Il LAVORO quantifica la capacità delle forze di muovere gli oggetti

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1 Il Lavoo Il LAVORO uantifica la capacità delle foze di muovee gli oggetti Se si applica una foza ad un oggetto e lo si muove pe una ceta distanza, si affema che si è compiuto un LAVORO. Se si tascina un oggetto lungo una supeficie che fa esistenza si esegue un LAVORO LAVORO è il podotto scalae di una foza applicata su un copo pe lo spostamento povocato dalla foza L F S In tutte le macchine inventate dall uomo pe compiee lavoo vi sono foze che poducono spostamenti; ad esempio, nel mulino lo spostamento di una mola tasfoma il gano in faina; Il moto dei pistoni del motoe fa muovee l automobile

2 Lavoo Lavoo positivo (motoe): foza e spostamento sono paalleli e concodi, ovveo la foza è a favoe dello spostamento L F S Lavoo negativo (esistente): foza e spostamento sono antipaalleli, ovveo la foza si oppone al movimento del copo L F S

3 Lavoo Nel caso più geneale, foza e spostamento non hanno la stessa diezione. Ad esempio la foza con cui il cane tia il guinzaglio può essee scomposta nelle componenti paallela e pependicolae allo spostamento oizzontale S; delle due, soltanto la pima compie lavoo L F S FS cos F// S Il lavoo si misua in Joule (J) L N m J

4 La Potenza Più che il lavoo in uanto tale, la capacità di una macchina di svolgee lavoo è definita dalla sua POTENZA, ovveo dal appoto ta lavoo compiuto e tempo impiegato a compielo L P t La potenza si misua in Watt: W J s N m s 1 Watt è la potenza di una macchina che compie il lavoo di 1 J al secondo

5 La Potenza Esempio: solleviamo di 1 m un panetto di buo di 1 g spostamento: 1 m peso sollevato:.1 Kg Tempo impiegato: 1 s m m F Mg.1Kg Kg 1N s s La foza peso di una massa di 1 g è 1 N L F S 1N 1m 1J 1 J è il lavoo necessaio a sollevae di 1 m una massa di 1 g L 1J P 1W t 1s 1 Watt è la potenza necessaia a sollevae 1 gammi di 1 meto nel tempo di 1 secondo

6 Lavoo del campo elettico Il lavoo del campo elettico su una paticella caica è il podotto scalae della foza di Coulomb pe lo spostamento della paticella L F S E S ES cos E E L + S L - Esecizio: valutiamo il segno del lavoo negli esempi seguenti: S E + S S L - L E

7 Enegia potenziale Un campo di foze CONSERVATIVO è in gado di compiee lavoo positivo su un copo posto all inteno del campo. Consideiamo ad esempio il campo di gavità teeste: un oggetto posto all inteno del campo, se lasciato libeo di muovesi, pecipita veso il suolo, attatto dalla foza di gavità. Diciamo alloa che il copo possiede un ENERGIA POTENZIALE, in vitù del fatto di essee all inteno del campo, e dunue di pote essee spostato dal campo Quando l oggetto pecipitando aggiunge il suolo, diciamo che la sua enegia potenziale è nulla, ovveo che è allo zeo del potenziale, poiché il campo non può più agie su di esso; l enegia potenziale è sempe definita ispetto ad una posizione di potenziale nullo, dunue essa è sempe una DIFFERENZA di ENERGIA POTENZIALE ta due posizioni (iniziale e finale) del copo, anche se pe bevità di linguaggio viene spesso chiamata semplicemente enegia potenziale

8 Enegia potenziale e lavoo h F stato iniziale mg stato finale Consideiamo un copo di massa m che pecipita al suolo: la diffeenza di enegia potenziale U ta lo stato finale (copo a tea) e lo stato iniziale (copo sollevato) euivale a meno il lavoo compiuto dal campo pe fa pecipitae il copo: L Mgh U U f U i L Se l enegia potenziale del copo vaia, vuol die che su uel copo viene compiuto un lavoo. Lavoo e diffeenza di enegia potenziale hanno segno opposto: una DIMINUZIONE dell enegia potenziale (il copo pecipita veso il suolo) indica LAVORO POSITIVO, ovveo lavoo COMPIUTO dal campo di gavità; un AUMENTO di enegia potenziale (copo sollevato da tea) indica LAVORO NEGATIVO, ovveo lavoo compiuto dall esteno conto il campo di gavità

