Conduttore in equilibrio elettrostatico

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1 Conduttoe in equilibio elettostatico Un buon conduttoe elettico caico o neuto (Es. ame) contiene caiche (elettoni) che non sono legate a nessun atomo e libee di muovesi. Quando non esiste nessun movimento isultante di caiche il conduttoe si dice in equilibio elettostatico def: E int 0 Popietà di un conduttoe in equilibio elettostatico: Un qualunque eccesso di caica su un conduttoe isolato deve isiedee sulla supeficie estena. V int cost P V p Vp E d s Vp Vp cost P 0 P Supeficie gaussianai intena al conduttoe E σ ε 0 Densità supeficiale di caica E E S P Φ ε ( E ) 0 Q s i 0 i P

2 Conduttoe cavo caico in equilibio elettostatico. Sulle paeti della cavità la caica è nulla.. Il campo elettico all inteno della cavità è nullo Immaginando pe assudo che un campo E sia pesente nella cavità geneato da una sepaazione di caiche +q e -q, esisteà un pecoso c congiungente due punti A e B all inteno della cavità tale che V E ds 0 Supeficie gaussiana C E int A+ + - B C c A B Ma questo è impossibile peché tutti i punti del conduttoe sono allo stesso potenziale V A V B quindi Eint0 La caica in un conduttoe in equilibio elettostatico si distibuisce sempe sulla supeficie estena anche se il conduttoe è cavo. Il campo elettico inteno è sempe nullo E int 0

3 Campo e Potenziale di una sfea conduttice caica in equilibio elettostatico dq σ ds cost Consideando una supeficie sfeica concentica con la sfea conduttice, ma di aggio >, dal teoema di Gauss si ha: Pocedendo al calcolo del potenziale pe >, in modo analogo a quanto dedotto pe un caica puntifome, otteniamo: pe :

4 Potee delle punte in conduttoi caichi Q,,σ Q,,σ Q tot Vcost equilibio elett q q V πε πε q q 4 q π σ 4 q π σ E E q q σ σ σ σ Minoe il aggio di cuvatua maggioe il campo E! ε σ πε q E

5 Geneatoe elettostatico di Van de Gaaff LNS TANDEM Coona dis.

6 Capacità di un conduttoe caico I (isolato) Gandezza positiva [ Faad] Q C V [ Coul omb] [ Volt] Q V Dipende solo dalla geometia del conduttoe Es: Capacità di una sfea conduttice caica C Q V sfea Q 4πε 0 Q 4πε 0

7 Capacità di un conduttoe caico II Condizione di induzione completa ta due conduttoi (condensatoe) Es: Capacità di un sistema di placche conduttici (amatue) piane e paallele E Caichiamo il nosto sistema tasfeendo della caica da una amatua all alta d q C V Dipende solo dalla geometia delle amatue V Applichiamo il teoema di Gauss φ ( q q E ) E A E ε A S E d σ 0 ε 0 ε 0 C calcoliamo la capacità di questo sistema q q q ε A 0 ε 0 V E d q d d A A S gauss

8 Condensatoe Cilindico Gauss V b b a E ds a E d b a q πε l 0 d q πε l 0 ln b a Calcolae la capacità di un condensatoe sfeico

9 Calcolae la capacità di un condensatoe sfeico Calcolo del campo elettico ta le amatue attaveso il teoema di Gauss e Q k E b a b a e e b a b a Q k d Q k d E ds E V

10 Condensatoi in paallelo ddp V costante ai capi di tutti gli elementi Calcoliamo la capacità equivalente di questo sistema di condensatoi Capacità equivalente

11 Condensatoi in seie Caica costante all inteno degli elementi

12 Enegia Immagazzinata nel Campo Elettico, Vaiazione di enegia elettostatica CV u S d S C ε 0 d Dove è immagazzinata questa enegia? u Enegia E V ε 0 d ε 0E Densità di Enegia

13 Condensatoe Piano con dielettico A caica Q 0 costante La V diminuisce k V 0 > V Definiamo κ costante dielettica (elativa) del dielettico inteposto εκε 0 costante dielettica (assoluta)

14 Il dielettico: Aumenta la capacità del condensatoe Fonisce un suppoto meccanico ta le amatue valoe limite di campo elettico olte il quale si manifesta una scaica 5x0 6

