Concetti fondamentali

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1 Accescimento

2 Concetti fondamentali Una paticella in un campo gavitazionale podotto da una massa puntifome, con una qualsiasi velocita e posizione iniziali (puche V 0 R 0 =0) NON cade sulla massa centale (consevazione dell enegia e del momento angolae) Se il copo centale ha aggio, la massa non cade puche V 0 R 0 >V 0 Se V0 = 0 si ha caduta libea. Enegia gavitazionale peduta : E = GMm 1 1 R 0 Stima E/(mc 2 ) pe: stelle? nane bianche? stelle di neutoni? (esecizio...) Buchi nei = lezioni pecedenti 2

3 Concetti fondamentali Enegia iadiata? - Paticella neuta: E = 0 - Paticella caica (es: elettone)?...esecizio... Poblema fondamentale: Convesione dell enegia gavitazionale in adiazione (= pedita di momento angolae) --> Dischi di accescimento 3

4 Luminosita di Eddington Limite opposto: Luminosita limite Pessione di adiazione: consideiamo accescimento di mateia totalmente ionizzata composta di solo idogeno. Foza esecitata su un elettone da un campo di adiazione centale: F = L c Pe un potone: T 4 R 2 T = cm 2 T m e m p 2 Accoppiamento elettoni-potoni: le foze elettostatiche tascinano i potoni nel moto degli elettoni 4

5 Luminosita di Eddington Nota: Se la mateia non e totalmente ionizzata, o se alti elementi sono pesenti, la sezione d uto efficace e MAGGIORE. La foza esecitata dalla adiazione non puo eccedee la foza gavitazionale. In simmetia sfeica: T L 4 R 2 c < GMm H R 2 L<L E = 4 GMm Hc T = M M Nota: pe il Sole: L L E 5

6 Spetto emesso (appossimato) Assumiamo un emissione al limite di Eddington, e una emissione di adiazione di copo neo. T (K) = (km) M M 1 4 Nana bianca: Stella di neutoni: Buco neo: 3R G = km, M 1M T K M M 10 km, M 1M T 10 7 K km, T M M 1 4 K 6

7 Dischi di accescimento Scopi: - deteminae la stuttua dei dischi di accescimento SOTTILI - deteminae l eventuale emissione di adiazione Dischi SOTTILI: Assunzioni: Mdisc << MS H << 7

8 Dischi di accescimento sottili Equilibio idostatico: p z = GM S sin 2 sin z ; p z p H p H GM S 3 H Assunzione: Moto quasi Kepleiano (tutte le ipotesi vanno veificate a posteioi) v 2 = GM p v 2 H2 2 H c s v Nota: = v = GM R 3 Rotazione diffeenziale 8

9 Dischi di accescimento: viscosita La diffeenza di velocita angolae fa anelli contigui nel disco di accescimento intoduce VISCOSITA fa gli elementi del disco. Modello di disco di accescimento OTTICAMENTE SPESSO, geometicamente sottile: - condizione H << - Consevazione della massa (equazione di continuita ) - Consevazione del momento angolae - Consevazione dell enegia - Disco quasi-kepleiano - Viscosita : taspoto di momento angolae veso l esteno, pedita di enegia gavitazionale, convetita in enegia temica - Equazione di stato, inteazione adiazione-mateia 9

10 Dischi di accescimento: viscosita Foza viscosa pe unita di aea: f xy = v x y + v y x In coodinate cilindiche: f =, = Coefficiente di viscosita dinamica Calcolo del momento sul bodo inteno un anello del disco di spessoe d: G = 2 (2 H) Momento sull anello successivo: G( + d) =G()+ G d 10

11 Dischi di accescimento: stuttua Momento angolae: L =2 2 H v d Equazione di moto dell anello: L t = G d = 2 (2 H) d 2 v t = 3 v v t = 2 3 v, = Coefficiente di viscosita cinematica 11

