Elettrostatica. Elettrostatica: branca della fisica che studia i fenomeni elettrici

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1 lettostatica lettostatica: banca della fisica che studia i fenomeni elettici Wikipedia: Fin dai tempi di Talete, nel V secolo a.c., si ea notato che una bacchetta di amba stofinata con un panno ea in gado di attiae piume, pagliuzze, fili. Pe definie uesto fenomeno, si dice che la bacchetta si elettizza. Il temine "eletticità" deiva infatti popio dalla paola geca "elekton", che significa amba. sistono due tipi di stati elettici (o caiche): - positivo, come uello del veto; - negativo, come uello dell'amba. Caiche dello stesso segno si espingono, mente delle caiche di segno opposto si attaggono. La caica elettica è una gandezza fisica scalae dotata di segno ed è una popietà fondamentale della mateia La caica elettica è una uantità consevata in tutte le inteazioni; la consevazione della caica è uno delle leggi fondamentali della fisica nucleae e paticellae. e e Un oggetto si caica peché elettoni vengono tasfeiti ( non ceati) da un copo all alto Un oggetto che isulta eletticamente neuto contiene un enome numeo di elettoni ma pe ogni elettone è pesente un potone caico positivamente pe cui la caica netta è nulla. La caica elettica è uantizzata => esiste una caica fondamentale ( che è la caica dell elettone) e tutte le alte caiche sono multipli di uesta caica. L unità di misua della caica nel sistema SI è il coulomb (C) che coisponde alla caica di 6,4 8 elettoni. C 9 La caica di un elettone è uindi: elettone e.6 C 6.4 8

2 Isolanti e conduttoi Le caiche possono muovesi all inteno di un oggetto. Tale moto è detto Conduzione elettica, e la facilità con cui le caiche possono muovesi in un mateiale dipende dal mateiale stesso Classificazione dei mateiali in funzione di tale caatteistica: Conduttoi: sostanze nelle uali caiche elettiche negative possono muovesi con una ceta facilità Isolanti: sostanze nelle uali nessuna caica elettica può muovesi Semiconduttoi: sostanze a metà stada ta conduttoi ed isolanti Isolanti: Bachelite, veto, plastica. Quando tali mateiali si caicano pe stofinio, solo l aea stofinata isulta caica e la caica non si muove veso le alte zone del mateiale Conduttoi: metalli (ame,alluminio, feo, agento..) Quando tali mateiali si caicano in una ceta zona, anche con una caica piccolissima, essa si distibuisce apidamente su tutta la supeficie del mateiale Semiconduttoi: (silicio, gemanio) In uesti mateiali la caica si può muovee uasi libeamente sotto deteminate condizioni ( supeamento di un gap di enegia )

3 Caica pe induzione Pendiamo una sfea conduttice isolata da tea eletticamente neuta(a) Avviciniamo alla sfea una bacchetta di bachelite caicata negativamente A causa della epulsione ta caiche di segno uguale, gli elettoni più vicini alla bacchetta veanno espinti veso la egione più lontana della sfea (b) La zona più vicina alla bacchetta avà un eccesso di caiche positive, la zona più lontana un eccesso di caiche negative Mettiamo a tea la nosta sfea conduttice( cioè colleghiamo tamite un filo conduttoe la sfea alla tea che appesenta un sebatoio di caica ) dalla pate dell eccesso di elettoni (c) Una pate degli elettoni, libei di muovesi nel filo conduttoe, migeanno veso tea e lasceanno la sfea Rimuoviamo oa il filo conduttoe, la sfea è di nuovo isolata.(d) Nella sfea si avà un eccesso di cai positiva indotta. Allontaniamo la bacchetta(e) La caica elettica positiva si distibuisce unifomemente su tutta la sfea che isulteà uindi caica positivamente Pe caicae un oggetto pe induzione non è necessaio alcun contatto con l oggetto che induce la caica

4 Polaizzazione degli isolanti Negli isolanti avviene un pocesso simile all induzione pe i conduttoi: la polaizzazione. Le molecole e gli atomi di un mateiale hanno caica netta nulla, poiché sono composti da uno stesso numeo di caiche positive e negative. In pesenza di un oggetto caico, a causa della epulsione ta caiche uguali, le molecole e gli atomi si defomano eletticamente e le caiche si dispongono come in figua. La polaizzazione genea uno stato di caica sulla supeficie del mateiale isolante. Poiché lo stato di caiche negative è più vicino all oggetto caico positivamente delle caiche all alto estemo delle molecole, la foza attattiva saà maggioe della foza epulsiva ( a causa della diffeente distanzata le caiche in gioco). La foza isultante saà una foza attattiva che fa l oggetto caico positivamente e l isolante

5 Legge di Coulomb La foza elettostatica ta due caiche è descitta dalla legge di Coulomb: Siano e due caiche poste a distanza l una dall alta. La foza elettostatica ta ueste due caiche ha modulo dato da: F Dove k è la costante di Coulomb ed F è espessa in N k k N m C o è la costante dielettica del vuoto 8.85 C /( N m) La foza elettostatica è uindi invesamente popozionale al uadato della distanza fa le due caiche : F

6 Foza di Coulomb le foze sono gandezze vettoiali e la foza coulombiana in paticolae è una foza centale. La foma vettoiale della foza di Coulomb, cioè della foza esecitata dalla caica sulla caica è: ˆ F ˆ 4 Dove è il vesoe che va da a Se e hanno stesso segno la foza ha lo stesso veso di ˆ e uindi allontana da. Se e hanno segno oppsto la foza ha veso opposto di e uindi attia veso. ˆ La foza esecitata da su si icava diettamente dal tezo pincipio della dinamica: F F ˆ ˆ 4 4 NB: la foza di Coulomb è valida esattamente solo pe caiche puntifomi

7 Foza di Coulomb di un sistema di paticelle Quando sono pesenti più caiche la foza di Coulomb agisce a coppie e la foza isultante su ciascuna paticella è data dalla somma vettoiale delle foze dovute a tutte le alte paticelle F F F F n Pincipio di sovapposizione. Data una distibuzione di n caiche puntifomi, la foza isultante su ognuna di esse è pai alla somma vettoiale delle foze dovute alle singole caiche. F sempio: Consideiamo te paticelle caiche posizionate come mostato in figua. Calcolae la foza elettostatica netta F,net agente sulla caica pe opea delle alte =.6-9 C = C 3 = C R =. m F F F C F k 8.99 N m C.5 4 R 4 m C F3 k 8.99 N m C R.5 m F 4 Nˆj N 4 N 4 N F F 3/4R F F 3 3/4R.5 4 Nj ˆ 4.5 Nˆ3 3 j ˆ 5 j 9. Nj ˆ x x

8 Concetto di campo di foza Nella concezione Newtoniana le foze sono azioni a distanza che si popagano senza un suppoto mateiale. Il sole attae la Tea senza toccala, una caica attae un alta caica senza toccala Molti hanno immaginato lo spazio come iempito da un mezzo mateiale, l etee, caatteizzato da deteminate popietà: una vaiazione di tali popietà poduce l azione a distanza. Pe instein invece, l etee non seve: sono le popietà geometiche dello spazio, distoto dalla pesenza di masse a impoe alle paticelle la taiettoia: la cuva più beve ta due punti, secondo la cuvatua dello spazio.=> Relatività geneale È sempe possibile definie in ogni punto dello spazio una uantità che desciva l azione da pate di una caica Q ( o distibuzione di caica) che una paticella dotata di caica subià in uel punto. La caica di pova, saà soggetta ad una foza F emisuabile. Possiamo dividee uesta foza pe la caica di pova, immaginata piccola pe non petubae la distibuzione oiginale delle caiche, ed ottenee una uantità vettoiale, dietta come la foza. Questa uantità, detta campo della foza F ( campo elettico geneato da Q) non dipende dalla caica di pova usata e descive uindi solo lo spazio intono alla caica Q: F e campo elettico

9 Campo elettico Fe Il campo elettico in un punto dello spazio è definito come la foza elettica F e agente su una caica di pova posta in uel punto diviso la caica della paticella di pova siste un campo elettico in un ceto punto,se una caica di pova posizionata in uel punto subisce una foza elettica Se Q è la caica sogente del campo e la caica di pova: il campo elettico esiste indipendentemente dalla pesenza o meno della caica di pova (piccola) Se la caica non è sufficientemente piccola essa petuba il campo, lo modifica F e F e

