DISTRIBUZIONE DELLA CARICA NEI CONDUTTORI

Transcript

1 1 DISTRIBUZIONE DELLA CARICA NEI CONDUTTORI I copi conduttoi sono caatteizzati dal fatto di avee moltissimi elettoni libei di muovesi (elettoni di conduzione). Cosa accade se un copo conduttoe viene caicato eletticamente? Come si distibuisce la caica? uando a un conduttoe isolato viene data una caica elettica, questa si muove attaveso il conduttoe finché viene aggiunta una condizione di equilibio, in cui tutte le caiche sono e estano feme: si dice che il conduttoe è in equilibio elettostatico. L'espeienza mosta che, in queste condizioni, la caica elettica è distibuita sulla supeficie del conduttoe. Consideiamo una sfea conduttice neuta posta su una base isolante e caichiamola pe contatto con un copo positivo. In seguito al contatto alcuni elettoni del conduttoe passano sul copo caico annullandone pate della caica. Sul copo conduttoe imane alloa un eccesso di caica positiva. Allontanando il copo caico, le caiche (positive) in eccesso sul conduttoe si espingono ecipocamente potandosi il più lontano possibile ta loo e cioè sulla supeficie del conduttoe. Si è così aggiunto uno stato di equilibio cioè le caiche sono feme: si dice che il conduttoe è in equilibio elettostatico. Le caiche in eccesso su un conduttoe, sia positive che negative, si dispongono sempe sulla supeficie estena del conduttoe (anche nel caso in cui nel conduttoe siano pesenti delle cavità intene). Espeimento: emisfei di Cavendish Una sfea metallica elettizzata ed isolata, viene acchiusa con due emisfei metallici muniti di manici isolanti. Togliendo i due emisfei ed avvicinando alla sfea un elettoscopio, si nota che questa è scaica, mente i due emisfei sono elettizzati. uesto espeimento dimosta che la caica si distibuisce esclusivamente sulla supeficie estena del conduttoe. Espeimento: pozzo di Faaday In un conduttoe cavo (pozzo di Faaday) s'intoduce un copo elettizzato, ad esempio una sfea elettizzata tenuta con un manico isolante. Il pozzo è montato su un elettoscopio. Intodotta la sfea, in modo che non tocchi le paeti del pozzo, si nota che le foglie dell elettoscopio divegono. Il pozzo si è elettizzato e manifesta sulla paete intena e su quella estena due caiche indotte di segno opposto, di valoe identico a quella della sfea (induzione completa).

2 2 DENSITÀ SUPERFICIALE DI CARICA ELETTRICA La densità supeficiale di caica elettica è definita come il appoto fa la caica distibuita sulla supeficie di aea S e l'aea S stessa σ = uesta gandezza è, in geneale, divesa da punto a punto della supeficie di un conduttoe; essa è gande nei punti ove la supeficie del conduttoe è molto cuva e convessa veso l'esteno, come si veifica in una punta, ed è piccola ove la supeficie è quasi piana. Nel caso di un conduttoe isolato di foma sfeica, la caica che gli viene data si distibuisce unifomemente sulla sua supeficie e la sua densità saà: S σ = 4 π 2 CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE IN UN CONDUTTORE ISOLATO a) Campo Elettico All inteno di un conduttoe caico in equilibio elettostatico il campo è nullo ( E = ). Se così non fosse sulle caiche agiebbe una foza F = E q che causeebbe un movimento continuo di caiche all inteno del conduttoe e quindi il conduttoe non potebbe essee in equilibio elettostatico. b) Potenziale Elettico Sulla supeficie estena il vettoe campo E ha diezione alla supeficie. Se E isultasse obliquo alla supeficie, il suo componente E // paallelo alla supeficie daebbe oigine ad una foza F che muoveebbe le caiche elettiche pesenti sulla supeficie del conduttoe. È immediato iconoscee che, in condizioni di equilibio elettostatico, tutti i punti inteni (e sulla supeficie) di ciascun conduttoe sono allo stesso potenziale. Se così non fosse esisteebbe ta due punti oppotuni A e B una d.d.p. Le caiche positive poste in A e B si muoveebbeo dal punto a potenziale maggioe al punto a potenziale minoe, mente quelle negative si muoveebbeo in veso opposto. Il conduttoe non saebbe in equilibio. uindi: Il potenziale è lo stesso in tutti i punti all inteno e all esteno del conduttoe caico in equilibio elettostatico. La supeficie estena è una supeficie equipotenziale.

