consente di immagazzinare e rilasciare energia elettrica in modo molto rapido

Transcript

1 Il condensatoe Il condensatoe (a volte detto capacitoe) è uno stumento estemamente utile in elettonica e nei cicuiti elettici, poiché consente di immagazzinae e ilasciae enegia elettica in modo molto apido. Il classico esempio è il flash della macchine fotogafiche: l enegia di una nomale batteia non saebbe eogata abbastanza apidamente da consentie l emissione del lampo nei tempi bevissimi ichiesti dall esposizione ottica; si usa dunue l enegia del condensatoe; alto esempio è il defibillatoe Il concetto di condensatoe si applica in ealtà a moltissimi casi: pe esempio il campo elettico dell atmosfea teeste è come un enome condensatoe sfeico caico, che peiodicamente sfoga attaveso i fulmini l eccesso di enegia elettostatica accumulata nell atmosfea

2 Il condensatoe Il condensatoe è costituito da due piani conduttoi caichi (anche detti piatti o amatue) di caica e ; la foma pecisa (ettangolae, cilindica, ecc) in ealtà è inessenziale fintanto che gli effetti di bodo sono tascuabili; vediamo in figua le linee di campo di un condensatoe: al cento il campo è unifome all inteno, e nullo all esteno; vicino ai bodi peò il campo può essee notevolmente distoto Il condensatoe si dice caico se le amatue sono caicate da una caica ; si dice scaico se i piani sono neuti

3 apacità del condensatoe La caatteistica più impotante del condensatoe è la sua capacità (); essa detemina la elazione ta la caica accumulata nel condensatoe e la diffeenza di potenziale ta i due piatti: V La capacità del condensatoe coisponde alla uantità di caica che è necessaio accumulae sui piatti pe avee una diffeenza di potenziale unitaia L unità di misua della capacità è il FARAD (F): un Faad è uguale ad un oulomb su un Volt V Attenzione a non confondee capacità e oulomb, entambi si indicano con!! V F

4 aica del condensatoe Pe caicae il condensatoe inizialmente scaico è necessaio inseilo in un cicuito elettico, ovveo connettelo ad una batteia. La batteia genea una d.d.p. ta i suoi poli: a cicuito chiuso, la caica + si tasfeisce dal polo + della batteia al piatto h del condensatoe, e la caica negativa dal polo - della batteia al piatto l del conduttoe, fino a che poli e piatti non siano allo stesso potenziale. A uesto punto la coente si blocca: lungo i fili del cicuito il potenziale è costante in ogni punto, e la d.d.p. del condensatoe si è potata ad un valoe uguale a uello della batteia: il condensatoe è totalmente caico. Se V è la d.d.p. della batteia e la capacità del condensatoe, la caica accumulata sui piatti è: V

5 apacità del condensatoe piano onsideiamo un condensatoe piano, con caica, aea dei piatti A, e distanza ta i piatti d; tascuiamo gli effetti di bodo ed assumiamo il campo unifome in tutti i punti inteni al condensatoe. alcoliamo la d.d.p. ta i piatti consideando un cammino ettilineo (linea vede) che va dal piatto negativo al piatto positivo (si noti che campo e spostamento hanno veso opposto): V V V E ds E d d d A V La capacità dipende soltanto da fattoi geometici: aumenta con l aea e si iduce con la distanza ta i piatti A d S Si noti che V + -V - è positiva, ovveo all inteno del condensatoe il potenziale cesce muovendosi veso il piatto positivo, decesce andando veso il piatto negativo

6 Unità di misua della pemittività dielettica del vuoto Ricodiamo uanto vale la pemittività dielettica del vuoto: Dalla elazione: 8.85 A d N m si vede che la pemittività deve potesi espimee più semplicemente in Faad su meto F m pf m In effetti: F V N m Nm

