Sommario: Campo elettrico

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1 Sommaio: Campo elettico Campo elettico: una distibuzione di caiche genea un campo elettico nello spazio cicostante, ovveo modifica le popietà dello spazio confeendo ad esso la potenzialità di inteagie con alte caiche nel momento in cui queste entano nel campo suddetto. Linee di campo: il campo si appesenta figuativamente mediante le sue linee di campo: in ogni punto il campo è sempe tangente alla linea; la densità delle linee indica l intensità del campo. Le linee escono dalle caiche positive che geneano il campo, ed entano in quelle negative Campo geneato da una caica puntifome Q: Campo geneato da un dipolo di caica q: (lungo l asse del dipolo). P è il momento di dipolo E k E Q k 3 z ˆ P P qd Foza elettica: una caica q all inteno del campo elettico subisce una foza data da: F q E

2 Stampante a getto d inchiosto Nelle stampanti a getto d inchiosto, minuscole goccioline d inchiosto vengono spuzzate sul foglio di cata. Esse vengono: espulse da un sebatoio (G) elettizzate attavesando l unità C deflesse all inteno di un condensatoe piano La deflessione dipende dalla caica elettica immessa nella goccia: egolando la caica si detemina il punto d impatto sul foglio; ogni singolo caattee ichiede cica 1 gocce d inchiosto.

3 Esecizio di elettodinamica: calcolo della deflessione di una paticella caica Una goccia enta nel condensatoe con velocità iniziale in diezione x; calcolae la deflessione veticale subita dalla goccia nel punto di uscita dai piatti (supponendo tascuabile la foza di gavità) Lungo y la goccia subisce l acceleazione veticale dovuta al campo elettico unifome: Massa della goccia: m= Kg Caica della goccia q = C Velocità d ingesso nel condensatoe v x =18 m/s Lunghezza del condensatoe: L=1.8 cm Campo elettico UNIFORME del condensatoe (pependicolae ai piatti) E = N/C La dinamica della goccia è descitta dall equazione di Newton: Lungo x non ci sono foze applicate, dunque la goccia posegue del suo moto ettilineo unifome: x( t) v F x t 1 y( t) ayt ma

4 Esecizio di elettodinamica: calcolo della deflessione di una paticella caica Massa della goccia: m= Kg Caica della goccia q = C Velocità d ingesso nel condensatoe v x =18 m/s Lunghezza del condensatoe: L=1.8 cm Campo elettico UNIFORME del condensatoe (pependicolae ai piatti) E = N/C L acceleazione lungo y si icava dal campo elettico: may qe La goccia aiva al bodo dei piatti (x(t)=l) all istante t 1 : a y q N m E m 1.4 Kg s L.81 m t1 1 v 18( m/ s) x 1 3 s La deflessione lungo y nell istante di uscita è dunque: 1 m 6 y( t1) ayt1 1 1 s 1 s 3 m

5 Legge di Gauss Si deve al Fisico e Matematico tedesco Cal Fiedich Gauss la scopeta di una legge che appesenta un fomidabile stumento pe l analisi dei poblemi elettostatici. Johann Fiedich Cal Gauss (Baunschweig, 3 apile 1777 Gottinga, 3 febbaio 1855). Matematico, astonomo e fisico. Definito "il Pincipe dei matematici", è annoveato fa i più impotanti scienziati della stoia avendo contibuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e natuali. Sfuttando la simmetia della distibuzione di caica, la legge di Gauss facilita la fomulazione analitica della elazione ta distibuzioni continue di caica e campi elettici da esse geneati. La legge di Gauss si fonda su un concetto matematico estemamente impotante non soltanto in elettomagnetismo, ma nelle Scienze in geneale: il concetto di FLUSSO di un campo vettoiale

6 Il flusso Consideiamo un campo di velocità v, ad esempio la velocità di un flusso d aia, ed una finesta quadata di aea A. Quanta aia attavesa la spia nell unità di tempo? (supponiamo v unifome) Nell unità di tempo, la velocità è uguale alla lunghezza pecosa dall aia, dunque l aia totale che enta nella finesta è: Pe una velocità pependicolae all aea: v A Pe una velocità paallela all aea: Pe una diezione geneica della velocità: v Acos()

