Origami: Geometria con la carta (I)

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1 Oigami: Geometia con la cata (I) La valenza atistica, ceativa ed estetica dell'oigami, è omai nota a tutti. Il pof. enedetto Scimemi in [ 1] ipota ta l'alto:...l'appoto educativo di giochi e passatempi basati sul piegae la cata è stato ampiamente iconosciuto dai pedagogisti, peché si tatta di attività che ichiedono un contollo simultaneo manuale ed intellettuale ma lasciano gande spazio alla fantasia ed alla ceatività.... Non altettanto nota la sua applicazione in ambito matematico, sopattutto nell'ambiente scolastico. Voemmo, dalle pagine di questo quadeno cecae di fa conoscee ed appezzae agli opeatoi della scuola, le gandi potenzialità didattiche offete da questa tecnica. Cominciamo col mostae l'intepetazione matematica delle egole di base. ocedue euclidee elementai La geometia euclidea, in assoluto il pimo sistema logico assiomatico a noi noto, è fondata su alcuni Enti fondamentali: punto, etta, piano e su ben noti ostulati. Sul piano euclideo possiamo, usando come unici stumenti una iga non gaduata ed un compasso, consideae come lecite le seguenti pocedue [ 2] [ 3]: E1 "Dati due punti distinti e Q è possibile, usando la iga, tacciae l'unico segmento che congiunge i due punti e polungalo in entambi i vesi". E2 "Dato un punto ed un segmento è possibile, usando il compasso, tacciae l'unica ciconfeenza che ha quel punto come cento e quel segmento come aggio. Le applicazioni E1 ed E2, geneano ette e ciconfeenze; su questi nuovi enti sono pemesse le seguenti pocedue d'intesezione che geneano a loo volta nuovi punti: E3 "Date due ette non paallele è possibile deteminae il loo punto di intesezione". E4 "Data una ciconfeenza ed una etta tale che la sua distanza dal cento sia minoe del aggio, è possibile deteminane i punti di intesezione". 2

2 E5 "Date due ciconfeenze tali che: a) nessuna delle due contiene il cento dell'alta e la distanza ta i centi è minoe della somma dei aggi ) una contiene il cento dell'alta e la distanza ta i centi non è minoe della diffeenza ta i aggi, alloa è possibile deteminane le intesezioni". Una costuzione geometica è detta eseguibile con i metodi euclidei della iga e del compasso, se ottenuta iteando un numeo finito di volte le pocedue E1-E5 pecedenti e solo esse. Geometia oigami Unico ente fondamentale della geometia oigami [ 2] [ 3] è un foglio di cata, pensato illimitato, che chiameemo piano, taspaente, sottile, ma abbastanza obusto, di spessoe unifome, non defomabile in maniea appezzabilelungo la sua supeficie, cioè non elastico; è invece defomabile pependicolamente alla sua supeficie, pe pemettene la sovapposizione di alcune sue pati, ottenendo così quella che chiameemo piega. ostulati 1. La taccia di una piega è un segmento ettilineo (limitatamente al foglio). Il punto isulta essee l'intesezione di due pieghe. 2. Data un piega, è possibile sovappoe la piega a se stessa. La supeficie è alloa divisa in quatto angoli uguali attono al punto di intesezione. Chiamiamo etto (R) ciascuno di questi angoli. ocedue geometiche elementai della geometia oigami O1. "Date due pieghe non paallele l1 ed l2, è possibile deteminane il loo punto di intesezione (fig. 1)". Questa pocedua specifica come ottenee punti: dall'intesezione di due pieghe. O2. "Date due pieghe paallele l1 ed l2, è possibile piegae, in maniea univoca, l1 su l2 ottenendo una piega m paallela ed equidistante da entambe (fig. 2) l2 Fig. 1 l1 l2 m l1 Fig. 2 3

3 O3 "Date due pieghe incidenti l1 ed l2, è possibile piegae, in due distinti modi, sovapponendo l1 ad l2 ottenendo così le bisettici degli angoli fomati dalle due pieghe (fig. 3)". Questa pocedua pemette di costuie la bisettice di un angolo. Le bisettici ottenute sono ta loo pependicolai. O4 "Dati due punti distinti e, è possibile piegae, sovapponendo ciascuno di questi due punti a se stesso (fig. 4a), ottenendo la piega che li congiunge (fig. 4b)". l1 Fig. 3 l2 a) Fig. 4 b) O5 Dati due punti distinti e, è possibile piegae, sovapponendo il punto al punto (fig. 5a), ottenendo la piega, asse del segmento (fig. 5b)". a) b) Fig. 5 O6 Data una piega ed un punto, è possibile piegae, sovapponendo contempoaneamente il punto su se stesso e la piega su se stessa (fig. 6a), pe ottenee l'unica piega pe pependicolae alla piega (fig. 6b)". a) Fig. 6 b) 4

