216 Luciano De Menna Corso di Elettrotecnica

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1 216 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica Sulla base delle nozioni intodotte possiamo a questo punto mostae un alto motivo di convenienza dell'uso di sistemi tifasi. Confontiamo due sistemi di alimentazione, l'uno monofase e l'alto tifase senza neuto, che siano del tutto equivalenti pe quello che concene l'utilizzatoe, cioè il caico. Supponiamo che detto caico, nel caso del sistema tifase, sia disposto a tiangolo come mostato nello schema - ad un isultato identico si giunge se lo si suppone a stella - e che sia inolte equilibato. La potenza fonita a tale caico è: P = 3VI cosϕ. Un sistema monofase che sia equivalente a quello tifase deve fonie la stessa potenza sotto la stessa tensione e con lo stesso fattoe di potenza; dal confonto ta le

2 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica 217 due potenze si deduce che la coente in tale sistema monofase deve essee 3 volte più gande di quella nel singolo conduttoe di linea del sistema tifase: I 1f = 3 I 3f (VII.7) Fino ad oa abbiamo supposto che i conduttoi di linea che collegano i geneatoi al caico siano di esistenza nulla. In effetti, come abbiamo già sottolineato, essi sono sempe ealizzati con mateiali a bassa esistività, e quindi tale appossimazione appae agionevole. Ma se pensiamo ad una ete di collegamento di dimensioni agguadevoli, in cui i geneatoi siano a chilometi e chilometi di distanza dagli utilizzatoi, come in effetti accade in una complessa ete elettica nazionale od intenazionale, si capisce facilmente come anche una piccola esistività dei conduttoi di linea può povocae notevoli potenze dissipate lungo la linea stessa. Paagoniamo le potenze dissipate dei due casi pecedentemente descitti: P d 3f = 3 ρ S L I 2 3f, 3f P d 1f = 2 ρ S L (VII.8) I 2 1f. 1f Dove ρ è la esistività del mateiale dei conduttoi di linea, L la distanza del caico dai geneatoi ed S 1f ed S 3f le sezioni dei conduttoi nei due casi esaminati. Peché le due potenze siano eguali occoe che sia S 3f =S 1f /2. In temini di volume di mateiale impiegato, e quindi di costo della linea, a paità di tutti gli alti fattoi, ciò significa che: Vol 3f = 3LS 3f = 3 4 2LS 1f = 3 4 Vol 1f. (VII.9) Con un ispamio globale di un quato di mateiale. Questo semplice confonto basteebbe a giustificae la scelta della tasmissione con sistemi tifasi; natualmente ci sono alti aspetti del poblema che non abbia-

3 218 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica mo esaminato in quanto non conguenti con il livello di appofondimento al quale iteniamo di doveci mantenee. Ritonando al poblema del calcolo delle coenti in un sistema tifase, come abbiamo visto, se le tensioni concatenate costituiscono una tena simmetica (dietta pe esempio), le coenti si calcolano agevolmente come se si tattasse di te cicuiti monofasi distinti anziché di un unico sistema tifase. Le cose si complicano leggemente se, pu estando la tena delle tensioni concatenate simmetica, le te impedenze di caico non sono più uguali. In tal caso anche supponendo le te tensioni dei geneatoi disposti a stella simmetiche, il potenziale del cento stella dei geneatoi non coincide con quello del cento stella del caico; il punto O nella appesentazione vettoiale, non coincide con il punto O'. Con V O O indicheemo il vettoe appesentativo della diffeenza di potenziale ta il cento stella del caico e quello dei geneatoi; tale vettoe individua il cosiddetto sposta - mento del cento stella. D'alta pate, dal diagamma vettoiale, si ottiene: E ' 1 = E 1 - V O'O, E ' 2 = E 2 - V O'O, (VII.10) E ' 3 = E 3 - V O'O. La conoscenza dello spostamento del cento stella consente, quindi, di calcolae le tensioni che insistono sui elativi caichi e, di conseguenza, le coenti: I = E ' Z = E - V O'O Z. (VII.11) Il calcolo dello spostamento del cento stella, è, d'alta pate, molto agevole; basta applicae il metodo dei potenziali ai nodi, scivendo l'equazione che espime la