7 Il flusso La fomula del podotto scalae acchiude tutti i possibili casi: v A Il FLUSSO d aia è il podotto scalae di v e del vettoe aeale A (pependicolae al piano della spia, di modulo uguale ad A). NB: il flusso cambia segno se il vento invete diezione

8 Flusso del campo elettico Il concetto di flusso di un campo vettoiale attaveso una supeficie può essee applicato a qualsiasi gandezza vettoiale, pe esempio al campo elettico: E A Il flusso del campo elettico attaveso una supeficie è il podotto scalae del campo pe il vettoe aeale della supeficie. Se la supeficie non è piana, possiamo sempe scompola in minuscoli quadatini di aea DA così piccoli da pote essee consideati piani; il flusso infinitesimale associato ad un singolo quadatino è: D E DA il flusso è positivo se il campo è uscente dal quadatino, negativo se entante, nullo se paallelo al quadatino

9 Flusso del campo elettico Il flusso totale sulla supeficie cuva si ottiene quindi sommando su tutti i quadatini infinitesimali, facendo tendee a zeo l aea del singolo quadatino. Ciò coisponde a calcolae l integale di supeficie: E da Dunque il calcolo del flusso ichiede la conoscenza del campo elettico su ogni punto della supeficie consideata. Se la supeficie è chiusa il flusso si indica con un cechietto sul simbolo dell integale: Nm C E da Una supeficie chiusa è a volte indicata come supeficie gaussiana

10 Flusso attaveso una supeficie chiusa La densità delle linee di campo elettico che attavesano una supeficie è una misua dell intensità del campo. Ne segue che il flusso è popozionale al numeo di linee di campo pe unità di supeficie. EA E EA Consideiamo il flusso di un campo elettico unifome attaveso un paallelepipedo. Il campo è pependicolae alle facce 1 e, dunque attaveso le alte facce il flusso è nullo. Essendo unifome, il numeo di linee di flusso attaveso 1 e è lo stesso, ma attaveso 1 le linee di campo sono entanti, mente attaveso le linee sono uscenti, dunque se A è l aea delle facce: il flusso totale attaveso la supeficie chiusa è NULLO

11 Poblema 3.1 Calcolae il flusso di un campo elettico unifome attaveso il cilindo; l asse del cilindo è paallelo al campo. Questo caso è del tutto analogo al pecedente: si sfutta la simmetia pe deteminae il flusso totale; non fa alcuna diffeenza il fatto di avee un cilindo invece di un paallelepipedo a EA b c EA il flusso attaveso la supeficie chiusa del cilindo è NULLO

12 Legge di Gauss Il flusso totale del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è uguale alla caica elettica contenuta nella supeficie, divisa pe la costante dielettica del vuoto E da Eventuali caiche estene alla supeficie, non impota quanto gandi, non danno alcun contibuto al flusso. Non ha impotanza la foma e la posizione della caica intena: conta soltanto la caica totale ed il segno C N m q int N m C

13 Legge di Gauss S 1 S 4 Consideiamo un campo di dipolo di caica q, e calcoliamo il flusso attaveso le 4 supefici in figua 1 q q La supeficie 1 contiene la caica positiva del dipolo La supeficie contiene la caica negativa del dipolo S 3 S 3 La supeficie 3 non ha caica al suo inteno 4 La supeficie 4 acchiude entambe le caiche, pe cui la caica netta è nulla

14 Poblema 3.3 Consideiamo la supeficie S in figua; le aee vedi appesentano alcune distibuzioni di caica; la moneta è neuta. Calcoliamo il flusso elettico attaveso S q1 q4 3.1 nc q q5 5.9 nc q3 3.1 nc q 1, q, q 3 contibuiscono al flusso; la moneta, essendo neuta non contibuisce, anche se polaizzata pe induzione q1 q q3 5.9nC C N m 3 N m C

