Flusso di un vettore v

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1 Flusso di un vettoe v A A An vettoe aeale Il teoema di Gauss lim E A EdA i A i i supeficie

2 Il teoema di Gauss Supeficie Chiusa: Supeficie che divide lo spazio in una egione «intena» e una egione estena E i E A Caica puntifome: 4 i E da i i E da EA E da 4 EdA 4 il flusso elettico attaveso una supeficie gaussiana è popozionale al numeo di linee che entano ed escono dalla supeficie

3 la simmetia campo elettico geneato da una caica puntifome E da EdA E da E4 E 4 Alcuni esempi: distibuzione di caica a simmetia sfeica distibuzione su una/due lamine piane

4 Sistemi a simmetia piana int A Supeficie gaussiana = cilindo etto chiuso di base A pependicolae alla lasta Il flusso vale: Il teoema di Gauss dice che: E EdS EA S EA Q Quindi, usando la densità supeficiale di caica, si ha: E

5 Doppia Piasta Si consideino due piaste infinite, una con caica supeficiale + ed una con caica - e le si avvicinino come in (c) Come nel caso pecedente, si sceglie come supeficie gaussiana un cilindo etto chiuso di base A pependicolae alla lasta. All inteno del cilindo la caica totale è nulla (essendo le due densità di caica uguali ed opposte) pe cui estenamente al doppio stato E=. Ta le due piaste, invece, si ha un contibuto di campo elettico E=/ dietto da sinista a desta (peché uscente) dovuto alla piasta caica positivamente ed un contibuto di campo elettico E=/ dietto ancoa da sinista a desta (peché entante) dovuto alla piasta caica negativamente. Pe cui, il campo totale vale E= /

6 Piano conduttoe caico Consideiamo oa un piano metallico con distibuzione di caica. In patica, a diffeenza di pima, dove consideavamo una lamina o un foglio, oa immaginiamo il piano conduttoe estendesi indefinitamente E Cilindetto su cui applichiamo il th di Gauss Evidentemente la supeficie del cilindetto immesa nel conduttoe ha flusso nullo: l unico contibuto non nullo è attaveso la supeficie supeioe, pe cui, il campo totale vale E= /

7 Conduttoi in euilibio elettostatico E da EA int E = all inteno del conduttoe la caica isiede sulla supeficie E = / in un punto possimo alla supeficie del conduttoe e ad essa la caica si accumula nei punti della supeficie a cuvatua maggioe (punte) int A teoema di Coulomb A EA E

8 Gabbia di faaday All inteno di un conduttoe cavo, pe il teoema di Gauss il Campo Elettico è nullo. La caica si distibuisce sulla supeficie in modo da schemae l inteno dal campo elettico esteno

9 Moto di una paticella caica in un campo elettico unifome F E ma E a m paabola

10 Un campo elettico è dovuto alla caica Q = +, C. Calcola: L intensità del vettoe campo elettico nel punto A a 5 m di distanza da Q. L intensità, la diezione ed il veso della foza che subiebbe una caica di 3 μc messa a 3 m di distanza da Q Quanto vale il campo elettico in A se, olte alla caica Q, si tova, sulla linea di foza passante pe A, a 3 m di distanza da Q un alta caica Q di + μc A 3 m m 3 m

11 In un punto P il campo elettico ceato da una caica di 6-8 C vale 6 N/C. Qual è la distanza dal punto P dalla caica che genea il campo?

12 All inteno di un nucleo di un ceto elemento chimico, la foza di epulsione ta due potoni vale cica 4, N. A che distanza l uno dall alto si tovano i due potoni all inteno del nucleo? (caica del potone = +,6-9 C).

13 Quale è il lavoo compiuto pe muovee un potone in un campo unifome da N/C pe m? F=E

14 A B C D B A B A B A AB d d F L 4 4 L BC = L DA = (F spostamento); L CD = -L AB L tot = F è consevativa Enegia potenziale elettostatica: è il lavoo compiuto dalle foze del campo pe potae la caica immesa nel campo E da un punto A ad un punto B lungo un pecoso ualunue B A AB U U L B A B A AB A B s d E ds F L U U U il campo elettico è consevativo

15 Le foze elettiche sono consevative Consideiamo una paticella caica che si sposta attaveso una egione in pesenza di un campo elettico statico: - + una caica negativa è attatta veso la caica positiva fissa la caica negativa possiede più enegia potenziale e meno enegia cinetica lontano dalla caica fissa positiva, e più enegia cinetica e meno enegia potenziale vicino la caica positiva fissa. Tuttavia, l enegia totale si conseva