10 Campo lettico Il vettoe campo elettico ha come unità di misua nel sistema SI il newton su coulomb (N/C) La diezione del campo è la stessa di uella di F ( in uanto pe convenzione la caica pova è positiva) Una volta definito il campo elettico in un punto dello spazio, si ha che la foza esecitata su una caica posta in uel punto è data da: F e Consideiamo oa una caica puntifome posta ad una distanza da una caica di pova (posta nel punto P come in figua). Pe la legge di Coulomb la foza esecitata da Q su è pai a: F ˆ dove ˆ è il vesoe dietto da Q a 4 Il campo elettico geneato da nel punto P è uindi: 4 ˆ Campo elettico geneato da una caica puntifome Il modulo di è popozionale a / : Il modulo di è popozionale a : Se è positiva il vettoe campo è dietto adialmente in veso uscente da -figua (b) Se è negativa vettoe campo è dietto adialmente in veso entante nella caica ( la foza è attattiva) figua (d)

11 sempi )Supponiamo che su una paticella di pova di caica =8 nc venga esecitata una foza F (.7N )ˆ i (. N) ˆj (.3 N) kˆ da pate di un copo caico. Deteminae il campo elettico nel punto P dove è collocata la caica di pova: F (.7N )ˆ i (. N) ˆj 8nC (.3N ) kˆ 33 N Ciˆ 4 N Cˆj 6 N Ckˆ )Supponiamo che una paticella di pova di caica = -. nc sia posta in un punto in cui isente di un capo: ( 56 N C)ˆ i ( 37 N C) ˆj (4 N C) kˆ Deteminae la foza agente sulla paticella : F.nC 56 N C iˆ 37 N C ˆj 4 N C kˆ 56nN iˆ 37nN ˆj 4nC ˆ k NB: poiché la caica di pova è negativa, il campo elettico e la foza hanno veso opposto

12 Campo elettico dovuto ad un numeo finito di caiche Pincipio di sovapposizione dei campi elettici: Il campo elettico totale in un dato punto dello spazio, geneato da un insieme finito di caiche, è uguale alla somma vettoiale dei campi elettici in uel punto geneati dalle singole caiche. i i 4 i i i ˆ i ˆi dove è il vettoe dietto da i a P ed i è la distanza ta i e P

13 sempio sempio: Due paticelle e, con caica =+6 nc e = +8 nc, si tovano nelle posizioni di coodinate (x,y,z)=(,,) e (,-.m,) ispettivamente. Deteminae il campo elettico a) Nel punto P a (,. m, ) b) Nel punto P b (,,.5 m) ˆ ˆ 4 4 a) 9 6nC 9. Nm C 4 N 4.m C 5 9. Nm C N C 8 N 4 (3m) 9 C C Poiché sia che sono dietti lungo y 4 N Cˆj 8 N Cˆj 68 N Cj ˆ b) In uesto caso conviene pima deteminae le distanza del punto b dalla caica :.5 m 4.5m. m 5 9 6nC 9. Nm C 64 N C 4.5m C 5 9. Nm C N C 4 N 4 (.5m) 6.5 C 64 N Ckˆ 4 N Ccos ˆj 4 N Csin kˆ cos cos sin sin N Ckˆ 4 N C.8 ˆj 4 N C 3 N Cˆj 88 N Ckˆ.6kˆ

14 Linee di foza di un campo elettico Le linee di foza definiscono la diezione ed il veso dei campi elettici in ogni punto dello spazio e appesentano un buon metodo pe visualizzae i campi elettici. La elazione ta le linee di foza ed il campo elettico è: ) La diezione di una linee di foza o della tangente alla linea di foza(se cuva) appesenta la diezione del campo elettico in uel punto ) Il numeo di linee di campo che attavesano una supeficie unitaia nomale ad esse è popozionale all intensità del campo elettico (dove ci sono più linee di campo pe unità di supeficie il campo è più intenso 3) Le linee di foza escono dalle caiche positive ed entano nelle caiche negative Campo geneato da una sfea caica negativamente Le linee di foza sono distibuite adialmente intono alla sfea caica negativamente. Le linee di foza sono entanti (in uanto la caica è negativa) e sono più dense vicino alla distibuzione ( dove il campo è più intenso, icodiamo che / ) La densità delle linee di foza uindi diminuisce allontanandosi dalla sfea Campo geneato da una lamina con una distibuzione di caica positiva unifome La foza elettostatica netta dovuta alla distibuzione di caiche sulla supeficie è pependicolae alla lamina. La foza elettostatica è uscente dalla lamina (in entambe le supefici della lamina) Le linee di foza sono uindi pependicolai alla lamina e poiché la caica è distibuita unifomemente sulla lamina esse hanno densità unifome in uanto il campo elettico è unifome

15 Linee di foza del campo elettico () Campo geneato da caiche uguali puntifomi positive Le linee di foza non si chiudono (poiché le due caiche si espingono) ma teminano su oggetti lontani caicati negativamente Questa distibuzione di linee di foza è in ealtà tidimensionale e pe immaginalo pensate di uotae l immagine intono all asse passante pe le due caiche Campo geneato da caiche uguali puntifomi ma di segno opposto (dipolo) Le linee di foza si chiudono sulle caiche ( in uanto le due caiche si attaggono) Anche uesta distibuzione di linee di foza è in ealtà tidimensionale e pe immaginalo pensate di uotae l immagine intono all asse passante pe le due caiche

16 Campo elettico di un dipolo Il dipolo elettico è una distibuzione paticolae di caica costituito da due caiche puntifomi di valoe assoluto uguale e segno di caica opposto, posizionate ad una distanza molto vicina ta loo ispetto alle distanze pesenti nel contesto Le molecole, uando inseite in un campo elettico si compotano come dipoli ed esistono dei dipoli pemanenti come l acido cloidico (HCl) Consideiamo due caiche + e poste a distanza d ta loo. Campo elettico geneato dal dipolo nel punto P sull asse del dipolo ad una distanza z>>d dal cento del dipolo I singoli campi geneati dalle due caiche nel punto P sono lungo l asse z e uindi anche il campo totale saà lungo l asse z z d 4 4 z d P + - z d 4 4 z d z d z d 4 z 4 z z z d z d 4 z d z d Poiché z>>d la uantità d/z<<, si può uindi sviluppae la uantità ta paentesi uada in temini binomiali e femasi al pimo odine d + -

17 P + - d Ricodiamo che, pe x < vale lo sviluppo del binomio: Nel nosto caso x=d/z ed n=: poiché d/z<< possiamo tascuae il temine con (d/z) cosicché: Campo elettico di un dipolo () 4 4 z d z d z z d z d z...! ) ( x n n x n nx...! ) ( z d z d z d z d z d z d z d d/z << z d z d z z d z d z z d 3 4 z d Campo elettico di un dipolo di caica e asse d calcolato in un punto lungo la diezione dell asse posto ad una distanza z dal cento del dipolo gande ispetto alle dimensioni dell asse del dipolo NB: la uantità d contiene le due popietà intinseche del dipolo ( caica e distanza ta le caiche), viene chiamata momento del dipolo ed è indicato con il simbolo p

18 Campo elettico di un dipolo (3) p d Momento di dipolo elettico p 3 z Se consideiamo il momento di dipolo come un vettoe, esso è dietto come l asse ed ha veso che va dalla caica negativa alla caica positiva + Se si misua il campo elettico di un dipolo a gande distanza, non compaianno mai sepaatamente e d ma solo il loo podotto. Il campo uindi non cambia se viene addoppiata la caica del dipolo e dimezzata la distanza ta le due caiche o vicevesa. Si può dimostae che, uando il campo del dipolo elettico viene misuato a gande distanza, anche se in un punto fuoi dall asse, il campo elettico isulteà popozionale all inveso del cubo della distanza del punto dal cento del dipolo 3 p Il campo elettico di un dipolo si iduce uindi più apidamente del campo elettico geneato da una caica singola ( / ) Il campo elettico pe punti distanti sull asse del dipolo è sempe dietto come il momento di dipolo d Campo elettico di un dipolo di caica e asse d calcolato in un punto ad una distanza dal cento del dipolo gande ispetto alle dimensioni dell asse del dipolo - p