15 Dielettici dal punto di vista micoscopico Molecole Polai Polaizzazione pe oientamento Momento di di dipolo elettico E p allineamento Legame covalente polae Molecole Apolai Polaizzazione elettonica - + E O Assenza di momento di di dipolo elettico Momento di dipolo indotto tende ad allineasi con il campo E E p0 pi allineamento Legame omopolae

16 disodine E0 Dielettico omogeneo e isotopo Composto da molecole polai o apolai allineamento In pesenza di un campo elettico si poduce un allineamento dei dipoli molecolai. Il gado di allineamento dei dipoli dipende dal campo E e dalla tempeatua A causa del campo E, sul dielettico appaià una densità di caica supeficiale indotta σ σ+ E 0 campo applicato E campo dovuto ai dipoli E campo elettico finale Caiche di polaizzazione E E 0 k

17 Vettoe polaizzazione P Abbiamo visto che in conseguenza dell applicazione di un campo elettico ciascun atomo o molecola del dielettico assume un momento di dipolo elettico medio <p> paallelo e concode a E Consideato un volumetto τ nel punto O in cui sono contenuti N atomi (o molecole), il momento di dipolo isultante p saà dato da τ O E p N <p> Il momento di dipolo pe unità di volume saà quindi: Con n numeo di molecole (o atomi) pe unità di volume Se facciamo tendee τ 0 otteniamo il valoe di P nel punto O (limite fisico) τ piccolo su scala macoscopica, ma sempe abbastanza gande da contenee un numeo di atomi o molecole pe cui abbia senso la media <p> Il vettoe P caatteizza l effetto di fomazione dei momenti di dipolo indotti dal campo esteno (vettoe polaizzazione)

18 Dielettici lineai Nella maggio pate dei dielettici isulta che P è popozionale a E in tal caso possiamo quindi scivee la elazione: χ Con χ Suscettività Elettica elazione ta P e la caica di polaizzazione itonando al nosto condensatoe a facce piane e paallele iempito completamente di dielettico polaizzato unifomemente, suddividendo la lasta di dielettico in pismi infinitesimi di base dσ 0 e altezza dh paallela a P equivalente icodando la definizione di dipolo elettico ± ± ±σ p ±

19 Se consideiamo due pismi sovapposti con una base in comune la caica +dq p di un pisma è bilanciata dalla caica dq p dell alto sulla base comune dq p +dq p 0 P P dq p ipetendo l opeazione ed impilando i pismi imangono non compensate solamente le caiche sulle basi dei pismi che appatengono alle facce della lasta La lasta viene quindi ad essee equivalente a due distibuzioni di caica localizzate sulle facce con densità di caica supeficiale σ p Più in geneale la σ p è uguale alla componente di P lungo la nomale alla supeficie del dielettico

20 Se la polaizzazione del dielettico è unifome non si manifestano caiche all inteno del dielettico. Supponiamo adesso che la polaizzazione non sia unifome. Consideiamo due pismi infinitesimi contigui ento la massa del dielettico in modo che il loo asse (x) sia paallelo al vettoe P dσ 0 dσ 0 dσ 0 P Le due caiche non si compensano x P P +dq -dq La caica dq totale posseduta dall elemento di supeficie dσ 0 saà quindi: d d d Densità di volume delle Caiche di polaizzazione Più in geneale la ρ p in un volume infinitesimo dτ dx dy dz Somma delle deivate ispetto a x,y,z delle ispettive componenti di P

21 elazione ta caiche di polaizzazione e caiche libee in un dielettico omogeneo e isotopo (polaizzazione unifome) caica libea costante Caiche libee Dielettico omogeneo e isotopo Caiche supeficiali di polaizzazione Nota la caica libea e κ possiamo deteminae la caica di polaizzazione

22 elazione ta costante dielettica elativa e suscettività elettica utilizzando il teoema di Gauss nel caso di un condensatoe a facce piane e paallele con dielettico omogeneo e isotopo (polaizzazione unifome) abbiamo quindi icavato la elazione isulta inolte che icodiamo che χ Sostituendo le densità di caica nella pima equazione otteniamo: pe un dielettico lineae + χ Valida in geneale

