Elettrotecnica II. 1 Materiale didattico

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1 . Cicuiti magnetici I cicuiti magnetici sono stuttue costituite in gan pate da mateiale feomagnetico, e in pate da ta fei d aia; essi sono alimentati da avvolgimenti di ame pecosi da una coente. obiettivo di una tale stuttue è incanalae il più possibile il ampo magnetico all inteno del mateiale feomagnetico, iducendo al minimo il valoe del campo magnetico all esteno nelle zone di aia, tanne ovviamente che nei tafei. In alti temini, mente i cicuiti elettici costituiti da conduttoi di ame hanno lo scopo di incanalae le linee vettoiali della densità di coente, iducendo al minimo la coente che cicola nell aia all esteno dei conduttoi stessi, i cicuiti magnetici incanalano le linee vettoiali del campo magnetico. Il funzionamento dei cicuiti magnetici è descitto in nodo quantitativo da due leggi:. a legge dei cicuiti magnetici S B nds ˆ 0 legge di Gauss Ipotesi: il campo B è tascuabile ( 0) ovunque, tanne che nel feo e nei tafei. a legge di Gauss implica: φ + φ + φ 0 φ 3 [ ] Wb V s In modo geneale, in ogni nodo del cicuito magnetico la somma dei flussi magnetici uscenti dal nodo è nulla. i φ 0 a legge i Pagina di 6 Data ultima evisione 6/0/0

2 essendo il numeo di ami del cicuito magnetico connessi al nodo in questione. Si noti la similitudine di questa legge con la legge di Kichoff sulle coenti (KC): il uolo della coente è oa giocato dal flusso magnetico φ.. a legge dei cicuiti magnetici H td ˆ γ S γ J lib D + nˆ ds t D Ipotesi: i fenomeni di coente di spostamento sono tascuabili 0 t In ogni sezione etta del cicuito magnetico il campo B è unifome e dietto lungo la nomale. Φ B S numeo di spie dell avvolgimento Pagina di 6 Data ultima evisione 6/0/0

3 γ H td ˆ Sγ Jlib nds ˆ I In ogni punto di Γ s B H µ dove µ µ 0 se il punto appatiene al tafeo, e µ µ 0µ se il punto appatiene al feo. Alloa B td ˆ µ I γ Essendo B dietto lungo la nomale alla sezione del cicuito magnetico, B è paallelo al vesoe tˆ. Alloa φ B t ˆ B S φ µ d I S γ on essendoci nodi nell esempio di cicuito magnetico, in base alla a legge si icava che il flusso φ è costante lungo tutta la linea chiusa γ. Alloa φ γ µ d I S [ I] A sp Definendo la iluttanza tot come tot d [ ] H µ tot S γ tot φ I Pagina 3 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

4 Cosa avviene se il cicuito magnetico è composto da più tatti ovveo contiene dei nodi? Si deve definie la iluttanza del singolo tatto: se la sua sezione e la sua pemeabilità sono costanti, la sua iluttanza è: ìs dove è la lunghezza del tatto. In geneale, pe un cicuito magnetico che pesenta più avvolgimenti e più nodi, la a legge dice che in ogni maglia del cicuito isulta P i i i φ I a legge (similitudine con KV) M j j j dove P è il numeo di tatti di cicuito magnetico che compongono la maglia, e M è il numeo di avvolgimenti pesenti lungo la maglia. Da queste elazioni la somiglianza ta le leggi dei cicuiti magnetici e quelle dei cicuiti elettici (leggi di Kichoff) è evidente. Valgono petanto le seguenti coispondenze: CICUITI EETTICI CICUITI MAGETICI Coente I flusso φ esistenza iluttanza f.e.m. E foza magnetomotice I.3 Tensione ai capi di un avvolgimento Si è visto che un solenoide di mateiale conduttoe avvolto su un tatto di mateiale feomagnetico cea un campo magnetico e dunque un flusso popozionale alla coente I che pecoe il solenoide stesso. Si vuole oa deteminae il valoe della tensione (o diffeenza di potenziale) pesente ta i due estemi dell avvolgimento. a situazione è la seguente: Pagina 4 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

5 Si considei la linea chiusa γ composta dall avvolgimento γ avv e dal tatto γ ' che collega i punti A e B γ γ avv Uγ' Ciò che noi definiamo tensione è la diffeenza di potenziale ta i punti A e B lungo la linea γ ', ovveo V E td ˆ Aγ ' B Si ossevi che γ E td ˆ Aγ avv B E td ˆ + Bγ ' A E td ˆ Aγ avvb E td ˆ Pagina 5 di 6 Data ultima evisione 6/0/0 Aγ ' B E td ˆ avvolgimento è costituito da mateiale conduttoe ideale, ovveo caatteizzato da conducibilità elettica infinita, cioè esistività nulla. Alloa, pe la legge di Ohm E ηj Essendo η 0 E 0