9 Enegia potenziale del campo elettico Come il campo di gavità, anche il campo elettico è CONSERVATIVO; dunue una caica all inteno del campo elettico possiede un enegia potenziale, in vitù del fatto che essa può essee spostata dalla foza del campo elettico; se una caica in un campo unifome E subisce uno spostamento ettilineo d, lavoo compiuto e vaiazione di enegia potenziale della caica sono: L E d U L E d Consideiamo un elettone in un campo elettico unifome E = 15 N/C; calcoliamo la vaiazione di enegia potenziale U dell elettone coispondente ad uno spostamento veso l alto uguale a d=5 m. 19 N 15 U e E d 1.61 C 15 5m 1.51 J C Spostandosi in alto, l enegia potenziale dell elettone è diminuita di una uantità uguale al lavoo compiuto dal campo pe spostae l elettone

10 Potenziale elettico L enegia potenziale, così come il lavoo compiuto dal campo pe spostae una caica elettica dipende dal valoe della caica spostata; se è la caica spostata: L E S U Intoduciamo una gandezza che NON DIPENDE dalla caica ma soltanto dal campo stesso: il POTENZIALE ELETTRICO, ovveo l enegia potenziale pe caica unitaia: U L V E S Come l enegia potenziale, anche il potenziale è in ealtà una diffeenza di potenziale ta due punti dello spazio (nel linguaggio comune la d.d.p. si dice anche tensione ) : La d.d.p. ta due punti del campo è uguale a (meno) il lavoo compiuto dal campo pe spostae una caica unitaia dal punto iniziale a uello finale

11 Relazione ta potenziale e campo elettico A + S E B Pe un campo unifome ed uno spostamento ettilineo di una caica da A a B, il lavoo compiuto sulla caica e la vaiazione di enegia potenziale U e di potenziale V conseguente allo spostamento sono: B L U E S U U U V E S A V V V E S ES cos E S B A s E s = E cos() è la componente (detta anche poiezione) del campo elettico in diezione S: E s V S

12 Relazione ta potenziale e campo elettico In geneale, i campi elettici non sono unifomi, e la taiettoia seguita da una paticella può essee non ettilinea; pe deteminae una elazione geneale ta potenziale e campo dobbiamo usae il fomalismo infinitesimale. Consideiamo una caica all inteno di un campo elettico ualsiasi, ed una taiettoia cuvilinea (in vede); dividiamo la taiettoia in tanti tattini (spostamenti infinitesimali) ds; il lavoo, anch esso infinitesimo, associato a uesto spostamento è: dl E ds La diffeenza di potenziale infinitesima: dv dl E ds lavoo e d.d.p. complessiva ta i ed f si ottengono integando lungo la taiettoia: L i f E ds f i U E ds V E ds i f

13 Relazione ta potenziale e campo elettico Una notevole semplificazione all integale si ottiene dal fatto che, essendo il campo elettico CONSERVATIVO, lavoo e d.d.p. ta due punti non dipendono dalla taiettoia specifica utilizzata pe andae da i ed f, ma solo dai due punti. Dunue possiamo sempe scegliee il pecoso più conveniente possibile ta i ed f ed alla fine ottenee lo stesso isultato. d + i E Esempio: consideiamo un campo unifome, indicato in giallo in figua; vogliamo calcolae la d.d.p. ta i punti i ed f; scegliendo la taiettoia ossa il calcolo è molto semplice; infatti, è chiao che la d.d.p. nel tatto c-f è nulla, poiché campo e spostamento sono pependicolai; dunue conta solo il segmento ta i e c; sia d la distanza ta i e c : c f V V ( V V ) ( V V ) Ed f i f c c i Seguendo la taiettoia vede non ettilinea, il calcolo saebbe molto più complicato, ma alla fine si otteebbe lo stesso isultato

