Regola di Ruffini - Wikipedia

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1 Pagina 1 di 7 Regola di Ruffini Da Wikipedia, l'enciclopedia libea. In matematica, la egola di Ruffini pemette la divisione veloce di un qualunque polinomio pe un binomio della foma x a. È stata descitta da Paolo Ruffini nel La egola di Ruffini è un caso speciale della divisione polinomiale quando il divisoe è un fattoe lineae. La egola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica. Indice 1 L'algoitmo 2 Usi della egola 2.1 Divisione polinomiale pe x 2.2 Divisione polinomiale pe ax k 2.3 Tovae le adici di un polinomio Pimo metodo Secondo metodo 2.4 Fattoizzazione polinomiale Pimo esempio: nessun esto Secondo esempio: con esto 3 Voci coelate Calcolo letteale Monomio Binomio Tinomio Polinomio Podotti notevoli Divisione dei polinomi Divisibilità dei polinomi Teoema di Ruffini Regola di Ruffini Divisibilità di binomi notevoli L'algoitmo La egola di Ruffini stabilisce un metodo pe dividee il polinomio pe il binomio pe ottenee il polinomio quoziente e un esto R che è zeo o un temine costante, visto che deve essee di gado minoe ispetto al polinomio divisoe. L'algoitmo non è alto che la divisione polinomiale di P(x) pe A(x) scitto in un'alta foma più economica. Pe dividee P(x) pe A(x), infatti: 1. Si pendano i coefficienti di P(x) e li si scivano in odine. Si sciva quindi in basso a sinista, popio sopa la iga: a n

2 Pagina 2 di Si copi il coefficiente di sinista (a n ) in basso, subito sotto la iga: a n a n = b n-1 3. Si moltiplichi il numeo più a desta di quelli sotto la iga pe, e lo si sciva sopa la iga, spostato di un posto a desta: a n b n a n = b n-1 4. Si sommi questo valoe con quello sopa di lui nella stessa colonna: a n b n a n +(b n-1 ) = b n-1 = b n-2 5. Si ipetano i passi 3 e 4 fino al temine dei coefficienti a n b n-1... b 1 b a n +(b n-1 ) +b 1 +b 0 = b n-1 = b n-2... = b 0 = R I valoi b sono i coefficienti del polinomio isultante (Q(x)), il cui gado saà infeioe di uno a quello di P(x). R è il esto. Un esempio numeico viene fonito più sotto.

3 Pagina 3 di 7 Usi della egola La egola di Ruffini ha molte applicazioni patiche; molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono. Divisione polinomiale pe x Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati. Siano P(x) = 2x 3 + 3x 2 4 A(x) = x + 1 Vogliamo dividee P(x) pe A(x) usando la egola di Ruffini. Il pimo poblema è che A(x) non è della foma x, ma piuttosto x +. Questo è facile da isolvee: basta iscivee A(x) come Applichiamo oa l'algoitmo. 1. Sciviamo i coefficienti di P(x) e. Notiamo che dobbiamo usae uno zeo pe il coefficiente di x in P(x): Copiamo il pimo coefficiente sotto: Moltiplichiamo il numeo più a desta sotto la iga pe : Sommiamo i valoi della seconda colonna dopo la iga veticale:

4 Pagina 4 di Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine: {coefficienti} {esto} Insomma, abbiamo che P(x) = A(x) * Q(x) + R, dove Q(x) = 2x 2 + x 1 e R = 3. Divisione polinomiale pe ax k Applicando una facile tasfomazione, la egola di Ruffini si può genealizzae anche pe le divisioni di un polinomio pe un binomio qualsiasi di pimo gado A(x) = ax k. Infatti, consideando la elazione fondamentale dividendo tutto pe a (sicuamente diveso d) otteniamo Detti P(x) / a = P'(x) e R(x) / a = R'(x) otteniamo Dunque il quoziente ichiesto Q(x) è anche il quoziente della divisione di P'(x) pe (x k / a), che si può fae con la egola appena esposta. Pe tovae il esto ichiesto R(x) basteà moltiplicae il esto ottenuto R'(x) pe a. Tovae le adici di un polinomio Il Teoema delle adici azionali affema che se un polinomio f(x)=a n x n + x n a 1 x+ ha coefficienti (da a n sino ad ) intei, le sue adici azionali eali sono sempe della foma p/q, dove p è un divisoe inteo (non necessaiamente positivo, quindi) di e q un divisoe inteo di a n. Se il nosto polinomio è quindi le adici azionali possibili appatengono all'insieme dei divisoi intei di ( 2):,