19 Campo elettico geneato da una distibuzione continua di caica Quando il campo elettico geneato da un insieme di caiche lo si calcola in un punto ad una distanza molto maggioe della distanza ta le caiche, si può consideae che il sistema di caiche sia continuo e che il campo sia geneato da caica totale distibuita unifomemente in un dato volume o su una data supeficie Pe deteminae il campo elettico geneato da una distibuzione continua di caiche si deve suddividee la distibuzione di caica i i in piccoli elementi ognuno dei uali contenenti la caica e calcolae sepaatamente i campi elettici geneati da uesti elementi (assunti come caica puntifome) Il campo elettico geneato dall elemento i-simo nel punto P saà uindi: i i 4 i Il campo elettico totale saà uindi dato dalla somma dei campi geneati dai singoli elementi: ˆ ˆ i 4 i i i Riducendo le dimensioni degli elementi di distibuzione fino a livelli infinitesimi si ottiene: d lim ˆ i ˆ 4 4 Q i i Campo elettico geneato da una distibuzione unifome di caica NB: l integale è esteso a tutta la caica che cea il campo ed è una gandezza vettoiale, che dipende dal tipo di distibuzione di caica i

20 Campo elettico geneato da una distibuzione continua di caica A seconda del tipo di distibuzione di caica (di volume, di supeficie, di linea) la caica infinitesima d associata all elemento di distibuzione veà espessa come: d d d dv ds dl Densità di caica di volume pe volume infinitesimo dv Densità di caica supeficiale pe supeficie infinitesima ds Densità di caia lineae pe lunghezza infinitesima dl Se Q è la caica totale unifomemente distibuita in a)un volume V, b) su una supeficie S, c) lungo una lunghezza l si avà che la coispondente densità di caica saà: Densità di caica di volume Densità supeficiale di caica Densità lineae di caica C C Q Q a) b) 3 V m S m Caica pe unità di volume Q c) C m Coispondentemente l integale nell espessione del campo elettico geneato dalla distibuzione di caica saà un integale di volume, di supeficie o lineae: 4 V delle caiche dv ˆ 4 S delle caiche ds ˆ 4 L delle caiche d ˆ

21 Moto di paticelle caiche in un campo elettico unifome Quando una paticella di caica e massa m è posta all inteno di campo elettico elettica che agisce sulla caica è: F e, la foza se uesta è l unica foza agente sulla caica, essa è la foza isultante, e pe il secondo pincipio della dinamica la caica subià un acceleazione legata alla foza elettica dalla elazione: R ma a L acceleazione che subisce la caica è uindi a m Se il campo è unifome (cioè costante in modulo diezione e veso), l acceleazione è costante, dietta lungo il campo elettico se > o in veso opposto se <. unifome a costante

22 Moto di paticelle caiche in un campo elettico unifome Quando una paticella di caica e massa m è posta all inteno di campo elettico elettica che agisce sulla caica è: F e, la foza se uesta è l unica foza agente sulla caica, essa è la foza isultante, e pe il secondo pincipio della dinamica la caica subià un acceleazione legata alla foza elettica dalla elazione: R ma a L acceleazione che subisce la caica è uindi a m Se il campo è unifome (cioè costante in modulo diezione e veso), l acceleazione è costante, dietta lungo il campo elettico se > o in veso opposto se <. unifome a costante

23 Moto di paticelle caiche in un campo elettico unifome R ma a m ) Paticella di caica e massa m inizialmente in uiete: Inseita all inteno di un campo elettico unifome si muoveà con acceleazione costante lungo una etta paallela ad. Facciamo coincidee l oigine degli assi con la posizione iniziale della paticella ed x con la diezione del campo elettico. Si avà (e. del moto di un moto ettilineo unifomemente acceleato: a x m v x a x t m t x a x t m t liminando t dalle espessioni si tova la elazione che lega v x alla posizione x: v x x m m t v t v x m x m v x m v x x m v x x m

24 Moto di paticelle caiche in un campo elettico unifome ) Paticella di caica negativa - e massa m che enta in un campo elettico unifome con velocità iniziale v pependicolae al campo elettico. Il moto è analogo a moto di un poiettile sotto l azione del campo gavitazionale. Facciamo coincidee l oigine degli assi con la posizione iniziale della paticella e l asse x con la diezione della velocità iniziale. Il campo saà ivolto veso le y positive. L acceleazione che la paticella caica subisce uando attavesa il campo è: Se la velocità iniziale della caica è le euazioni del moto della caica nella egione di spazio dove è pesente il campo elettico saanno: j m a ˆ i v v ˆ x x a v v t v x m a a t m at v t m at y x y z z a v z Moto che avviene sul piano xy, sostituendo t=x/v in y si ottiene: x y x mv y paabola Dopo che la paticella esce dal campo elettico posegue di moto ettilineo unifome

25 Flusso di un campo vettoiale Un campo elettico podotto da copi caichi può essee deteminato in due modi diffeenti: ) Attaveso la legge di Coulomb ) Attaveso l applicazione della legge di Gauss (uando la distibuzione di caiche pesenta ualche paticolae simmetia come ad esempio la simmetia cilindica o sfeica) La legge di Gauss è espessa in temini di Flusso del campo elettico Il Flusso è un concetto legato ai campi vettoiali Definizione di flusso(analogia con il concetto di flusso in fluidodinamica, cioè la uantità di liuido che attavesa una ceta supeficie nell unità di tempo): Il flusso di un campo vettoiale è una gandezza scalae che dipende dal campo e dalla supeficie ispetto alla uale viene calcolato. Sia A una supeficie e A il vettoe supeficie avente come modulo l aea della supeficie e diezione pependicolae alla supeficie stessa: A A nˆ Ci sono due possibili vettoi supefici ( uno pe ogni faccia della supeficie) Il flusso del campo vettoiale è definito come il podotto scalae ta il campo vettoiale ed il vettoe supeficie flusso del campo vettoiale A nˆ A

26 Flusso lettico A nˆ A L unità di misua del flusso del campo elettico è N m /C flusso del campo vettoiale Se consideiamo il caso paticolae di un campo elettico unifome e di una supeficie piana pependicolae alle linee di flusso si ha A A Del esto il numeo di linee pe unità di supeficie è popozionale ad e uindi il numeo di linee di flusso che attavesano la supeficie A dovà essee popozionale al podotto A Se la supeficie piana non è pependicolae al campo elettico il flusso saà dato da: A A cos dove è l angolo ta la diezione del campo e la nomale alla supeficie. NB: il numeo di linee di flusso che attavesano la supeficie A è uguale al numeo di linee che attavesano la supeficie A=Acos

27 Flusso lettico Nel caso più geneale il campo elettico può vaiae sia in intensità che diezione e veso. La definizione di flusso data in pecedenza vale solo se l elemento di supeficie A è sufficientemente piccolo da pote consideae che il campo in essa possa essee consideato costante. Consideiamo una geneica supeficie suddivisa in un gan numeo di piccoli elementi ciascuno di aea A. Pe ogni elemento di supeficie i si avà un vettoe supeficie A i di modulo A e diezione pependicolae all elemento di supeficie i-simo. Il flusso del campo elettico attaveso l elemento i-simo di supeficie saà: i i A i Acos Sommando tutti i flussi del campo attaveso i vai elementi di supeficie otteniamo il flusso totale e facendo tendee ad infinito il numeo di elementi di supeficie otteniamo: i S i lim A nˆ da i i A i S da S nˆ da Integale di supeficie, dipende uindi dalla foma della supeficie consideata NB: dipende sia dalla configuazione del campo che dalla supeficie in cui viene calcolato