23 Opeatoi vettoiali (gadiente,divegenza,otoe) Abbiamo visto in pecedenza come sia possibile ottenee le componenti del vettoe campo elettico E in un punto qualsiasi mediante la deivazione paziale della funzione (scalae) potenziale elettico: In modo tale che il campo vettoiale si scive come Definiamo il vettoe simbolico nabla, come: + + k Si tatta di un vettoe simbolico le cui componenti sono gli opeatoi di deivazione paziale pima secondo gli assi coodinati. Può agie su funzioni scalai o vettoiali Possiamo quindi definie l opeatoe Gadiente applicando l opeatoe alla funzione scalae V + + k scalae Dato un campo vettoiale + + k vettoe possiamo applicae l opeatoe nabla in divesi modi Podotto scalae + Podotto vettoiale + Divegenza + + otoe

24 Un alto opeatoe (scalae) utilizzato fequentemente è: (laplaciano) Questo può essee applicato sia ad un campo scalae f + + Oppue ad un campo vettoiale U + + k 0 Si può dimostae (esecizio): ot (gad V)0 V funzione scalae 0 div (ot U)0 U funzione vettoiale

25 Dimostiamo che 0 icodiamo la definizione di gadiente di un campo scalae + + k icodiamo la definizione di otoe di un campo vettoiale I temini ta paentesi sono tutti nulli pe la popietà delle deivate seconde miste di essee indipendenti dall odine di deivazione 0 Ma questo ea atteso peché il podotto vettoiale di due vettoi paalleli è nullo

26 Teoema della divegenza Il flusso Φ S (U) del campo vettoiale U attaveso una supeficie chiusa abitaia S è uguale all integale della div U esteso a tutto il volume τ acchiuso da S Φ Dimostazione: Dato il campo vettoiale U e fissato un sistema di ifeimento catesiano, consideiamo un cubetto di lati infinitesimi dx dy dz e calcoliamo il flusso di U attaveso la sua supeficie Consideiamo le due supefici (anteioe e posteioe) dzdy Anteioe ds + i dz dy Posteioe ds - i dz dy Se sulla supeficie posteioe il campo vettoiale vale U sulla supeficie anteioe saà Il contibuto al flusso attaveso le due supefici saà quindi: τ τ x z dz dy dx y ipetendo il discoso pe le alte quatto facce del cubetto otteniamo che il flusso totale attaveso la sua supeficie è : τ

27 Passiamo oa ad analizzae il flusso di U attaveso una supeficie finita chiusa abitaia S Si immagini di dividee tutto il volume τ da essa acchiuso in volumetti infinitesimi, integiamo quindi su tutti i contibuti di flusso z S Se si fa la somma dei flussi d uscenti dalle supefici lateali di due volumetti contigui, il temine coispondente al flusso attaveso la faccia di contatto scompae in quanto esso figua con segno opposto Il flusso attaveso la supeficie complessiva di due cubetti contigui saà + τ τ ipetendo il discoso pe tutte le coppie di volumetti contigui, avemo che la somma di tutti i flussi infinitesimi si iduce al flusso uscente dalla supeficie S x y Φ Φ τ τ Possiamo applicae il teoema della divegenza al campo elettostatico ed espimee il teoema di Gauss in foma diffeenziale (locale)

28 Teoema di Gauss in foma diffeenziale Consideato un cubetto infinitesimo dx dy dz posto in un punto P nel caso del campo elettico E avemo che il flusso di E attaveso la supeficie del cubetto (teoema della divegenza): τ z P Ma come sappiamo pe il teoema di Gauss il flusso di E attaveso una supeficie chiusa è pai a / dz τ ε ε dxdydz ε τ Densità di caica in P x dy dx y Campo elettico in P Avevamo visto che il campo E (consevativo) si può scivee in temini di gadiente del potenziale V Possiamo applicae l opeatoe otoe al campo E 0 Se il campo è consevativo il suo otoe isulta nullo 0 un campo consevativo è iotazionale

29 Teoema di Gauss nei dielettici vettoe induzione elettica D il teoema di Gauss esta valido a patto di tenee in conto le caiche di polaizzazione olte che le caiche libee Φ S ( E ) q l + q ε 0 p Possiamo iscivee questo isultato in foma locale consideando le densità di caica libea e di polaizzazione + ε + + icodiamo che la densità di caica di polaizzazione è legata al vettoe polaizzazione dalla elazione; sostituendo ε ε ε + Definiamo quindi il vettoe induzione elettica D Possiamo quindi scivee il teoema di Gauss in foma diffeenziale nel caso dei dielettici ε + In foma integale Φ S ( D ) q l