7 ondensatoe cilindico S In figua è mostata la sezione di un condensatoe cilindico di lunghezza L costituito da due cilindi coassiali di aggi a e b, con caica + e ; sia L >> a,b, così da pote tascuae gli effetti di bodo. Il campo elettico (linee blu) ha simmetia cilindica. All inteno del condensatoe il campo è geneato soltanto dal cilindo inteno caico +, ed è euivalente a uello di un filo caico: E L onsideiamo il cammino adiale (linea vede) che va dal cilindo negativo a uello positivo (lungo il cammino, campo e spostamento sono anti-paalleli): b b b V V V E ds E d d ln a L L a V ln L b / a a la capacità è inteamente deteminata da soli fattoi geometici

8 S ondensatoe sfeico Pe il condensatoe sfeico utilizziamo la stessa figua, immaginando che appesenti la sezione di una sfea conduttiva intena di aggio a e caica + ed un guscio concentico di aggio b e caica. Il campo elettico nel condensatoe (linee blu) è deteminato soltanto dalla sfea intena caica +, ed euivalente al campo della caica puntifome posta nell oigine: E k onsideiamo il cammino adiale (linea vede) che va dal cilindo negativo a uello positivo (lungo il cammino, campo e spostamento sono anti-paalleli): b b V V V E ds E d k d k k a a a a b b a ab V 4 4 ab V b a b

9 Sfea conduttiva isolata Pe il condensatoe sfeico: ab 4 b a onsideiamo una distanza ta le sfee infinita: ponendo b si può definie la capacità di un conduttoe sfeico isolato. 4 a 4 ( a / b) uesto non è un caso pivo di significato fisico: le linee di campo uscenti da una sfea conduttiva caica positivamente pima o poi dovanno andae a moie su un involuco caico negativamente che neutalizza l inteo sistema (ad esempio le paeti della stanza). Se il aggio della sfea è piccolo ispetto a uesta distanza si può usae l espessione pe la sfea isolata. Il limite di distanza infinita ha senso solo nel caso di condensatoe sfeico, poiché la simmetia adiale si conseva nel limite infinito; nel caso cilindico o unifome l aumento di distanza ta le amatue poduce effetti di bodo sempe maggioi, fino a distocee completamente la simmetia oiginaia a

10 Poblema 5. onsideiamo un condensatoe piano nei cicuiti integati della RAM di un calcolatoe; sia A= mm l aea dei piatti, e d=. mm la distanza ta i piatti ) alcolae la capacità del condensatoe. ) aichiamo il condensatoe con una tensione V = 4.5 V: uanti elettoni in eccesso ci sono sulla sua amatua negativa? A pf mm pf cm pf ff d m.mm m PIO (p) = - ; FEMTO (f) = -5 3 V 88.5 ff 4.5 V 4.4 p Il numeo degli elettoni si ottiene dividendo la caica di ciascuna amatua pe la caica dell elettone: 3 4 n.5 9 e.6 Un accumulo di caica di meno di un pico oulomb coisponde a.5 milioni di elettoni in eccesso!! 6

11 ondensatoi in seie e in paallelo I cicuiti elettici pesentano spesso un gan numeo di condensatoi, i uali possono essee combinati in due modalità fondamentali: seie e paallelo. Possiamo icavae delle leggi che consentono di idue la capacità di molti condensatoi a uella di un solo condensatoe euivalente, in modo da semplificae le leggi che egolano il funzionamento dei cicuiti. Studiamo uindi la capacità euivalente dei condensatoi disposti in seie e paallelo.

12 ondensatoi in paallelo In figua è mostato un cicuito con 3 condensatoi in paallelo; pe paallelo si intende che i condensatoi sono posti lungo 3 fili paalleli in modo da avee ta le amatue la stessa d.d.p. V; all euilibio (ovveo dopo la fase di caica) V è costante ed uguale alla tensione stabilita dalla batteia (B). Se i condensatoi hanno divesa capacità, anche le ispettive caiche saanno divese, ovveo: V V 3 3V V V V V Se è la somma delle caiche sui condensatoi e e la somma delle capacità si ha: V V ) V 3 ( 3 e Dall ultima euazione segue che possiamo sostituie il cicuito eale con un cicuito fittizio avente un solo condensatoe, con caica uguale alla somma delle caiche e capacità e (detta capacità euivalente) uguale alla somma delle capacità V