28 Flusso attaveso una supeficie chiusa Di solito uello che si chiede di calcolae è il flusso del campo attaveso una supeficie chiusa (cioè una supeficie che divide lo spazio in due egioni una intena ed una estena alla supeficie) Consideiamo la supeficie in figua: I vettoi A sono ivolti in diezioni divese pe elementi di supeficie divesi. i In ogni punto i vettoi A i sono pependicolai alla supeficie Pe convenzione hanno veso uscente dalla supeficie. Nel caso il campo elettico è uscente dalla supeficie ( <9 ) => il flusso è positivo Nel caso le linee di campo sono paallele a A ( =9 ) => flusso è nullo Nel caso 3 le linee di campo sono entanti in A 3 ( 8 > >9 ) => il flusso è negativo Il flusso totale attaveso la supeficie chiusa è popozionale al numeo di linee di foza che escono dalla supeficie meno il numeo di linee di foza che entano nella supeficie. > se N linee uscenti > N linee entanti < se N linee uscenti < N linee entanti = se N linee uscenti = N linee entanti nda ˆ n da n = componente del campo elettico nomale alla supeficie da

29 Teoema di Gauss () Il teoema di Gauss mette in elazione il flusso di un campo elettico attaveso una supeficie chiusa e la caica in essa contenuta. Il teoema di Gauss si icava a patie da una supeficie sfeica, ma il isultato è del tutto geneale e vale pe ogni supeficie chiusa. Consideiamo una sfea di aggio ed una caica positiva posta al cento della sfea stessa. 4 ˆ Campo elettico su un ualsiasi punto della supeficie della sfea Le linee di campo sono adiali ed hanno veso uscente => sono pependicolai alla supeficie della sfea in ogni punto Definito un ualsiasi elemento A i della supeficie le linee di campo sono paallele alla nomale di A i Il flusso attaveso l elemento di supeficie i-simo saà i i A i A i i Il flusso totale attaveso la sfea saà: Ricodando che si ottiene: n da da da 4 Il campo sulla supeficie della sfea è costante Il flusso totale del campo elettico attaveso una sfea è popozionale alla caica contenuta nella sfea

30 Teoema di Gauss () Abbiamo tovato che nel caso di una supeficie sfeica ed una caica puntifome contenuta in essa il flusso del campo geneato dalla caica attaveso la supeficie della sfea è indipendente dal aggio della sfea e pai a : Quanto vale il flusso in caso di una supeficie chiusa geneica? Consideiamo oa delle supefici chiuse che cicondano una caica (S sfeica, S ed S3 non sfeiche). Il flusso che attavesa la supeficie S è pai a /. Il flusso peò è popozionale al numeo di linee di campo che attavesano la supeficie, ma uesto numeo è uguale pe le te supefici => Il flusso totale attaveso una ualsiasi supeficie non dipende dalla foma della supeficie Il flusso totale attaveso una ualsiasi supeficie chiusa che ciconda una caica puntifome è dato da Potemmo scegliee una sfea che non ha la caica al cento Il flusso totale di un campo elettico che attavesa una supeficie chiusa è indipendente dalla posizione della caica all inteno della supeficie

31 Teoema di Gauss (3) Consideiamo oa una caica puntifome posta al di fuoi di una supeficie chiusa di foma abitaia Alcune linee di foza entano nella supeficie alte escono ma sempe: Il numeo di linee di foza che entano è uguale al numeo di linee di foza che escono. Il flusso totale di un campo elettico attaveso una supeficie che non contiene caiche è nullo stendiamo oa uesti concetti al caso geneale di più caiche puntifomi e di una distibuzione di caica, Il flusso attaveso una ualsiasi supeficie è dato da: nda ˆ... nˆ da Il flusso elettico attaveso una ualsiasi supeficie è la somma dei flussi dovuta ai campi elettici geneati dalle singole caiche ˆ nda S nda ˆ 3 ˆ S S S nda ˆ nda 3 nda ˆ Teoema di Gauss: Il flusso elettico totale attaveso una ualunue supe ficie chiusa è uguale alla caica totale contenuta all inteno della supeficie divisa pe in

32 Teoema di Gauss Ricapitolando il teoema di Gauss affema che: Il flusso di un campo elettico attaveso una supeficie chiusa abitaia S è pai alla somma algebica delle caiche contenute all inteno del volume delimitato dalla supeficie divisa pe la costante dielettica del vuoto in S nda ˆ V int dv Dove la supeficie chiusa S attaveso la uale il flusso viene calcolato può essee di ualsiasi foma e dimensione ed il simbolo int appesenta la somma algebica delle caiche contenute nel volume V int acchiuso nella supeficie S. int nel caso di una distibuzione di caica nel volume si scive: dv int V int

33 Applicazioni del teoema di Gauss a distibuzioni di caica simmetiche Il teoema di Gauss è utile pe deteminae il campo elettico geneato da distibuzioni di caica che pesentano una ualche simmetia spaziale. La scelta delle supefici gaussiane su cui calcolae il flusso devono essee scelte in maniea appopiata in modo da avvantaggiasi della simmetia della distibuzione di caica in modo da pote estae dall integale. Pe deteminae il tipo di supeficie da scegliee uesta dovebbe veificae una ( o più) delle seguenti condizioni: ) Il valoe costate del campo sulla supeficie deve essee dedotto dalla simmetia della distibuzione di caica ) Il podotto scalae ta il campo ed il vettoe supeficie da si deve pote espimee come un semplice podotto algebico ( da) facendo in modo che sia pependicolae alla supeficie 3) Il podotto scalae nˆ da poiché e nˆ sono pependicolai ta loo 4) Si può dedue che il campo è nullo su tutti i punti della supeficie NB: diffeenti pozioni della supeficie gaussiana posso soddisfae diffeenti condizioni, puché ogni pozione ispetti almeno una delle 4 condizioni

34 sempio: Campo elettico geneato da una caica puntifome Supponiamo di non conoscee il campo elettico geneato da una caica puntifome positiva e poviamo a icavalo a patie dal teoema di Gauss e da consideazioni di simmetia. Poiché il teoema di gauss vale pe ogni supeficie, scegliamo uella che ci conviene di più: una sfea di aggio centata in. Il campo elettico geneato da una caica puntifome positiva è adiale ed uscente dalla caica ( la foza F che la caica esecita su una caica di pova posta in un punto dello spazio attono a è sempe dietta lungo la congiungente con ). è uindi paallelo a in ogni punto della supeficie sfeica. da Il teoema di Gauss ci dice che: nda ˆ S S da in nda ˆ da Poiché il campo è adiale ed ha uindi una simmetia sfeica, il campo saà uguale su tutta la supeficie => posso tiae fuoi dall integale Si ha uindi che: S da in dove l integale S da aea della in in 4 4 supeficie della 4 Poiché la caica totale pesente nella sfea è in = sfea 4

35 Campo geneato da una distibuzione di una caica a simmetia sfeica Studiatela, la ifaò come esecitazione venedì.

36 Campo elettico in possimità di una lamina piana caica Consideiamo una lamina ( di gandi dimensioni) piana con densità supeficiale di caica unifome. Deteminae il campo elettico in un punto vicino alla lamina e lontano dai bodi della lamina stessa Deteminiamo anzitutto la simmetia del campo in modo da pote scegliee la supeficie gaussiana più oppotuna pe applicae il teoema di gauss. Il campo elettico, lontano dai bodi deve essee pependicolae alla lamina ed unifome. Poiché la lamina è caica positivamente il campo saà uscente dalla lamina. Sulle due facce della lamina i campi elettici avanno uindi segni opposti. La supeficie gaussiana che conviene scegliee che ifletta la simmetia del campo ( paallelo alla nomale alla lamina ed uscente da essa in entambi i lati) è una supeficie cilindica il cui asse sia pependicolae al piano e le due basi abbiano un aea A e siano euidistanti dalla lamina. Con uesta scelta della supeficie abbiamo che: // alla supeficie lateale del cilindo alla nomale alla supeficie Il flusso attaveso la supeficie lateale è nullo Quindi la supeficie lateale del cilindo soddisfa la condizione 3 delle condizioni da avee pe scegliee la supeficie Gaussiana. Le due basi del cilindo sono pependicolai ad e uindi è soddisfatta la condizione. alle due basi del cilindo // alla nomale alle due supefici Il flusso totale attaveso l intea supeficie cilindica saà : na ˆ A A

