Corso di Laurea in INGEGNERIA ELETTRONICA. Modulo (6 CFU) di FISICA GENERALE II. FISICA GENERALE II Premessa

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1 UNIVSITÀ DI NAPOI FDICO II FACOTÀ DI INGGNIA a.a. /4 Coso di auea in INGGNIA TTONICA Modulo (6 CFU) di FISICA GNA II Docente: F. loisi! # --- queste note sono epeibili sul sito FISICA GNA II Pemessa a.a. /4 Questi appunti non vogliono, né potebbeo essee sostitutivi né delle lezioni né di un libo di testo. Sono semplicemente copie delle taspaenze usate duante le lezioni, ed hanno esclusivamente lo scopo di pemettee agli studenti di seguie con maggioe pofitto la lezione. Anche se ho posto una ceta cua nel ivedee le taspaenze, saò gato a chiunque mi segnali eventuali eoi o impecisioni. Napoli, febbaio Il docente del coso F. loisi queste note sono epeibili sul sito ---

2 FISICA GNA II Sommaio del Coso a.a. /4! INTODUZION ICHIAMI! TTOSTATICA! MAGNTOSTATICA! TTOMAGNTISMO! lementi di OND (TTOMAGNTICH) D OTTICA! lementi di CICUITI TTICI --- queste note sono epeibili sul sito FISICA GNA II Testi a.a. /4 $ P. Mazzoldi, M. Nigo, C. Voci lementi di Fisica, Vol. (lettomagnetismo - Onde) - diss (citato come $ MNV nei iepiloghi delle lezioni) Pe un maggioe appofondimento, che compota un notevole uso della matematica: $ S. obbio,. Gatti lementi di elettomagnetismo - oinghiei $ C. Mencuccini, V. Silvestini - lettomagnetismo, Ottica - iguoi Pe una lettua più scoevole, dovuta ad un appoccio fenomenologico e ad un idotto uso della matematica: $ P. M. Fishbane, S. Gasioowicz, S. T. Thonton Fisica pe scienze ed ingegneia, Vol. - diss $. Seway, eichne Fisica pe scienze ed ingegneia, Vol. - diss --- queste note sono epeibili sul sito ---

3 FISICA GNA II INTODUZION ICHIAMI --- queste note sono epeibili sul sito queste note sono epeibili sul sito ---

4 Intoduzione e ichiami Metodi e campi di indagine della Fisica IN.! Fisica! Studio dei fenomeni natuali con metodo scientifico (o speimentale)! Metodo speimentale! Ossevazione (espeimento)! Deduzione (legge fisica)! Induzione (teoia fisica / modello matematico)! Veifica (espeimento)! Teoia fisica! Definizioni opeative, ipetibili da qualunque ossevatoe! Schematizzazione / astazione! imiti di validità / falsificabilità! Meccanica classica Studio del moto di punti mateiali, sistemi igidi, fluidi Studio delle onde elastiche (acustica)! Temodinamica classica Studio dei fenomeni connessi con la tempeatua ed il caloe %lettomagnetismo Studio dei fenomeni connesi con le caiche elettiche Studio delle onde elettomagnetiche (onde adio, luce, micoonde, etc.)! Fisica modena Meccanica quantistica elatiità --- queste note sono epeibili sul sito Intoduzione e ichiami Unità di misua nel Sistema Intenazionale IN. lunghezza m meto massa kg kilogammo tempo s secondo Unità di misua fondamentali tempeatua K kelvin quantità di mateia mol mole Unità di misua accessoie angolo piano ad adiante angolo solido s steadiante coente elettica A ampee intensità luminosa cd candela Pototipo (copia n. 6) dell unità di massa (kilogammo) [Istituto di Metologia G. Colonnetti di Toino]. ase HeNe stabilizzato in fequenza sulla linea di assobimento satuo dello 7 I. Campione di lunghezza d'onda, usato pe definie l unità di lunghezza (meto) [Istituto di Metologia G. Colonnetti di Toino]. --- queste note sono epeibili sul sito ---

5 Intoduzione e ichiami Odine di gandezza, analisi dimensionale IN. Odine di gandezza di una quantità è la potenza di immediatamente infeioe al suo valoe (ossia il valoe numeico espeso con una sola o addiittua con nessuna cifa significativa) sempio: calcolae, in secondi, la duata di un anno anno 65 d 65 d 4 h/d 8 76 h s anno.56 7 s (valoe esatto) anno 7 s 7 s (odine di gandezza) Analisi dimensionale veificae dimensionalmente l equazione che da il peiodo di oscillazione di un pendolo semplice: [T][ T ] T in s T π h g [h][ ] h in m [g][ T - ] T in m s - Se un numeo appesenta la misua di una gandezza fisica, deve esse accompagnato dall indicazione dell unità di misua utilizzata. Il tiangolo ha n lati. ( è un numeo) Il lato del tiangolo è l m. Il lato del tiangolo è l mm. ( è la misua del la lunghezza) aea del tiangolo è A m. ( è la misua del l aea) --- queste note sono epeibili sul sito Intoduzione e ichiami Cife decimali/significative, aotondamento IN.4! Cife decimali, cife significative d.5 mm.45 mm d<.55 mm.5 ±.5 mm c.d., c.s..9% d.5 mm.495 mm d<.55 mm.5 ±,5 mm c.d., c.s..%! oe (o impecisione) di misua./ %./ %! sempi 4.5 m c.d., c.s.,.%.7 kg c.d., c.s.,.%.5 s c.d., c.s.,.9%.5 s c.d., c.s.,.9%.4 km c.d., 5 c.s.,.%! Somma/Diffeenza! Cife decimali: pai a quelle dell addendo con il mino numeo di c.d. 4.5 m + c.d..7 m + c.d. 5.4 m c.d..977 m.98 m c.d.! Podotto/Quoziente! Cife significative: pai a quelle del fattoe con il mino numeo di c.s. 9. m c.s..5 m 4 c.s..69 m.6 m c.s. --- queste note sono epeibili sul sito ---

6 Intoduzione e ichiami IN.5 Pincipi e leggi fondamentali della dinamica Pincipi della dinamica! I pincipio della dinamica (definizione di sistema ineziale)! II secondo pincipio della dinamica dp f oppue f ma d t! III tezo pincipio della dinamica () i f f oppue F! I equazione cadinale della dinamica (polo Ω: un punto fisso o il cento di massa) ( e) d P ( e) F oppue F Macm d t! II equazione cadinale della dinamica (u: asse di otazione) ( e) d ( e) τω oppue τu Iuαu d t eggi di consevazione! quantità di moto se è nulla la somma delle foze estene che agiscono su di un sistema alloa la quantità di moto del sistema esta costante! momento della quantità di moto se è nulla la somma dei momenti delle foze estene che agiscono su di un sistema alloa il momento della quantità di moto del sistema esta costante! enegia se le foze estene che agiscono su di un sistema sono consevative alloa l enegia meccanica totale del sistema esta costante --- queste note sono epeibili sul sito Intoduzione e ichiami --- queste note sono epeibili sul sito IN.6 eggi fondamentali dell elettomagnetismo quazioni di Maxwell divd ρ lib ot + t div ot D H J t Caatteistiche del mezzo Foza di oentz df + J d V Densità di coente Jlib(,t ) ρcondv quazione di continuità ρ t lib ( ρ ) + div J lib lib D ε + P H M P P ( µ ) M M F V v ρ,t J,t,t D,t P,t,t H,t M,t ε µ c foza (N) volume (m ) velocità (m/s) densità di caica (C/m ) densità di coente (A/m ) c m/s 7 µ 4π H/m ε c µ campo elettico (V/m) campo spostamento elettico (C/m ) densità di polaizzazione (C/m ) campo di induzione magnetica (T) campo magnetico (A/m) densità di magnetizzazione (A/m) costante dielettica del vuoto (F/m) pemeabilità magnetica del vuoto (H/m) velocità della luce nel vuoto (m/s)