13 V V V V V 3 ondensatoi in seie In figua è mostato un cicuito con 3 condensatoi in seie, ovveo allineati lungo un amo del cicuito; ciascun condensatoe ha divesa d.d.p. ma uguale caica. La batteia caica esclusivamente i piatti collegati dal filo con i poli, gli alti piatti si caicano pe induzione. La caica dei condensatoi è uguale poiché in ogni coppia di piatti connessi (come uelli inteni alla cuva ossa tatteggiata) viene indotta una caica uguale ed opposta. La somma delle d.d.p. dei condensatoi è uguale alla d.d.p. della batteia, pe cui: V V V V 3 Definiamo capacità euivalente del sistema in seie: e V e 3 Il cicuito in seie euivale a uello con un condensatoe con stessa caica, e capacità euivalente il cui inveso è la somma dell inveso delle capacità 3

14 Poblema 5. V V V V 3 Il cicuito in figua è collegato ad una batteia avente d.d.p. V= V; i condensatoi hanno capacità = mf, =6 mf, 3 =6 mf. ) alcolae la capacità euivalente dell inteo cicuito V V V V 3 Notiamo oa che e 3 sono connesse in seie: possiamo uindi sostituile con una capacità euivalente: 3 Notiamo che e sono connessi in paallelo, con diffeenza di potenziale comune ta i punti A e B. Dunue possiamo sostituili con una euivalente data da: 3 mf mF

15 Poblema 5. V V V V 3 Il cicuito in figua è collegato ad una batteia avente d.d.p. V= V; i condensatoi hanno capacità = mf, =6 mf, 3 =6 mf. ) alcolae le d.d.p. ai capi dei 3 condensatoi Pocediamo a itoso: calcoliamo la caica ai piatti di 3 : 3 3 V 4.5mF V 54m Questa caica è la stessa accumulata su e su 3. Utilizziamola pe calcolae la tensione ai capi di e 3 54m 3 V 3V V3 8mF 3 54m 9V 6mF V V V V 3 ome veifica del isultato notiamo che la somma di V e V 3 è uguale alla tensione V della batteia; inolte si ha V = V = V notiamo ; abbiamo uindi calcolato tutte le d.d.p. ai capi dei condensatoi

16 V 3 Poblema 5. Il cicuito in figua è collegato ad una batteia avente d.d.p. V= V; i condensatoi hanno capacità = mf, =6 mf, 3 =6 mf. 3) alcolae le caiche sui piatti dei 3 condensatoi onosciamo tutte le d.d.p. ai capi dei condensatoi, e le ispettive capacità ; possiamo uindi calcolae le caiche pesenti su ciascun condensatoe: V mf 3V 36m V 6mF 3V 8m 3 3V 3 6mF 9V 54m ome veifica del isultato notiamo che la somma delle caiche e euivale alla caica pecedentemente calcolata del condensatoe euivalente onosciamo ed anche alla caica del condensatoe in seie 3

17 Poblema 5.3 Il condensatoe =5 mf viene caicato con una batteia a potenziale V = V; la batteia viene poi imossa e collegato ad un alto condensatoe = mf. A cicuito chiuso una ceta uantità di caica si tasfeisce da a fino a aggiungee una condizione di euilibio con uguale diffeenza di potenziale ai capi dei due condensatoi; calcoliamo la diffeenza di potenziale comune V a cicuito chiuso Se è la caica di icevuta dalla batteia, all euilibio uesta si deve consevae, pe cui le caiche finali sui condensatoi sono tali che V V V 5 4 V V V V 5

18 Enegia immagazzinata nel condensatoe L enegia immagazzinata nel condensatoe è uella eogata dalla batteia nel pocesso di caica, e coisponde al lavoo effettuato (dalla batteia) pe taspotae tutta la caica del condensatoe da un piatto all alto, ovveo l enegia potenziale della caica tasfeita ta i piatti. alcoliamo uesta enegia: consideiamo un condensatoe piano, sia la caica sui piatti in un ceto istante del pocesso di caica; consideiamo lo spostamento di una caica d dal piatto negativo a uello positivo; la vaiazione di enegia potenziale associata allo spostamento di caica d da un piatto all alto è ' d ' d ' ' du d ' V ' d ' Immaginiamo di patie dal condensatoe scaico ( =) e tasfeie caica pogessivamente fino ad un totale di caica ( =); la coispondente enegia potenziale è data dall integale: ' U d ' V ' d '