37 Campo elettico in possimità di una lamina piana caica () A A in in è la caica acchiusa nella supeficie cilindica Sappiamo che la caica sulla lamina ha densità supeficiale ( caica pe unità di supeficie). La supeficie della lamina acchiusa nel cilindo di gauss è un disco di aea A. La caica totale acchiusa nel cilindo saà uindi: in A In conclusione si tova che il campo elettico geneato da una lamina con densità supeficiale di caica è: A in A A A il campo elettico geneato da una lamina con densità supeficiale di caica NB: nel campo elettico non compae la distanza dalla lamina. Si può uindi dedue che =/ sia il campo elettico a ualunue distanza dal piano => il campo è unifome ovunue

38 Conduttoi in euilibio elettostatico In un conduttoe le caiche (elettoni) sotto l azione di un campo elettico sono libee di muovesi all inteno del mateiale. Un conduttoe si dice in euilibio elettostatico se le caiche sono tutte a iposo, cioè la foza elettica isultante agente su ciascuna di esse è nulla. Pe un conduttoe isolato da tea, in euilibio elettostatico valgono le seguenti popietà: ) Il campo elettico all inteno del conduttoe è nullo ) Un ualsiasi eccesso di caica deve essee localizzato necessaiamente sulla supeficie estena del conduttoe 3) Il campo elettico appena al di fuoi del conduttoe è pependicolae alla supeficie in ogni punto ed ha intensità pai a / (dove è la densità di caica supeficiale) 4) Su un conduttoe di foma iegolae la caica si accumula sulle egioni di supeficie con aggio di cuvatua minoe

39 Conduttoi in euilibio elettostatico )Il campo elettico all inteno del conduttoe è nullo Se così non fosse le caiche all inteno del conduttoe veebbe acceleate sotto l azione della foza elettica ed il conduttoe non saebbe uindi in euilibio elettostatico. Ma peché il campo all inteno di un conduttoe in euilibio elettostatico è nullo? Consideiamo una lasta conduttice neuta inseita in un campo esteno ( come in figua). Sotto l azione del campo elettico gli elettoni del conduttoe, libei di muovesi, si spostano veso sinista ceando un eccesso di caiche negative a sinista ed un eccesso di caiche positive a desta. Questa nuova configuazione di caica genea un campo elettico inteno al conduttoe che si oppone al campo esteno. Gli elettoni continueanno a spostasi veso sinista fin uando il campo inteno non uguaglieà il campo esteno ed il campo totale all inteno del conduttoe isulteà nullo ) Un ualsiasi eccesso di caica deve essee localizzato necessaiamente sulla supeficie estena del conduttoe Consideiamo di pendee una supeficie gaussiana all inteno del conduttoe Il flusso attaveso tale supeficie deve essee nullo in uanto il campo elettico è nullo uindi in essa la caica totale è nulla. Scegliamo la supeficie intena al conduttoe abitaiamente vicina alla supeficie anche in essa non ci saanno caiche in eccesso => tutta la caica in eccesso deve essee posizionata sulla supeficie estena del conduttoe

40 Conduttoi in euilibio elettostatico 3)Il campo elettico appena al di fuoi del conduttoe è pependicolae alla supeficie in ogni punto ed ha intensità pai a / (dove è la densità di caica supeficiale) Utilizziamo ancoa il teoema di Gauss. Consideiamo un conduttoe di foma geneica e scegliamo come supeficie gaussiana un cilindo che abbia le basi paallele alla supeficie del conduttoe con una delle basi intena al conduttoe e l alta appena al di sopa della supeficie estena. Il campo elettico è pependicolae alla supeficie ( se ciò non fosse la componente del campo lungo la supeficie saebbe divesa da zeo.=> sotto l azione di uesta componente le caiche si muoveebbeo sulla supeficie ed il conduttoe non saebbe in euilibio elettostatico) // alla supeficie lateale del cilindo alla nomale alla supeficie Il flusso attaveso la supeficie lateale è nullo Il flusso attaveso la supeficie di base ( uella intena al conduttoe) è nullo peché = Il flusso totale attaveso il cilindo è pai al flusso attaveso la supeficie della base supeioe ( che è pependicolae al campo ed in essa il campo è costante): in nda ˆ da da A ma in =A => A A s A A

41 negia potenziale elettica La foza elettostatica è una foza consevativa. Possiamo uindi assegnae una enegia potenziale elettica al sistema di paticelle caiche nel uale agisce la foza elettostatica. Se il sistema vaia la sua configuazione da uno stato iniziale ad uno finale, la vaiazione di enegia elettostatica è pai al lavoo, cambiato di segno, della foza elettostatica. U U f U Poiché l enegia potenziale elettica è sempe definita a meno di una costante, si attibuisce enegia potenziale nulla allo stato in cui le paticelle sono a distanza infinita l una dall alta. i L Consideiamo una caica puntifome immesa in un campo elettostatico. La foza elettica agente sulla caica saà: F e è una foza consevativa poiché è data dalla somma di foze consevative. F e Quando la caica si muove soggetta al campo elettico, il campo elettico fa un lavoo sulla caica stessa. Se consideiamo uno spostamento infinitesimo della caic il lavoo infinitesimo s compiuto dal campo saà: U d dl Fe ds ds U f U i L f ds i Integale di linea. Poiché il campo elettico è consevativo, Questo integale non dipende dal pecoso effettuato dalla caica elettica pe andae dalla posizione iniziale alla posizione finale, ma dipende solo dallo stato i e dallo stato f

42 Potenziale elettico ΔU U f U i f ds L enegia potenziale dipende dall intensità della caica di pova. Si definisce uindi la gandezza potenziale elettico che è data dall enegia potenziale pe unità di caica in una dato punto del campo elettico. V U Il potenziale è una popietà del campo, che esiste indipendentemente dalla pesenza o meno di una caica pova nel punto dello spazio in cui viene deteminato. Il potenziale elettico in un punto abitaio P dello spazio è uguale al lavoo pe unità di caica necessaio pe potae una caica positiva dall infinito al punto P. Il potenziale è una gandezza scalae ha dimensioni di un enegia su una caica (J/C), nel SI la sua unità di misua è il volt. (V) V = J/C ( Bisogna svolgee un lavoo di J dall esteno pe spostae una caica elettica di C immesa in un campo elettico ta due punti nel campo che hanno una diffeenza di potenziale V=V) lettonvolt: ev =e V=.6-9 J Un elettonvolt è l enegia cinetica guadagnata da un elettone acceleato attaveso una diffeenza di potenziale di V (oppue è il lavoo necessaio a spostae un elettone ta due punti nel campo che diffeiscono di Volt) P i ds Potenziale elettico

43 Diffeenza di potenziale elettico Si definisce diffeenza di potenziale fa due punti A e B, la vaiazione di enegia potenziale uando una caica di pova si muove ta i due punti, divisa pe la caica di pova. V U B A ds Diffeenza di Potenziale Diffeenza di potenziale in un campo elettico unifome: Consideiamo un campo elettico unifome dietto lungo l asse y negativo La diffeenza di potenziale ta i due punti A e B sepaati da una distanza d (lungo la diezione delle linee di campo) è data da: V B y B ds cos ds A y A Il segno è dovuto al fatto che V B < V A (V= all infinito) y y d NB Le linee di foza in geneale puntano veso una diezione a potenziale elettico minoe Se una paticella di caica si muove dal punto A al punto B la vaiazione di enegia potenziale saà: Quando una caica positiva si muove nel veso del campo elettico, lenegia potenziale elettica del sistema caica-campo diminuisce (analogia con il campo gavitazionale) y y B A ds U V d B A

44 Diffeenza di potenziale in un campo elettico unifome (continua): Abbiamo visto che una paticella che si muove attaveso un campo unifome, da un punto A ad un punto B che distano d ta di loo (lungo una linea di foza del campo) subisce una vaiazione di enegia potenziale d Consideiamo oa una paticella che si muove fa due punti ualsiasi del campo. Sia l angolo ta la diezione dello spostamento e le linee di foza del campo. La vaiazione di potenziale saà data da: V B A ds B A ds cos y B ds A dxiˆ dy ˆj x x B A dx iˆ x x B A dy ˆj xiˆ yj ˆ x NB: cos x d (dove d è la distanza ta A ed il piano contenente B pependicolae al campo) in uanto la componente y dello spostamento non pota contibuto alla vaiazione di potenziale. Si ha infatti che ˆj y ˆj. Tutti i punti che giacciono su una supeficie pependicolae al campo sono euipotenziali. Queste supeficie sono chiamate supefici euipotenziali. Poiché U= V pe andae da un punto ad un alto su una supeficie euipotenziale non si compie lavoo => L U V Lavoo pe spostae una caica lungo una supeficie euipotenziale