7 FISICA GNA II S TTOSTATICA --- queste note sono epeibili sul sito FISICA GNA II TTOSTATICA S! e basi dell elettostatica! Il campo elettico! Il Teoema di Gauss! Il potenziale elettostatico! Il dipolo elettico! Caatteistiche dei conduttoi! Capacità elettica! I dielettici! negia e campo elettico! iepilogo --- queste note sono epeibili sul sito ---

8 TTOSTATICA e basi dell elettostatica S! I pimi espeimenti di elettostatica! Isolanti e conduttoi! Stumenti di misua in elettostatica! a caica elettica! e leggi fondamentali dell elettostatica! a legge di Coulomb! sempi ed applicazioni --- queste note sono epeibili sul sito e basi dell elettostatica iepilogo S.! Definizioni! Caica elettica! Caica elettica puntifome! Densità di caica elettica di linea! Densità di caica elettica di supeficie! Densità di caica elettica di volume! Unità di misua! Coulomb! Classificazione dei mateiali! Conduttoi! Isolanti (o dielettici)! Semiconduttoi, supeconduttoi! eggi fondamentali dell elettostatica! egge di Coulomb! Pincipio di sovapposizione! Consevazione della caica! Quantizzazione della caica elettica! Caica elementae: e! secizi! Foza ta caiche elettiche puntifomi! avoo pe spostae una caica elettica puntifome in pesenza di alte caiche elettiche puntifomi! Gandezze già definite in Meccanica! Foza! Foze estene e foze intene ad un sistema! avoo compiuto da una foza! Tezo pincipio delle dinamica (Pincipio di azione e eazione)! MNV Cap.: Foza elettostatica. Campo elettostatico.! Pa..: Caiche elettiche. Isolanti e conduttoi.! Pa..: Stuttua elettica della mateia.! Pa..: a legge di Coulomb.! Pa..8: Deeminazione della caica elementae. speienza di Millikan. --- queste note sono epeibili sul sito ---

9 e basi dell elettostatica I pimi espeimenti di elettostatica S.! Una baetta di veto (o di plastica etc.) elettizzata (ossia stofinata con un panno di lana) attia dei pezzetti di paglia (o di cata, etc.). [isolanti o dielettici]! Tale fenomeno non si osseva se si utilizza una baetta di alluminio (o di ame, etc,). [conduttoi]! Due baette identiche (dello stesso mateiale ed elettizzate allo stesso modo) si espingono.! Due baette di mateiali divesi, entambe elettizzate si attaggono o si espingono, a seconda della coppia di mateiali utilizzati.! ` possibile dividee i mateiali che si elettizzano in due categoie:! veto e tutti i mateiali che si compotano come il veto (eletticità vetosa o positiva )! amba e tutti imateiali che si compotano come l amba (eletticità esinosa o negativa )! Il panno utilizzato pe elettizzae le baette isulta anch esso elettizzato, ma con eletticità di tipo opposto. Nota stoica: Fin dal 6 a.c. i geci sapevano che stofinando un pezzo di amba (in geco ελεκτρον) esso attae dei pezzetti di paglia. --- queste note sono epeibili sul sito e basi dell elettostatica S. Isolanti e conduttoi Ciascun atomo o molecola possiede sia caiche elettiche positive (potoni) che caiche elettiche negative (elettoni), anche se di solito la caica totale è nulla (eletticamente neuto). ame, feo, etc. (conduttoi) plastica, legno, etc. (isolanti o dielettici) Conduttoi: Una pate delle caiche pesenti (gli elettoni di conduzione) sono libee di muovesi all inteno del mateiale. Isolanti: e caiche elettiche non possono muovesi dal punto in cui sono state podotte. Nota: I semiconduttoi ed i supeconduttoi sono mateiali che, in deteminate situazioni, hanno un compotano notevolmente diveso tanto dai conduttoi quanto dagli isolanti. --- queste note sono epeibili sul sito ---

10 e basi dell elettostatica S. Stumenti di misua in elettostatica lettoscopio di M. Melloni ( ) [Museo del Dipatimento di Scienze Fisiche Univesità Fedeico II di Napoli] lettoscopio a foglie, elettofoo di Volta, bottiglie di eyda [Museo del Dipatimento di Scienze Fisiche Univesità Fedeico II di Napoli] Pincipio di funzionamento dell elettoscopio a foglie Schematizzazione con caiche puntifomi foza elettostatica ϑ foza elettostatica foza peso F e m ϑ m q/ q/ F p F p F e --- queste note sono epeibili sul sito e basi dell elettostatica a caica elettica S.4! Misue quantitative effettuate con l ausilio di stumenti quali l elettoscopio, la bilancia di tosione di Coulomb, l appaato pe l espeimento di Millican della goccia d olio pemettono di definie una nuova gandezza fisica:! Caica elettica:! Unità di misua (S.I.):! nome: coulomb ampee pe secondo! simbolo: C A s! dimensioni: [ T I ] tempo pe coente elettica! Vi sono due tipi di caiche:! positiva ( + o vetosa )! negativa ( o esinosa )! a caica elettica è quantizzata! il quanto di caica vale e.6-9 C! Densità di caica elettica:! di linea λ dq/dl C m - [ - T I ]! di supeficie σ dq/ds C m - [ - T I ]! di volume ρ dq/dτ C m - [ - T I ] Nota: Come si vedà nel seguito l ampee, coulomb al secondo [C/s], è l unità di misua della coente elettica. --- queste note sono epeibili sul sito ---