19 Enegia immagazzinata nel condensatoe poiché V U V Si noti che ueste espessioni sono valide in geneale, non dipendono dal tipo di condensatoe consideato (piano, cilindico, sfeico) ATTENZIONE: potevamo essee tentati di scivee a) U V b) V U saemmo caduti in eoe Mai confondee la caica che genea il potenziale con la caica spostata all inteno del campo! In a) la caica è all inteno del campo e viene spostata dalla d.d.p., mente in b) la caica è uella che genea il campo e la d.d.p. Nel pocedimento coetto abbiamo distinto la caica spostata d dalla caica dei piatti che genea il campo. Alla fine del pocesso di caica (ovveo dopo l integazione in ) la caica totale sui piatti coincide con la caica totale spostata da un piatto all alto; ma ciò è veo soltanto alla fine, non DURANTE il pocesso di caica.

20 Enegia immagazzinata nel condensatoe d onsideiamo condensatoi piani e ; la distanza ta i piatti è d pe e d pe, mente l aea A dei piatti e la caica sui piatti è la stessa: A d A d ; Avendo stessa, anche il campo elettico inteno ai condensatoi è lo stesso: E A d Invece la d.d.p. ta i piatti e l enegia immagazzinata da sono il doppio ispetto a uelle di : V d E V U U A paità di caica, l enegia immagazzinata cesce con la distanza ta i piatti, ovveo col volume di spazio compeso ta di essi. Dunue l enegia, è come se fosse immagazzinata nello spazio compeso ta i piatti.

21 Densità di enegia del campo elettico U L enegia del condensatoe può intepetasi come enegia immagazzinata nel volume compeso ta i piatti; nel caso di un condensatoe piano, poiché il campo inteno al condensatoe è unifome, possiamo facilmente deteminae la densità di enegia dividendo l enegia pe il volume Ad compeso ta i piatti: V U A V u V V E Ad Ad d Ad d Questa è un espessione fondamentale dell elettomagnetismo, ui icavata nel caso semplice di un condensatoe piano, ma in ealtà VALIDA in GENERALE pe QUALUNQUE AMPO ELETTRIO: dato un campo elettico ualsiasi E in un punto dello spazio, la densità di enegia elettostatica immagazzinata in uel punto è popozionale al uadato del campo elettico u E

22 Il defibillatoe Scaicae uesta enegia nel tempo di un millisecondo euivale a scaicae sul copo del paziente una POTENZA (enegia pe unità di tempo): Una batteia caica un condensatoe ad elevata d.d.p, immagazzinando una gande uantità di enegia in meno di un secondo. Una volta caico, gli elettodi vengono applicati sul petto del paziente ed il cicuito viene chiuso: l enegia si scaica attaveso una coente che fluisce ta le due piaste attaveso il copo umano (che è un buon conduttoe elettico). Esempio patico: un condensatoe da =7 mf può essee caicato fino a V=5 kv! alcoliamo l enegia immagazzinata: m 875 U V F V J U 875J P 875kW 3 t s

23 ondensatoe con dielettico Il concetto di capacità si deve al gande Michael Faaday, uno dei padi dell elettomagnetismo classico (in Figua sono ipotati sfee e gusci in ottone usati da Faaday come condensatoi sfeici). Nel 837 Faaday fece un alta scopeta impotantissima: Inseendo un mateiale isolante (DIELETTRIO) come olio mineale o plastica ta i piatti del condensatoe, la capacità può aumentae enomemente. Rispetto al condensatoe vuoto (chiamiamo vuoto la sua capacità), dopo l inseimento del dielettico la capacità aumenta di un fattoe moltiplicativo adimensionale che dipende dalla sostanza, detto OSTANTE DIELETTRIA RELATIVA vuoto NB: la fomula è valido sole se Il dielettico iempie TOTALMENTE il condensatoe