15 Utilità della legge di Gauss La legge di Gauss mette in elazione il flusso del campo attaveso una supeficie chiusa e la caica in essa contenuta: E da q 1 4 Questa legge è uno stumento di gande efficacia pe la deteminazione della foma del campo elettico nei casi in cui l integale di supeficie è facilmente isolubile, ovveo nei casi in cui il campo elettico obbedisce ad una specifica simmetia spaziale. In questi casi si sceglie una supeficie che ispecchia la simmetia del campo, ovveo una supeficie su cui il campo sia unifome e paallelo (o antipaallelo) al vettoe aeale in tutti i punti, e si ottiene: E da E da E da k q q E da EdA EA E A

16 Equivalenza ta leggi di Gauss e di Coulomb Le leggi di Gauss e Coulomb, essendo entambe valide, debbono potesi icavae l una dall alta. Dimostiamo la loo equivalenza nel caso semplice di una singola caica puntifome q acchiusa da una supeficie sfeica. Pe simmetia adiale, il campo elettico è pependicolae e unifome in modulo in tutti i punti della supeficie. Quindi: A 4 q E da E da EA è la supeficie della sfea 1 E() q q k q A 4 Patendo dalla legge di Gauss, sfuttando la simmetia sfeica del campo elettico, abbiamo icavato la legge di Coulomb

17 Sfea isolante unifomemente caica q R S Consideiamo una sfea isolante di caica totale q e aggio R; supponiamo la caica distibuita unifomemente in tutti i punti inteni alla sfea (ovveo = costante). Calcoliamo il campo elettico geneato dalla sfea in un punto esteno; patiamo dall assunto che il campo elettico abbia simmetia adiale, ovveo sia unifome in modulo in tutti i punti della supeficie sfeica S (in osso) di aggio > R : E da E 4 1 q E() k 4 q Il campo geneato dalla sfea unifomemente caica in un punto esteno alla sfea è uguale a quello geneato di una caica puntifome q posta nel cento della sfea q

18 Sfea isolante unifomemente caica Vogliamo adesso deteminae il campo elettico all inteno della sfea; pe simmetia il campo è adiale, dunque costante in modulo in tutti i punti della supeficie S (in osso) di aggio, con < R; calcoliamo il flusso attaveso S ed applichiamo Gauss: q ' E da E 4 E () 1 q ' 4 Attenzione: adesso q è la caica intena ad S, e NON la caica totale q della sfea! Come detemino q? Sappiamo che la densità è costante, dunque la caica totale si ottiene moltiplicando densità pe volume: q R S 4 R 3 3 ; q' q' q R 3 3

19 Sfea isolante unifomemente caica Sostituendo q con q si ottiene: R S 1 q k q E() R R Dunque il campo in un punto inteno ad una sfea unifomemente caica cesce lineamente con la distanza dall oigine E () kq 3 R q k Riepilogo: intensità del campo elettico geneato da una sfea unifomemente caica in funzione di (distanza dal cento): E() cesce popozionalmente ad all inteno della sfea, mente decesce come 1/ all esteno della sfea, in modo equivalente ad una caica puntifome posta nell oigine R NB: le due fomule coincidono pe = R (bodo della sfea)

20 Sfea isolante con densità di caica adiale () q R S Consideiamo il caso in cui la caica q della sfea non sia distibuita unifomemente, ma secondo una distibuzione adiale (). Il campo elettico geneato dalla sfea ha ancoa simmetia adiale, esattamente come nel caso della distibuzione unifome; dunque ipetendo il agionamento fatto pe la distibuzione unifome si ottiene che il campo elettico esteno alla sfea è dato da: E() 1 4 q k q Il campo geneato dalla sfea con distibuzione di caica adiale in un punto esteno alla sfea è uguale a quello geneato dalla caica puntifome q posta nel cento della sfea

21 Sfea isolante con densità di caica adiale () R S Vogliamo adesso deteminae il campo elettico all inteno della sfea; pe simmetia il campo è adiale, dunque costante in modulo in tutti i punti della supeficie S (in osso) di aggio, con < R; calcoliamo il flusso attaveso S ed applichiamo Gauss: q ' E da E 4 E () 1 q ' 4 Attenzione: adesso q è la caica intena ad S, e NON la caica totale q della sfea! Come detemino q? Dobbiamo INTEGRARE la densità di caica adiale sulla sfea di aggio : ' ( ')4 ' ' ' 4 ' ' ( ') dq d q d