4 O7 "Dato un punto ed una piega non passante pe e scelto a, è possibile piegae sovapponendo a a, ottenendo una tangente a alla paabola di fuoco e diettice, che d'oa in poi chiameemo (,) (fig. 7). Fig. 7 a a x x v V a = asse di a (tangente a (,) in ) Consideiamo la piega a che si ottiene dalla sovapposizione di a a e dimostiamo (fig. 7) che tale piega è tangente alla paabola in, cioè che ha un solo punto in comune con la (,). Infatti, pe O5, si ha che la piega a isulta essee asse del segmento a e quindi ogni suo punto è equidistante da e da a. Mandiamo pe a la pependicolae alla diettice. Questa inconta la piega a in. lloa è equidistante da e dalla diettice quindi è un punto della (,). Gli alti punti dell'asse a non appatengono alla (,) in quanto la loo distanza da a (e quindi da ) è maggioe della loo distanza dalla diettice. O8 "Dato un punto, una piega non passante pe, ed un ulteioe punto Q la cui distanza da non sia infeioe di quella da (con tale limitazione Q non è inteno alla (,)), è possibile piegae come in O7 (cioè potae su ) facendo peò in modo che Q si sovapponga a se stesso, ottenendo così una delle due tangenti pe Q alla paabola (,) (fig. 8)". v b a Q Fig. 8 5

5 Con le limitazioni imposte al punto Q, questa piega è sempe possibile. In paticolae: se la distanza di Q da è maggioe di quella da, pe quanto detto in O7, si ottengono le due tangenti alla (,) passanti pe Q; se invece la distanza di Q da è uguale a quella da, si ha una sola possibilità e quindi una sola tangente alla (,) passante pe Q il quale isulta quindi essee il punto di tangenza; se infine la distanza di Q da è infeioe a quella da non è possibile eseguie la piega descitta. (*) O9 "Dati due punti distinti 1 e 2, e due pieghe distinte a e b, è possibile piegae, sovapponendo contempoaneamente il punto 1 ad un punto della piega a, ed il punto 2 ad un punto della piega b (fig. 9)". Tale pocedua, in vitù delle consideazioni pecedenti, pemette di ottenee una tangente comune alle due paabole (1,a) e (2,b). b a 1 2 Fig. 9 Si può dimostae, che questa pocedua coisponde a isolvee un'equazione di 3 gado. etanto la pocedua è sempe possibile e, in casi paticolai, in te modi distinti. Questa pocedua O9 è quella che ende la geometia oigami fondamentalmente divesa dalla geometia euclidea (e, in un ceto senso,addiittua più "potente") e pendee confidenza con questa tecnica, poponiamo al lettoe, te poblemi [ 4] da isolvee utilizzando esclusivamente le pocedue O1-O8. Costuie un tiangolo ettangolo conoscendo le misue: a) di due cateti conguenti ad e C (Fig. 10a); b) dell'ipotenusa conguente ad e di un cateto conguente a C (Fig. 10b); c) dell'ipotenusa conguente ad e dell'altezza ad essa elativa conguente a H (Fig. 10c). (*) Come sappiamo dalla geometia analitica, la iceca della tangente ad una paabola è un poblema di secondo gado, quindi questa piega coisponde a isolvee un'equazione di secondo gado. 6

6 a) b) C C Fig. 10 c) H Le isposte a questi poblemi si tovano alla fine del possimo capitolo. Il pesente aticolo è stato stampato nella ivista timestale La Matematica e la sua Didattica Ed. itagoa, mazo La seconda pate è stata stampata nella stessa ivista nel numeo di mazo Rifeimenti bibliogafici: [1]. Scimemi lgeba e geometia piegando la cata, in: Ed. peion, Matematica: gioco ed appendimento, Roma, [2] R. Geetschlage Euclidean Constuctions and the Geomety of Oigami, Mathematics Magazine, 68, 5, [3] H. Huzita xiomatic Development of Oigami Geomety, in: H. Huzita (ed.), Oigami Science & Technology, Feaa 1989, [4] T. Sundaa Row Geometic Execises in pape-folding, Dove ublications,