24 ondensatoe con dielettico Possiamo uindi scivee la fomula GENERALE della capacità come: L col vuoto: col dielettico: A / d piano L L / ln( b / a) cilindico 4 ab / ( b a) sfeico L è il fattoe geometico, ed ha la dimensione fisica dimensione di lunghezza

25 ondensatoe con dielettico aso di potenziale costante: inseiamo il dielettico nel condensatoe uando il condensatoe è scaico, e poi connettiamo il condensatoe ad una batteia avente d.d.p. V; ai piatti del condensatoe si genea la stessa V che si ha pe il condensatoe vuoto; poiché l inseimento del dielettico aumenta la capacità del condensatoe, ne segue che la caica ai piatti e l enegia immagazzinata U aumentano anch esse dello stesso fattoe di popozionalità : condensatoe vuoto: vuoto U condensatoe con dielettico: ' V vuoto vuoto V V Lo stesso accade inseendo il dielettico nel condensatoe caico mente è connesso con la batteia: la d.d.p. ai piatti è fissata dal valoe della batteia, mente e U aumentano; uesto suplus di caica ed enegia è fonito dalla batteia U ' V U vuoto

26 ondensatoe con dielettico aso di caica costante: intoduciamo il dielettico nel condensatoe uando esso è ARIO di caica, ed isolato (staccato dalla batteia); in tal caso la caica sui piatti del condensatoe non può vaiae; poiché l inseimento del dielettico aumenta la capacità del condensatoe, ne segue che dopo l inseimento del dielettico la d.d.p. V ai piatti del condensatoe e l enegia immagazzinata U devono diminuie di un fattoe : V U V ' U ' vuoto vuoto vuoto vuoto V on l inseimento del dielettico il condensatoe ha peso d.d.p, ed enegia; ma l enegia non può scompaie, dov è finita? A dopo la soluzione

27 Poblema 5.6 Un condensatoe caico a piatti paalleli con capacità a vuoto v = pf, non connesso alla batteia, pesenta una V i = V. Si inseisce ta i piatti una lasta di pocellana con =5; calcolae l enegia immagazzinata dal condensatoe senza e con dielettico. In uesta situazione la caica si conseva (in figua il condensatoe è connesso ad un voltmeto che misua la d.d.p. ai piatti del condensatoe; la esistenza del voltmeto è gande pe cui il condensatoe è isolato (il cicuito è apeto) senza dielettico: pf ( V ) 9 Ui vvi FV nj con dielettico: Ui U f. nj

28 Risposta dielettica e polaizzazione In un conduttoe il campo elettico non può penetae: pe induzione elettica, si fomano caiche sulla supeficie che SHERMANO il campo esteno. In un mateiale isolante all inteno di un campo elettico, gli elettoni del mateiale non sono libei di muovesi; si veifica comunue un effetto di polaizzazione: le caiche negative (elettoni) e positive (nucleo) di ogni atomo si divaicano leggemente, fomando dipoli elettici di dimensione atomica. Questi dipoli geneano un loo campo elettico che si oppone fotemente a uello esteno, iducendolo di molto (effetto di schemo dielettico, o isposta dielettica) Atomo non polaizzato: la nuvola elettonica (giallo) è centosimmetica ispetto al nucleo positivo E E ' In pesenza di campo elettico E (blu) l atomo si polaizza: elettoni e nucleo si spostano in veso opposto fomando un dipolo micoscopico p (vede); il campo elettico E del dipolo (osso) è oientato in veso opposto, ovveo si oppone, al campo esteno

29 Risposta dielettica e polaizzazione La costante dielettica elativa appesenta la isposta dielettica del mateiale all azione del campo esteno: in pesenza di campo, la mateia isolante si polaizza, dando lungo ad un campo indotto che schema (iduce) il campo elettico esteno; la iduzione del campo dovuta alla isposta dielettica è uantificata da : all inteno di un mateiale dielettico bisogna sostituie: onsideiamo la caica (blu), vicina alla supeficie di una sfea isolante; in un punto a distanza nel vuoto (o nell aia) il campo elettico è uello dato dalla legge di oulomb; in un punto inteno alla sfea (con = ) il campo è idotto di un fattoe, e dunue molto più piccolo che nel vuoto E E k ˆ k ˆ' '

