Conduttori in equilibrio elettrostatico

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1 onduttoi in equilibio elettostatico In un conduttoe in equilibio, tutte le caiche di conduzione sono in equilibio Se una caica di conduzione è in equilibio, in quel punto il campo elettico è nullo caica libea in equilibio. (ce ne sono ovunque) F q Il campo elettico è nullo in tutto il volume del conduttoe uindi il potenziale elettico ha lo stesso valoe in ogni punto del conduttoe d ds B A AB B ds A peché La caica netta su un conduttoe si distibuisce sulla sua supeficie F dipende dal fatto che il campo elettico è nullo nel volume del conduttoe (v. Teoema di Gauss, fa poco) Il campo elettico può essee diveso da zeo solo sulla supeficie, dove è necessaiamente otogonale

2 onduttoi in equilibio elettostatico Le linee di foza sono otogonali alla supeficie, in quanto supeficie equipotenziale, ovveo peché altimenti le caiche di conduzione sulla supeficie non saebbeo in equilibio. Pesenza di un campo elettico esteno. Il campo elettico, all equilibio, imane nullo intenamente al conduttoe. iò avviene gazie ad un oppotuna edistibzione delle caiche alla supeficie. campo geneato dalle caiche indotte IND XT campo geneato dalla caica estena q q P onduttoe neuto isolato: q TOT

3 Flusso del ampo lettico Flusso di attaveso una supeficie da. dφ ds cosθ θ θ ds Φ S dφ S cosθ ds θ: angolo fa il campo elettico e la nomale alla supeficie. gandezza scalae Il flusso ha un segno che dipende da cosθ ovveo dalla scelta del veso positivo. Pe una supeficie chiusa si assume positivo il veso uscente (convenzione) Flusso di una caica puntifome posta al cento di una supeficie sfeica. ds dφ ds con (modulo) costante q Φ dφ cosθ ds S S S ds Φ S

4 poiché q S 4π 4π si tova Φ S q q > flusso uscente (positivo) q < flusso entante (negativo) alcolo del flusso pe una caica puntifome all inteno in una supeficie chiusa geneica ds Se si immagina una sup. chiusa concentica S, intena ad S, ci si convince che: ds Φ Φ ma Φ q q Φ infatti le linee di foza passanti pe ds passano anche pe ds sup. estena Analogamente si dimosta che una caica estena alla supeficie dà Φ

5 Teoema di Gauss Distibuzione di caica qualsiasi in una supeficie chiusa geneica Pe il pincipio di sovapposizione: q q q 3 q 4 Φ Φ Φ Φ q q Φ q INT q 3 Φ 3 q INT Φ 4 Teoema di Gauss Popietà fondamentale del campo elettico. una delle 4 equazioni di Maxwell S A S B S SD uanto vale il flusso uscente del campo elettico dalle 4 supefici in figua?

6 Applicazioni del Teoema di Gauss La caica in un conduttoe in equilibio si distibuisce sulla supeficie estena. ampo elettico sulla supeficie di un conduttoe caico: sup. infinitesima Φ LAT omogeneo su ds (sup. infinitesima) otogonale ad S (sup. equipotenziale) dφ ds dq dq ds Φ BAS INF. σ dq ds è la densità supeficiale di caica σ

7 Applicazione del Teoema di Gauss: distibuzione sfeica di caica si considei una sfea di aggio, con caica q a simmetia sfeica Pe simmetia è dietto adialmente (entante o uscente secondo q) il modulo () è unifome su S e otogonale ad S: q 4π ( ) ( ) q 4π ( > ) ( > ) ( ) ( ) S( ) Φ All esteno della sfea il campo elettico è identico a quello che si avebbe se tutta la caica fosse puntifome e concentata al cento.