22 Gusci a simmetia sfeica: teoema #1 Definiamo guscio (indiffeentemente conduttoe o isolante) una sfea con una cavità anch essa di simmetia sfeica; supponiamo il guscio unifomemente caico, con caica totale q. Dimostiamo che: Il campo elettico geneato da un guscio sfeico unifomemente caico in qualsiasi punto inteno alla cavità è nullo. S q Patiamo dal pesupposto che il campo elettico abbia simmetia adiale, ovveo sia unifome in modulo in tutti i punti distanti dal cento del guscio. Calcoliamo il flusso attaveso la supeficie S in osso tatteggiato, ed applichiamo Gauss: E E 4 Il campo geneato dal guscio è nullo in tutti i punti inteni

23 Gusci a simmetia sfeica: teoema # Un guscio sfeico unifomemente caico di caica totale q genea nello spazio esteno al guscio lo stesso campo elettico geneato da una caica puntifome q posta nel cento del guscio. S q Patiamo dal pesupposto che il campo elettico abbia simmetia adiale, ovveo sia unifome in modulo in tutti i punti distanti dal cento del guscio. Calcoliamo il flusso attaveso la supeficie S in vede tatteggiato ed applichiamo Gauss: E da E 4 E 1 4 Il campo esteno al guscio è uguale a quello di una caica puntifome q collocata al cento q q

24 Legge di Gauss e mateiali conduttoi E In un conduttoe caico la caica si idistibuisce sulla supeficie: non ci sono caiche all inteno del mateiale. Ciò semba agionevole consideando che le caiche, potendo muovesi, tendono ad allontanasi il più possibile. Il teoema di Gauss ci fonisce una pova di questo compotamento. Consideiamo un conduttoe caico isolato; il campo elettico in ogni punto inteno al conduttoe deve essee nullo, altimenti si geneeebbeo coenti che violano la condizione di equilibio elettostatico. Dunque, sui punti di una qualunque supeficie chiusa all inteno del mateiale (ad esempio la supeficie indicata dalla linea tatteggiata) il campo è sempe nullo, e di conseguenza il flusso attaveso la supeficie è nullo. Pe la legge di Gauss, concludiamo che non può esistee caica al suo inteno. Il flusso è diveso da zeo solo se la supeficie di gauss include la supeficie del mateiale.

25 Mateiali conduttoi con cavità intena E se il conduttoe contiene una cavità all inteno? Consideiamo una supeficie gaussiana intena al mateiale, che acchiuda totalmente la cavità. Essendo il campo nullo in tutti i punti inteni, il flusso attaveso la supeficie gaussiana è nullo; ne segue che pe la legge di Gauss, non può esseci caica intena alla supeficie gaussiana, dunque non può esseci caica sulla supeficie della cavità. La caica può distibuisi soltanto sulla supeficie estena del conduttoe, non su una supeficie intena. NB: la situazione cambia se intoduciamo alte caiche all inteno della cavità!

26 Guscio conduttoe con caica puntifome q q Consideiamo un guscio conduttoe neuto, (in blu) con una caica puntuale (ossa) q posta nel cento della cavità. Quali caiche compaiono pe induzione nel conduttoe? Come sono distibuite? all equilibio elettostatico il campo all inteno del conduttoe deve essee nullo in tutti i punti: E=; dunque, il flusso attaveso una qualsiasi supeficie chiusa (ad esempio quella tatteggiata in giallo) deve essee nullo: = Pe la legge di gauss, se = deve essee NULLA anche tutta la caica Q intena alla supeficie chiusa.

27 Guscio conduttoe con caica puntifome q Dunque, sulla paete intena della cavità deve geneasi pe induzione una caica +q che compensa la caica puntuale q, cosicché la caica totale Q intena alla supeficie gaussiana sia NULLA: Q q q A causa della simmetia adiale, la caica positiva geneata sulla paete della cavità deve essee omogenea, ovveo distibuita unifomemente su ciascun punto della supeficie Poiché il conduttoe è complessivamente neuto, sulla supeficie estena deve essee pesente una caica q che compensi la caica +q sulla supeficie intena. Pe simmetia, anche questa caica è distibuita unifomemente sulla supeficie della sfea.