11 S.5 e leggi fondamentali dell elettostatica! egge di Coulomb! a foza elettostatica esecitata sulla caica puntifome q dalla caica puntifome q vale: F k e ( ) m/f (m/fnm /C ) k q q e $ ε F/m [ε ] [ - M - T 4 I ]! è il vettoe che va dal punto in cui si tova la caica q (sogente) al punto in cui si tova la caica q! k e ( ) - è una costante (Nota: ε è detta costante dielettica del vuoto)! Pincipio di sovapposizione! e basi dell elettostatica (elettostatica caiche feme) caiche, petanto la foza esecitata sulla caica q dalle caiche q... q N è: F F + F + + F N (somma vettoiale!)! Consevazione della caica! In un sistema isolato la caica totale (somma algebica) esta costante. Nota: Come si vedà nel seguito (applicando il teoema di Gauss) una sfea unifomemente caica si compota, al suo esteno, come una caica puntifome. --- queste note sono epeibili sul sito e basi dell elettostatica S.6 a legge di Coulomb egge di Coulomb (senza utilizzane la notazione vettoiale)! a foza elettostatica che si esecita ta le caiche puntifomi q e q, feme, poste a distanza ta loo, ha modulo F k q q e dove 9 k e Nm C -! e due foze costituiscono una coppia, di baccio nullo, e sono diette lungo la etta congiungente le due caiche.! Se le due caiche sono del medesimo tipo (+,+ o, ) le foze sono epulsive, ossia tendono ad allontanae le due caiche; se le due caiche sono di tipo diveso (+, o,+) le foze sono attattive, ossia tendono ad avvicinae le due caiche. egge di Coulomb (in notazione vettoiale)! a foza che agisce sulla caica q posta nel punto individuato dal vettoe, podotta dalla caica q posta nel punto individuato dal vettoe, è data da: F k q q $ e dove 9 k e Nm C - Alte espessioni della legge di Coulomb F k q q $ F q q $ e q q q q F F --- queste note sono epeibili sul sito ---

12 sempi ed applicazioni Foza ta caiche puntifomi (/) S.7 Date te caiche puntifomi identiche (+Q) poste ai vetici di un tiangolo equilateo di lato deteminae la foza elettica che agisce su ciascuna caica. P O P y +Q / / +Q h α F +Q α x α P F F F F F x x y y F x Q F Q F cosα F ( non necassaio) Q F y Q h + cosα h sinα F Q ϑ --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Foza ta caiche puntifomi (/) S.8 F y Q Q F F F F x Fy F α P O F +Q / h α F +Q Q F cosα F F y sinα x x F x Q F y F Q $ i Q Q +Q / P Q F $ Q i+ $ j F P ϑ h cosα sinα Nota: Q F $ Q i $ j F F F Q ϑ ϑ + ϑ --- queste note sono epeibili sul sito ---

13 sempi ed applicazioni avoo pe spostae una caica (/4) S.9 Date te caiche puntifomi positive, +Q, poste ai vetici di un tiangolo equilateo di lato deteminae il lavoo pe potae una delle caiche al cento del tiangolo. P O P y +Q / C / +Q +Q P x Pocedimento egge di Coulomb Pincipio di Sovapposizione Foza elettostatica che agisce sulla caica Foza da applicae alla caica Fe ( x) Q x( 4 + x ) $ i Definizione di lavoo compiuto da una foza avoo compiuto dalla foza x ( 4 ) e Q x + x dx x 6 Dati Q 5. µc cm isultato e Q 47. J --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni avoo pe spostae una caica (/4) S. I) Calcolo della foza estena da applicae alla caica Q F F y Q F P +Q x Fx F cosα + / F F y Fy +Q x O x α F F Q F x F x + F x + x e / P F + F y F y F y P +Q Q Fex F x x x cosα + x Fey F y 4 Fe x Q x x ( + 4 ) x $ i --- queste note sono epeibili sul sito ---

14 sempi ed applicazioni avoo pe spostae una caica (/4) S. II) Calcolo del lavoo compiuto dalla foza estena Fe x Q x x ( + 4 ) y h O C dl +Q x F e P P x l $ i d F dl F dl cos F dl e e e e C C e Fe dl Q x( + x ) dl 4 P P C P P ( d 4 ) Q x + x x ( 4 ) Q x + x dx C l h x dl dx OP h OC h CP h 6 x ( 4 ) e Q x + x dx x queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni avoo pe spostae una caica (4/4) S. III) Calcolo dell integale x ( 4 ) e Q x + x dx x 6 du xdx u + x x u 4 6 x u a u u du a + ( a ) a+ x x 6 ( + 4 ) x x dx u u u du u u u u u u isultato IV) Veifica dimens. e calcoli numeici isultato numeico e Q ( C) Nm e C 9 6. m 467 Nm. 467 J e 47. J --- queste note sono epeibili sul sito ---

15 TTOSTATICA Il campo elettico S! Definizione! Caiche puntifomi! Distibuzioni abitaie di caiche! inee di campo! Foza su di una caica puntifome! Foza su di una distibuzione di caiche! sempi ed applicazioni --- queste note sono epeibili sul sito Il campo elettico iepilogo S.! Definizioni! Campo elettico! inee di campo (o linee di foza)! Campo elettico podotto da! una caica puntifome! una distibuzione disceta di caiche! una distibuzione continua di caiche! Foza podotta dal campo elettico! una caica puntifome! una distibuzione di caiche! secizi! Due caiche puntifomi opposte! Filo ettilineo infinito caico! Anello caico! Foza ta una caica puntifome ed un anello! Moto di una caica in campo unifome! Gandezze già definite in Meccanica! Foze intene ed estene! Tezo pincipio della dinamica! Foza isultante e momento isultante! MNV Cap.: Foza elettostatica. Campo elettostatico.! Pa..4: Campo elettostatico.! Pa..5: Campo elettostatico podotto da una distibuzione continua di caiche.! Pa..6: inee di foza del campo elettottico.! Pa..7: Moto di una caica in un campo elettostatico. --- queste note sono epeibili sul sito ---

16 Il campo elettico S. Definizione F q inteazione a distanza: caica Q caica q πε 4 Qq $ P P dipende da Q dipende da q caica Q campo elettico caica q Fq dipende da Q Q( P) q non dipende da q F q ( P) q Q a foza è un vettoe applicato nel punto in cui si tova la caica F P q Q Q P q P Nota: la caica di pova q deve essee tale da non alteae la distibuzione delle caiche che geneano il campo elettico che si vuol misuae Il campo elettico è una funzione vettoiale definita, salvo poche eccezioni, in tutti i punti dello spazio Definizione Dimensioni Unità di misua [ M T - I ] N/C V/m Pincipio di sovapposizione Q F P lim --- queste note sono epeibili sul sito q q q ( P) ( P) + ( P) + + ( P) N Il campo elettico S. Caiche puntifomi Una caica puntifome nell oigine q $ q q P Una caica puntifome nel punto individuato dal vettoe ( x, y, z ) P 4 πε q q P i Distibuzione abitaia di caiche puntifomi N q i i i i i q i --- queste note sono epeibili sul sito ---

17 Il campo elettico S. Distibuzioni abitaie di caiche λ( ) σ( ) ρ( ) Ccaiche Scaiche Vcaiche d l d σ d τ P dτ V caiche x y z ( x, y, z) ( x, y, z) ( x, y, z) Vcaiche Vcaiche Vcaiche ρ( x, y, z )( x x ) [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ] ρ( x, y, z )( y y ) [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ] ρ( x, y, z )( z z ) [( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ] dx dy dz dx dy dz dx dy dz --- queste note sono epeibili sul sito Il campo elettico e linee di campo (o linee di foza ): S.4 inee di campo! sono in ogni punto tangenti al vettoe campo elettico! si disegnano in modo che la loo densità sia popozionale al modulo del campo elettico inee di campo di due caiche elettiche puntifomi dello stesso segno o di segno opposto. --- queste note sono epeibili sul sito ---

