Problema generale dell elettrostatica

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1 Poblema geneale dell elettostatica Deteminae il campo elettico in tutto lo spazio uando pe M conduttoi sono fissati i potenziali e pe i imanenti N sono note le caiche possedute Nello spazio esteno ai conduttoi vale l euazione di Laplace

2 Poblema geneale dell elettostatica Si isolve il poblema di Diichlet, identificando le soluzioni dell euazione di Laplace che soddisfano le condizioni al contono specificate Dal potenziale si calcola il campo elettico nei punti infinitamente vicini alla supeficie dei conduttoi

3 Poblema geneale dell elettostatica Dal campo elettico sulla supeficie si ottiene la densita` di caica supeficiale ( = E) e da uesta la caica totale Pe gli N conduttoi in cui sono note le caiche si deve isolvee il poblema di Neumann (piu` complesso)

4 Elettostatica dei conduttoi Campo elettostatico nei conduttoi Schemo elettostatico Capacita` di un conduttoe isolato Sistemi di conduttoi Condensatoi Enegia elettostatica

5 Campo elettostatico nei conduttoi Consideeemo conduttoi metallici (no gas, semiconduttoi, ecc): elettoni di conduzione libei di muovesi Applichiamo un campo elettostatico: movimento di caiche tansiente fino al aggiungimento di uno stato di euilibio E all inteno del conduttoe (media macoscopica dei campi elettici micoscopici che localmente possono diffeie significativamente da zeo)

6 Campo elettostatico nei conduttoi Campo elettico nullo all inteno pe la legge di Gauss non vi puo` essee eccesso di caiche nel volume del conduttoe

7 Campo elettostatico nei conduttoi Campo elettico nullo all inteno pe la legge di Gauss non vi puo` essee eccesso di caiche nel volume del conduttoe la caica elettica puo` isiedee solo sulla supeficie estena, con densita` ( )

8 Campo elettostatico nei conduttoi Campo elettico nullo all inteno pe la legge di Gauss non vi puo` essee eccesso di caiche nel volume del conduttoe la caica elettica puo` isiedee solo sulla supeficie estena, con densita` ( ) il potenziale deve essee costante, inclusa la supeficie (altimenti moto di caiche)

9 Campo elettostatico nei conduttoi supeficie euipotenziale campo elettostatico nomale alla supeficie (una componente tangenziale metteebbe in movimento le caiche elettiche) E E int n teoema di Coulomb

10 Campo elettostatico nei conduttoi tansiente Inseiamo un conduttoe Ridistibuzione della caica supeficiale del conduttoe ( d/ c) La somma dei campi elettico esteno e uello geneato dalla caica supeficiale (indotto) e` nulla all inteno del conduttoe E ext Eext Eind euilibio E ind

11 Campo elettostatico nei conduttoi tansiente Pe l unicita` della soluzione dei poblemi di potenziale, la distibuzione di caica che ende nullo il campo inteno e` unica! E ext Eext Eind euilibio E ind

12 Campo elettostatico nei conduttoi: punte E n se diventa toppo gande (es. punte) e i conduttoi non sono nel vuoto insogono limitazioni patiche (scaiche)

13 Campo elettostatico nei conduttoi: punte E 1 V V (euipotenziale) V E 2 1 V E E 2 1 E 1

14 Conduttoe cavo E= La caica totale sulla supeficie che delimita la cavita` e` nulla E nda = Non possono essevi nemmeno caiche spazialmente sepaate C 1 C 2 C E ds C E ds E ds C1 C2 E ds = impossibile, il campo e` consevativo C 1 E ds

15 Conduttoe cavo In un conduttoe cavo le caiche si distibuiscono sulla supeficie estena Il potenziale all inteno della cavita` e` uguale a uello del conduttoe, altimenti si geneeebbe un campo elettico diveso da zeo

16 Conduttoe cavo Dento alla cavita` non c e` mai una diffeenza di potenziale divesa da zeo, indipendentemente dal potenziale a cui si tova il conduttoe Il conduttoe cavo si compota da schemo veso il mondo esteno