45 Potenziale elettico pe una caica puntifome isolata Consideiamo una caica puntifome positiva. Il campo elettico geneato da uesta caica è: k c ˆ Diffeenza di potenziale elettico ta il punto A ed il punto B: B A y y c B A ds k ds V ˆ Consideiamo l agomento dell integale: d k ds k ds k ds c c c cos ˆ Sostituiamo nell integale: A B c c c c A B k k d k d k V V V B A B A B A L integale è indipendente dal pecoso effettuato pe andae da A e B e dipende solo dalle coodinate adiali di A e B (cioè dalle loo distanze dalla caica che genea il campo) Ponendo il potenziale a zeo uando A si ottiene che il potenziale elettico dovuto ad una caica elettica in punto a distanza da essa vale: k V c k k d k V V V V c c c A potenziale elettico dovuto ad una caica elettica puntifome in punto a distanza da essa

46 Potenziale elettico pe caiche puntifomi V k c Tutte le caiche poste su una supeficie sfeica centata nella caica hanno lo stesso potenziale pai a V k c Le supefici euipotenziali pe un campo geneato da una caica puntifome isolata sono appesentate da una famiglia di sfee concentiche alla caica NB: le linee di foza del campo sono sempe pependicolai alle supeficie euipotenziali Se invece di avee una sola caica isolata abbiamo un sistema di caiche puntifomi il potenziale elettico di uesto sistema di caiche si ottiene mediante il pincipio di sovapposizione: V k c i Il potenziale elettico calcolato in un punto P, dovuto ad un sistema di caiche puntifomi è uguale alla somma dei potenziali elettici in uel punto dovuti alle singole caiche i i potenziale elettico calcolato in un punto P, dovuto ad un sistema di caiche puntifomi (il potenziale è nullo all infinito) NB: calcolae il potenziale nel punto P è più facile che calcolae il vettoe campo poiché V totale è dato da una somma algebica, mente il valoe totale del campo è dato da una somma vettoiale

47 Potenziale elettico pe una distibuzione di caica unifome Può essee calcolato in due modi: ) Patendo dal potenziale in un punto P dovuto al contibuto di un elemento infinitesimo di caica d : dv k c d Dove è la distanza ta il punto P e l elemento di caica d Pe ottenee il potenziale in p dovuto a tutta la distibuzione di caica si intega l elemento dv pe sommae tutti i contenuti. Si avà uindi un integale su tutta la caica d che potà essee un integale di volume ( se d=dv), di supeficie (se d=ds) o di linea (se d=dl) ) Facendo uso della elazione ta potenziale e campo elettico, se si conosce il campo elettico (pe esempio gazie all applicazione del teoema di gauss): V Dove si calcola la diffeenza di potenziale ta due punti ualsiasi e si pone a zeo uno dei due B A ds

48 negia potenziale pe una coppia di caiche puntifomi Consideiamo una coppia di caiche e e deteminiamone l enegia potenziale. V k c potenziale elettico dovuto alla caica in un punto P distante da Il lavoo necessaio a spostae la caica da P all infinito ( senza acceleazione) è pai alla vaiazione di potenziale cambiata di segno moltiplicata pe la caica L U V ( ) V V k c lavoo necessaio a spostae la caica da P all infinito negia immagazzinata dal sistema - uando le due caiche sono sepaate da una distanza L enegia potenziale elettica della coppia di caiche - si può espimee come: U V k c Se e hanno stesso segno U> ( L=U> => è il sistema che compie lavoo, le caiche si allontanano spontaneamente) Se e hanno segno opposto U< (L=U< => bisogna compiee lavoo sul sistema pe potae all poiché e si attaggono)

49 Ricavae dal potenziale elettico V Abbiamo visto che campo elettico e potenziale sono legati dalla elazione: Questa elazione pemette di icavae il potenziale elettico a patie dal campo elettico. Toviamo oa come deteminae il campo elettico a patie dal potenziale. V P P ds Campo elettico con linee di foza paallele: V P P ds dv ds Se: xˆ i dv x dx x dv dx x dv dx Se il campo ha un unica diezione, il campo elettico è pai alla deivata cambiata di segno del potenziale ispetto ad una ceta coodinata lungo la diezione del campo In uesto caso la vaiazione del potenziale è nulla ispetto a ualsiasi spostamento pependicolae al campo ( che uindi non abbia componente lungo x). Questi spostamenti coispondono infatti a spostamenti lungo le supefici euipotenziali

50 Ricavae dal potenziale elettico V () Distibuzione di caica a simmetia sfeica: In uesto caso il campo elettico dipende solo dalla distanza adiale dal cento della distibuzione, si ha uindi che: dv ds d dv d s: il potenziale di una caica puntifome è: 4 dv d d 4 d 4 4

51 Ricavae dal potenziale elettico V () Caso geneale: Consideiamo un potenziale elettico che dipende da tutte e te le coodinate spaziali x,y,z. In uesto caso il campo elettico ( vettoe) si otteà componente pe componente dalle deivate paziali del potenziale ispetto alle te coodinate: s d dv z V y V x V z y x sempio: Tovae il campo elettico associato al potenziale: yz y y x V 3 z yz y y x z V y yz y y x y V x yz y y x x V z y x xy x y x y x z y x y yz y y y y x 3 3 y z yz k y j z y x i xy ˆ ˆ 3 ˆ 6

52 Potenziale elettico di un conduttoe caico Pe un conduttoe caico in euilibio elettostatico abbiamo visto che: La caica è distibuita tutta sulla supeficie All inteno del conduttoe il campo elettico è nullo Nelle vicinanze della supeficie il campo elettico è pependicolae alla supeficie stessa Possiamo die alloa che: Tutti i punti sulla supeficie del conduttoe in euilibio elettostatico si tovano allo stesso potenziale. Si ha infatti che: Pesi due punti ualsiasi A e B sulla supeficie del conduttoe consideiamo un pecoso sulla supeficie che mette in contatto i due punti, la diffeenza di potenziale ta i due punti è data da: V V B V A B A ds poiché lungo tutto il pecoso il campo elettico è pependicolae al pecoso => ds Il potenziale elettico è uguale in tutti i punti sulla supeficie (la supeficie è una supeficie euipotenziale) Inolte il potenziale all inteno del conduttoe è costante ( poiché il campo è nullo) e pai al potenziale pesente sulla supeficie del conduttoe Poiché duante uno spostamento di una caica attaveso il conduttoe la vaiazione di potenziale è nulla, è nullo anche il lavoo pe effettuae tale spostamento L U V

53 Potenziale elettico di un conduttoe sfeico Consideiamo una sfea metallica di aggio R e caica totale Q: Il campo elettico dento la sfea è nullo Il campo elettico fuoi dal conduttoe lo calcoliamo attaveso il teoema di gauss S in Q da in Supeficie di gauss : sfea di aggio >R S da 4 Q 4 e 4 Q k Q k e pe R Q pe R V k k c e Q R Q pe R pe R pe

54 Potenziale elettico di un conduttoe geneico In un conduttoe non sfeico la densità di caica non è unifome Come si detemina la densità di caica in uesto caso? Consideiamo un conduttoe come in figua: Due sfee conduttici di aggio ed ( > ) connesse mediate un cavo conduttoe I campi dovuti alle due sfee non si influenzano ta loo (sfee sufficientemente distanti)=> pe pe k e pe pe k e Poiché le due sfee sono collegate mediante il filo conduttoe, l inteno sistema è un singolo conduttoe => Sulla supeficie delle due sfee devo avee lo stesso potenziale: pe k V c pe k V c Q Q k k V V c c Q Q Q Q In temini di densità supeficiali: 4 4 Potenziali sulle due supefici