18 Il campo elettico S.5 Foza su di una caica puntifome q F q q q i i Q i sogenti Q i i i ( P) ( ) ( P) ( P) + + ( P) N N Qi i i i ( ) i P ( P) q i i Q i sogenti qqi Fqi i F F + + F q q qn N q Qi i i ( ) i ( ) i F q q ( P) N q Qi i i ( ) Nota: è definito in tutto lo spazio i ( P) P q F q q --- queste note sono epeibili sul sito Il campo elettico S.6 Foza su di una distibuzione di caiche q q sogente i i q Q i Fi q ( P ) ( q ) M q ( PN ) ( N q) N q q q q sogente i i q P i P i Fi qqi F F + + F q N q i i N i q Qi ( i q) q ( i q) F Q i i i F F + + F q qqi ( P ) ( i q) N N q i i Qi q i q ( i q) P i P i F i i --- queste note sono epeibili sul sito ---

19 sempi ed applicazioni Due caiche puntifomi opposte S.7 Date due caiche puntifomi opposte: +q in (,,a/) e -q in (,,-a/) deteminae il campo elettico in un punto P (x,,) dell asse x. O z +q a/ -q x z Pe agioni di simmetia nei punti dell asse x il campo è paallelo all asse z α α x P α x z a sinα x + a 4 x x x z z ( non necassaio) q sinα ( x) q qa ( x + a 4 ) πε 4 qa ( x + a 4 ) qa k$ --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Filo ettilineo infinito caico S.8 Data una distibuzione di caiche lineae unifome λ su di un filo infinito ( >> ; >> z P ) deteminae il campo elettico in un punto P posto a distanza dal filo. λ d z Pe agioni di simmetia d l il campo è adiale d ( non necassaio) O z dqλdz α l dqλdz d P d d d λ d z λ cos α cos α d α l α π l cosα πε λ $ dα z tgα d z cos α λ d cosαdα α π π π --- queste note sono epeibili sul sito λ

20 sempi ed applicazioni Anello caico S.9 Data una distibuzione di caiche lineae unifome λ su di un anello di aggio deteminae il campo elettico in un punto P posto sull asse a distanza z dal cento. x λ d z d z P z α O ϑ Pe agioni di simmetia, nei punti dell asse z il campo è paallelo all asse z medesimo y dq λdl d q d d q z d z d cosα z ( z + ) ( z) λd l ε λ z k$ ( z + ) --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Foza ta una caica puntifome ed un anello (/) S. Si detemini la foza che si esecita ta una caica q distibuzita in maniea unifome su di un anello di aggio ed una caica puntifome q posta sull asse a distanza dal cento. a) Calcoliamo la foza che l anello esecita sulla caica puntifome x λ z F caica puntif. q α O ϑ y Utilizziamo l espessione del campo elettico icavata nel pecedente esempio q λ π λz qz () z k$ k$ ε ( z + ) ( z + ) q q k$ k$ F caica puntif. q ( + ) v F caica puntif. q k$ --- queste note sono epeibili sul sito ---

21 sempi ed applicazioni Foza ta una caica puntifome ed un anello (/) S. Si detemini la foza che si esecita ta una caica q distibuzita in maniea unifome su di un anello di aggio ed una caica puntifome q posta sull asse a distanza dal cento. b) Calcoliamo la foza che la caica puntifome esecita sull anello λ q π x Pe agioni di simmetia F anello ha la diezione dell asse z z k q q q k q l e e d λ d dϑ π q x non necassaio d Fx ( non necassaio) α y ( non necassaio) d Fy ( non necassaio) q k q z cosα e dfz dq z ke dϑ 4 π y O Fx ϑ dq λdl Fy ϑ π F d F v anello F q Nota: Fz d Fz ϑ anello k $ v v Fanello F caica puntif. --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Moto di una caica in campo unifome S. Descivee il moto di un punto mateiale (caica elettica q, massa m), lanciata dall oigine con velocita v (v x,v y,), in una egione di spazio in cui è pesente un campo elettostatico unifome (,,). O z d m v d t d m v d t d m v d t x y z v -q F v vx() t vx xt () vxt vy () t yt () q q v () t v () m t q zt v t m t z z z x d F m v x x F t x d d v d F q F F m F m v y y x d t F q d t z d F m v z x d t --- queste note sono epeibili sul sito q () t ( v t) $ i v t k m t x + z $ ( x z ) q v $ i+ v k$ t + k m t $ ( t) v t q m t

22 TTOSTATICA Il Teoema di Gauss S! nunciato! Dimostazione! Fomulazione integale e diffeenziale! Alcune consideazioni! sempi ed applicazioni --- queste note sono epeibili sul sito Il Teoema di Gauss iepilogo S.! Definizioni! Aea (vettoe)! Flusso di un campo vettoiale! nunciato e Dimostazione! Teoema di Gauss! in foma integale! in foma diffeenziale (I equazione di Maxwell)! Impotanti conseguenze! Campo elettico all esteno di una distibuzione di caiche elettiche a simmetia sfeica! Campo elettico allinteno di un guscio sfeico unifomemente caico! secizi! Caica puntifome! Filo ettilineo infinito caico! Stato piano caico! Sfea unifomemente caica! Guscio sfeico caico! Doppio stato piano caico! MNV Cap.: a legge di Gaus.! Pa..: Flusso del campo elettostatico. egge di Gauss.! Pa..: Dimostazione della legge di Gauss.! Pa..: Alcune appplicazioni e conseguenze della legge di Gauss.! Pa..4: a divegenza del campo elettostatico. --- queste note sono epeibili sul sito ---

23 Il Teoema di Gauss nunciato S. Def.: Aea (vettoe) d s n $ d s modulo: aea della supeficie (ds) diezione: otogonale alla supeficie veso: supeficie chiusa: uscente supeficie apeta: deteminato dal veso del bodo Teoema di Gauss Φ Q int ε Il flusso del campo elettico attaveso una supeficie chiusa è uguale alla caica totale contenuta all inteno della supeficie divisa pe la costante dielettica del vuoto ε. Def.: flusso di un vettoe ds θ Teo. di Gauss in foma integale: n $ ds ρdτ ε [ ] v dφ v ds v n$ d s vd scosϑ Φ d Φ v n$ d s S V V S Teo. di Gauss in foma diffeenziale (I equazione di Maxwell): div ρ ε S --- queste note sono epeibili sul sito Il Teoema di Gauss Dimostazione (/) S. q Pemessa $n $ d s n$ ds sup. sfeica d s $ ds angolo solido d q dφ d s $ n$ ds q q ± ds cos ϑ ± ds q q ± dω ± ds Ω dω Il flusso d Φ Ε del campo elettico di una caica puntifome q, attaveso un elemento di supeficie sottesa dall angolo solido dω, è dato da dφ q ± dω angolo ta n$ ed $ segno < π (acuto) + > π (ottuso) Note: dφ Ε non dipende né da né da ds il segno di dφ Ε dipende anche dal segno di q --- queste note sono epeibili sul sito ---

