatto che essi siano stati estatti. L estazione 23, 7, 82, 49, 9 è pe lui del tutto equivalente ad una qualsiasi alta che contenga quei cinque numei: ma quanti sono i possibili odinamenti di 23, 7, 82, 49, 9? Si tatta di un poblema di disposizioni semplici dei 5 pecedenti numei in 5 posti (quando il numeo di oggetti è pai al numeo di posti e non sono ammesse ipetizioni si pala di pemutazioni semplici) e sappiamo che il numeo di tali disposizioni è dato da = 5! = 2. Ragguppamenti come quello delle possibili cinquine su una uota, in cui non conta l odine degli oggetti, pendono il nome di combinazioni. Quindi ogni combinazione di 5 numei, dà luogo a 2 disposizioni. Ne segue che il numeo di tutte le possibili combinazioni di 5 numei, estatti ta i 9 numei del lotto, è dato dal numeo delle disposizioni (in cui conta l odine) diviso pe 5!, cioè ! = = 5! ! 5!85! = (a titolo di cuiosità i minuti che compongono la vita di un uomo di 8 anni sono pochi di meno del pecedente numeo). Come esempio, se consideo i quatto oggetti a, b, c, d, e te celle, ho i seguenti casi: disposizioni semplici (24) a, b, c a, c, b b, a, c b, c, a c, a, b c, b, a a, b, d a, d, b b, a, d b, d, a d, b, a d, a, b a, c, d a, d, c c, a, d c, d, a d, a, c d, c, a b, c, d b, d, c c, b, d c, d, b d, b, c d, c, b combinazioni semplici (4) a, b, c a, b, d a, c, d b, c, d. Consideiamo oa un poblema appaentemente diveso. Supponiamo di avee n oggetti di cui k di un tipo (chiamiamoli a) e n k di un alto (chiamiamoli b). Ci chiediamo quante siano le pemutazioni di questi oggetti (conta dunque solo l odine). Ad esempio, nel caso dei 5 oggetti a, a, a, b, b, le pemutazioni sono : a, a, a, b, b a, a, b, a, b a, b, a, a, b b, a, a, a, b a, a, b, b, a a, b, a, b, a b, a, a, b, a a, b, b, a, a b, a, b, a, a b, b, a, a, a n! In geneale il numeo di tali pemutazioni è dato da. k!( n k)! La dimostazione può essee svolta con l atificio di diffeenziae gli elementi dei due tipi (a e b) con l aggiunta di un indice, scivendo, cioè, a, a2,..., ak, b, b2,..., b n k invece di a, a,..., a; b, b,..., b k volte n k volte Le pemutazioni di questi n oggetti, così divesificati, sono, come visto, n! In ealtà tutte le pemutazioni che si ottengono da una di queste pemutando a loo volta, in tutti i modi possibili, gli 2

3 indici di a e di b, sono, in ealtà, la stessa pemutazione, una volta che eliminiamo tali indici posticci. Poiché le pemutazioni dei k oggetti a j sono k! e quelle degli n k oggetti b i sono (n k)! il n! numeo delle pemutazioni distinte degli n oggetti in questione è dato da (pe essee più k!( n k)! espliciti, nel caso dei 5 oggetti a, a, a, b, b, divenuti, con l aggiunta degli indici a, a 2, a 3, b, b 2, le 3! 2! = 2 pemutazioni (distinte, finchè si mantengono gli indici ausiliai) a, a 2, a 3, b, b 2, a, a 3, a 2, b, b 2, a 2, a, a 3, b, b 2, a 2, a 3, a, b, b 2, a 3, a, a 2, b, b 2, a 3, a 2, a, b, b 2, a, a 2, a 3, b 2, b, a, a 3, a 2, b 2, b, a 2, a, a 3, b 2, b, a 2, a 3, a, b 2, b, a 3, a, a 2, b 2, b, a 3, a 2, a, b 2, b, si iducono alla sola a, a, a, b, b quando gli indici vengono tolti; si ossevi anche che il numeo di tutte le pemutazioni di 5 oggetti, 5! 2 di cui 3 di un tipo e due dell alto, è dato da = =, esattamente come visto 3!(5 3)! 