14 Dal potenziale al campo elettico Dalla elazione: si ottiene anche: dv E ds Esds E s dv ds Ovveo la componente del campo elettico in una diezione s è uguale alla deivata (cambiata di segno) del potenziale ispetto allo spostamento in uella diezione Se conoscessimo il potenziale V(x,y,z) in tutti i punti =(x,y,z) all inteno di una ceta egione di spazio, potemmo conoscee il campo elettico IN OGNI PUNTO ed OGNI DIREZIONE, semplicemente calcolando le deivate del potenziale ispetto a x, y, z. Le componenti del campo elettico lungo gli assi pincipali del ifeimento catesiano sono: E x V V ; Ey ; x y E z V z

15 Supefici euipotenziali Se in coispondenza di una deteminata diezione di spostamento il potenziale non vaia (V=, dunue V è costante in uella diezione), ciò significa che la componente del campo in uella diezione è NULLA; il luogo dei punti nello spazio aventi uguale potenziale si dice supeficie euipotenziale Su ciascun punto di una supeficie euipotenziale: il campo elettico è nullo in ualsiasi diezione tangenziale alla supeficie non viene compiuto lavoo su una caica che si sposta lungo una taiettoia contenuta sulla supeficie Ad esempio, nel campo elettico a simmetia cilindica del filo caico, ogni supeficie cilindica è una supeficie EQUIPOTENZIALE: lungo una taiettoia ualsiasi sulla supeficie cilindica una caica è libea di muovesi senza foza elettica applicata ad essa

16 Supefici euipotenziali Le supefici euipotenziali sono sempe pependicolai alle linee di foza e dunue alla diezione del campo elettico: se così non fosse il campo avebbe una diezione tangenziale alla supeficie, ed il potenziale non saebbe costante; pe un campo unifome le supefici euipotenziali sono piani pependicolai alle linee di campo; pe un campo adiale le supefici euipotenziali sono sfee concentiche CAMPO UNIFORME CAMPO RADIALE CAMPO DI DIPOLO Chiaamente, le supefici gaussiane utilizzate pe il calcolo del campo elettico non sono alto che supefici euipotenziali del campo!

17 Unità di misua il lavoo ha le dimensioni di una enegia, e si misua in Joule (J): Il Potenziale ha dimensioni di enegia diviso caica, e si misua in Volt (V) U L N m J U J N V m V C C Il Volt ci pemette anche di definie una nuova unità di misua pe il campo elettico: V m N C Una unità di lavoo ed enegia molto utilizzata in fisica atomica è l elettonvolt (ev); 1 ev è il lavoo compiuto pe vaiae di 1 Volt il potenziale di un elettone: J C 19 ev e 1.61 J

18 Potenziale dovuto ad una caica puntifome P + ds Risolvo l integale: Consideiamo una caica > ed il campo adiale da essa geneato (linee aancioni); vogliamo deteminae il potenziale in un geneico punto P distante dalla caica che genea il campo. Poniamo una caica di pova nel punto P e calcoliamo il lavoo compiuto dal campo pe spostae da P a distanza infinita. Poiché il campo è consevativo, L non dipende dal pecoso, pe cui scegliamo un pecoso semplice: la taiettoia adiale lungo la uale spostamento e campo sono sempe paalleli: 1 L E ds E d ' k d ' P ' d ' ' ' L k

19 Potenziale dovuto ad una caica puntifome L V V ( ) V ( ) k all infinito il campo è NULLO, ovveo l infinito pe il campo elettico della caica puntifome è lo ZERO del potenziale: V( ) V () k La stessa espessione vale anche all esteno di una distibuzione di caica sfeica, unifome o adiale Come PROVA che il isultato è giusto, possiamo icavae nuovamente il campo elettico dalla deivata del potenziale (cambiata di segno) ispetto ad : E() dv () d OK, si itova il campo elettico descitto dalla legge di Coulomb! k