3 3 PROBLEMA GENERALE DELL ELETTROSTATICA Il poblema geneale dell elettostatica consiste in: Dati n conduttoi caichi in equilibio elettostatico, deteminae il valoe del potenziale in tutti i punti dello spazio oppue il campo elettico. Si può dimostae che la densità di caica supeficiale in un punto P che appatiene alla supeficie di un conduttoe, è: σ P = E P ε ε è la costante dielettica assoluta del mezzo. uindi: Il campo elettico in possimità di un conduttoe è popozionale alla densità di caica. Conduttoe sfeico 1. La caica è distibuita unifomemente sulla supeficie, quindi la densità di caica supeficiale è costante e vale: σ = 2 4π 2. Il campo è nullo in tutti i punti inteni ed è dietto pependicolamente alla supeficie. 3. Il campo ha lo stesso modulo in tutti i punti equidistanti dal cento. 4. Il campo (nei punti esteni al conduttoe) geneato da tale conduttoe è 1 E = 2 4πε 5. Il potenziale di un conduttoe sfeico caico è: E σ p = Teoema di Coulomb p ε V 1 = 4πε POTERE DISPERSIVO DELLE PUNTE In possimità delle punte di un conduttoe caico, le caiche elettiche si addensano la densità supeficiale di caica è molto elevata il campo elettico, essendo diettamente popozionale alla densità (teo. di Coulomb), è tanto intenso da acceleae gli ioni dell aia che utando con le molecole neute dell aia poducono nuovi ioni. Gli ioni con caica uguale a quella della punta sfuggianno dal conduttoe sotto l azione della foza elettica epulsiva. L effetto complessivo è un apido scaicasi della punta, mente la zona antistante a essa diventa sede di un veo e popio vento di ioni.

4 4 CONVENZIONI Copo conduttoe messo a tea. Conduttoe collegato con la tea (ha lo stesso potenziale della Tea). Copo conduttoe messo a massa. Conduttoe collegato eletticamente con un contenitoe metallico ( gabbia di Faaday) che lo contiene (ha lo stesso potenziale del contenitoe metallico). CAPACITA DI UN CONDUTTORE Se si dà una caica a un conduttoe isolato, nelle cui vicinanze non esistono né alti conduttoi, né caiche fisse, esso assume un potenziale V. Se la caica diventa 2, 3, 4, si nota che il potenziale diventa 2V, 3V, 4V, che il potenziale V è sempe popozionale a. uindi: Pe un conduttoe caico isolato è costante il appoto ta la caica e il potenziale che esso può assumee Il appoto costante def C = V ha il nome di capacità elettostatica del conduttoe. C è indipendente sia da q sia da V, ma dipende dal mezzo mateiale in cui è immeso il conduttoe e dalla geometia del conduttoe. Nel Sistema Intenazionale l'unità di capacità è il faad ossia la capacità di un conduttoe che assume il potenziale di 1 volt quanto gli viene data la caica di 1 coulomb 1C 1F = 1V Il faad è molto gande e petanto si usano spesso i suoi sottomultipli: CAPACITÀ DI UNA SFERA CONDUTTRICE Se la sfea è isolata ed è di aggio il potenziale è V e quindi C = = = 4πε V C = 4πε 4πε 1 = 4πε da cui si nota che C è diettamente popozionale a aggio della sfea.

5 5 CONDENSATORI (sebatoi di caiche) Nel consideae la capacità di un conduttoe si è supposto che questo fosse isolato, cioè lontano da ogni alto conduttoe e si è visto che la sua capacità è sempe molto piccola. Se invece si avvicina al pimo conduttoe un alto conduttoe scaico, questo si caica pe induzione. Le caiche indotte alteano il potenziale del pimo conduttoe e lo fanno diminuie. Si ha così un aumento della capacità del pimo conduttoe ( C = ). V In geneale: La capacità di un conduttoe aumenta se vicino ad esse si pone un secondo conduttoe scaico. Un dispositivo in gado di possedee una gande caica pu avendo un piccolo potenziale si chiama condensatoe. Un condensatoe è un sistema fisico costituito da due conduttoi (detti amatue) isolati ta i quali si sia stabilita una diffeenza di potenziale. I due conduttoi sono disposti in modo che quando su uno è posta la caica +, l alto, pe induzione, acquista la caica. CONDENSATORE PIANO Un condensatoe piano è fomato da due laste metalliche (amatue) paallele, poste a una distanza piuttosto piccola ispetto alla loo estensione. Caicando un amatua positivamente e collegando l alta a tea, questa si caica pe induzione negativamente. La pima amatua passa dal potenzia nullo al potenziale V, La seconda, che è messa a tea, imane al potenziale nullo della tea. uindi il potenziale V della pima amatua è la d.d.p. ta le due amatue del condensatoe. LA CAPACITÀ DI UN CONDENSATORE PIANO Dagli espeimenti fatti si è visto che la caica pesente sull amatua positiva di un condensatoe è diettamente popozionale alla d.d.p. esistente ta le due amatue uindi, la capacità saà: def C = V dove V indica la diffeenza di potenziale ta le due amatue.