28 Guscio conduttoe con caica puntifome q Cosa cambia se la caica puntifome non è nel cento della sfea? Il flusso attaveso la supeficie chiusa è sempe nullo, pe cui Q = e la caica indotta sulla supeficie intena ancoa uguale a +q L unica diffeenza è che adesso +q non è più unifome sulla supeficie intena, ma si accumula maggiomente sula lato della caica puntifome, pe compensane il campo La caica q sulla supeficie estena esta invece distibuita unifomemente, poiché il campo della caica puntifome negativa e quello della caica indotta positiva si compensano, dunque la caica sulla supeficie estena non isente delle posizione delle alte caiche.

29 Guscio conduttoe neuto con caica puntifome q S 4 Cosa succede all esteno del conduttoe? Applichiamo la legge di Gauss ad una supeficie gaussiana sfeica (vede tatteggiata) di aggio, centata sulla caica puntuale. Pe simmetia, il campo elettico deve essee adiale e quindi unifome su tutti i punti della supeficie gaussiana; dunque: q E da EdA ES 1 q E() k 4 Si itova il campo geneato dalla caica puntifome! all esteno del conduttoe è come se il conduttoe neuto non esistesse q

30 Esecizio Consideiamo una sfea conduttiva caica, con caica q C = 8 mc, cava al suo inteno; una caica puntuale negativa q = -5 mc è posta in un punto inteno alla cavità. Deteminae quanta caica deve essee distibuita sulle supeficie intena (q int ) ed estena (q est ) del conduttoe Pe la legge di Gauss, la caica sulla supeficie intena deve compensae la caica puntuale, pe cui: q int 5 mc Poiché la caica totale sul conduttoe è: q q q mc C qest int est 8 ne deiva che sulla supeficie estena deve essee distibuita una caica: 3mC

31 Campo elettico esteno alla supeficie piana di un conduttoe Consideiamo una supeficie piana infinita (oppue supponiamo di essee abbastanza vicini alla supeficie da pote tascuae la cuvatua e la distanza dal bodo) con densità s unifome. Calcoliamo il campo elettico esteno alla supeficie In equilibio elettostatico il campo geneato dalla caica deve essee pependicolae alla supeficie, altimenti le caiche si muoveebbeo sulla supeficie; inolte una componente planae non può esistee pe agioni di simmetia planae. Calcoliamo il flusso attaveso il cilindetto, contenente una pozione A di supeficie il flusso attaveso la paete lateale del cilindetto è nullo, poiché il campo è pependicolae al vettoe aeale il flusso attaveso la base intena al conduttoe è nullo poiché il campo inteno al conduttoe è nullo

32 Campo elettico esteno alla supeficie piana di un conduttoe Al flusso totale contibuisce soltanto la base estena al conduttoe; se E è il campo elettico, il flusso attaveso il cilindo è: EA Poiché q =sa è la caica del conduttoe contenuta nel cilindetto, dalla legge di Gauss si ottiene: q sa s E A E Dunque, il campo esteno al conduttoe è unifome e popozionale alla densità di caica; il fatto che il campo sia unifome lo si capisce consideando cilindi di lunghezza e posizione diffeente: il isultato finale non dipende dalla lunghezza, né dal posizionamento veticale del cilindetto, ma solo dal fatto che s è unifome. L unica assunzione è che il campo sia pependicolae alla supeficie

33 Campo elettico esteno ad una lamina conduttiva s s Consideiamo una piasta (lamina) conduttiva di dimensione infinita con caica positiva in eccesso. Al solito, il campo inteno al conduttoe è nullo e la caica si idistibuisce soltanto sulle due supefici. Sia s la densità di caica unifome sulla supeficie. Ripetendo il calcolo del flusso attaveso il volumetto cilindico, itoviamo lo stesso isultato su entambe le supefici: il campo elettico all esteno della supeficie è: s s E s Il campo elettico è unifome e popozionale alla densità di caica pesente su una singola faccia. Pe s positiva il campo ai due lati della piasta è uscente dalla piasta; pe s negativa il campo è lo stesso in modulo ma entante nella piasta