12 Dischi di accescimento: stuttua Analisi: - La viscosita molecolae dovuta alle inteazioni fa le paticelle fluide e bassa. Numeo di Reynolds=(inezia)/(viscosita ) >> 1 --> Il fluido e in egime tubolento --> La tubolenza induce un nuovo tipo di viscosita che sostituisce quella molecolae, ma e difficile da tattae. Ipotesi (Shakua & Sunyaev 1973): = c s H α: paameto abitaio, < 1. Questa ipotesi ende possibile la tattazione analitica del poblema. Recentemente (Balbus & Haley 1991) e stata poposto un modello pe la geneazione di viscosita tamite campi magnetici associati al disco 12

13 Dischi di accescimento: stuttua Consevazione della massa: ṁ =2 v =costante, = dz Momento angolae tasfeito al aggio ed (+Δ): ṁv =2 3 v (ṁv ) + =(2 3 L =2 d v ) + d (3 v ) Equazione di moto: dg d =2 d d (3 v ) G =2 3 v +C 13

14 Dischi di accescimento: stuttua C = costante di integazione, ottenuta imponendo l uguaglianza fa la velocita di otazione del disco e quella del copo centale a RS (nota: il copo centale potebbe essee piu lento...) Usando la definizione di G, la consevazione della massa, e assumendo velocita Kepleiana all obita intena, si ha: C = 2 ( 3 v ) = 2 [ 3/2 v S (GM) 1/2 ] = S ṁ(gm S S ) 1/2 da cui: = ṁ 3 1 s 1/2 14

15 Dischi di accescimento: stuttua Enegia dissipata in un anello: G = G d d Enegia dissipata pe unita di aea (tenendo conto delle due facce del disco): D() = G 2 2 = 1 2 d d 2 se = K = GM 3 1/2 D() = 9 8 GM 3 D() = 3GM Sṁ S 1/2 15

16 Dischi di accescimento:luminosita L enegia dissipata (enegia temica del disco) viene iadiata. Luminosita emessa fa due aggi 1 ed 2 L( 1, 2 )=2 = 3GMṀ D()2 d = 2 3 S 1 1/ S 2 1/2 1 = S ; 2 = L DISC = GMṁ 2R S = 1 2 L ACC 16

17 Dischi di accescimento:luminosita Analisi della dissipazione all inteno del disco: enegia dissipata fa e +d 2 2 dd() = 3GMṁ s 1/2 d Di questa enegia, una pate: GMṁ 2 2 d e il ilascio di enegia gavitazionale; il esto: GMṁ s 1/2 d e taspotata nell anello di aggio dall inteno del disco 17

18 Dischi di accescimento:luminosita GMṁ s 1/2 d e positivo pe >9S/4, e negativo pe <9S/4. Quindi l enegia ilasciata e MAGGIORE dell enegia gavitazionale peduta in anelli con >9S/4, e MINORE pe quelli inteni. Passo seguente: veifica della autoconsistenza del modello. Si dimosta facilmente che: - se la velocita Kepleiana locale e maggioe della velocita del suono, l ipotesi di disco sottile e veificata - se il disco e sottile, l ipotesi che la velocita locale sia Kepleiana e veificata. 18

19 Dischi di accescimento: spetto Se il disco e otticamente spesso: T 4 () =D() T () = 3GM Sṁ S 1/2 1/4 In pima appossimazione (tascuando l atmosfea del disco): F = 2 cos d 2 Spetto: se se OUT IN I d ; I = << kt( OUT ) h >> kt( IN) h F F 2h 3 c 2 (e h /kt () 1) 2 3 e h /kt (Rayleigh-Jeans) (Wien) 19

20 Dischi di accescimento: spetto kt( OUT ) Se << << kt( IN) h h Sostituzione: x = h h kt() kt( IN ) IN 3/4 F 1/3 0 x 5/3 e x 1 dx 20