5 Pagina 5 di 7 Questo è un esempio semplice, peché il polinomio è monico (cioè, a n =1); pe i polinomi non monici, l'insieme delle possibili adici compendeà alcune fazioni, ma solo in numeo finito, dato che a n e hanno ciascuno un numeo finito di divisoi intei. In ogni caso pe i polinomi monici ogni adice azionale è un inteo, e quindi ogni adice intea dev'essee un divisoe del temine costante. Si può dimostae che questo esta veo anche pe i polinomi non monici: insomma, pe tovae le adici intee di un polinomio a coefficienti intei, basta veificae i divisoi del temine costante. Infatti, ogni polinomio non monico può essee icondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti pe a n. Povando petanto a poe pai a ciascuna delle adici possibili, si può povae a dividee il polinomio pe (x-). Se il polinomio quoziente isultante non ha esto, abbiamo tovato una adice. Si può scegliee uno dei due metodi seguenti: essi danno gli stessi isultati, con l'eccezione che solo il secondo pemette di tovae se una adice è ipetuta. (Ricodate che nessuno dei due metodi pemette di scopie adici iazionali o complesse). Pimo metodo Cechiamo di dividee P(x) pe il binomio (x ciascuna possibile adice). Se il esto è 0, il numeo utilizzato è una adice (e vicevesa): x 1 = + 1, x 3 = + 2 sono adici, mente x 2 = 1 e x 4 = 2 non lo sono. Secondo metodo Iniziamo come nel pimo metodo fino a che toviamo una adice. A questo punto, invece che ipatie con le alte adici possibili, si continua a fae il test a patie dal polinomio quoziente ottenuto ipatendo dalla adice appena tovata, pe vedee se ci sono adici multiple:

6 Pagina 6 di 7 x 1 = + 1 è una adice multipla, mente x 3 = + 2 è una adice semplice. Fattoizzazione polinomiale Dopo avee usato il metodo "p/q" mostato sopa (o un qualunque alto modo) pe tovae tutte le adici azionali eali di un ceto polinomio, è semplice sfuttale pe fattoizzae pazialmente il polinomio stesso: a ogni fattoe lineae (x - ) che divide un polinomio dato coisponde una adice, e vicevesa. Quindi, se abbiamo il polinomio: e abbiamo tovato come sue adici: consideiamo il podotto: ; ;. Pe il Teoema fondamentale dell'algeba, Q(x) saebbe uguale a P(x) se tutte le adici di P(x) fosseo azionali. Ma è assai pobabile che Q(x) non sia uguale a P(x), dato che P(x) potebbe avee anche adici iazionali o complesse. Consideiamo alloa il polinomio quoziente. Se S(x) = 1, alloa Q(x) = P(x). Altimenti, S(x) saà un polinomio, pe la pecisione un alto fattoe di P(x) che non ha adici azionali in. Dunque è una fattoizzazione completa di P(x) su se S(x) = 1, altimenti saà una fattoizzazione completa su, ma ci saanno alti fattoi su o su. Pimo esempio: nessun esto Sia Con i metodi descitti sopa, toviamo che le adici azionali di P(x) sono: Petanto, il podotto di (x ciascuna adice) è

7 Pagina 7 di 7 P(x)/Q(x) dà E così il polinomio fattoizzato è P(x) = Q(x) * 1 = Q(x): Secondo esempio: con esto Sia Con i metodi descitti sopa, toviamo che le adici azionali di P(x) sono: Petanto, il podotto di (x ciascuna adice) è P(x)/Q(x) dà Dato che, il polinomio fattoizzato sui azionali è P(x) = Q(x) * S(x): Voci coelate Algeba elementae Polinomio Divisione dei polinomi Categoie: Polinomi Algeba elementae Algoitmi numeici Ultima modifica pe la pagina: 18:23, 24 ago Tutti i testi sono disponibili nel ispetto dei temini della GNU Fee Documentation License.