6 2 nell esempio della pagina pecedente). Situazioni del tipo di cui abbiamo appena palato, sono assai fequenti; ad esempio, se vogliamo conoscee pe esteso lo sviluppo del binomio (a + b) n, dobbiamo pensae a tale potenza come al podotto di n copie del binomio (a + b); i singoli monomi che compongono tale sviluppo saanno del tipo a k b n-k (k=,,, n), coeentemente al fatto di ave scelto, nell effettuae il podotto delle n copie del binomio (a + b), la lettea a in k fattoi e la lettea b nei estanti n k. Una tale scelta può essee visualizzata, ponendo sotto ogni fattoe quale dei due addendi è stato scelto, come mostato nel seguente esempio in cui è visualizzata uno dei possibili modi di ottenee il monomio a 5 b 2 nello sviluppo di (a + b) 7 ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) a b a a Di conseguenza tutte le possibili scelte delle lettee a e b, atte ad ottenee il monomio a k b n-k, coispondono a tutte le possibili pemutazioni di n oggetti di cui k eguali ad a e n k eguali a b e n! dunque tale monomio compae volte nello sviluppo di (a + b) n : k!( n k)! n n n! k n k ( a + b) = a b k = k!( n k)! (si icoda che, pe convenzione,!=). Tale fomula giustifica il nome di coefficiente binomiale n! con cui viene spesso chiamato il numeo ; si icoda inolte la notazione assai comune k!( n k)! n adottata pe tali coefficienti. k Un ultimo poblema, che si iallaccia a quanto detto a poposito del numeo di sottoinsiemi di un insieme finito, consiste nel deteminae quanti sono i sottoinsiemi di un insieme costituito da n elementi, che contengano esattamente k elementi. Un occhiata a quanto scitto a poposito del numeo di tutti i sottoinsiemi di un insieme dato, ci convince che tale numeo è pai a tutte le possibili disposizioni di n oggetti di cui k eguali a sì, coispondenti agli elementi che appatengono al sottoinsieme, e n k eguali a no ( gli alti). Quindi, pe ogni k compeso ta e n n, esistono sottoinsiemi di un insieme di cadinalità n, che contengono esattamente k elementi k a b a 3

4 n (pe k = e k = n il numeo vale, ed infatti esiste un solo sottoinsieme di A pivo di elementi k (l insieme vuoto) ed uno solo contenente tutti gli elementi di A (A stesso)); se sommiamo il numeo di tali sottoinsiemi, iotteniamo, com è natuale, il numeo di tutti i sottoinsiemi di A n n! n n! k n k n n = = ( + ) = 2. k = k!( n k)! k = k!( n k)! I coefficienti binomiali si distibuiscono secondo un caatteistico tiangolo, detto tiangolo di Tataglia, in cui ogni coefficiente si ottiene sommando i due elementi della iga pecedente immediatamente a sinista e immediatamente a desta del coefficiente che vogliamo calcolae n = n = n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = ) Compilazione del documento Excel Compleanni in data fissata.xls. Nel pimo foglio (data fissata) sono contenuti i isultati elativi ai valoi assunti dalla pobabilità P (s) di tovae, in un guppo di pesone, almeno s che festeggino il compleanno in una data pefissata. La fomula k k 364 P ( s) = k = s k dice che tale valoe coisponde alla somma di tutti i temini della distibuzione binomiale dal posto s in avanti. Esiste una funzione di Excel che pemette di opeae tale calcolo: =DISTRIB.BINOM(num_successi;pove;pobabilità_s;cumulativo) In essa num_successi è il numeo di successi nelle pove effettuate, dove successo significa tovae una pesona che festeggia il suo compleanno alla data pefissata, cioè, pe noi, k; pove è il numeo di pove effettuate, ovveo di pesone consideate, pe noi ; pobabilità_s è la pobabilità di successo pe ciascuna pova; la pobabilità di tovae una pesona nata in un giono pefissato vale ; cumulativo è un valoe logico. Se tale valoe è VERO, DISTRIB.BINOM estituià la funzione distibuzione cumulativa, ovveo la pobabilità di ottenee un numeo massimo di successi pai al valoe di num_successi. In alte paole: k j j 364 =DISTRIB.BINOM( k ; ; / ; VERO) = j = j