55 Potenziale elettico di un conduttoe geneico Abbiamo visto che se in un conduttoe consideiamo due egioni con aggi di cuvatua ed tali che > si avà che: ma Q Q Cioè è maggioe la densità di caica dove il aggio di cuvatua è minoe. Poiché il campo elettico in possimità della supeficie di un conduttoe in euilibio elettostatico è popozionale alla densità di caica: Si può affemae che: Il campo elettico dovuto ad un conduttoe caico è maggioe in possimità delle supefici convesse del conduttoe che hanno un piccolo aggio di cuvatua ed è minoe in possimità delle supefici convesse di un conduttoe che hanno un gande aggio di cuvatua I paafulmini sono a punta, campo elettico molto più intenso intono ad esso Maggioe pobabilità che il fulmine avvenga in possimità della punta del paafulmine che altove

56 Cavità in un conduttoe elettico Il campo elettico all inteno di una cavità (dove non ci siano caiche)è nullo, ualunue sia la distibuzione di caica sulla supeficie estena del conduttoe. Infatti: pesi due punti ualsiasi sulla supeficie della cavità si ha: V V B V A B A ds Poiché sulla supeficie di un conduttoe tutti i punti sono allo stesso potenziale. Pe andae da A a B si può effettuae ualsiasi pecoso attaveso la cavità, uindi se l integale è nullo lungo tutti i possibili pecosi ( cioè se ds pe ogni ds, alloa in tutta la cavità Gabbia di Faady => Recipiente cavo costituito da mateial conduttoe => miglio modo pe schemae cicuiti elettici dai campi elettostatici cicostanti Duante una tempesta elettica chiudetevi in macchina

57 Capacità e Condensatoi I condensatoi sono dei componenti elettici costituiti da due conduttoi (amatue) di foma ualsiasi posti molto vicini ta loo che vengono caicati con caiche uguali ed opposte. Un condensatoe si dice caico se ta le due amatue è pesente una diffeenza di potenziale. Pe caicae un condensatoe scaico ( V=) si possono mettee in contatto le due amatue con i poli di una batteia, ueste si caicheanno di caica uguale ed opposta, scollegata la batteia le due amatue imaanno caiche La diffeenza di potenziale ai capi delle amatue isulta popozionale alla caica del condensatoe ( cioè la caica accumulata su una delle due amatue): Q CV C Q V Capacità elettica Si definisce Capacità elettica il appoto ta la caica del condensatoe e la diffeenza di potenziale ai capi delle due amatue. La capacità è la misua della uantità di caica che un condensatoe può immagazzinae se su di esso viene applicata una ceta diffeenza di potenziale La capacità è costante pe ogni condensatoe e dipende dal tipo di condensatoe, dalla foma e dal mateiale che sepaa le due amatue L unità di misua della capacità è il faad (F) F=C/V Il faad è un unità di misua molto gande e solitamente si usano i suo sottomultipli ( F, nf e pf) NB: V è inteso in valoe assoluto poiché C è pe definizione sempe positiva

58 Condensatoi piani Un condensatoe piano è costituito da due piaste metalliche della stessa aea A sepaate da una distanza d. Condensatoe caico : una piasta con caica Q e l alta con caica Q Caica pe unità di supeficie: =Q/A Se d molto piccola ispetto alle dimensioni della piasta: V B A ds d ds d Qd A Q ta le piaste A fuoi dalle piaste Q V QA Qd A d C A d C capacità di un condensatoe piano La capacità di un condensatoe piano è diettamente popozionale alla supeficie delle amatue piane ed invesamente popozionale alla loo distanza

59 Condensatoe piano collegato ad una batteia elettoni elettoni

60 Collegamento di condensatoi Nei cicuiti elettici due o più condensatoi possono essee collegati in divesi modi. L elemento di cicuito totale avà una capacità euivalente che può essee calcolata e che dipendeà dalla configuazione del sistema di condensatoi. Le due combinazioni di base dei condensatoi sono in seie ed in paallelo I condensatoi in uno schema di cicuito si appesentano con il simbolo: Condensatoi in paallelo Condensatoi in seie

61 Condensatoi in paallelo Due condensatoi di capacità C e C sono collegati in paallelo ( vedi figua) Le amatue di sinista dei due condensatoi sono allo stesso potenziale (sono collegati tamite il filo conduttoe al polo positivo della batteia) Le amatue di desta dei due condensatoi sono allo stesso potenziale La tensione ( la diffeenza di potenziale) ai capi della coppia di condensatoi è uella data dalla batteia ed è la stessa ai capi di ciascun condensatoe V V V Quando si effettua il collegamento gli elettone si muovono attaveso il cicuito ( dalle amatue di sinista veso il polo + della batteia e dal polo alle amatue di desta). Il movimento cessa uando ta i capi dei condensatoi e ta i poli della batteia c è la stessa tensione => a uesto punto i due condensatoi isulteanno caicati con caica Q e Q. Q Q Q Caica totale immagazzinata Condensatoe euivalente: Un condensatoe che ha caica Q e tensione V ai capi: C e Q Q Q Q Q V V V V C e C C Capacità del condensatoe euivalente pe un collegamento in paallelo La capacità euivalente di un sistema di condensatoi in paallelo è la somma algebica delle singole capacità ed è uindi maggioe di uella di ciascun condensatoe

62 Condensatoi in seie Due condensatoi di capacità C e C sono collegati in seie ( vedi figua) In uesto tipo di collegamento il valoe assoluto della caica sulle amatue dei due condensatoi è la stessa Q Q Q L amatua di desta di C e uella di sinista di C sono allo stesso potenziale V i ( fomano un conduttoe isolato) Mente la diffeenza di potenziale ta l amatua di sinista di C e uella di desta di C è uguale alla tensione ai capi della batteia V V V sinista V desta V V sinista Vi V i Vdesta V V Se consideiamo il cicuito euivalente C e Q V V Q C Capacità del condensatoe euivalente pe un collegamento in seie C e C C e V V Q C Q C Q Ce Q C Q C Il ecipoco della capacità euivalente di un sistema di condensatoi in seie è pai alla somma algebica dei ecipoci delle singole capacità e la capacità euivalente è uindi sempe minoe di uella di ciascun condensatoe

63 Condensatoi con dielettici L inseimento ta le amatue di un condensatoe di un mateiale isolante ( detto dielettico) aumenta la capacità del condensatoe Misuando con un voltmeto un condensatoe caico con e senza dielettico ta le amatue, se V è la diffeenza di potenziale in assenza di dielettico e V la d.d.p in pesenza di dielettico, si tova che: V V V Più pecisamente V dove k> k Poiché il cicuito è apeto ed il voltmeto ( pe come è concepito ) non lo chiude La caica Q ai capi delle due amatue nei due casi imane la stessa V V Se V Q C V Q C C C C C C kc La capacità di un condensatoe in pesenza di un dielettico ta le amatue è maggioe di uella nel caso ta le due amatue ci sia il vuoto

64 ffetto del dielettico Molecole del dielettico in assenza di campo Polaizzazione delle molecole del dielettico in pesenza di campo La polaizzazione genea un campo elettico di polaità opposta a uello esteno Diminuzione del campo elettico netto e della tensione ai capi dell amatua La caica viene immagazzinata ad una ddp minoe e uindi aumenta la capacità

65 Coente elettica Ogni ual volta c è movimento di caiche si ha una coente elettica. Data una ceta uantità di caiche che attavesa una supeficie S, si definisce coente elettica la apidità con cui la caica elettica attavesa uella supeficie. Se Q è la uantità di caica che attavesa la supeficie S nell intevallo di tempo t la coente media è: Q t Passando al limite pe t si ottiene la coente istantanea: I I lim t Q t dq dt L unità di misua della coente nel sistema SI è l ampee (A) che è una delle unità di misua fondamentali. Si ha che: C A s A di coente euivale al passaggio di C di caica attaveso una supeficie in s Il veso della coente positiva pe convenzione è uello in cui fluisce la caica positiva (indipendentemente dalla caica effettiva che si muove) uindi va in veso opposto ispetto a uello del flusso degli elettoni dento un conduttoe