30 elazioni ta E P D nei dielettici lineai Dielettico lineae In un dielettico lineae l induzione elettica, il campo elettico e la polaizzazione sono vettoi ta loo paalleli Se il dielettico è lineae e omogeneo ( costanti) in assenza di caiche libee nel dielettico pe il teoema di Gauss quindi 0 Questo avviene anche se E e P non sono unifomi all inteno del dielettico

31 L enegia elettostatica nei dielettici Il agionamento fatto in pecedenza pe il calcolo dell enegia elettostatica di un condensatoe piano con caica q può essee ipetuto nel caso in cui lo spazio ta le amatue sia completamente iempito da un dielettico omogeneo di costante dielettica elativa κ ( ) La densità di enegia elettostatica si sciveà Lavoo necessaio pe polaizzae un dielettico sepaae le caiche e oientae i dipoli Pe geneae un campo elettico E in un dato volume vuoto occoe spendee un lavoo pe unità di volume pai a Pe geneae lo stesso campo elettico E in un dato volume di dielettico occoe spendee un lavoo pe unità di volume pai a la diffeenza appesenta il lavoo necessaio pe polaizzae l unità di volume del dielettico

32 Caiche in moto in un conduttoe - pesenza di campo elettico - il conduttoe non è più in equilibio elettostatico Foza Elettomotice, Intensità di Coente, esistenza Gandezze che entano in gioco nei cicuiti elettici

33 L intensità di coente elettica - In un conduttoe gli elettoni sono libei di muovesi pe cui se applichiamo un campo esteno essi si muovono. Pe la somiglianza con il moto di un fluido si pala di coente elettica + Pe convenzione la diezione della coente è quella elativa al moto di caiche positive quindi opposta al moto degli elettoni istantanea [i] [coulomb] [secondo] Ampee i q dq lim q( t, t) t 0 t dt t t i ( t) dt L intensità di coente i è una gandezza scalae

34 Densità di Coente j Flusso di un fluido in moto stazionaio Φ v, s ρ v S Kg/s ( potata ) S Stesso discoso pe il flusso di caica Definizione di j dq i ρq vd S dt ρq n q j n q v ρ v d q d C/s S ds di j ds n numeo di potatoi di caica pe unita di volume q caica elementae i s j ds Φ s ( j)

35 Modello ad elettone libeo Nessuna inteazione ta due uti successivi Il moto dopo una collisione non dipende dal moto pima della collisione, dopo ogni uto la distibuzione delle velocità imane casuale Tutta l enegia acquistata a causa del campo E viene tasfeita all atomo duante la collisione J nev d Conduttività esistività ρ Un modello pe la conduzione elettica la velocità di oigine bowniana (temica) media è dell'odine di v0 6 m/s. la velocità di deiva è dell'odine di V d 0-4 m/s. Media su un gan numeo N di uti ee a m v v d d N eeλ mv Non dipende dal campo elettico E E v τ i+ i λ v N v v ρ J Legge di ohm micoscopica i v d i+ i λ vi + aτ ee + aτ τ m libeo cammino medio velocità di deiva v velocità media Dipende dal mateiale e dalla tempeatua

36 Consideiamo una ceta geometia pe il conduttoe Come si icava la legge di ohm? L A unifome - E + unifome E V i J L ρ A moduli V J ρ ρ L A Def. Opeativa di esistenza Dipende dalla esistività del conduttoe e dalla sua geometia i Nella geometia poposta i A [] V V [Volt] [Ampee] mateiale V L ρ A [ ρ] [ Ω][ m] E L Ohm(abb. Ω ) i geometia Nel modello ρ non dipende dal campo Viene mantenuta la lineaità ta V e i

37 La esistività dipende dalla tempeatua In geneale ρ e quindi dipendono dalla tempeatua in modo complesso Metalli pui Tuttavia pe molti conduttoi a tempeatue intono ai 0 C si può descivee questa dipendenza attaveso una elazione lineae: 0 ρ ρ ρ 0 0 α( T ) 0 0 T Con α paameto empiico: Coefficiente esistivo di tempeatua.