5 se il valoe cumulativo è FALSO, veà estituita la funzione massa di pobabilità, ovveo la pobabilità di ottenee un numeo di successi esattamente pai al valoe di num_successi, ovveo ancoa un singolo addendo della pecedente somma j j 364 =DISTRIB.BINOM( j ; ; / ; FALSO) = j Nel nosto caso k k 364 k k s 364 P ( s) = = = k = s k k = k = DISTRIB.BINOM( s -,,/, VERO) Nella pima colonna del documento Excel sono stati posti i valoi di s da a 25 (nelle celle A2:A26), mente la cella A27 la iseviamo ad un qualsiasi numeo (possiamo ad esempio scivee ); nella pima iga alcuni valoi di compesi ta a nelle celle B:AN e AO la iseviamo di nuovo ad un qualsiasi numeo (possiamo ad esempio scivee ); sciviamo il valoe della funzione in B2, ponendo =-DISTRIB.BINOM($A2-;B$;/;VERO) e poi dando l Invio (la pesenza del segno di $ davanti alla lettea di colonna A fa sì che, dovunque si copi il contenuto della cella B2, il ifeimento sia sempe alla colonna A; analogamente la pesenza del segno di $ davanti al numeo di iga pemette che, dovunque si copi il contenuto della cella B2, il ifeimento sia sempe alla iga ). A questo punto si Copia la cella B2 e la si Incolla da B2 a AO27. Compaianno i valoi di pobabilità cecati (le celle sono state fomattate come Pecentuale con 2 cife decimali; compaianno anche tanti #NUM!: significa solo che pe tali coppie di valoi la distibuzione binomiale non è definita). Giocando con i valoi contenuti nelle due celle A27 e AO, si possono tovae, al vaiae di s, i pimi valoi di pe cui la pecentuale supea il 5% (veificae la tabella contenuta nel documento Compleanni coincidenti); sempe giocando con i numei nelle due celle indicate si può ossevae che se s è molto gande, il pimo valoe di pe cui si supea la soglia del 5% è tale che il appoto s si avvicina sempe più a (pe s = 5, il minimo è 829, pe s =, il minimo è 36379) N.B.: nonostante quanto detto a lezione Excel è in gado di svolgee tali calcoli anche pe valoi di assai supeioi a. Nel secondo foglio (s date) si calcolano i valoi della pobabilità di tovae, una volta fissate s date, pe ognuna di esse almeno una pesona che festeggia il suo compleanno esattamente in quella data. Si tatta cioè di scivee la fomula s ' j s j P ( s) = ( ) j = j Pe fae ciò si scivono nella colonna A i valoi di s da 2 in A2 (il caso è già stato tattato) a in A e nella iga i valoi di : ne sono stati scelti alcuni, da a 4, nelle celle da B a J; nelle celle successive sono posti i valoi che, pe pimi, pemettono di ottenee almeno il 5% di pobabilità. Pe i valoi di s consideati la pobabilità assume i valoi ' P (2) = 2 + ' 364 P (4) = ; 363 ' P (3) = e così via 5

6 Si tatta alloa di scivee =-2*(364/)^B+(363/)^B nella cella B2, =- 3*(364/)^B+3*(363/)^B-(362/)^B in B3, e così via, fino a B. Si copia poi il contenuto delle celle B2:B, e lo si incolla su C2:S. Si ossevi, al vaiae di s, pe quali valoi di si ottiene pe la pima volta il valoe del 5%. Nel tezo foglio (2 coincidenze) si confontano, al vaiae di, la pobabilità di tovae (almeno) una pesona nata in una data pefissata (colonna F) con quella di tovae (almeno) una coppia di pesone nate nello stesso giono, non deteminato a pioi (colonna G). 3) Compilazione del documento Excel Coincidenze.xls. Nel pimo foglio (A) si costuisce la soluzione al poblema secondo il Metodo A. La fomula chiave pe il calcolo della pobabilità di tovae in un guppo di pesone almeno te che festeggiano contempoaneamente il compleanno è dato dalla fomula icosiva ( j) 2( j ) p j = p j + p j che assegna la pobabilità di tovae, in un guppo di pesone, j coppie con compleanni a due a due coincidenti e tutti gli alti con compleanni single. Nella colonna A, a patie da A3, si sono posti i valoi di j da a 25; nella iga 2, a patie da B2, i valoi di pue da a 25 (fino alla cella IQ2). Nella iga 3, si sono messi i valoi di p che sono tutti nulli. Lo stesso, pe motivi del tutto analoghi (si vedano le convenzioni adottate pe endee sempe valida la pecedente fomula), è stato fatto nella colonna B a