8 Applicazione del Teoema di Gauss: distibuzione sfeica di caica he succede all inteno della sfea ( < )? distinguiamo casi estemi. A) caica distibuita unifomemente sulla supeficie (ad es. sfea conduttice isolata) Φ ( ) ( ) S( ) ( ) ( ) ( ) pe < B) caica distibuita unifomemente nel volume. ( ) ( ) S ( ) ( ) Φ ( ) ρ pe < 3 4π ( ) 3

9 Applicazione del Teoema di Gauss: distibuzione sfeica di caica ( ) 4 π ( ) 4 4 π π > < caica distibuita unif. su una supeficie sfeica caica distibutita unif. in un volume sfeico ( ) π π ρ ( ) π π > < iassumendo

10 Applicazioni del teoema di Gauss ampo elettico geneato da una distibuzione di caica piana, omogenea e infinita: pe simmetia, unifome sulle due facce del cilindo... ds dq σ σ σ lamina isolante come si concilia questo isultato con ciò che sappiamo sul campo alla sup. di un conduttoe? σ σ σ σ σ σ lamina conduttice isolata con σ σ σ

11 Applicazione del Teoema di Gauss: filo ettilineo infinito, unif. caico con densità lineae di caica λ Pe simmetia, il campo elettico è adiale (entante o uscente secondo q) il modulo dipende solo dalla distanza dal filo, ovveo () è unifome su S e otogonale ad S: flusso nullo sulle due basi, esta: ( ) ( ) S ( ) Φ L sup. lateale ( ) π λ

12 ondensatoi oggetto fomato da due conduttoi (amatue) tali che la caica ispettivamente sull uno è opposta quella sull alto esempi di condensatoe Pe convenzione: è detta caica del condensatoe si chiama potenziale del condensatoe e si indica semplicemente con

13 ondensatoi mosetto appesentazione schematica di un condensatoe: amatue è detta apacità del condensatoe. Si osseva (e si dimosta) che dipende solo dalla geometia (e dal dielettico), non da in genee si scive gandezza scalae, definita positiva. Faad on questa definizione [ ] F [ ] F m om è possibile che non dipenda da?

14 apacità di un condensatoe piano. Amatue costituite da supefici piane paallele. Linee di foza del campo elettico come in figua. Tascuando il campo ai bodi si icava un espessione semplice pe la capacità. - Detta S la supeficie delle amatue e d la loo distanza. d σ d d S S d (in vuoto) s. Se dmm, calcolae S affinché sia F in vuoto. [S3 km ]. Una capacità di F è enome supecondensatoi?

15 ffetto di un mezzo sulla capacità di un condensatoe ondensatoe isolato ( costante) ' < - - intoducendo un dielettico fa le amatue di un condensatoe isolato la ddp diminuisce d altonde ' (isolato). Petanto ' > il appoto misua la costante dielettica elativa ' ' Se il condensatoe non è isolato (ad es. collegato ad una batteia) cambiano divese cose, ma esta il fatto che

16 negia immagazzinata in un condensatoe Lavoo compiuto da una foza estena pe sepaae le caiche - dq dl ST dl ST dq dq U Pe un condensatoe piano: U Sd densità di enegia volume Densità di enegia (potenziale) immagazzinata nel campo elettico: u In pesenza di un campo elettico, lo spazio possiede un enegia pe unità di volume isultato del tutto geneale, benché intodotto in un caso paticolae.

17 ondensatoi collegati in paallelo. ondensatoi in paallelo (collegati fa la stessa ddp). apacità equivalente. 3 la ddp è la stessa ai capi di tutti i condensatoi Se consideiamo il tutto come un unico condensatoe (equivalente) esso possiede una caica 3... e la stessa ddp pai a k k capacità equivalente di più condensatoi collegati in paallelo

18 ondensatoi collegati in paallelo. L equivalenza appena vista vale da tutti i punti di vista. Pe esempio, l enegia immagazzinata nei condensatoi in paallelo è la stessa del condensatoe equivalente 3 3 U U U U... 3 U U... da cui U ( ) U eq

19 ondensatoi collegati in seie ondensatoi in seie. apacità equivalente: è la stessa pe tutti (v.) 3 Se consideiamo il tutto come un unico condensatoe (equivalente) esso possiede una caica 3 e d.d.p Nota: la capacità di una seie di condensatoi è sempe minoe della più piccola delle capacità Nota : le fomule pe seie e paallelo di condensatoei sono scambiate ispetto alle analoghe fomule pe le esistenze elettiche (v.)