6 Aγ avv B V E tˆ d 0 Aγ ' B E td ˆ γ E td ˆ Si icodi la legge di Faaday-eumann E td ˆ γ S γ Alloa V B nds ˆ t B nds ˆ t t S γ S γ B nds ˆ S γ è la stana supeficie elicoidale (come una scala a chiocciola) che ha γ come olo. Poiché nella a legge dei cicuiti magnetici si è ipotizzato che B fosse tascuabile nelle zone estene al cicuito magnetico, la supeficie attaveso la quale calcolae il flusso di B è solamente composta dalla sezione delle spie dell avvolgimento. Avendo indicato con φ il flusso di B attaveso una sola di queste spie, si ha che: Sγ B nds ˆ φ da cui: V d dφ φ ( ) a tensione ai capi dell avvolgimento è dunque popozionale al numeo di spie dell avvolgimento e alla deivata del flusso di B attaveso la sezione del cicuito magnetico. Si icodi che il campo B è geneato dalla coente I che scoe nell avvolgimento. a a legge dei cicuiti magnetici lega il flusso φ e la coente: I φ V dφ d I di Pagina 6 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

7 Definisco il coefficiente di autoinduzione o induttanza come: [ ] H di V Discosi analoghi sono validi quando sul mateiale feomagnetico sono pesenti più avvolgimenti. V di + di M V di M + di M M coefficiente di mutua induzione [ M ] H Si definisce inolte il coefficiente di accoppiamento: k M elemento ealizzato è un mutuoinduttoe. Esso è un doppio bipolo, il cui simbolo è Pagina 7 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

8 . ESECITAZIOE 4. eti magnetiche: caatteizzazione cicuitale di eti magnetiche; calcolo di flussi. induzione e intensità di campo. Equivalente elettico di avvolgimento Equivalente elettico di un tatto di nucleo Pagina 8 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

9 . Esecizio Caatteizzae il cicuito induttivo a due pote di figua a 30cm S 4cm µ M 5 a µ S v v di di + M di di M + Pagina 9 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

10 . Esecizio Calcolae l'induttanza del bipolo di figua. Assumendo poi I 0.3 A, deteminae φ e φ. 00 a 4 cm b 5 cm d 0,5 mm S 4 cm µ [ 0, 5 H φ x0 Wb φ 4, 4x0 Wb ] di v Pagina 0 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

11 .3 Esecizio 3 el cicuito magnetico di figua deteminae il flusso, l'induttanza e l'intensità di campo nel tafeo. φ t 4, x0 4 Wb B t,03 T H t 0,8x0 6 A m.4 Esecizio 4 Deteminae la dimensione del tafeo affinché sia AB mh 00 µ S cm [ t,6 mm] Pagina di 6 Data ultima evisione 6/0/0

12 3. ESECITAZIOE 5. Soluzione di cicuiti contenenti eti magnetiche 3. Esecizio ella ete di figua il nucleo feomagnetico ha pemeabilità infinita e i due tafei hanno laghezza l e sezione S. Calcolae, in condizioni di egime, la coente i(t) eogata dal geneatoe Calcolae il valo medio della potenza eogata dal geneatoe Indicae cosa succede nel caso paticolae. e ( t) E E ( ω t +φ) 0 eff sin Pagina di 6 Data ultima evisione 6/0/0

13 ponendo: E E X X C eq eff e j 0 ωc ω eq ( ) µ 0S l si ottiene: i E ( t) ' ' sin( ' ') 0 I t I + ω + I ' ' [ + j ( Xc + X )] E X X + j( X + X ) C C 3. Esecizio el dispositivo di figua il nucleo magnetico ha pemeabilità infinita ed i te tafei hanno la stessa sezione S e lo stesso spessoe d; e(t) è la foma d'onda indicata. Conoscendo, ed deteminae in funzione del tempo: la coente i(t) eogata dal geneatoe il campo magnetico h(t) nel tafeo. Pagina 3 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

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15 isultati: definendo d ì S M 3 eq + M b eq g ab b ( t a) u( t ) ( + e ) + t si ha: ; E a bt 0 i( t) [ g( t;0 ) g( t a; a) ] eq + 3d h( t) i( t ) b Pagina 5 di 6 Data ultima evisione 6/0/0

16 4. Esecitazione 6: calcolo di flussi, induttanze, coente, enegia immagazzinata 4. Esecizio Il cicuito di figua opea in egime sinusoidale pemanente. Calcolae: la potenza dissipata da il fasoe B nel tafeo t t t 3 t mm S 0 cm mm 75 5 Ω ω 0 Ω e ( t) 0 sin( ωt + 45 ) ω 34 ad s V [ P 4 W, B 0,49 + j0,005 Wb ] Pagina 6 di 6 Data ultima evisione 6/0/0 m