16 posizione di ifeimento (U = ) U(P) = lavoo compiuto dalle foze del campo pe potae una caica di pova da P all infinito U P L P U P U P E ds L P P E ds [U] = [L] nel S.I. si misua in J Potenziale elettico V U il potenziale in un punto è l enegia potenziale pe unità di caica V V B V A U U L B A AB diffeenza di potenziale ta punti V U L AB B E ds A [V] = [U / ] nel S.I. si misua in Volt, V = J / C

17 Pe muovee una caica in un campo E, dobbiamo applicae una foza uguale ed opposta a uella cui è soggetta la caica a causa della pesenza del campo E. essendo: lavoo = foza spostamento F applicata = -F elet U P L P V P U E ds L AB P E ds B E ds A F elet E A B Indipendente dalla caica. La d.d.p. è una misua del lavoo che una caica può compiee

18 Diffeenza di potenziale in un campo elettico unifome C A B V A V B V B A E ds B A Eds E B A ds Ed AB d AC l V A V C C A E ds C A E cos ds E cos B A ds El cos Ed V B = V C supefici euipotenziali (supefici alle linee di E)

19 Supefici euipotenziali Si chiama supeficie euipotenziale il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettico assume uno stesso valoe La supeficie euipotenziale è pependicolae in ogni punto alla linea di foza del campo che passa pe uel punto

20 Potenziale dovuto ad una caica puntifome P V P 4 U P P P E ds 4 P 4 P d 4 4 P P d V 4 pe un insieme di caiche puntifomi: potenziale dovuto ad una distibuzione continua di caiche dv V 4 Vi 4 d V 4 i i d

21 elazione ta campo e potenziale caica puntifome E 4 V 4 E dv d V P P E ds

22 Lavoo e diffeenza ( di Enegia Potenziale L = F d cos() Gavità Elettico mattone spostato y i y f caica spostata f F G = mg (giù) L G = -mgh U G = +mgh y f h y i F g =mg F g =mg F g =mg F g =mg F g =mg F g =mg F g =mg F g =mg F E = k / (sinista) L E = -k / f U E = +k / f F E f

23 Calcolae il potenziale in un punto posto a 5 cm da una caica puntifome di mc. E se la caica fosse stata - mc? V 4 9x 9 (x.5 6 ).8x 5 V V 4 9x 9 ( x.5 6 ).8x 5 V

24 Due amatue piane e paallele sono caicate affinché vi sia una d.d.p di V. Se la distanza è di mm, uanto vale il Campo Elettico? dv E x V / d 3 3 x m Rigidità dielettica dell aia 3 KV/mm

25 Valutae il campo Elettico e il potenziale nel punto O, consideando che tutte le caiche poste ai vetici valgono. C e il lato vale cm

26 Valutae il campo Elettico e il potenziale nel punto P posto a cm da A, consideando che tutte le caiche poste ai vetici valgono. C e il lato vale cm P

27 Potenziale di un conduttoe caico isolato V B V A B A E ds ogni punto della supeficie del conduttoe si tova allo stesso potenziale il potenziale all inteno del conduttoe è costante (schemi elettostatici e gabbia di Faaday) l intensità di E è gande nei punti che hanno un aggio di cuvatua piccolo e convesso (potee delle punte)

28 Filo conduttoe Essendo un unico conduttoe il potenziale è costante: 4 4 S S V Da cui: Se > <

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30 Due caiche puntifomi di gandezze 4-8 C e 9-8 C si tovano nel vuoto a 5 cm di distanza. In uali punti si annullano l intensità del campo elettico e il potenziale? 5 cm E 4 E 4 (5 ) E E ( 5 ) Il potenziale non può essee mai nullo in uesto caso (somma fa temini positivi)

31 La diffeenza di potenziale che dà oigine ad un fulmine può aggiungee 9 V e la caica coinvolta può aivae fino a 4 C. Quanta enegia è libeata nella scaica? V U E n 9 U V 4x J

32 un aea pai al Potogallo Sadegna

33 Condensatoi Il condensatoe è il sistema più semplice pe avee un campo elettico costante e pote immagazzinae enegia elettostatica. Consideiamo due piani metallici sepaati da un isolante. Il pocesso di caica temina uando i mosetti della batteia e i piani del condensatoe sono uguali Simbolo del condensatoe