patie da B5. Oa sistemiamo tutte le alte pobabilità, icodandoci che il valoe di p j si tova all incocio ta la colonna coispondente al valoe di (che è scitto nella iga 2) e la iga coispondente al valoe di j (che è scitto nella colonna A), basta poe =B4*(-(B$2-$A4))/+B3*(B$2-2*$A3)/ nella cella C4 e dae l Invio (uscià l omai ben noto,99726 = pobabilità di non tovae due pesone con lo stesso compleanno in un guppo di 2). La fomula Excel è facilmente giustificabile: in C4 si deve poe il valoe di 2 p, che dipende da p (che occupa la cella B4) e da p (che occupa la cella B3); si ossevi anche che in B2 vi è il valoe che coincide con, in A4 il valoe che coincide con j, in A3 il valoe coincidente con j, e che il segno di $ ha l effetto di bloccae il ifeimento che lo segue (sia esso di iga oppue di colonna). A questo punto basta copiae il contenuto della cella C4 e incollalo in C3:IQ254. Pe ottenee la pobabilità dell evento contaio (non ci sono 3 coincidenze), si devono sommae tutti i numei contenuti nelle colonne (nella iga 256), mente la pobabilità dell evento almeno 3 pesone festeggiano il compleanno nello stesso giono si ottiene sottaendo il pecedente valoe ad (iga ). Nel secondo foglio (confonti) vengono visualizzati sullo stesso gafico gli andamenti delle pobabilità dei te eventi 2 coincidenze di compleanni, 3 coincidenze di compleanni, compleanno in data fissata. Come si vede l ultimo evento è più pobabile del secondo solo fino a = 5; già a = 88 le te coincidenze supeano il 5%, mente il compleanno in data fissata è di poco supeioe al 2%. 6

7 Nel tezo foglio contolleemo (una pate de) i isultati ottenuti nel pimo foglio, utilizzando la fomula del Metodo B. Pe endee più agevoli i calcoli, conviene modificae leggemente la fomula [ / 2] ' (2 j)! π ( ) = ( ( j )) j = j! j 2 2 j sostituendo al coefficiente binomiale la sua espessione in temini di fattoiali, spalmando j ta gli fattoi sotto i temini del podotto ( ( j )) e sostituendo alla vaiabile j (ta e [/2]), la vaiabile m = j (che vaia ta [/2], coispondente a j=[/2], e, coispondente a j=): ' π ( ) = = [ / 2] j = m= [ / 2] j (2 j)!! j! j 2 (2 j)!( 2 j)! 73 m 364 ( j )...! ( m )!(2m + 2)! 2 m... A questo punto sciviamo nella colonna A i valoi di m (patendo dal valoe in A3, fino a 5 in k A53), quelli di k nella colonna B (stesso ange di m), i valoi di nella colonna C m (scivendo =-B3/ nella cella C3, invio, copia e incolla fino a C53), i podotti k k = nella colonna D, scivendo =C3 in D3, =C4*D3 in D4 e così via (in questo modo si aggiunge ogni k volta al podotto di un ceto numeo di temini consecutivi del tipo, il temine immediatamente successivo). A questo punto, nella colonna E, stimeemo la pobabilità dell evento complementae, scivendo il valoe di in E2 e moltiplicando il coispondente temine della! colonna D pe il coefficiente che a lui compete. Tale m 73 ( m )!(2m + 2)! coefficiente, se scitto in E3, ha la seguente espessione Excel: FATTORIALE(E$2)/(73^(E$2-$A3-)*FATTORIALE(E$2-$A3-)*FATTORIALE(2*$A3+2-E$2)) che, moltiplicato, sempe consideando la cella E3, pe il temine contenuto nella cella immediatamente a sinista (D3), fonisce il temine geneale della somma consideata. Copiando il contenuto della cella E3 e incollando fino a E53 si ottengono tutti gli addendi che foniscono Uso del simbolo $. Come già accennato, tale simbolo seve a fissae i ifeimenti: pe essee più pecisi, se, nella fomula contenuta in una cella, si fa ifeimento ad un alta cella, tale ifeimento deve essee consideato elativo, nel senso che iguada solo la posizione elativa della seconda cella ispetto alla pima. Ad esempio, se in una fomula contenuta in D7 si fa ifeimento al contenuto della cella C5, in ealtà ci si ifeisce alla