20 Campo e Potenziale di una caica puntifome Campo geneato da : Potenziale geneato da : E() V () k k Enegia potenziale di una caica all inteno del campo geneato da : U() k V x, y k Plot D del potenziale in coodinate catesiane (x,y); sull asse veticale è ipotato V(). In = V ; ovveo il potenziale diventa infinito (divege) nel punto in cui è collocata la caica x y

21 Enegia potenziale di due caiche puntifomi + L inteazione ta e può essee ugualmente descitta dal punto di vista di ciascuna delle due caiche: se genea un campo che agisce su, anche genea un campo che agisce su ; se e sono divese, i campi ed i potenziali geneati dalle due caiche sono DIVERSI: Potenziale geneato da V k Potenziale geneato da V k + Ma l enegia potenziale del SISTEMA (ovveo di entambe le caiche) è LA STESSA: U V V k A diffeenza del potenziale, che è popietà della sola caica che genea il campo, l enegia potenziale è popietà delle caiche che inteagiscono

22 Enegia potenziale di due caiche puntifomi Ricodiamo che l enegia potenziale, così come il potenziale, è stata definita ispetto ad uno stato finale in cui le caiche sono infinitamente lontane ed il potenziale è nullo: U U( ) U( ) U ( ) L U() k uando e hanno segni concodi, U() è POSITIVA, e decesce sepaando le caiche da all infinito; essa coisponde al lavoo fatto dal campo pe potae le due caiche da all infinito F F U( ) U + + uando e hanno segni discodi, U() è NEGATIVA ed aumenta sepaando le caiche da all infinito; essa coisponde al lavoo speso conto il campo pe sepaae le caiche da ad infinito F F U( ) U + -

23 Potenziale dovuto ad un insieme di caiche puntifomi Il potenziale elettico geneato da un insieme di caiche puntifomi 1,,, n, è dato dalla somma dei potenziali di ciascuna caica. Il potenziale totale nel punto P, se 1,,, n sono le distanze di P dalle caiche, è uindi: P V P n V i i1 4 P Questo secondo pocedimento è più complicato, peché ichiede la somma vettoiale dei campi elettici; il potenziale elettico è una uantità scalae, pe cui se abbiamo a che fae con una distibuzione di caiche puntuali oppue continua, è più conveniente sommae i potenziali di ciascuna caica che i campi V P E P 1 n E P E i i1 ds n i1 Altenativamente, si può calcolae il campo elettico totale dovuto a tutte le caiche: E poi il potenziale come lavoo speso pe potae la caica di pova da P ad infinito: i i

24 Poblema 4.3 Si calcoli il potenziale totale nel punto P al cento del uadato. 1 =6 nc =-4 nc 3 =31 nc 4 =+17 nc d=1.4 m le distanze di P dalle uatto caiche sono tutte d / 1m k 9 Nm 3nC N m VP V C 1m C

25 Poblema 4.4 Consideiamo il potenziale nel punto C geneato da 1 elettoni disposti lungo un aco di cechio di aggio R Le distanze da C degli elettoni sono tutte uguali, pe cui anche i potenziali sono uguali; la loo somma è: 1 V C 4 e R Il calcolo del campo elettico in C è molto più complesso, poiché ichiede di consideae la somma vettoiale dei 1 campi geneati dalle singole caiche ATTENZIONE: dalla pecedente espessione del potenziale nel punto C possiamo icavae il campo elettico? NO, la deivata del potenziale ichiede la conoscenza del potenziale in tutti i punti del piano, non in un punto soltanto!!