24 Il Teoema di Gauss Dimostazione (/) S. Caica puntifome intena Caica puntifome estena $n $ $n $ q $ $n q ds d Ω ds q dφ ds + dω q q Φ dφ dω Ωtot q ε Ωtot (caica intena) 4π q dφ ds dω q dφ ds + dω Φ d Φ Ωtot (caica estena) --- queste note sono epeibili sul sito Il Teoema di Gauss Fomulazione integale e diffeenziale S.4 Fomulazione integale Fomaulazione diffeenziale q q Φ Q int ε Teoema di Gauss in foma integale q q 4 q 5 q6 sup. chiusa Σ ds ε volume inteno a Σ ρdτ Φ Φ Φ N qi Q Φi + ε ε i caiche caiche intene estene ε q caiche intene volume inteno i (caiche puntifomi) ρd τ (distibuzione continua) ε int Appofondimento volume inteno a Σ divd τ ρd τ ε ρ div ε volume inteno a Σ Teo. della divegenza Pe l abitaietà del volume Teoema di Gauss in foma diffeenziale (I equazione di Maxwell) --- queste note sono epeibili sul sito ---

25 Il Teoema di Gauss Alcune consideazioni (/) S.5 Φ Q int ε Φ Q Q int M int S n$ d s [ V] Q i caiche intene alla supeficie ρd τ volume acchiuso dalla supeficie Una supeficie chiusa è tale da dividee lo spazio in due pati: esteno (che si estende fino all infinito) ed inteno. a supeficie chiusa cui applicae il teoema di Gauss, detta anche supeficie gaussiana, può essee sia la supeficie di un oggetto fisico che una supeficie geometica. Il teoema di Gauss può essee applicato a qualunque supeficie chiusa. Il teoema di Gauss fonisce solo il valoe del flusso del campo elettico (ossia di un integale). Se la supeficie à scelta oppotunamente e si dispone di alte infomazioni è possibile icavae il valoe del campo elettico. --- queste note sono epeibili sul sito Il Teoema di Gauss Alcune consideazioni (/) S.6 Applicando la legge di Coulomb, la definizione di campo elettico ed utilizzando il pincipio di sovapposizione è possibile calcolae il campo elettico geneato da qualunque distibuzione di caiche. egge di Coulomb Def. campo elettico Pincipio di sovapposizione Campo elettico Teoema di Gauss Consideazioni di simmetia Applicando il teoema di Gauss ed utilizzando alcune consideazioni di simmetia è possibile calcolae il campo elettico geneato da alcune distibuzione di caiche. Il teoema di Gauss, da solo, non è equivalente alla legge di Coulomb. --- queste note sono epeibili sul sito ---

26 sempi ed applicazioni Caica puntifome S.7 Deteminae, sfuttando il teoema di Gauss, il campo elettico podotto da una caica puntifome q. Pe agioni di simmetia il campo è: adiale funzione della sola (, ϑϕ, ) $ Φ Q int ε Φ sfea $ n$d s q P $n $ d s ds sfea 4π sfea Q int q 4π q ε q πε 4 q $ --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Filo ettilineo infinito caico S.8 Deteminae, sfuttando il teoema di Gauss, il campo elettico podotto da una distibuzione unifome di caiche λ su di un filo ettilineo infinito ( >> ). Pe agioni di simmetia il campo è: adiale funzione della sola ( z,, ϕ ) $ $n Φ Q int ε () () $ n$ d s + $ n$ d s + $ n$ d Φ base sup. base inf. sup. lat. λ P $n $ Q int () () n () () $ $ ds ds ds sup. lat. sup. lat. sup. lat. πh λh $n πh λh ε πε λ πε λ $ --- queste note sono epeibili sul sito ---

27 sempi ed applicazioni Stato piano caico S.9 Deteminae, sfuttando il teoema di Gauss, il campo elettico podotto da una distibuzione unifome di caiche σ su di un piano infinito (,, >> ). Pe agioni di simmetia il campo è: otogonale al piano funzione della sola x ( xyz,, ) ± x( x) $ i Φ Q int ε σ P x $ i x( x) s x( x) s x( x) $ i n$ d + $ i n$ d + $ i n$ Φ base base sup. lat. Q int x i n x x x $ $ ds x ds x ds base base base x x π σπ π x( x) x x σπ ε σ ε ± σ $ i ε --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Sfea unifomemente caica S. Deteminae, sfuttando il teoema di Gauss, il campo elettico podotto da una caica q distibuita unifomemente in una sfea di aggio Pe agioni di simmetia il campo è: adiale funzione della sola (, ϑϕ, ) $ ρ ρ P $n P $ $n $ $ $ d d d Φ n s s s 4π sfea q q $ $ > < sfea Φ Q int ε q q > : Qint q 4π ε Q q q q < : int 4π ε --- queste note sono epeibili sul sito sfea Il campo elettico all esteno di una distibuzione sfeica di caiche elettiche è lo stesso che si avebbe se tutta la caica fosse posta, come una caica puntifome, al cento della distibuzione stessa.

28 sempi ed applicazioni Guscio sfeico caico S. Deteminae, sfuttando il teoema di Gauss, il campo elettico podotto da una caica q distibuita unifomemente in un guscio sfeico di aggio Pe agioni di simmetia il campo è: adiale funzione della sola (, ϑϕ, ) $ Φ Q int ε σ $ $ d d d Φ n s s s 4π sfea sfea sfea P $n $ q q > : Qint q () 4π () ε () π () < : Q 4 int σ P $n $ q $ > < Il campo elettico all inteno di un guscio sfeico caico unifomemente è nullo. --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni S. Doppio stato piano caico Deteminae il campo elettico podotto dalla seguente distibuzione di caiche: una densità di caica di supeficie unifome +σ sul piano x d/, una densità di caica di supeficie unifome σ sul piano x+d/. Pe agioni di simmetia il campo è: otogonale al piano funzione della sola x ( xyz,, ) ± x( x) $ i Utilizzando i isultati di un esecizio pecedente, ed +σ y applicando il pincipio di sovapposizione: +σ $ + i ε ++σ $ + i ε ++σ $ + i ε ( x) ( x) + ( x) + σ $ i ε σ ε $ i σ $ i ε σ x + σ $ i ε ( x) σε $ i pe pe pe d x < d d < x <+ d x >+ --- queste note sono epeibili sul sito ---

29 TTOSTATICA Il potenziale elettostatico S! Consevatività del campo elettostatico! Definizione di potenziale! Distibuzione abitaia di caiche! Campo elettostatico dal potenziale! Supefici equipotenziali! Popietà in foma locale! sempi ed applicazioni --- queste note sono epeibili sul sito Il potenziale elettostatico iepilogo S 4.! Definizioni! Potenziale elettostatico! Supefici equipotenziali! Dimostazioni! Il campo elettostatico è consevativo! Campo elettico dal potenziale! Impotanti conseguenze! Campo elettico all esteno di una distibuzione di caiche elettiche a simmetia sfeica! Campo elettico allinteno di un guscio sfeico unifomemente caico! secizi! Sfea unifomemente caica! Anello caico! aetta caica unifomemente! avoo pe spostae una caica! Caica attatta da un anello! Concetti già definiti in meccanica! Foza consevativa! negia potenziale! Consevazione dell enegia! MNV Cap.: avoo elettico. Potenziale elettostatico.! Pa..: avoo della foza elettica. Tensione, potenziale.! Pa..: Calcolo del potenziale elettostatico.! Pa..4: Il campo come gadiente del potenziale.! Pa..5: Supefici equipotenziali.! Pa..6: Il otoe del campo elettostatico. --- queste note sono epeibili sul sito ---