cella situata una colonna a sinista e due ighe sopa la cella di patenza; se oa si incolla il contenuto di D7 in F, la cella a cui si faà ifeimento saà E9 (che si tova appunto una colonna a sinista e due ighe sopa F). Se nella fomula in D7 si fosse scitto $C5 invece di C5, il ifeimento continuava ad essee elativo pe quanto iguada l indice di iga (due posizioni sopa), ma fisso pe quel che iguada la colonna (sempe colonna C): così, se si incolla il contenuto di D7 in F, la cella a cui si faà ifeimento saà C9 (che si tova appunto due ighe sopa F, ma nella colonna C). È chiao ciò che succede negli alti casi; iassumendo fomula in D7 in cui vi è il ifeimento C5 incollato in F diviene E9; fomula in D7 in cui vi è il ifeimento $C5 incollato in F diviene $C9; fomula in D7 in cui vi è il ifeimento C$5 incollato in F diviene E$5; fomula in D7 in cui vi è il ifeimento $C$5 incollato in F esta $C$5. 7

8 " π ( ) ; bisogna peò tenee pesente che vanno sommati solo i temini compesi ta [/2] e. Excel è in gado di ealizzae automaticamente tale limitazione, utilizzando la funzione logica SE(test; se_veo; se_falso) ove test è un valoe o un'espessione qualsiasi che può dae come isultato VERO o FALSO, se_veo è il valoe che viene estituito se test è VERO, se_falso è il valoe che viene estituito se test è FALSO. " Nel nosto caso dovemo fae in modo che gli addendi che intevengono nell espessione di π ( ) siano nulli al di fuoi dell intevallo ichiesto: pe fae ciò basta usae due volte la funzione SE; si dovà poe in E3: =$D3*SE($A3>E$2-;;SE($A3<E$2/2-;;FATTORIALE(E$2)/(FATTORIALE(E$2-$A3-)* FATTORIALE(2*$A3+2-E$2)*73^(E$2-$A3-)))) copiae ed incollae fino a E53. Si ossevi infatti che nella colonna A si tovano i valoi di m e che in E2 si tova il valoe di ; quindi la condizione $A#>E$2 (# sta pe un qualsiasi numeo, indice di iga) significa m > e, quando ciò è veificato, l addendo deve essee nullo: infatti nella posizione se_veo c è il valoe ; altimenti (posizione se_falso) vi è una nuova funzione SE con test $A#<E$2/2-, che è equivalente a m < 2 (è popio la stessa cosa se è pai e, se è dispai, pue, peché m è un inteo); di nuovo, quando ciò è veificato, l addendo deve essee nullo (coisponde allo come secondo agomento); altimenti, ed oa è finalmente veificata la condizione 2 m, l addendo ha l espessione analitica non nulla che abbiamo deteminato in pecedenza. Si ossevi che l ultimo addendo non nullo coisponde al caso in cui non si pesenti alcuna coincidenza di compleanni. A questo punto, pe tovae la pobabilità dell evento complementae, basta sommae i valoi, ponendo =SOMMA(E3:E53) in E54 e, quindi, pe ottenee la pobabilità dell evento 3 coincidenze si scive =-E54 in E. Cambiando i valoi di in E2, si può veificae la coincidenza con i valoi ottenuti nel pimo foglio. 4) Compilazione del documento Excel Due coppie.xls. Nel pimo foglio si costuisce la soluzione secondo il Metodo A. Le due fomule chiave sono k = 2 = 2 + p p p ; k 2 = + k p k pk 2 p k Nella colonna A, a patie da A4, si pongono i valoi di k da a 25; nella iga 3, a patie da B3, i valoi di pue da a 25 (fino alla cella IQ). Nella iga 4, si sono messi i valoi di che sono tutti nulli. Oa sistemiamo tutte le alte pobabilità, icodandoci che il valoe di p k si tova all incocio ta la colonna coispondente al valoe di (che è scitto nella iga 3) e la iga coispondente al valoe di k (che è scitto nella colonna A): =B4/+B5*(-(C$3-$A5-))/ da scivee in C5 (uscià, come al solito,,99726). La fomula Excel è giustificabile esattamente come quella in Coincidenze.xls; bisogna solo ossevae che nella colonna A sono pesenti i valoi di k e non di k e questo giustifica il temine C$3-$A5-, eguale a ( k ). Basta copiae il p 8