17 C S Mettiamo una caica all inteno della cavita` All inteno del conduttoe S il campo elettico e` nullo Applicando Gauss a si ottiene zeo, peche` non c e` campo e uindi non c e` flusso Ne consegue che la caica totale ento e` zeo Inizialmente scaico

18 C S Mettiamo una caica all inteno della cavita` All inteno del conduttoe S il campo elettico e` nullo Applicando Gauss a si ottiene zeo, peche` non c e` campo e uindi non c e` flusso Di conseguenza sulla supeficie intena del conduttoe si deve tovae una caica (induzione completa) Ne consegue che la caica totale ento e` zeo Inizialmente scaico

19 C Di conseguenza sulla supeficie intena del conduttoe si deve tovae una caica (induzione completa) Inizialmente scaico S Mettiamo una caica all inteno della cavita` All inteno del conduttoe S il campo elettico e` nullo Applicando Gauss a si ottiene zeo, peche` non c e` campo e uindi non c e` flusso Ne consegue che la caica totale ento e` zeo La caica libea totale in S e` nulla, pe cui sulla supeficie estena ci deve essee la caica

20 Schemo elettostatico La caica sulla supeficie estena si distibuisce secondo le caatteistiche geometiche della supeficie geneando una data densita` supeficiale. Il campo veso l esteno dipende solo da e non dalla posizione della caica nella cavita`. Se la caica intena viene spostata (lentamente) non c e` alcun effetto veso il mondo esteno. La distibuzione della caica sulla supeficie intena del conduttoe S e` sempe tale che sommando con la caica su C il campo elettico e` sempe nullo all esteno della cavita`.

21 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica Ricodae che pe un guscio sfeico di aggio R con caica totale R 3 R 1 R 2 V( ) R R R

22 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica V ( ) E ( ) R 3 R 1 R 2 R 1 R1 R2 R2 R3 R 3 R1 R2 R3 R R 2 3 R3 V 1 V

23 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica V ( ) E ( ) R 3 R 1 R 2 R 1 R1 R2 R2 R3 R 3 R1 R2 R3 R R 2 3 R3 V 1 V

24 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica V ( ) E ( ) R 3 R 1 R 2 R 1 R1 R2 R2 R3 R 3 R1 R2 R3 R R 2 3 R3 V 1 V

25 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica R 3 R 1 R 2 R 1 R1 R2 R2 R3 R 3 V ( ) E ( ) R1 R2 R3 R R 2 3 R3 V 1 V

26 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica R 3 R 1 R 2 R 1 R1 R2 R2 R3 R 3 V ( ) E ( ) R1 R2 R3 R R 2 3 R3 V 1 V

27 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica V ( ) E ( ) R 3 R 1 R 2 R 1 R1 R2 R2 R3 R 3 R3 R 3 R 3 2 Stesso campo e potenziale di pima veso il mondo esteno

28 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica R 3 R 1 R 2 Ma la diffeenza di potenziale non cambia! Solo se n=2 nella legge di Coulomb. R 1 R1 R2 R2 R3 R 3 R V ( ) E ( ) R 1 2 V ' R 2 1 V ' Campo nullo all esteno. Campo invaiato all inteno. Il potenziale e` diminuito di / R 3 (R 3 e` il ifeimento, pima ea all infinito).

29 Schemo elettostatico: illustazione con geometia sfeica V 1 R 3 V 2 R 1 R 2 Veifiche della legge di Coulomb: si vaia la caica su R 3 : V 2 V 1 non cambia.

30 Capacita` di un conduttoe isolato Caica sulla supeficie di un conduttoe isolato ( x') da Potenziale del conduttoe in un punto ualsiasi V 1 ( x') da ' La distibuzione di caica tale da endee nullo il campo all inteno del conduttoe e` unica

31 Capacita` di un conduttoe isolato ( x') da ' ' V 1 ( x') da ' V V ' V faad Capacita` C F = V Non vaia al vaiae della C caica sul conduttoe. Dipende solo dalla geometia. V

32 Esempio: capacita` di un conduttoe sfeico di aggio R La caica e` distibuita sulla supeficie V( R) C V( R) R R R (m) C (F).1 11x x x1 3 9x1 9 1 capacita` della tea ~ 712 F