30 Il potenziale elettostatico S 4. Consevatività del campo elettostatico d l d Q A q d F dl q dl qdlcosϑ qd d l d qq A d q() d qq A A A A d una caica puntifome a foza di Coulomb è consevativa poiché il lavoo pe potae una caica q da un punto A ad un punto dipende dalle posizioni di A e di ma non dalla taiettoia seguita. Se A e coincidono, quindi la cicuitazione del campo elettostatico è nulla dl Si dimosta che, in conseguenza di ciò (II equazione di Maxwell): y ot z z x x y z y x z y x il campo elettostatico è consevativo è possibile definie l enegia potenziale --- queste note sono epeibili sul sito Il potenziale elettostatico S 4. Definizione di potenziale negia potenziale P P U P F dl q dl A (e) A Ω F dl F dl + F dl ( A) U U U A A F dl F dl U A ΩP Ω A Ω A Ω A J N m [ M T - ] joule Potenziale V P [ ( A) ] V J/C [ M T - I - ] volt P P ΩP U P q q F dl dl q Ω A F dl q dl q dl + dl A qv V q V A (e) q dl q dl q V A A A Ω Ω A A A Ω Note: data l abitaietà di Ω il potenziale è definito a meno di una costante additiva la d.d.p. ta due punti, V A V() V(A), è indipendente dalla scelta di Ω come pe il campo, anche pe il potenziale vale il pincipio di sovapposizione --- queste note sono epeibili sul sito ---

31 Il potenziale elettostatico Distibuzione abitaia di caiche S 4. Caica puntifome nell oigine Caica puntifome in V ( P) ΩP Q q P Ω Ω in Ω Q V Ω all infinito Q 4 πε V P Ω all infinito dτ V caiche V V V V Distibuzione abitaia di caiche N Qi i i λ( ) d l Ccaiche Scaiche Vcaiche σ( ) d s ρ( ) d τ Ω all infinito --- queste note sono epeibili sul sito Il potenziale elettostatico Campo elettostatico dal potenziale S 4.4 P dl d,, d l ( x ) P dl d,d,d ( x, y, z) ( lx ly lz) dv xdx dv V x+ d x, y, z V x, y, z ( + d,, ) (,, ) V x x y z V x y z x d x V d l (,d y, ) y y V d l (,,dz) z z x V A V x d l dv d l A dv dl dl dl x x y y z z dv V V dv V + d V ( P ) ( P) ( l) dv V x+ d x, y+ d y, z+ d z V x, y, z V x V y V,,, z V V V $ i $ j k$ x y z x y z V V V,, x y z --- queste note sono epeibili sul sito ---

32 Il potenziale elettostatico Supefici equipotenziali S 4.5! Supefici equipotenziali:! luogo dei punti in cui il potenziale ha lo stesso valoe! Nota: in alcune situazioni il potenziale puo essee costante all inteno di un ceto volume (es.: conduttoi, guscio sfeico unifomemente caico)! Ossevazione:! in ogni punto le linee di campo sono pependicolai alle supefici equipotenziali dv dv d d lcos α 9 l α Due caiche puntifomi di segno opposto: linee di campo (continue) e supefici equipotenziali (tatteggiate). --- queste note sono epeibili sul sito Il potenziale elettostatico S 4.6 Popietà in foma locale teoema di Stokes Σ ot n$ d s d l ot il campo elettostatico è consevativo γ def. di otoe z y x z y x y z z x x y il campo elettostatico è iotazionale (II eq. di Maxwell) z y x z y x y z z x x y le deivate incociate sono uguali Appofondimento V x V y V,,, z x y z def. di gadiente V V V,, x y z gadv div ρε ( gadv ) div ρε ρ V ε Teoema di Gauss quazione di Poisson (eq. di aplace se ρ) V V V ρ + + x y z ε --- queste note sono epeibili sul sito ---

33 sempi ed applicazioni Sfea unifomemente caica S 4.7 V P q $ > q $ < >, Ω posto all'infinito: P P P q q q d l d Ω <, Ω posto all'infinito: P Sfea unifomemente caica V ( P) Q P Q P > < Ω all infinito V P P P q q d l d d Ω P q q q q q P P V ( P) Q > P Q P < Ω nell oigine --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Anello caico (/) S 4.8 Data una distibuzione di caiche lineae unifome λ su di un anello di aggio deteminae il potenziale elettostatico ed il campo elettico in un geneico punto P posto sull asse (a distanza z dal cento). z dv dq λdl z + V( z) ε λ z + dv(z) P z α λ O ϑ x y dq λdl z Pe agioni di simmetia, nei punti dell asse z il campo è paallelo all asse z medesimo ( z + ) V z + z ε λ d d z z z + ε λ ε λz ( z) ε λ z k$ ( z + ) --- queste note sono epeibili sul sito ---

34 sempi ed applicazioni Anello caico (/) S 4.9 Data una distibuzione di caiche lineae unifome λ su di un anello di aggio geneico punto P posto sull asse (a distanza z dal cento). z ( z) ε λ z k$ ( z + ) x λ P z α O ϑ y dq λdl Assumendo lo zeo del potenziale all infinito: P z V Ω λ P d l k$ ( d zk $ ) ε z + Ω ( z + ) λ zd z λ u d u ε ε z P zp + λu ε P zp + V( z) ε λ z queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni aetta caica unifomemente S 4. Deteminae il potenziale elettostatico V(P) podotto da una baetta di lunghezza, unifomemente caica con densità lineae di caica λ, in un punto P posto a distanza dall estemità della baetta stessa. Nota: Si assuma lo zeo del potenziale all infinito. P A Applicando il pincipio di sovapposizione pe il potenziale: dv V ( P) ( P) dq dv A λ d λ d λ λ ln ln ln ( ) dqλd --- queste note sono epeibili sul sito V ( P ) λ πε 4 ln

35 sempi ed applicazioni avoo pe spostae una caica S 4. Date te caiche puntifomi positive, +Q, poste ai vetici di un tiangolo equilateo di lato deteminae il lavoo pe potae una delle caiche al cento del tiangolo. P P +Q C +Q +Q P V V V ( P ) ( P ) ( P ) Q Q Q P P +Q / C +Q / +Q P V V V ( C) ( C) ( C) Q Q Q configuazione iniziale configuazione finale QV ( Q Q V) e Q C P e Q --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Caica attatta da un anello S 4. Sono dati una distibuzione di caiche lineae unifome +λ su di un anello di aggio ed un punto mateiale avente massa m e caica Q inizialmente femo in P (sull asse dell anello, a distanza dal cento): Si detemini la velocità con cui la caica puntifome, lasciata libea di muovesi, aggiunge il cento O dell anello. z Q P α λ y O ϑ x dq λdl λdϑ + V V Assumendo lo zeo del potenziale all infinito: ( P) ( O) ε ε λ z + λ z + λ ε ε λ V( O) V( P) ε Applicando il pincipio di consevazione dell enegia: ( P) + ( O) + U K U K ( P) ( O) QV QV + mv Q v m V P [ ( O) V ( P) ] O v Q m λ λ ε --- queste note sono epeibili sul sito ---