34 Caica Q Condensatoi V La caica Q su di un conduttoe isolato e il suo potenziale V sono diettamente popozionali. + Q Q V V Potenziale V

35 Induzione elettostatica e condensatoi Si dice Capacità di un conduttoe il appoto ta la sua caica e il suo potenziale, cioè la caica pe unità di potenziale Q = CV la caica Q e il potenziale V sono popozionali, e la popozionalità è la capacità C del condensatoe. Si usano i sottomultipli [C] = [/V] nel S.I. si misua in Faad, F = C/V

36 Capacità, Condensatoi e dielettici La capacità di un conduttoe dipende - dalla sua foma - dalla pesenza di alti conduttoi - dall isolante inteposto (dielettico). Capacità di un conduttoe sfeico isolato Calcoliamo la capacità di un conduttoe avente la caica Q, potenziale V e aggio R V k Q R Q V Q Q k R R k C 4 C 4 R La capacità del conduttoe sfeico isolato dipende solo dal aggio e dal dielettico. R

37 Capacità, Condensatoi e dielettici Capacità della Tea Il isultato pecedente ci pemette di calcolae la capacità del globo teeste che è un conduttoe. C R k 6 3 6,37 m 9 Nm 9 C,78 F 78mF

38 Condensatoe piano S Q E Ed x x E dx E dx E V d S S d Q Q Ed Q V Q C

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40 Deteminae la capacità di un condensatoe a facce piane e pallele con amatue costituite da ettangoli metallici ( cm x cm) sepaati da uno stato di aia di mm (b) Deteminatela caica su ciascuna amatua se collegato ad una batteia da V. (c) Calcolate il campo elettico nella egione ta le amatue (d) stimate la geometia del condensatoe pe ottenee la capacità di F. 3 S C pf 3 d Q = CV=7.7 x - x =. nc dv 3 E V / m 3 d S C d l m!!!!!! m

41 Condensatoi e dielettici La capacità di un condensatoe aumenta di un fattoe se ta le sue amatue si pone un dielettico Q -Q E C C Ep Q -Q Dove C = capacità nel vuoto = costante dielettica elativa del dielettico E = campo elettico nel vuoto Ep = Campo elettico di polaizzazione V = d.d.p. nel vuoto

42 A seconda di uale isolante è inteposto fa le amatue la capacità di un condensatoe cambia valoe. La pesenza di un dielettico compota l esistenza di una tensione massima soppotabile. Quando si supea uel valoe si avà una scaica elettica che buca il dielettico. C = A/d : capacità di un condensatoe in vuoto C = C :condensatoe con un dielettico In pesenza di un dielettico la costante va sostituita con il podotto. La pesenza di un dielettico aumenta la uantità di caica di un fattoe Se si ha un condensatoe senza dielettico e successivamente si inseisce un dielettico alloa il potenziale si iduce di

43 Se in una egione c è un dielettico, tutte le fomule in cui compae devono essee modificate inseendo E E 4 E con 4 Si vede che al cescee di il campo elettico inteno al condensatoe si attenua Se si mantiene la tensione applicata ai capi del condensatoe il dielettico ha l effetto di aumentae la caica delle piaste. Se un condensatoe caico è collegato con un elettometo l effetto del dielettico è diminuie il potenziale ta i piatti

44 Diff Potenziale Accumulo di Enegia elettica Il diagamma Potenziale- Caica V-Q è una etta uscente dall oigine. V Caica Q L aea delimitata dal diagamma V-Q è uguale al lavoo necessaio a caicae il condensatoe e uindi all enegia in esso accumulata.

45 Enegia di un condensatoe + _ Pe caicae condensatoe piano dovemo fonie delle caiche ai due piatti. Man mano che i piatti si caicano le nuove caiche dovanno vincee sempe più foza epulsiva dovuta alla pesenza delle caiche pecedenti. Il Lavoo necessaio a vincee la foza epulsiva è fonito dalla enegia chimica di una batteia e si immagazzineà nel condensatoe sotto foma di enegia potenziale elettica U. In un ceto istante saà la caica accumulata dal condensatoe ed il suo potenziale saà V = /C. L incemento di una successiva uantità di caica d ichiedeà un lavoo dl = V d = (/C) d L dl Vd C ' d' C CV Questo lavoo viene immagazzinato come enegia potenziale fa le piaste del condensatoe U = ½ CV

46 enegia immagazzinata in un condensatoe C d Vd dl U C Q d C L Q V C V Q C Q U condensatoe piano d S C Ed V