4 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica 219 LKC ad uno dei due nodi pesenti nella ete. Si ottiene: E - V O'O = 0, (VII.12) Z e quindi, mettendo in evidenza il vettoe appesentativo dello spostamento del cento stella: E V O'O = Z. (VII.13) 1 Z La fomula (VII.13), che può natualmente essee genealizzata, come si è già detto, al caso di n ami in paallelo, pende il nome di fomula di Millmann e consente di calcolae lo spostamento del cento stella, se sono noti i valoi delle tensioni dei geneatoi e delle impedenze di caico. Resta da vedee come si tatta il caso in cui anche le tensioni concatenate non sono più simmetiche. In effetti il pocedimento oa esposto basato sulla deteminazione dello spostamento del cento stella, non ichiede necessaiamente che le tensioni concatenate costituiscano una tena simmetica; esso è applicabile anche nel caso di tena dissimmetica. In tal caso, natualmente, il punto O, appesentativo del potenziale del cento stella dei geneatoi E (non simmetici), non saà più il baicento del tiangolo equilateo delle tensioni concatenate, come nel caso pecedente, ma un punto qualsiasi del piano appesentativo. Esso dipende dalla scelta fatta pe la tena di tensioni stellate che si suppone poducano le assegnate tensioni concatenate. Pe esempio è possibile scegliee O coincidente con uno dei vetici del tiangolo delle tensioni concatenate; ciò è equivalente a suppoe che la tena di tensioni concatenate sia podotta da due soli geneatoi, come mostato nello schema a lato, dove si è supposto O

5 220 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica coincidente con con il vetice 3 del tiangolo delle tensioni concatenate. In tal caso lo spostamento del cento stella è dato da: V 13 + V 23 V O'O = Z 1 Z 2. (VII.14) 1 Z Si ossevi infine che non pone alcun poblema il calcolo delle coenti nei singoli lati di un caico disposto a tiangolo. In tal caso, infatti, sono note diettamente le tensioni sulle singole impedenze, sia nel caso di una tena simmetica sia in quello di una tena dissimmetica. Esecizi Pe il doppio bipolo in figua si ha: Y 11 = 10 - j Pe la veifica dell'esecizio successivo si fonisce il valoe della impedenza sul lato (1,2) del tiangolo equivalente: Z 12 = j20.

6 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica 221 La misua della potenza nei sistemi tifasi Una qualche paticolaità pesenta l'insezione dei wattmeti in un sistema tifase. Supponiamo inizialmente che esso sia a stella con il neuto accessibile come schematicamente mostato in figua. Nella stessa figua è anche indicata l'insezione di te wattmeti: è evidente che la somma delle indicazioni dei te wattmeti fonisce la potenza attiva assobita dal caico tifase. Si ha infatti, indicando con W 1, W 2 e W 3 ispettivamente le te indicazioni dei wattmeti: W 1 +W 2 +W 3 = = E 1 I 1 cosϕ 1 +E 2 I 2 cosϕ 2 +E 3 I 3 cosϕ 3. Natualmente, se il caico è equilibato e la tena di tensioni simmetica, si ha: W 1 = W 2 = W 3 = EIcosϕ = P 3, ed, in linea di pincipio, un solo wattmeto saebbe sufficiente. Supponiamo oa che il cento stella del caico non sia accessibile; sembeebbe, a pima vista, che questo fatto intoduca una difficoltà insomontabile. In effetti ciò non può essee, e non è infatti, come si compendeà facilmente dalle seguenti consideazioni. Sia O' il cento stella (non accessibile) del caico ed O'' il punto comune delle te voltmetiche dei wattmeti. Se indichiamo con un solo apice le tensioni stellate sul caico e con due le coispondenti tensioni alle voltmetiche dei wattmeti, si ha: E '' = E ' - V O'O". (VII.15) (VII.16) (VII.17) D'alta pate la somma delle indicazioni dei wattmeti è pe definizione:

7 222 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica dove si è usato il simbolismo del podotto scalae pe appesentae la potenza attiva. Utilizzando la (VII.17) nella VII.18 si ottiene: W 1 + W 2 + W 3 = W 1 + W 2 + W 3 = E '' I, (VII.18) E ' I - V O'O" I = E ' I, dato che la somma dei fasoi appesentativi delle te coenti di linea è necessaiamente nulla pe l'assenza del conduttoe neuto. Se ne conclude dunque - teoe - ma di Aon - che la somma algebica delle indicazioni dei te wattmeti è indipendente dal potenziale del punto ispetto al quale si valutano le tensioni stellate ed è uguale alla potenza attiva assobita dal caico. Si noti che non si è dovuto fae alcuna ipotesi sulle tensioni che alimentano il caico - può anche tattasi, dunque, di un sistema dissimmetico - né sulla natua del caico stesso - esso può anche essee non equilibato; il isultato è del tutto geneale. Come applicazione immediata di questo isultato possiamo fa vedee come sia possibile utilizzae due soli wattmeti, invece di te, pe la misua della potenza attiva in un sistema tifase senza conduttoe neuto. Se infatti poniamo il punto O'', pe esempio, in collegamento con il secondo conduttoe di linea, l'indicazione del secondo wattmeto è identicamente nulla, peché nulla è la tensione ai suoi mosetti voltmetici; ciò ende inutile la pesenza del tezo wattmeto. Si aiva dunque ad una insezione del tipo descitto in figua, che pende il nome, appunto, di insezione Aon. La somma algebica delle indicazioni - esse, infatti, possono anche essee negative - dei due wattmeti fonisce in ogni caso la potenza attiva assobita dal caico.

8 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica 223 Va notato infine che nel caso in cui il sistema tifase sia simmetico ed equilibato, e solo in questo caso, la diffeenza ta le due misue dei wattmeti nell'insezione Aon è popozionale alla potenza eattiva. Si ha infatti: W 2 -W 1 = VI cos ϕ - π 6 - cos ϕ + π 6 = = 2 V I sen π 6 sen ϕ = Q 3. (VII.19) Dove Q è appunto la potenza eattiva totale assobita dal caico: Q = 3 E I sen ϕ = 3 V I sen ϕ. (VII.20) Nel caso più geneale la potenza eattiva è data da: Q = E I sen ϕ. (VII.21) Si noti che in vitù del teoema di consevazione delle potenze complesse, anche nel caso di sistemi tifasi, la potenza attiva e eattiva totale assobita dal paallelo di due caichi è pai alla somma delle ispettive potenze assobite dai due caichi sepaatamente. Questa consideazione consente di affontae il poblema del ifasamento di un caico tifase alla stesso modo adottato pe i caichi monofasi. Nel caso dei sistemi tifasi è possibile peò una duplice scelta: il banco di condensatoi di ifasamento può essee collegato a stella o a tiangolo. Pe la stella si ha: e pe il tiangolo Q - Q ' = P a tg ϕ - tg ϕ ' = 3 E 2 ω C s, (VII.21) Q - Q ' = P a tg ϕ - tg ϕ ' = 3 V 2 ω C T. (VII.22) A paità di potenza eattiva, la capacità necessaia in un collegamento a tiangolo è minoe di quella necessaia pe un collegamento a stella. Natualmente, peò, nel secondo caso i condensatoi debbono essee pogettati

9 224 Luciano De Menna Coso di Elettotecnica pe sostenee una tensione minoe. Si noti infine che mente un caico squilibato posto in paallelo ad uno equilibato non modifica il potenziale del cento stella del caico equilibato, se ta i due centi stella dei caichi si dispone un collegamento, alloa anche il caico equilibato non potà più essee tattato come tale. Esecizi Nel pimo poblema si ichiede di calcolae l'indicazione dell'ampeometo a valo efficace posto sulla linea 2 del sistema tifase assegnato, costituito da due caichi equilibati in paallelo. Nel secondo esecizio viene poposto un poblema analogo; in questo caso, peò, uno dei caichi è squilibato. Nell'ultimo poblema, infine, si ichiede di ifasae a cosϕ=0,9 un sistema di due caichi in paallelo di cui sono assegnate le ispettive potenze.