26 Poblema 4.6 Consideiamo le 3 caiche in figua 1 =, =-4, 3 =+, =1 nc; d=9 cm; si calcoli l enegia potenziale del sistema. L enegia potenziale totale è la somma delle enegie potenziali di ciascuna coppia di caiche: k k U d d Nm 11 C 91 1 C 91 m 14 9 Questa enegia appesenta il lavoo necessaio pe sepaae le 3 caiche all infinito U negativa indica che il lavoo netto pe potae le caiche all infinito è fatto non dal campo ma CONTRO il campo (infatti il campo tende ad avvicinae le coppie 1 - e - 3, e ad allontanae la sola coppia 1-3 ) U negativa indica che il SISTEMA è STABILE e possiede un enegia potenziale immagazzinata al suo inteno, pe cui è necessaio compiee lavoo dall esteno se si vuole disgegae il sistema e potae le paticelle caiche a distanza infinita CONTRO l azione legante del campo elettico. J

27 Potenziale dovuto a distibuzioni continue di caica Se invece di distibuzioni PUNTUALI abbiamo a che fae con distibuzioni CONTINUE di caica, pe il calcolo del potenziale si pocede utilizzando il calcolo infinitesimale; consideiamo una distibuzione di caica (egione vede) caatteizzata dalla densità ; all inteno di essa consideiamo un volumetto infinitesimo dv=d 3 in cui è contenuta una caica d; sia la posizione di d nel ifeimento catesiano; il potenziale geneato da d in un punto P distante da d è: z P y x ' d dv P d k Il potenziale totale nel punto P è ottenuto integando su tutta la egione vede in cui è pesente la densità di caica; dunue: ( ') 3 VP k d d d 3 ( ') ' '

28 Potenziale dovuto ad una bacchetta isolante Data una bacchetta di plastica di lunghezza L e densità di caica unifome l; calcolae il potenziale nel punto P. Poniamo la bacchetta lungo l asse x, e consideiamo il potenziale dovuto al segmento infinitesimo dx (in giallo) con caica d= ldx: x d d l dx dvp k k x d V P kl L x dx d L La chiave pe isolvee l integale è la sostituzione di vaiabile: x' x x d dx' x' x dx d

29 Potenziale dovuto ad una bacchetta isolante dx ' V ln ' ln P kl kl x kl x x d x' lln ln lln L L d k L L d d k d L x d Si noti che l agomento del logaitmo è > 1, pe cui il logaitmo è sempe > ; dunue il potenziale è positivo se la densità di caica è positiva, negativo se la densità è negativa L

30 Potenziale dovuto ad un disco caico isolante Dato un disco isolante di aggio R e densità di caica unifome s, calcolae il potenziale V(z) lungo l asse z pependicolae al disco e passante pe il cento z R' Consideiamo il potenziale nel punto P dovuto all anello aancione, di aggio R, spessoe infinitesimo dr, e caica d: dv 1 d z R' V() z s ' dr' d s R Lungo l anello, la distanza da P è costante, pe cui il potenziale dovuto a tutto l anello è dato da: R s R' dr ' Il potenziale totale del disco ichiede la somma su tutti gli anelli, ovveo l integale in dr : R' dr ' z R'

31 Potenziale dovuto ad un disco caico isolante V() z s R R' dr ' z R' z R' opeiamo la sostituzione di vaiabile R x x z R' dx R' dr' z R' V ( z) s dx s x s z R' R s V () z z R z

32 Ricaviamo il Campo elettico dal Potenziale s V () z z R z z R' Conoscendo il potenziale in tutti i punti lungo l asse z, possiamo anche icavae il campo elettico lungo z (pe simmetia, è evidente che il campo lungo l asse è pependicolae al piano del disco) V s z Ez ( ) 1 z z R s z 1 z R

33 V () z z R z Limite di disco infinito s s z Ez ( ) 1 z R Nel limite R >> z (z/r ) gli effetti di bodo diventano tascuabili, ed il disco si tasfoma in un piano infinito unifomemente caico: E z V (z) z Ez () s s z s s V ( z) R 1 z R z R Il 1 temine del potenziale è una costante abitaia poco impotante poiché del potenziale ci inteessa la vaiazione lungo z; pe s > il temine decesce lineamente con la distanza dal piano infinito; chiaamente: Ez () Ritoviamo il campo elettico all esteno di un disco caico isolante! dv () z dz s

34 Potenziale di una sfea isolante unifomemente caica R S Applicando Gauss abbiamo icavato che il campo elettico esteno alla sfea caica è uguale a uello della caica puntuale posta nell oigine: E() k Dunue anche il potenziale esteno alla sfea è euivalente a uello ottenuto pe la caica puntifome: V () k