47 Densità di enegia - Condensatoi Densità Enegia Enegia Volume Tenendo conto che C S d e che V Ed S d Avemo: L CV E d E Sd Densità di Enegia: L Sd Enegia Volume E

48 Se in un condensatoe viene posto un mateiale dielettico con costante 5 volte maggioe ispetto uella dell aia: Quali gandezze cambiano ta Q, C e V? Q=costante (indipendente dal dielettico) C = Aumenta C S d V = Diminuisce V Q C

49 collegamento di condensatoi condensatoi in paallelo Q tot 3 ; 3 3 C V; C V C V Q tot V C C C3 Qtot V ( C C C3) Ce C C C3 V V C e C i

50 condensatoi in seie 3 V V V V 3 3 ; ; C V C V C V 3 C C C V i e e C C C V

51 Coenti e cicuiti

52 Coenti e cicuiti coente: la uantità di caica che attavesa una supeficie nell unità di tempo i i Q t lim t Q t d dt Ampee (A) = C/s E' il appoto ta la uantità di caica che attavesa una sezione del conduttoe e l'intevallo di tempo impiegato. pe convenzione il veso positivo della coente è uello dei potatoi di caica positiva il veso della coente è opposto a uello degli elettoni

53 La velocità di deiva degli elettoni Il moto degli elettoni di conduzione si descive con un modello semplificato: si ipotizza che tutti gli elettoni che contibuiscono alla coente elettica si muovano veso i punti a potenziale maggioe con la stessa velocità: la velocità di deiva v d ; v d è il modulo della velocità media degli elettoni del metallo.

54 N V nv Ax nax N= Numeo totale di potatoi di caica n = n dei potatoi pe unità di volume Q nax x v d t Q nav d t v d = velocità di deiva i Q t nav d v d i na Se i= A, la sezione mm isulta cica v d 5 m/ s

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57 La pima legge di Ohm

58 Coente e diffeenza di potenziale non sono sempe diettamente popozionali!

59 La esistenza elettica

60 Conduttoi e isolanti

61 II legge di Ohm A l A l R = esistività o esistenza specifica = conducibilità E E J A i J l V E l A R l A i V l V A i m /m nv d A i J densità di coente = coente pe unità d aea E J v E nv J d d [J] = [I/A] A/m Seconda legge di Ohm: la esistenza di un filo conduttoe è diettamente popozionale alla sua lunghezza l e invesamente popozionale alla sua sezione A.

62 La seconda legge di Ohm La costante è detta esistività e dipende dal mateiale e dalla sua tempeatua. Le dimensioni fisiche della esistività si ottengono icavando dalla legge: Quindi l'unità di misua della esistività nel S.I. è m.

63 La seconda legge di Ohm Dal valoe della esistività si capisce se una sostanza è un buon conduttoe elettico o un isolante. Il valoe di dipende anche dalla tempeatua.

64 La dipendenza delle esistività dalla tempeatua L'andamento speimentale della esistività in funzione della tempeatua in molti metalli è descitto dal gafico: Nei metalli aumenta al cescee della tempeatua.

65 La dipendenza delle esistività dalla tempeatua Infatti al cescee di T aumenta il moto di agitazione temica degli ioni del eticolo, che ostacola il moto degli elettoni di conduzione. In un ampio intevallo di T, la vaiazione di è ben appesentata da una etta, la cui euazione speimentale è:

66 La dipendenza delle esistività dalla tempeatua Nella legge : T, 93 : valoi di alla tempeatua T e a 93 K; T = T 93 K; : coefficiente di tempeatua della esistività

67 I supeconduttoi Al diminuie di T, il compotamento di nei metalli può avee due andamenti divesi:

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70 La potenza elettica Mente passa la coente, l enegia potenziale elettica si tasfoma in enegia intena, dissipata sotto foma di caloe Effetto Joule

71 L a potenza dissipata dal esistoe è la apidità con cui l enegia elettica è tasfomata in enegia intena del esistoe Infatti: L = V L = i t V W = L / t = i V = V /R= R i

72 Compito: gli elettodomestici sono pogettati pe funzionae a una paticolae potenza. Inolte è sempe indicata la diffeenza di potenziale a cui l'appaecchio useà uesta potenza. Considea almeno 4 elettodomestici che hai in casa e calcola l'intensità della coente assobita da ciascuno. Ciò che si paga è l'enegia elettica (il lavoo). Sai calcolae uanto spendi lasciando in funzione pe oa uno degli elettodomestici che hai scelto?

73 Un modo pe podue coente elettica