36 TTOSTATICA Il dipolo elettico S! Due caiche puntifomi opposte! Appossimazione di dipolo! Sviluppo in multipoli! Distibuzioni a caica totale nulla! Dipolo in un campo esteno: enegia, momento! Dipolo in un campo esteno: foza! sempi ed applicazioni --- queste note sono epeibili sul sito Il campo elettico iepilogo S 5.! Definizioni! Dipolo elettico (caiche puntifomi)! Dipolo elettico (distibuzioni a caica totale nulla)! Momento di dipolo! ffetti podotti dal dipolo! potenziale elettostatico! campo elettico! Azioni su di un dipolo! enegia potenziale! momento meccanico! foza! secizi! Caiche puntifomi! Potenziale di dipolo! Appossimazione di dipolo! Distibuzioni miste! avoo pe spostae un dipolo! MNV Cap.: avoo elettico. Potenziale elettostatico.! Pa..7: Il dipolo elettico.! Pa..8: a foza su un dipolo elettico. --- queste note sono epeibili sul sito ---

37 Il dipolo elettico Due caiche puntifomi opposte S 5. θ + P Def.: Dipolo a) due caiche puntifomi di segno opposto, uguali in modulo, poste a distanza piccola ispetto ispetto alle alte distanze. +q δ -q δ<< Def.: Momento di dipolo a) p qδ + q q q P + V V pcos θ p $ appossimazione di dipolo δ << + + δcosθ --- queste note sono epeibili sul sito Il dipolo elettico Appossimazione di dipolo S 5. inee di foza di due caiche q e +q inee di foza di un dipolo --- queste note sono epeibili sul sito ---

38 Il dipolo elettico Sviluppo in multipoli S 5. V πε 4 V caiche ρ( ) d τ $ << + + dτ V caiche << P Appofondimento + + ρ d τ $ 4 ρ d τ πε Vcaiche Vcaiche V V Q p $ + + πε 4 Q $ ( p $$ ) p + + p d τ ρ V caiche ( ) ρ Q d τ V caiche Momento di dipolo Caica totale Nota: Si può dimostae che se Q alloa il vettoe p non dipende dalla scelta dell oigine. V gad $ V V i $ V j k$ x y z --- queste note sono epeibili sul sito Il dipolo elettico S 5.4 Distibuzione a caica totale nulla Def.: Dipolo b) una distibuzione di caiche avente caica totale nulla, contenuta in un volume le cui dimensioni lineai sono piccole ispetto alle alte distanze. Def.: Momento di dipolo b) p q p ρ i i i Vcaiche d τ P << dτ Appofondimento Si dimosta che: " Se Q alloa p non dipende dalla scelta dell oigine. " Si può calcolae p con il metodo dei baicenti Q + e Q - delle caiche positive e negative. " Il potenziale, in punti lontani dal dipolo, ha la stessa espessione calcolata pe la coppia di caiche (+q, q). " o stesso vale pe il campo elettico, calcolato tamite la elazione V gad $ V V i $ V j k$ x y z V pcos θ p $ ( p $$ ) p V caiche --- queste note sono epeibili sul sito ---

39 Il dipolo elettico Dipolo in un campo esteno: enegia, momento S 5.5 enegia + -q δ p +q -q F p F + momento +q + Ω Campo unifome p qv + + qv ( ) ( ) [ ( δ) V( ) ] ( δ) qv + q p + p p M F + F p + + ( polo nell'oigine) ( q) + + ( + q) q( + ) qδ M p p --- queste note sono epeibili sul sito Il dipolo elettico Dipolo in un campo esteno: foza S 5.6 Appofondimento +q p -q F + F + + ( δ) z y y z M y x x y + Campo non unifome ( ) δ δ δ x y z x y y F + + p ( q) ( q) [ ( δ) ( ) ] q + q x + y + z x δ y δ y δ px + py + pz x y y x y x x px + py + + x y z px + py + pz $ i+ $ j+ k$ x x x p $ p + $ p i j + k $ x y z F p z x $ i+ $ j+ k$ z p p p p gad qδ qδ qδ ( p) Nota: F p se cost x y z x y z --- queste note sono epeibili sul sito ---

40 sempi ed applicazioni Caiche puntifomi (/) S 5.7 Deteminae il momento di dipolo p di una distibuzione costituita dalle seguenti caiche puntifomi: Q in P ( /, /), +Q in P ( /,+/) e Q in P ( +/,+/). +Q / P / / y / Q P x Metodo : (definizione di dipolo) p i j k + + q q x $ i i i i qiy $ i qizi $ p x i i i i ( Q) + ( + Q) ( Q) + + Q P Q +Q +Q Q δ δ y Q x p y ( Q) + ( + Q) + ( Q) Metodo : (scomposizione in coppie di caiche puntifomi) p Qδ Q$ j p Qδ Q$ i p p + p Q$ i+ Q$ j Q p Q$ i+ Q$ j --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Caiche puntifomi (/) S 5.8 Deteminae il momento di dipolo p di una distibuzione costituita dalle seguenti caiche puntifomi: Q in P ( /, /), +Q in P ( /,+/) e Q in P ( +/,+/). +Q / P / / P Q Q + +Q δ y / y Q P x x Q Q Metodo : ( baicenti delle caiche positive e negative) Q + Q in + + Q Q in δ Q $ i+ Q $ j Q Q Q Q p + δ + $ i+ $ j Q$ i+ Q$ j p Q$ i+ Q$ j --- queste note sono epeibili sul sito ---

41 sempi ed applicazioni Potenziale di un dipolo S 5.9 Date due caiche puntifomi opposte: +q in (+a,,+a) e q in ( a,, a) deteminae il valoe del potenziale elettico nel punto P (a,,). q a a O z p a ϑ a +q a P x Poiché a>>a possiamo consideae la coppia di caiche come un dipolo p aq$ i+ aqk$ p aq, ϑ π 4 posto nell oigine. p $ pcosθ V ( P) aq cos ( a) aq a ( π 4) q 5a q P 5a V --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni Appossimazione di dipolo S 5. Date due caiche puntifomi opposte: +q in (+a,,+a) e q in ( a,, a). Valutae l eoe elativo che si commette utilizzando l appossimazione di dipolo pe calcolae il valoe del potenziale elettico nel punto P (,,) con a. q a a V d a O a z a. 5k q a V k q a +q VV % e e a k e a V d P x. k q a V. 9999k q a VV.5.5% Con l appossimazione di V dipolo (v. esecizio pec.): e e V q P k. k q 5a a d e e a+ a + a a a a + a 8 a q + q P k + k k V V ke 8 q a e e e Vd V V. 54 q a.9896 k q e a V V 5%. --- queste note sono epeibili sul sito ---