35 Potenziale di una sfea isolante unifomemente caica R Applicando Gauss abbiamo icavato il campo elettico all inteno di una sfea unifomemente caica: E( ) k 3 R Pe calcolae il potenziale in un punto inteno alla sfea, consideiamo una taiettoia adiale (vede) che va dal cento della sfea al punto, e calcoliamo la d.d.p. ta ed il cento: V ( ) V () d' E( ') k d' ' k 3 3 R R Nel cento della sfea il campo è nullo, pe cui è logico assumee V() =, da cui : V ( ) k 3 R Come veifica del isultato, si può calcolae la deivata del potenziale cambiata di segno e iottenee l espessione del campo

36 Potenziale di una sfea isolante unifomemente caica E () V () k 3 R R k Riepilogo: campo elettico e potenziale di una sfea unifomemente caica in funzione della distanza dal cento. Il potenziale elettico ha una discontinuità in coispondenza di uguale al aggio della sfea k R k 3 R R

37 Potenziale di un conduttoe caico isolato Abbiamo visto che in un conduttoe, sia pieno che contenente una cavità, il campo è sempe nullo in ogni punto inteno al conduttoe pe il pincipio di euilibio elettostatico. Applicando Gauss, ne segue che le caiche in un conduttoe possono essee posizionate soltanto sulla supeficie estena. Inolte, il potenziale all inteno di un conduttoe è SEMPRE costante in tutti i punti. Infatti, dalla fomula geneale: V V f V f E ds Si vede che se il campo è nullo in ogni punto, la diffeenza di potenziale è nulla pe ualunue i ed f: i Vf V i i

38 Potenziale e campo elettico di un conduttoe sfeico V k Potenziale podotto da una sfea conduttiva (o da un guscio sfeico) di aggio =1 m e caica =1mC. All inteno del conduttoe il potenziale è costante All esteno del conduttoe il potenziale è uguale a uello di una caica puntifome posta al cento della sfea E k All inteno del conduttoe il campo è nullo All esteno del conduttoe il campo è uguale a uello di una caica puntifome posta al cento della sfea

39 Conduttoe in un campo esteno: induzione Le caiche positive sono i ubinetti del campo: da esse fuoiescono le linee; le caiche negative sono i lavandini, poiché assobono le linee entanti Consideiamo un conduttoe neuto immeso in un campo esteno unifome Si veifica induzione elettostatica: si geneano caiche positive e negative sulla supeficie del conduttoe, le uali schemano (ovveo compensano) il campo esteno in modo che sia E= e V costante in tutti i punti inteni al conduttoe Dalla figua si nota che le linee di foza sono sempe PERPENDICOLARI alla supeficie del conduttoe. Se così non fosse ci saebbeo foze supeficiali in gado di muovee le caiche sulla supeficie, contavvenendo al pincipio di euilibio elettostatico.

40 Applicazioni dell induzione elettostatica IL PARAFULMINE: Se il conduttoe non è sfeico, la caica tende ad accumulasi fotemente sulle punte. Il paafulmine inventato da Benjamin Fanklin nel 17 è un asta di metallo appuntita, collegata a tea da un filo conduttoe. Duante il tempoale, la caica elettica negativa delle nuvole caiche d acua cea pe induzione un fote accumulo di caica positiva sulla punta del paafulmine. Quando la diffeenza di potenziale ta nuvole e suolo supea un valoe massimo, si geneano i fulmini, ovveo scaiche elettiche di caica negativa dalle nuvole al suolo. La punta del paafulmine funge da calamita: i fulmini sono attatti dalla caica positiva della punta e scaicano la tensione sul paafulmine. La caica attavesa il paafulmine e si dispede al suolo Un effetto potettivo si ottiene mantenendosi all inteno di un conduttoe cavo: la coente attavesa la supeficie del conduttoe ma nella cavità il campo è nullo (effetto gabbia di Faaday). L automobile è un buon esempio di gabbia di Faaday