9 contenuto di C5 e incollalo pima in C5:IQ5 e poi in C7:IQ255. Nella iga 6 bisogna usae l alta fomula: =(C$3-)*B5/+B6*(-(C$3-$A6-))/ in C6, invio, copia e incolla su C6:IQ6. Pe ottenee la pobabilità dell evento contaio si sommano tutti i valoi contenuti nelle colonne, ponendo =SOMMA(C5:C255) nella iga C257, invio, copia e incolla fino a IQ257, mente la pobabilità dell evento esistono almeno 2 coppie che festeggiano il compleanno nello stesso giono (diveso pe ogni coppia) si ottiene sottaendo il pecedente valoe ad (iga ). Nel secondo foglio vengono visualizzati sullo stesso gafico gli andamenti delle pobabilità dei te eventi 2 coincidenze di compleanni, 3 coincidenze di compleanni, compleanno in data fissata. Come si vede l ultimo evento è più pobabile del secondo solo fino a = 5; già a = 88 le te coincidenze supeano il 5%, mente il compleanno in data fissata è di poco supeioe al 2%. Il secondo foglio è dedicato al contollo dei isultati ottenuti nel pimo foglio, utilizzando la fomula del Metodo B: k = k p k = 2 k opeando il cambio di vaiabile k = m 2 m k k p = = = m k m m k = Sciviamo nella colonna A i valoi di m (patendo dal valoe in A3, fino a 5 in A53), quelli di k k nella colonna B (stesso ange di ), quelli di nella colonna C (scivendo =-B3/ in C3, m k invio, copia e incolla fino a C53), i podotti nella colonna D, scivendo =C3 in D3, k = =C4*D3 in D4 e così via. A questo punto, nella colonna F, stimeemo la pobabilità dell evento complementae, scivendo il valoe di in F2 e moltiplicando il coispondente temine della m colonna D pe il coefficiente che a lui compete. Quindi bisogneebbe scivee m in F3 la seguente espessione Excel: =D3*FATTORIALE(F$2)/(FATTORIALE(A3)*FATTORIALE(F$2-A3)*^(F$2--A3)) In ealtà bisogna consideae solo i valoi di m da a 2, mente, se m =, bisogna k consideae solo il podotto ; basta alloa scivee in F3 k = =SE($A3<F$2-;$D3*FATTORIALE(F$2)/(FATTORIALE($A3)*FATTORIALE(F$2-$A3)*^(F$2-- $A3));SE($A3<=F$2-;D3;)) Come negli alti casi la pobabilità dell evento contaio si ottiene sommando tutti gli addendi in F55 (=SOMMA(F3:F53)), e quella dell evento consideato in F, ponendo = F55. Il isultato ottenuto, sintetizzato nel gafico all inizio della pagina seguente, mosta che è estemamente più facile supeae il 5% di pobabilità nel caso della doppia coppia (basta = 36), che quello del tis (basta = 36). 9

10 ,% 75,% 5,% 25,% tis coppia 2 coppie,% ) Il poblema di inseie punti casuali in un quadato. Abbiamo visto all inizio del documento Compleanni coincidenti che, nell inseimento casuale di oggetti in n celle, la pobabilità di tovane k nella stessa cella segue la distibuzione binomiale, elativa alla pobabilità n (poiché supponiamo che sia equipobabile pe un oggetto finie in una cella piuttosto che in un alta) n p ( k) = k n n Questo isultato può pemetteci di capie se punti sono stati distibuiti casualmente oppue no in un quadato. Supponendo che il quadato abbia lato unitaio, possiamo infatti dividee il quadato in tanti quadatini di lato m e contae quanti punti sono caduti in ogni singolo quadatino e, dopo ave visto in quanti quadatini sono caduti,, 2, 3, ecc. punti, confontae la distibuzione ottenuta con quella teoica data dalla distibuzione binomiale con n = m 2 (che è, pe l appunto, il numeo dei quadatini). La cosa è meno banale di quanto possa sembae a pima vista, peché il isultato dipende in modo assai fote dal appoto ta e m 2 ; infatti, nel caso banale in cui m =, comunque si distibuiscano i punti, tutti vanno a finie nello stesso (unico!) quadatino; se invece, tenendo fisso, si fa cescee m in modo che m 2 isulti molto più gande di, quasi tutti i quadatini isulteanno vuoti, cica conteanno un solo punto e solo pochissimi ne conteanno più di