Legge di Gauss. Superficie Σ immersa nel campo elettrostatico generato da una carica q. da! r 2. d!(! E) "! E #! n da = q r 2! er!!

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1 Legge di Gauss Legge di Gauss in foma integale e locale Esempi Equazioni di Poisson e di Laplace Poblemi di Diichlet e Neumann Poblema geneale dell elettostatica

2 Legge di Gauss Supeficie Σ immesa nel campo elettostatico geneato da una caica q Σ dω E n d( E) " E # n da = q 4" 0 2 e n da e θ q d( E) = q da e n da = d" 2 dipende solo dall angolo solido 4" 0 d" da 2 E 2

3 Legge di Gauss Supeficie chiusa da Σ n Caica intena ( E) = " d( E) = q " d# = q 4" 0 " 0 Caica estena ( E) = 0 tanto flusso enta quanto esce Il campo inconta 2 volte la supeficie sotto lo stesso angolo solido L oientamento dei due elementi intecettati e` opposto

4 Legge di Gauss n-caiche: pincipio di sovapposizione distibuzioni continue di caica elettica i (e simili pe distibuzioni supeficiali e lineai)

5 Legge di Gauss Il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa e` uguale alla somma delle caiche elettiche contenute nel volume acchiuso dalla supeficie divisa pe ε 0, comunque siano distibuite le caiche

6 Legge di Gauss La legge di Gauss e` dovuta al fatto che valgono la legge di Coulomb e il pincipio di sovapposizione E` attaveso la legge di Gauss che si sottopone a veifica speimentale la legge di Coulomb (e anche veificando che la massa del fotone m γ =0)

7 Legge di Gauss La legge di Gauss e` dovuta al fatto che valgono la legge di Coulomb e il pincipio di sovapposizione Impotante teoicamente, e` anche utile in poblemi patici quando ci sono simmetie

8 Σ 2 Esempio. Sfea con supeficie unifomemente caica. Q σ = E = E() e 2 Σ 1 σ < R R > R E() da = E()4 2 ( E) = 4π R # E nda = E() e =1 # e da 2 E nda = 0 1 " 2 " 2 = Q 0 = 4" R2 0

9 Esempio. Sfea cava con supeficie unifomemente caica. E()4 2 = 4" R2 0 ( > R) E() = ) 0 R + 2 * " R % $ ' = Q 1 +," 0 # & 4#" 0 ( R 2 E Come pe una caica puntifome nel cento della sfea (>R)

10 Potenziale sfea cava con supeficie unif. caica Il potenziale V() all esteno e` come pe una caica puntifome Q All inteno e` costante e pende il valoe V(R) V() Q 4" 0 R Q 4" 0 R

11 Esempio. Sfea unifomemente caica. R Q = 4 3 R3 " (E) = E() da = E()4 2 < R R " 3 # = E()4" 2 E() = # " R3 # = E()4" 2 " E() = #R

12 Esempio. Sfea unifomemente caica. R E R 1 2 " R V () = # E()d = Q 4" 0 R R V () V (R) = E()d = R d = (R 2 2 ) 3" 0 6" 0 1 V (R) = Q 1 4" 0 R = 4 3 R3 4"# 0 1 R = R2 3 0

13 Esempio. Filo unifomemente caico. "1 ( E) = "2 ( E) = 0 Σ 1 n E "3 ( E) = 2 he() = Q " 0 = #h " 0 h n Σ 3 E E() = 2"# 0 1 Σ 2 Q = h V () V ( 0 ) = " E()d = ln 0 0 2"# 0

14 Esempio. Piano indefinito unifomemente caico. E E n ( ) "2 = E A Σ 3 n E n ( ) "3 = E A n Σ 1 Σ 2 n E ( E) = "1 ( E) + "2 ( E) + "3 ( E) E E n ( ) 1 = 0 = "2 ( E) + "3 ( E) = 2AE 2AE = Q 0 = A " 0 E = 2 0 n

15 Foma diffeenziale (locale) della legge di Gauss Usiamo il teoema della divegenza ( E) = E " nda = # " E dv % V "$ $ V Pe la legge di Gauss = ( E) = Q = " " dv V 0

16 Foma diffeenziale (locale) della legge di Gauss Quindi: $ " E # ' * & )dv = 0 V % " 0 ( Ma il volume V e` abitaio. La elazione deve valee pe qualsiasi volume V.

17 Equazioni di Maxwell pe l elettostatica Il campo elettostatico e` consevativo Le caiche elettiche sono sogenti del campo elettostatico. Valgono la legge di Coulomb e il pincipio di sovapposizione.

18 Equazione di Poisson Equazione pe il potenziale elettostatico Combina le due equazioni di Maxwell Consevativo " E = 0 # Coulomb + sovapposizione E = "V " E = # " # " 0 $ Equazione di Poisson % & ' ((&V ) = "2 V = " 0 2 V = " " 0 Se le sogenti si annullano abbastanza apidamente all infinito V ( ) = 1 #( ') " 4" 0 dv ' '

19 Equazione di Laplace Nel vuoto (in assenza di caiche elettiche) 2 V = 0 Equazione di Laplace

20 Poblemi di Diichlet e Neumann Note le distibuzioni delle sogenti del campo si detemina il potenziale isolvendo l equazione di Poisson (complicato) In patica spesso sono noti il potenziale su una supeficie (poblema di Diichlet) oppue il campo elettico su una supeficie ( la deivata nomale del potenziale) (poblema di Neumann)

21 Unicita` della soluzione (*) Si basa sull esistenza della soluzione dell equazione di Laplace. La assumiamo. Ω ψ V V 1 V 2 V 1 2 Σ condizioni al contono su Σ V 1 e V 2 siano soluzioni dell eq. di Poisson ento Ω V 1 e V 2 soddisfano le stesse condizioni al contono su Σ Poniamo Ψ = V 1 -V 2

22 Unicita` della soluzione (*) "V 1 #V 2 Ω 2 V 1 = " " 0 2 V 2 = " " 0 2 " = 0 Diichlet ( V ) 1 = ( V ) 2 " (#) = 0 2 Σ " $ # V 1 n % ' & ( Neumann " = V % " 2 $ ' ) * % $ ' # n & # n & ( ( = 0 = +*, n

23 Unicita` della soluzione (*) "V 1 #V 2 % " (## )dv= % (" # " + " # ")dv $ 2 " = 0 $ teo. diveg. = $ (" 2 + " 2 )dv # = 0 = (") # n da $ = $ " da "n % # = " ( #$ 2 )dv

24 Unicita` della soluzione (*) " 2 $ da = % dv "n # $ & = 0 Neumann = 0 Diichlet " = 0 in # Diichlet Ψ = 0 (V 1 =V 2 ) Ψ costante Neumann V 1 =V 2 +cost.

25 Poblema geneale dell elettostatica Deteminae il campo elettico in tutto lo spazio quando pe M conduttoi sono fissati i potenziali e pe i imanenti N sono note le caiche possedute Nello spazio esteno ai conduttoi vale l equazione di Laplace

26 Poblema geneale dell elettostatica Si isolve il poblema di Diichlet, identificando le soluzioni dell equazione di Laplace che soddisfano le condizioni al contono specificate Dal potenziale si calcola il campo elettico nei punti infinitamente vicini alla supeficie dei conduttoi

27 Poblema geneale dell elettostatica Dal campo elettico sulla supeficie si ottiene la densita` di caica supeficiale (σ=ε 0 E) e da questa la caica totale Q Pe gli N conduttoi in cui sono note le caiche si deve isolvee il poblema di Neumann (piu` complesso)