66 Le paticelle caiche che si muovono vengono chiamati potatoi di caica. I potatoi di caica in un conduttoe sono gli elettoni, in un gas o in un liuido possono essee sia ioni positivi che negativi Ma come si taspota la coente? Consideiamo delle paticelle caiche che si muovono attaveso un conduttoe cilindico di sezione A. Il volume di un elemento del conduttoe saà dato da: lemento di volume V Ax del conduttoe Se n= numeo di potatoi di caica pe unità di volume (densità di potatoi) Il numeo totale di potatoi di caica nell elemento di volume è: N di potatoi di N nv nax caica nell elemento di volume Se è la caica del singolo potatoe di caica, la caica mobile taspotata saà: Caica taspotata dagli N di Q N nax potatoi di caica nell elemento di volume Se i potatoi si muovo lungo il conduttoe con una velocità media v d detta velocità di deiva essi pecoeanno la lunghezza dell elemento di volume in un ceto tempo t tale che x In uesto intevallo di tempo la caica taspotata saà: Q nax nav t Ricodando che I=Q/ t possiamo ottenee la elazione che lega la coente I ( gandezza macoscopica) alle caatteistiche dei potatoi di caica (gandezze micoscopiche): densità n, caica e velocità di deiva I Q t nv d A d vdt

67 Consideazione sulla velocità di deiva La velocità di deiva è una velocità media dei potatoi di caica I potatoi di caica si muovo in ealtà con un andamento a zig-zag utando conto gli atomi del conduttoe. Questi uti potano ad un aumento dell enegia vibazionale degli atomi che si manifesta con un aumento della tempeatua del conduttoe. Quando ai capi del conduttoe è applicata una diffeenza di potenziale all inteno del conduttoe si genea un campo elettico che fa muovee i potatoi di caica a causa della foza elettostatica applicata. Il moto dovuto al campo si sovappone al moto casuale a zig e zag che fonisce una velocità media il cui modulo è la velocità di deiva Le velocità di deiva dei potatoi di caica sono molto piccole dell odine dei -4 m/s. Ma il segnale elettico ( pe esempio uando si peme l inteuttoe della luce) non è taspotato con la velocità di deiva, ma attaveso l azione del campo elettico che si viene a ceae all inteno del conduttoe che poduce la foza elettica che agisce istantaneamente a distanza (anche sugli elettoni che sono nel filamento di tungsteno della lampadina).

68 Resistenza e legge di ohm Aumentando il campo elettico attaveso il conduttoe aumenta anche la velocità di deiva. Si può dimostae che la velocità di deiva è popozionale al campo elettico. Pe un campo elettico unifome in un conduttoe con sezione unifome ( filo) la diffeenza di potenziale ai capi del conduttoe è popozionale al campo elettico: V d Quindi la velocità di deiva è popozionale anche alla diffeenza di potenziale applicata ai capi del conduttoe e di conseguenza anche alla coente nel conduttoe: I vd V La costante di popozionalità ta V e d I è detta Resistenza del conduttoe: V v d RI R V I L unità di misua della esistenza è l ohm () : = V/A Resistenza Se una ddp di V ai capi di un conduttoe poduce una coente di A la esistenza di uel conduttoe è pai a La esistenza ( chiamata così peché misua la esistenza che oppongono i potatoi di caica duante il loo movimento dovuto alla pesenza della ddp (diffeenza di potenziale V) ai capi del conduttoe) è una popietà del conduttoe che dipende dal mateiale di cui esso è costituito, dalla sua foma e dalla tempeatua a cui si tova

69 Legge di Ohm Pe molti mateiali, inclusa la maggio pate dei metalli gli espeimenti dimostano che la esistenza è costante su un gande intevallo di tensioni applicate. Questo fatto fa si che la elazione Ohm, R V I venga spesso indicata con il nome di legge di La legge di Ohm detemina la popozionalità ta la tensione applicata ai capi di un conduttoe e la coente che vi cicola dento. In ealtà uesta popozionalità dietta ta coente e tensione non vale pe tutti i mateiali. I mateiali che seguono la legge di ohm, pe i uali uindi la esistenza isulta costante in un ampio ange di tensioni sono detti mateiali ohmici I mateiali che invece non pesentano uesta lineaità dietta ta tensione e coente sono chiamati non ohmici Mateiale ohmico Mateiale non ohmico

70 Resistenza e esistività La esistenza dipende dalla foma del conduttoe: sempio: La esistenza di un filo conduttoe è: popozionale alla lunghezza del conduttoe invesamente popozionale alla sezione A del conduttoe R l A La costante di popozionalità, detta esistività, è caatteistica del mateiale di cui è composto il conduttoe ed ha come unità di misua l m. La esistenza dipende sia dal mateiale di cui è composto il conduttoe che dalla foma del conduttoe stesso. La esistività è caatteistica di ogni mateiale L inveso della esistività è la conducibilità =/

71 Vaiazione della esistività con la tempeatua NB: la esistività di un conduttoe vaia con la tempeatua, es: i mateiali supeconduttoi hanno esistenze bassisime, ma solo pe tempeatue molto basse, possime allo zeo assoluto Pe la maggio pate dei metalli, la esistività vaia in maniea cica lineae con la vaiazione di tempeatua = la esistività ad una ceta tempeatua T = coefficiente temico della esistività = la esistività alla tempeatua di ifeimento T o T T Una elazione analoga si può ottenee pe la esistenza ( che è popozionale alla esistività) R R T T

72 negia e Potenza elettica In un cicuito elettico viene tasfeita enegia da una sogente ( batteia, geneatoe di tensione) ad un dispositivo ( lampadina, adio,..) pe mezzo della tasmissione elettica. Ricaviamo un espessione che ci pemetta di deteminae la potenza tasfeita ( lavoo pe unità di tempo) Consideiamo il cicuito base, costituito da un geneatoe di tensione, una esistenza collegati mediante un cicuito che può essee apeto ( scollegamento) o chiuso mediante un inteuttoe In uesto cicuito l enegia viene fonita al esistoe ( anche se in pate anche ai fili peché anche essi hanno una esistenza ma uesta esistenza in genee può essee tascuata) Assumiamo che il potenziale in a sia zeo ( lo possiamo fae saà il nosto punto di ifeimento) Seguiamo la caica Q che si muove attaveso il conduttoe patendo da a, attavesando la batteia e poseguendo nel cicuito pe tonae in a ab la diffeenza di potenziale ai capi della batteia è V, uindi l enegia potenziale elettica aumenta di una uantità QV mente l enegia chimica della batteia diminuisce della stessa uantità bc nessuna tasfomazione di enegia ( stiamo tascuando la esistenza del conduttoe uindi V c =V b ) cd passaggio attaveso la esistenza R( anche detto esistoe) il sistema ha una caduta di potenziale dovuta ad una pedita di enegia potenziale elettica a causa degli uti dei potatoi di caica con gli atomi del esistoe. Questa enegia si tasfoma in enegia intena degli atomi/molecole (enegia vibazionale) da come nel caso bc In a: isultato netto = pate dell enegia chimica della batteia si è tasfomata in enegia intena nel esistoe

73 negia e potenza elettica() Deteminiamo la apidità con cui il sistema pede enegia potenziale elettica uando la caica Q passa attaveso il esistoe Rapidità deivata ispetto al tempo! QV V IV dove I è la coente nel cicuito du dt dq dt Nello stesso tempo in cui uesta pedita avviene nel esistoe, la batteia fonisce nuova enegia potenziale elettica a discapito della sua enegia chimica. La potenza è il lavoo svolto nell unità di tempo dalla batteia, cioè la uantità di enegia fonita al cicuito nell unità di tempo, uindi è uguale a du/dt : du dt Questa fomula ha validità geneale e descive la potenza tasfeita da una sogente ad un ualsiasi dispositivo che taspoti una coente I uando ai suoi capi c è una tensione V Ricodando che possiamo espimee la potenza tasfeita su un esistoe R: V IR I R d dt V R IV potenza Potenza tasfeita su un esistoe R L unità di misua della potenza è il watt ( come avevamo già visto) e la uantità di enegia tasfeita in un oa ( kw/h) è l unità di misua utilizzata dalle compagnie elettiche pe misuae i nosti consumi

74 sempio Le due lampadine in figua sono collegate alla stessa batteia. La potenza delle batteie è indicata. Quale lampadina ha una esistenza maggioe? Quale taspota una coente maggioe? V V V V I R A B R A B V R V R A B 3W 6W B A V V R B R A R A R B R A RB RA R B A paità di V la lampadina a esistenza minoe assobià potenza maggioe. La coente che attavesa B è peò maggioe R A V RB I A V I B I B I A I A I B