6 6 CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN CONDENSATORE PIANO Nello spazio ta le due amatue, e attono a esse, si cea un campo elettico. All esteno del condensatoe isulta E=. All inteno delle amatue il campo è unifome, quindi: E = σ ε Si può fa vedee che S C = ε d Infatti: σ d Sε V = E d = d = C = = = ε S ε V d d Sε Da cui si vede che la capacità dipende solamente dalle caatteistiche geometiche del condensatoe. COLLEGAMENTO DI CONDENSATORI Nei cicuiti elettici compaiono spesso due o più condensatoi collegati ta loo, il loo effetto complessivo è descitto dalla capacità equivalente. La capacità equivalente è la capacità del condensatoe il cui effetto è equivalente a quello delle capacità dei due o più condensatoi inseiti nel cicuito. In un sistema di componenti elettici il simbolo gafico usato pe indicae un condensatoe è: 1. Collegamento in seie Due o più condensatoi si dicono collegati in seie quando l amatua negativa (positiva) di uno di essi è collegata eletticamente a quella positiva (negativa) del successivo.

7 7 La capacità del guppo di condensatoi (capacità equivalente ) si icava dalla elazione: = + C C C t 1 2 Dimostazione Pe dimostae la validità della fomula viene posta una caica +q sull'amatua 1 del pimo condensatoe e si analizza come si caica il guppo. Pe effetto del collegamento fa i due condensatoi, l'amatua 2 e l'amatua 3 costituiscono un unico conduttoe e, poiché le amatue di un condensatoe sono a distanza molto piccola, se confontata con le loo dimensioni, questo conduttoe subisce induzione completa da pate dell'amatua 1. Sull'amatua 2 si accoglie la caica -q e sull'amatua 3 la caica +q. Con consideazioni analoghe si giustifica la compasa di una caica -q sull'amatua 4 e la dispesione di una caica +q al suolo. Se V 1 è la d.d.p. ta le amatue del pimo condensatoe e V 2 quella ta le amatue del secondo, la d.d.p. fa l'amatua 1 e la 4 è V = V + V peché le amatue 2 e 3 sono allo stesso potenziale. Dalla definizione di capacità segue che 1 2 dividendo pe q q q q q q q V =, V = e V = = C C C C C C = + C C C t 1 2 t t Se i condensatoi sono uguali 1 2 C = Ct = C C 2 t Conseguenza: La capacità di un collegamento in seie di condensatoi è sempe minoe della capacità dei singoli condensatoi.

8 8 2. Collegamento in paallelo Due o più condensatoi si dicono collegati in paallelo quando l amatua negativa (positiva) di uno di essi è collegata eletticamente a quella negativa (positiva) del successivo. La caica q si ipatisce in q 1 e q 2 e pe induzione si ha - q 1 e - q 2. Se C l e C 2 sono le capacità dei due condensatoi, il guppo in paallelo ha capacità Dimostazione Si considei che dalla sogente S sia tasmessa la caica +q; questa si ipatisce ta le amatue 1 e 3 dei due condensatoi collegate con S. Sia +q 1 la caica tasmessa sull'amatua 1 di C 1 e +q 2 la caica tasmessa sull'amatua 3 di C 2 ; ovviamente Pe induzione si accumulano le caiche q 1 e -q 2 sulle amatue 2 e 4, mente +q si dispede a tea. Fa le amatue dei due condensatoi esiste la stessa d.d.p. peché le amatue coispondenti sono collegate ta loo. Si ottiene L'insieme dei due condensatoi equivale a un unico condensatoe di capacità C, il quale, immagazzinata una caica q 1 ha una d.d.p. V ta le amatue. Pe l'unico condensatoe si ha Sostituendo in si ottiene e dividendo pe V si ha

9 9 Se i condensatoi sono uguali si ha: Se i condensatoi uguali in paallelo sono n, si ottiene