uno: quindi, anche in questo secondo caso, le vaie distibuzioni di punti isulteanno indistinguibili. Il test che è stato fatto si ispia ad una cuiosità (vedi [SG]): l essee umano è incapace di mettee veamente a caso dei punti in un quadato. Con AutoCad ho inseito 2 punti casualmente (o, almeno, così pensavo di avee fatto) in un quadato, che ho poi suddiviso in 6, 25, 36 e quadatini eguali; ho contato i punti che cadevano in ogni quadatino e ho confontato con la distibuzione binomiale (teoica) con = 2 e m 2 = 6, 25, 36 e. Pe valutae il gado di affinità ta distibuzioni ossevate e teoiche ho usato il test del χ 2 che fonisce la pobabilità che la distibuzione ossevata diffeisca da quella teoica, unicamente pe effetto del caso. In un secondo tempo l opeazione di dispoe 2 punti a caso è stata affidata ad Excel, utilizzando la funzione =CASUALE() (questa in ealtà genea numei pseudocasuali, peché nessun algoitmo può veamente podue numei casuali). Le disposizioni di punti ottenute in queste due seie di espeimenti sono appesentate nelle seguenti pagina (si ossevi come nella seconda seie appae l effetto cielo stellato tipico delle distibuzioni veamente casuali, mente le pime sono una petubazione di una distibuzione unifome). k k

11 Seie di 2 punti disposti casualmente a mano,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,,,2,3,4,5,6,7,8,9

12 Seie di 2 punti disposti casualmente da Excel,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,,,,2,3,4,5,6,7,8,9,,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,5,4,3,2,,2,4,6,8 2

13 Nella tabella Confonti.pdf viene ealizzato un confonto analitico ta le due seie di distibuzioni di punti. I valoi della pobabilità icavati da χ 2 sono calcolati consideando solo fequenze nelle distibuzioni teoiche non toppo infeioi al 5% (limitazione del tutto standad, che coisponde nel caso m = 4 al valoe,8, nel caso m = 5 a,25, nel caso m = 6 a,8 nel caso m = al valoe 5). Come si può ossevae, mente pe le seie ottenute con Excel, utilizzando la funzione =CASUALE(), la pobabilità che possano essee imputate al caso le diffeenze ta distibuzione teoica e media delle distibuzioni ossevate, si mantiene gosso modo costante e supeioe al 95%, pe le seie ottenute a mano tale pobabilità decesce apidamente al cescee di m fino a aggiungee il valoe nullo pe m =. Non sopenda poi il fatto che le medie siano spesso molto più vicine alla distibuzione teoica che non i singoli casi; nelle medie, gli scostamenti dal compotamento pevisto teoicamente tendono a bilanciasi a vicenda. Il seguente gafico fonisce un idea di come le seie casuali (caso) si adattino al compotamento teoico (teo) assai meglio di quelle tacciate ad occhio (mano) m=4 (teo) m=4 (mano) m=4 (caso) m=5 (teo) m=5 (mano) m=5 (caso) m=6 (teo) m=6 (mano) m=6 (caso) m= (teo) m= (mano) m= (caso) Come si ottengono i isultati esposti in questo paagafo? Basta apie il documento 2 punti.xls: 3

14 ) nelle colonne A e B sono contenute le coodinate dei punti (nel documento in esame in tutte le celle vi è la funzione =CASUALE() che fonisce un numeo (pseudo)casuale compeso ta e ; bisogna fae attenzione che, ad ogni invio la funzione =CASUALE() cambia valoi: quindi se si vuole consevae un file con una deteminata scelta dei 2 punti casuali, si devono copiae le due colonne A e B ed incollale sopa sé stesse con Incolla speciale > Valoi (in questo modo vengono consevati solo i valoi della funzione come numei e non come isultato di una fomula); 2) le colonne C, D ed E sono dedicate alla deteminazione del quadatino in cui il punto consideato va a finie: ad esempio, nel caso m = 4, in cui si è diviso il quadato in 6 quadatini, numeiamo questi ultimi da a 5; 2a) il quadatino conteà