Effetto delle Punte e problema dell elettrostatica

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Ferdinando Corona
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1 Effetto delle Punte e poblema dell elettostatica

2 4 4 R Q R Q πε πε / / R R R R E E Effetto delle punte

3 E L effetto paafulmine E E E R R Nel caso del paafulmine, R 6 Km è il aggio di cuvatua della supeficie teeste mente R cm può essee assunto come il aggio di cuvatua della supeficie di un asta metallica che funge da paafulmine, pe cui E /E 6 8

4 Tuoni e fulmini!!!

5 Geneatoe di an de Gaaf q Q + q +q +q

6 Rigidità dielettica (/m) Il valoe del campo elettico massimo olte il quale avvenga la scaica (FULMINE) pende il nome di RIGIDITA DIELETTRICA aia secca cata paaffinata mica veto 3 6 (4 6) ( ) ( 4) 6 6 6

7 Esame del 3..3 L elettodo sfeico di un geneatoe di an de Gaaff ha un diameto dm e viene caicato con una coente di intensità µa. Se l elettodo è iniialmente scaico, quanto tempo occoe peché l intensità del campo elettico nelle immediate vicinane dell elettodo aggiunga il valoe E. 6 /m? Definiamo pima la coente elettica

A La coente elettica In una filo di ame in equilibio elettostatico tutti i punti hanno il medesimo poteniale e il campo elettico è nullo. Collegando il filo ai poli di una batteia si fissa una d.d.p. ai suoi i capi, cioè un campo elettico che accelea le caiche libee del filo, poducendo così una coente elettica.

8 A La coente elettica In una filo di ame in equilibio elettostatico tutti i punti hanno il medesimo poteniale e il campo elettico è nullo. Collegando il filo ai poli di una batteia si fissa una d.d.p. ai suoi i capi, cioè un campo elettico che accelea le caiche libee del filo, poducendo così una coente elettica. Ben pesto si aggiungono le condiioni di staionaietà e la coente diventa costante nel tempo. La caica totale che attavesa una seione A vale: Se la caica vaia nel tempo in modo non lineae aloi tipici di coenti elettiche Q I [ I ] Cs A ampee t I (A) Cicuiti integati Fascio di elettoni (tubo televisivo) -3 Lampadina Fulmine 4 Cavo supeconduttoe (A cm ) 7 i dq dt

9 Coente elettica v dt I In un intevallo dt quanti potatoi attavesano A? v E τ Avdt j A dq qnτ dq qn A v dt dq i qn A v dt

10 Eseciio DG L elettodo sfeico di un geneatoe di an de Gaaff ha un diameto dm e viene caicato con una coente di intensità µa. Se l elettodo è iniialmente scaico, quanto tempo occoe peché l intensità del campo elettico nelle immediate vicinane dell elettodo aggiunga il valoe E. 6 /m? E Q 4πε i t 4πε 6 /m t 6 4πε s 6. s Q i t µ C

11 Eseciio DG (.4.4) L elettodo sfeico di un geneatoe di an de Gaaff ha un diameto dm. Se l elettodo è iniialmente scaico, quale è la coente necessaia pe caicae in ms il geneatoe peché l intensità del campo elettico nelle immediate vicinane dell elettodo aggiunga il valoe E. 6 /m? i 4 πε A 3 6. ma

12 Poteniale dovuto ad una caica lineae Una sbaetta lunga L e sottile (spessoe<<l) è caica positivamente con densità lineae di caica λ; quanto vale (P)? d 4πε dq 4 πε λdx ( x + d ) L λdx d 4πε ( x + d ) λ 4πε L dx ( x + d ) λ πε ln x + 4 x + d L λ 4πε ln L + L + d ln d λ 4 πε ln L + L d + d d L λl Q 4πε d πε d 4

13 Il punto P è un punto qualsiasi ϕ ϕ ϕ sin cos ),, ( ),, ( y x y x P + + ) ( 4 ς πε ς λ y x d d P ς d y x ) ( 4 ς πε ς λ + d

14 ) ( 4 ), ( ς πε ς λ + d L L d d η η η ς η ς 4 ), ( η πε η λ + d L L + + ) ln( 4 η η πε λ

15 + + ln 4 L λ πε L + + ( )

16 Poteniale dovuto ad un disco caico Una disco (R) sottile è caico positivamente con densità supeficiale di caica σ; quanto vale (P) in un punto dell asse del disco? dqσ πr ( ')( dr)' d 4πε dq 4πε σ ( πr' )( dr ) ( ) + R ' ' d 4πε Q dq σ ε R ( + ) R' R' dr' σ + R ε R σr σπr Q 4ε 4πε 4πε

17 Enegia poteniale elettica Lavoo ichiesto pe costuie il sistema di caiche, spostandone ciascuna da una distana infinita alla posiione finale. q q 3 q U U q q 4πε U 3 q q 3 4πε 3 U 3 q q 3 4πε 3 L U U + U 3 + U 3 qq qq3 qq πε 4πε 4πε 3 3 U N q N i i j, j i 4 q j πε ij

18 Elettostatica nel vuoto E ε ρ E E E ρ ε

19 Eq. di Poisson Equaioni di Poisson e di Laplace ρ ε Con le condiioni al contono: Eq. di Laplace c c In un dielettico lineae e isotopo [ε(x,y,)]: ρ ε

20 Unicità soluioni Eq. Poisson/Laplace Se due soluioni coincidono sul contono, alloa esse sono uguali anche nello spaio delimitato dal contono Dimostaione pe assudo (Laplace): siano e soluioni che coincidono sul contono, dove petanto : - ( ) Applichiamo il th. della divegena a ( ) ( ) τ [( ) ( )] dτ ( ) ( ) τ nds Intoduciamo l identità: fa f A + A f

21 τ τ ( ) ( ) dτ + [ ( )] ( ) ( ) n ds τ dτ Pimo integale nullo pe eq Laplace, soddisfatta da e Ultimo integale nullo, essendo sul contono [ ( )] d τ τ eale Gadiente eale Quadato > Integale nullo agomento nullo ( ) costante Condiione al contono costante nulla ovunque cvd

22 Sovapposiione degli Effetti Dividee un poblema in più poblemi più semplici Combinae le soluioni pe ottenee la isposta:linearita EQ. LAPLACE E POISSON ( + ) k k +

23 Caica su un piano di massa d +q d +q conduttoe d q Infatti: ( q) + q + ( ) ( + ) ( ), essendo ( + ) ( ) 4πε ( + ) ( )

24 Il metodo appena visto è detto metodo delle immagini e può essee applicato a configuaioni di caica più complicate conduttoe

25 Compito del luglio 3 Si calcoli l espessione del campo elettico geneato da due caiche puntifomi q e q. qµc ed è posta in (,.5,.) m, mente q- µc ed è posta in (,.5,-.) m. Nel piano y c è un piano pefettamente conduttoe. q q y

26 Applicando il pincipio delle immagini qi q qi q y qi q qi qi

27 Possiamo icavae dappima il poteniale: ) ( i i qi qi q q πε (,-.5,-.) (,-.5,.) (,.5,-.) (,.5,.) ),, ( i i y x

28 Quindi icavae il campo elettico E( ) ( )

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