42 sempi ed applicazioni Distibuzioni miste S 5. Una distibuzione di caiche è costituita da una caica puntifome positiva +q in (/,) e due caiche negative q distibuite unifomemente su due baette di lunghezza, disposte come in figua. Deteminae il momento di dipolo p della distibuzione di caiche. O y y +Q +Q Q / Q Q x Q x / O / O /4 y +Q δ Q /4 / x O y p x δ (, ) 4 4 p Qδ Q Q (, ) 4 4 p ( Q, Q) --- queste note sono epeibili sul sito sempi ed applicazioni S 5. avoo pe spostae un dipolo Deteminae il lavoo che è necessaio compiee pe spostae, senza uotae, il dipolo p, in pesenza della caica Q, lungo il pecoso A indicato in figua. y p (, p) A Q Ax A cos45 Q p A Q Ay A sin45 x Q +Q x cos45 Q Q y sin45 p ( p + p ) pa A Ax x Ay y p ( p + p ) p x x y y Q Q p p p pa Q p --- queste note sono epeibili sul sito ---

43 TTOSTATICA Caatteistiche dei conduttoi S! Definizione e popietà! Campo in possimità della supeficie! Conduttoe in pesenza di caiche! Conduttoe cavo, schemo elettostatico! Induzione elettostatica, induzione completa! Pessione elettostatica! sempi ed applicazioni --- queste note sono epeibili sul sito Caatteistiche dei conduttoi iepilogo S 6.! Definizioni! Conduttoe (elettico)! Induzione elettostatica! Induzione completa! Pessione elettostatica! Popietà dei conduttoi (in condizioni di equilibio elettico)! campo e potenziale all inteno! campo in possimità della supeficie! pessione elettostatica! schemo elettostatico! secizi! Foza su di un elettone! Sfea metallica caica! Sfea metallica caicata con una d.d.p.! a Tea come conduttoe! Conduttoi collegati! Messa a Tea! MNV Cap.4: Conduttoi. Dielettici. negia elettotatica.! Pa.4.: Conduttoi in equilibio.! Pa.4.: Conduttoe cavo. Schemo elettostatico. --- queste note sono epeibili sul sito ---

44 Caatteistiche dei conduttoi Definizione e popietà S 6.!Conduttoe: un mateiale al cui inteno le caiche elettiche possono muovesi libeamente.! Vi sono, all inteno di un conduttoe, un ceto numeo di caiche ( elettoni di conduzione) che, finché estano all inteno del conduttoe, possono consideasi soggette alle sole foze elettiche. alcuni fatti speimentali conduttoi (ame, feo, etc.) In condizioni di equilibio elettostatico:! in tutti i punti all inteno di un conduttoe:! il potenziale elettostatico assume lo stesso valoe (è unifome all inteno del conduttoe)! il campo elettico è nullo! la densità di caica (macoscopica) è nulla! ne segue che:! vi possono essee caiche solo sulle supefici dei conduttoi! è possibile fissae solo la caica totale di un conduttoe, non il modo in cui le caiche si distibuiscono sulla sua supefie --- queste note sono epeibili sul sito Caatteistiche dei conduttoi Campo in possimità della supeficie S 6. $t $d t l γ + l () i () ( $ i e t $ e t ) ( e) ( e) $ t t Se fosse t le caiche (elettoni di conduzione) si muoveebbeo sulla supeficie del conduttoe. $n Σ n $ d s σ s + s ε () i () i ( e) ( e) ( n$ n$ ) σ σ n$ n ε ε ( e) ( e) V ρ d τ ε Anche se n le caiche (elettoni di conduzione) non possono attavesae la supeficie del conduttoe. In possimità della supeficie di un conduttoe il campo elettostatico vale: σ n$ ε --- queste note sono epeibili sul sito ---

45 Caatteistiche dei conduttoi Conduttoe in pesenza di caiche S 6. +q Σ e σ Ω e +σ q Conduttoe in pesenza di caiche "Il campo all inteno del conduttoe deve essee nullo la pesenza di caiche estene al conduttoe altea la distibuzione di caiche sulla sua supeficie "a caica si conseva la pesenza di caiche estene al conduttoe non può alteae la caica totale pesente sulla supeficie del conduttoe In condizioni di equilibio elettostatico: " caiche elettiche poste all esteno di un conduttoe alteano la distibuzione delle caiche sulla sua supeficie senza modificae il valoe della caica totale " è possibile fissae la caica totale pesente su di un conduttoe, non la sua distibuzione, che è deteminata anche dalla pesenza di caiche all esteno del conduttoe --- queste note sono epeibili sul sito Caatteistiche dei conduttoi Conduttoe cavo, schemo elettostatico S 6.4 Σ e +q σ Ω i Σi Ω e +σ q Σ e Ω Q+q e Σ i q q Ω i -q q q Conduttoe cavo, senza caiche nella cavità "Teoema di Gauss la caica totale sulla supeficie intena Σ i deve esse nulla "Il campo elettostatico è consevativo la densità di caica deve essee ovunque nulla sulla supeficie intena Σ i Conduttoe cavo, con caiche nella cavità "Teoema di Gauss la caica che si distibuisce sulla supeficie intena Σ i è esattamente opposta alla caica contenuta nella cavità "a caica si conseva la caica posta all inteno della cavità si aggiunge alla caica posta sulla supeficie estena In condizioni di equilibio elettostatico: " lo spazio inteno non è influenzato dalle caiche pesenti nello spazio esteno " lo spazio esteno isente solo della caica totale posta all inteno della cavità --- queste note sono epeibili sul sito ---

46 Caatteistiche dei conduttoi S 6.5 Induzione elettostatica, induzione completa Σ +q q Σ Teoema di Gauss!le distibuzioni di caica sulle supefici dei due conduttoi si influenzano ecipocamente!in paticolae le quantità di caica sulle supefici alle estemità di uno stesso tubo di flusso devono essee uguali in valoe assoluto e di segno opposto # " Induzione completa: tutte le linee di foza che patono da un conduttoe teminano sull alto.! un conduttoe è contenuto all inteno dell alto! i due conduttoi sono a distanza molto piccola e caiche pesenti sulle supefici affacciate dei due conduttoi sono uguali in modulo e di segno opposto " # --- queste note sono epeibili sul sito Caatteistiche dei conduttoi Pessione elettostatica S 6.6 Calcoliamo la foza elettostatica cui sono sottoposte le caiche elettiche pesenti sulla supeficie di un conduttoe. i ( i) Q + Q Q e σ Q Q Q n $ e ( e) σ ε Q + Q Q n$ ε i ( e) ( i) σ Q Q Q n $ ε Q Q $n ( i ) Q ( e ) Q Appofondimento σ σ F QQ Q σ S n$ S n$ ε ε F n$ σ pes S ε e caiche sullla supeficie di un conduttoe sono sottoposte alla pessione elettostatica p es σ ε --- queste note sono epeibili sul sito ---