34 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva E E Il doppio stato conduttivo è il fondamento di uno dei dispositivi elettonici più impotanti: il condensatoe. Consideiamo due piaste conduttive infinite con densità di caica s uguali in modulo ma opposte in segno, poste una di fonte all alta. Poiché le caiche si attaggono, esse si depositano sulle supefici intene al doppio stato. Siano E + ad E - i campi elettici dovuti alle due distibuzioni di caica. Assumiamo al solito che i campi siano pependicolai alle piaste. Il veso dei campi è al solito uscente dalla piasta positiva ed entante in quella negativa

35 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva Pe calcolae il campo ta le due piaste, applichiamo Gauss al cilindetto aancione. Solo una base del cilindo contibuisce al flusso: q s A EA EA Pe calcolae il campo esteno alle piaste applichiamo Gauss al cilindetto azzuo Adesso i campi sono discodi, e la caica intena al cilindo è nulla: E A E A E E E E s E ; E Il campo inteno alle piaste è unifome e popozionale alla densità di caica il campo esteno alle piaste è sempe NULLO

36 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva Quesito: se avessimo applicato la legge di Gauss a ciascuna piasta sepaatamente pe ottenee E + ed E - pe poi sommae i campi ottenuti, avemmo tovato lo stesso isultato? NO, avemmo ottenuto un isultato sbagliato. Infatti: E s E s E s Mente pe gli isolanti vige il pincipio di sovapposizione, pe i conduttoi le caiche possono muovesi e si veifica il fenomeno dell induzione elettica; dunque, la distibuzione di caica della doppia piasta NON è uguale alla sovapposizione delle caiche in due piaste isolate.

37 Campo elettico di una doppia piasta conduttiva D P Nel calcolae il campo abbiamo assunto che le piaste siano infinite; in patica qualsiasi supeficie è FINITA, e si potebbe pensae che i isultati ottenuti non siano applicabili nella ealtà. Al contaio, i isultati sono significativi anche pe piaste finite, a patto che il punto P in cui si valuta il campo sia molto più lontano dal bodo della piasta che dalla pependicolae alla supeficie, ovveo a patto che << D; in questo modo si assume che i cosiddetti effetti di bodo siano tascuabili. Pe idue al minimo gli effetti di bodo, nei condensatoi piani effettivamente utilizzati le supefici sono sempe molto maggioi della distanza ta i piatti

38 Campo elettico esteno ad una lamina isolante Consideiamo una lamina isolante infinita (ad esempio un foglio di plastica) caico positivamente su una faccia, con densità di caica unifome s; calcoliamo il campo da essa geneato a distanza dalla supeficie. Pe simmetia, essendo la densità di caica supeficiale unifome, non può esseci una componente del campo paallela al foglio, ovveo il campo deve essee pependicolae alla supeficie. Consideiamo il cilindetto il Figua, e valutiamo il flusso attaveso il cilindetto.

39 Campo elettico esteno ad una lamina isolante da d da s da E da La supeficie lateale non contibuisce al flusso, soltanto le basi del cilindo devono essee consideate. Sia da l aea della base cilindica; tascuando lo spessoe del foglio, si ha: Il fattoe tiene conto del flusso attaveso le due basi del cilindo: su entambe campo e vettoe aeale sono paalleli e concodi; si ottiene quindi: s E Il campo elettico geneato da una lamina isolante è unifome e popozionale alla densità di caica

40 Lamina conduttiva ed isolante Notiamo la diffeenza ta foglio di caica conduttivo ed isolante: s1 E E s Nel caso del conduttoe, la caica si distibuisce sulle due supefici, mente nell isolante la caica esta confinata nei punti in cui è stata geneata; dunque, se la caica totale è la stessa nei due casi, ne segue che s 1 sulle supefici conduttoe deve essee metà della s nell isolante; dunque, a paità di caica, il campo all esteno è lo stesso nei due casi