38 La Foza Elettomotice f.e.m. Un geneatoe di f.e.m deve compiee lavoo sui potatoi di caica che vi entano dw lavoo svolto all inteno del geneatoe di f.e.m. sulla caica dq f.e.m. ε ε [volt] dw dq - + ε Lavoo svolto pe unità di caica La f.e.m. opea a spese di una qualche foma di enegia : chimica (batteie), meccanica (dinamo, altenatoi), adiazione elettomagnetica (celle solai) Ma, in ealtà: ε ε i int ε ε A cicuito apeto

39 La consevazione dell enegia nei cicuiti elettici caico du dq V i dt V V Enegia tasfeita nell unità di tempo P du dt i V i V Enegia temica (effetto Joule) Enegia meccanica Enegia chimica f.e.m. dw ε dq ε i dt Pe il pincipio di consevazione dell enegia dw du ε i dt i dt i ε

40 Leggi di Kichhoff: La somma algebica delle coenti stazionaie affeenti ad un nodo è nulla Pincipio di consevazione della caica i 3 La somma algebica delle diffeenze di potenziale pe un completo attavesamento di un cicuito è nulla Pincipio di consevazione dell enegia

41 i Consevazione della caica ed equazione di continuità j ds Φ ( j ) Quantità di caica che attavesa la A A supeficie A nell unità di tempo Se immaginiamo una supeficie chiusa S e consideiamo il caso stazionaio s j ds Φ s ( j) 0 s La caica all inteno non si accumula e non diminuisce nel tempo Consideiamo il caso più geneale non stazionaio (il vettoe densità di coente J dipende dal tempo) la supeficie S (chiusa) delimiteà un volume τ contenente una ceta caica qint funzione del tempo t q int ( t) τ ρ dτ s j ds dq dt int d dt τ i 3 ρ dτ Consevazione della caica al caso non stazionaio

42 s j ds d dt τ ρ dτ isciviamo questa equazione in foma locale utilizzando il teoema della divegenza Possiamo entae la deivata tempoale dento l integale poiché la supeficie e il volume da essa contenuto non cambiano nel tempo s j ds τ ρ dτ t Applichiamo il teoema della divegenza j dτ dτ j dτ 0 τ τ ρ t τ ρ + t Se questa elazione deve essee valida pe qualsiasi volume τ, alloa: ρ j + 0 t j In condizione stazionaie 0 Equazione di continuità In condizione stazionaie il vettoe densità di coente J è solenoidale

43 esistenze in seie: Applicazione delle leggi di Kichhoff II legge di Kichhoff: + V i i 0 V i ( + ) ieq eq + N esistenze esistenze in paallelo: n eq i i i 0 i i i i i + V V - i 0 i V V i 0 i i V + V + V eq + N esistenze e q i i

44 Misua della esistenza I Misua della esistenza x (voltmeto a valle) x i L ampeometo e il voltmeto petubano il cicuito! Nell utilizzo della elazione xv/i. bisogna appotae delle coezioni intodotte dagli stumenti di misua: x i V i V V Nella misua bisogneà tene conto della coente che attavesa il voltmeto che dipende anche da x. Un buon voltmeto avà una elevata esistenza intena Un buon ampeometo avà una bassa esistenza intena

45 Misuae il valoe della esistenza incognita x tamite il cicuito descitto in figua. a mis m a m x x x I V V I V a m x x a m V V V V V V 0 Misua della esistenza II

46 Cicuiti C Analizziamo il cicuito in figua: Supponiamo che il deviatoe si tovi inizialmente nella posizione 0. Ad un ceto istante, t0, il deviatoe viene commutato nella posizione. Come vaia nel tempo la coente i(t) che scoe nel cicuito e le diffeenze di potenziale ai capi di e C? Ma qui la coente vaia nel tempo?! Ammettiamo che in ogni istante le leggi di Kichhoff imangano valide (condizioni quasi stazionaie) Pe la legge di Ohm Def. di Capacità All istante t0 Q(0)0 Condensatoe scaico

47 Funzione integale! II legge di Kichhoff A t0 il condensatoe è scaico

48 τ C costante di tempo I 0 f Cf Cf

49 Bilancio enegetico nei cicuiti C Quando il condensatoe è completamente caico, l enegia U impiegata dal geneatoe saà U Q f C f L enegia immagazzinata dal condensatoe C U c C f L enegia dissipata dalla esistenza U f P ( t) dt i ( t) dt 0 0 o e t C dt C f e t C 0 C f i f C ( t) e t

50 II legge di Kichhoff Scaica di un condensatoe

51 τ C costante di tempo f Q C