tutti i punti con x <,25 e y <,25: moltiplicando entambe le coodinate pe m (4, nel nosto caso), otteniamo 4x < e 4y < e quindi la pate intea (cioè davanti alla vigola) sia di 4x che di 4y saà nulla e così pue la somma della pima pate intea, moltiplicata pe m, più la seconda vaà, che è popio il numeo del quadatino; 2b) il quadatino 2 conteà tutti i punti con x <,25 e,25 y <,5: moltiplicando entambe le coodinate pe m, otteniamo 4x < e 4y < 2 e quindi la pate intea di 4x è, mente quella di 4y vale : quindi 4 volte la pima pate intea più la seconda dà come isultato, che è popio il numeo del quadatino; 2c) il quadatino 6 conteà tutti i punti con,25 x <,5 e,5 y <,75: moltiplicando ancoa pe m, otteniamo 4x < 2 e 2 4y < 3 e quindi la pate intea di 4x è, mente quella di 4y vale 2: quindi la somma del quaduplo della pima di tali pati intee con la seconda vale 6, che è popio il numeo del quadatino; 2d) e così via. Quanto descitto è ealizzato nelle colonne C, D ed E del foglio 2 punti.xls: in C2 si scive =ARROTONDA.DIFETTO(C*A2;) che fonisce popio la pate intea di 4x (si icoda che in C vi è il valoe m = 4); analogamente in D2 con =ARROTONDA.DIFETTO(C*B2;); la somma 4 [4x]+ [4y] è ealizzata da =C2*C+D2 in E2. Quindi nella colonna E è indicato il numeo del quadatino a cui il punto appatiene; 3) la colonna F contiene i numei dei singoli quadatini; nella colonna G è indicato il numeo di volte in cui i numei coispondenti ai vai quadatini compaiono nella colonna E (cioè il numeo di punti contenuto in ogni quadatino); pe fa ciò si è usata la funzione =CONTA.SE(intevallo;citei), che conta il numeo di celle in un intevallo che soddisfano i citei specificati. Nel nosto caso poniamo =CONTA.SE(E2:E2;F2) in G2 che estituisce il numeo di volte nell intevallo E2:E2 in cui compae il valoe contenuto in F2, che è ; copiando e incollando si ottiene il numeo di punti contenuti in ogni quadatino. 4) la colonna H contiene un possibile ange di valoi pe il numeo di punti che cadono nei vai quadatini: si è scelto l intevallo da a 25; nella colonna I è calcolato il numeo di quadatini in cui cade un numeo di punti eguale al valoe contenuto nella cella immediatamente a sinista; così in I2 è contenuta l espessione =CONTA.SE(G2:G7;H2) che mi estituisce il numeo di volte in cui, nella colonna G, compae il valoe contenuto in H2, che è (ovveo ottengo il numeo dei quadatini in cui non cade alcun punto); copia e incolla ci pemette di sapee in quanti quadatini non cadono punti, in quanti ne cade uno, in quanti due e così via. 5) le successive colonne sono oganizzate nello stesso modo, ma pe diffeenti valoi di m. 4

15 6) il secondo foglio (confonti) pemette di confontae le distibuzioni ossevate con quella teoica tamite l applicazione del test χ 2 alle fequenze più significative. Pe completae il quado si considei una distibuzione unifome (a sinista) ed una ottenuta da questa tamite una pemutazione casuale di entità pai al massimo alla metà della distanza ta i punti della distibuzione di patenza (a desta). Nella tabella si vede come, nel pimo caso, pe tutti i valoi di m, la pobabilità che tale distibuzione capiti casualmente è nulla, mente pe la seconda si passa da un valoe del 54% pe m = 4 ad una infeioe allo,5 pe m =.,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,,,2,4,6,8,,2,3,4,5,6,7,8,9 m=4 m=5 m=6 m= k teo unif pet teo unif pet teo unif pet teo unif pet,,,3 3,4,,6,74 27, ,,25 2,9 27, ,2,68 3,94 8,4 6 4,5,39 5, , ,3 2,27 6, ,57 6,29 3, ,77 6 4,7 7,53 3, ,57 4,33 8,85 3,56 8 3,5,8 9,2 3,7 5 2,92 4,2, ,52 3,5,,78 3,8,52, 2,87 8 4,9,23, 3,8 3,72,, 4,6,4,4, 5,33 2,2,, 6,2 4,,, 7,74,4,, 8,5,2,, 9,32,,, 2,9,,, 2,,,, 22,6,,, 23,3,,, 24,2,,, 25,,,, χ 2,% 54,4%,% 22,64%,%,4%,%,% 5