30 Leggi dell elettostatica all inteno di un V k mateiale dielettico All inteno di un mateiale dielettico, tutte le elazioni dell elettostatica viste pe il caso del vuoto estano valide se si moltiplica la pemittività dielettica del vuoto pe la costante dielettica del mateiale: Esempi: potenziale e campo geneati dalla caica puntifome in un punto distante dalla caica: k V 4 E E 4 potenziale e campo geneati dallo stato conduttoe in un punto distante z dal piano: V z V E E

31 Risposta dielettica nel condensatoe onsideiamo un dielettico in Figua (a); i cechi indicano atomi neuti. Inseiamo il dielettico in un condensatoe che genea un campo E ; gli atomi si polaizzano (Figua (b)) fomando catene di dipoli paallele al campo del condensatoe. Ogni catena di dipoli coisponde ad un dipolo unico avente stessa caica del singolo dipolo, ma lunghezza uguale a uella dell intea catena. La isposta dipolae del dielettico euivale alla ceazione di un doppio stato isolante di segno opposto ispetto al doppio stato del condensatoe In alte paole, la isposta del dielettico genea un campo indotto E opposto in veso e minoe in modulo di E ; il campo netto è E (vedi Fig.(c))

32 Legge di gauss nei dielettici il dielettico ta i piatti del condensatoe sviluppa, come isposta al campo geneato dai piatti, un doppio stato caico che si OPPONE a uello dei piatti; sia la caica di uesto doppio stato; applichiamo la legge di Gauss alla supeficie Gaussiana disegnata in osso: nel vuoto: E da EA ' E da EA E E ' E () espime la iduzione di caica dovuta alla polaizzazione del dielettico; sostituendo la elazione () nella () si ottiene la legge di Gauss all inteno del dielettico: E da E è il campo totale (campo dei piatti più campo di polaizzazione), è la caica sui piatti () E '

33 Riduzione di enegia potenziale nel condensatoe con dielettico Abbiamo visto che nel condensatoe caico isolato l enegia è diminuita dopo l inseimento del dielettico U vuoto U Adesso capiamo dove finisce l enegia pesa dal condensatoe: a causa dell inteazione ta caica del condensatoe e caica di dipolo indotta nel dielettico, il dielettico viene isucchiato all inteno del condensatoe. Dunue l enegia potenziale è spesa dal campo del condensatoe pe attae a sé il dielettico

34 Poblema 5.7 La figua mosta un condensatoe piano con piatti di aea A=( cm) distanti d= cm; si caica il condensatoe a vuoto con una tensione V = V; a condensatoe isolato si inseisce ta i piatti una lamina dielettica di spessoe b= cm e =; calcolae: ) La capacità a vuoto ) La caica sui piatti 3) Il campo elettico E nell intecapedine vuota ta piatti e lasta A pf m ) pf d m m ) V 4.4 pf V.44 n V 3) E 5 d V m NB: nell intecapedine il campo è uguale a uello del condensatoe a vuoto

35 E 4) E 5 V m Poblema 5.7 La figua mosta un condensatoe piano con piatti di aea A=( cm) distanti d= cm; si caica il condensatoe a vuoto con una tensione V = V; a condensatoe isolato si inseisce ta i piatti una lamina dielettica di spessoe b= cm e =; calcolae: 4) Il campo elettico E dento la lasta 5) La d.d.p. ta i piatti V dopo l intoduzione della piasta 6) La capacità con la lasta inseita 5) V E ( d b) E b E ( d b ( b / )) 75V 4.4 6) 5.9 pf V.75 V Il dielettico NON iempie NB : 8. 85pF totalmente il condensatoe!!

36 Poblema 5.5: sfea conduttiva isolata Su una sfea conduttiva di aggio R= cm è collocata una caica = n; calcoliamo: La capacità della sfea caica: u pf 4 R m.pF m L enegia immagazzinata nel campo elettico all esteno della sfea: ( n) U.45.pF Il campo elettico sulla supeficie della sfea: 9 E 9 Nm n 9 N 9 V 4 R ( cm) m La densità di enegia sulla supeficie della sfea pf 4 V 5 J E m m m 7 J