41 Poblema 3.6 Consideiamo due lamine isolanti paallele molto estese, con densità s + = 6.8 mc/m e s - = -4.3 mc/m. Calcolae il campo ta le lamine e nelle egioni estene. Essendo le lamine isolanti, le caiche sulle piaste sono fisse: si può applicae il pincipio di sovapposizione e calcolae il campo totale come somma dei campi di ciascuna piasta. E s s E Notiamo che ta le piaste questi campi hanno stesso veso, pe cui si sommano, mente nelle egioni estene hanno veso opposto, dunque si sottaggono

42 s + = 6.8 mc/m s - = -4.3 mc/m Poblema 3.6 E s ( C / m ) 1 C N m N C E s ( C / m C N m 1 ) N C Regione intena: E E E xˆ C N ˆx Regione estena a desta: E E E xˆ C N Regione estena a sinista: E E E xˆ C N

43 Campo elettico geneato da un filo caico Consideiamo un filo (o una bacchetta) di lunghezza infinita, con densità di caica lineae unifome l; (non impota se conduttoe o isolante). Sfuttiamo la legge di Gauss pe calcolae il campo geneato dalla bacchetta in un punto esteno al filo. Consideiamo la supeficie cilindica in figua, di altezza h e aggio ; essendo la bacchetta infinita, il campo pe simmetia deve essee pependicolae alla supeficie del cilindo e unifome in tutti i punti della supeficie (campo di simmetia cilindica)

44 Campo elettico geneato da un filo caico Il flusso attaveso le basi del cilindo è evidentemente nullo; conta soltanto il flusso attaveso la supeficie lateale, ovveo (la supeficie lateale del cilindo è h): E da E h Dal teoema di Gauss, essendo q =lh la caica intena al cilindo, si ha: q lh 1 l l E k Questa espessione esta valida anche pe una bacchetta di dimensioni finite, a patto che la lunghezza della bacchetta sia gande ispetto alla distanza, in modo da pote tascuae gli effetti di bodo

45 Campo geneato da un cilindo unifomemente caico R Consideiamo un lungo cilindo caico di aggio R, la cui sezione è disegnata in giallo in Figua; la caica all inteno del cilindo è unifome; vogliamo calcolae il campo elettico ad una geneica distanza dal cento del cilindo, sfuttando la simmetia cilindica del campo, ovveo il fatto che il campo è unifome in tutti i punti della ciconfeenza di aggio, sia essa estena al cilindo (ad esempio la linea vede tatteggiata) o intena al cilindo (linea ossa tatteggiata).

46 Campo geneato da un cilindo unifomemente caico R Caso > R: campo al di fuoi del cilindo caico; applichiamo Gauss ad una supeficie cilindica di aggio (linea vede tatteggiata) ed altezza h: E da E h q q = lh è la caica intena alla supeficie gaussiana, pe cui: E 1 q 1 l l k h Ritoviamo la fomula del campo pe il filo infinito con densità di caica lineae l: il campo elettico esteno ad un cilindo caico è uguale a quello geneato da un filo di uguale caica passante pe l asse del cilindo; ovveo, è come se tutta la caica fosse concentata lungo l asse.

47 Campo geneato da un cilindo unifomemente caico R Caso < R: campo all inteno del cilindo caico; applichiamo Gauss ad una supeficie cilindica di aggio (linea ossa tatteggiata) ed altezza h: E da E h 1 q ' E h Attenzione: adesso q non include TUTTA la caica della sezione cilindica, ma solo quella INTERNA alla supeficie gaussiana; dunque deve essee espessa non in 1D (l pe altezza) ma in 3D ( pe volume gaussiano): q' ( h) E All inteno del cilindo, il campo elettico in modulo cesce lineamente con la distanza dall asse del cilindo q '

48 Campo geneato da un cilindo unifomemente caico Riepilogo: intensità del campo elettico geneato da un cilindo unifomemente caico in funzione di (distanza dall asse del cilindo). E() cesce popozionalmente ad all inteno del cilindo, decesce come 1/ all esteno E () R 1 l R NB: pe l ipotesi di continuità del campo elettico, pe = R le due espessioni DEVONO coincidee; infatti si ottiene: 1 R R l La densità 3D moltiplicata pe l aea l R della sezione è uguale alla densità 1D