( ) a) Corrente che entra e esce dalle basi. b) Corrente che entra dalla superficie interna ed esce da quella esterna

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1 Calcolae la esistenza di un guscio cilindico di esistivita ρ, aggi a (inteno) e b (esteno), e lunghezza l, nei due casi: a) Coente che enta e esce dalle basi b) Coente che enta dalla supeficie intena ed esce da quella estena l ρl a) ρ S π b a ( ) b) esistenza equivalente es. seie di infiniti elementi infinitesimi Elemento infinitesimo: Aea Sup. lateale cilindo di aggio unghezza Spessoe d dl d d ρ ρ A π l b a d ρ b ρ ln πl πl a

2 Calcolae la esistenza di un tonco di cono etto, di aggi a e b (a<b) e altezza d, e esistivita ρ b a ( z) b z d dz dz d ρ ρ π b a π b z d dz ρ dz ρ dz d ρ πb πb π b z 1 a d 1 1 z d b k [ 1 ] b a kz ρ 1 ρ kd ρ d πb k 1 kz πb k 1 kd πb 1 kd ρ πb d d d d d ρ d ρ bd ρd 1 a πb a πb a ab 1 π 1 d 1 1 d b b

3 Dato il cicuito: 1 3 Ω, 9 Ω calcolae a) a esistenza fa A e B b) a coente eogata da un geneatoe di fem 17.4 V collegato fa A e B c) a potenza eogata dal geneatoe Ω V i A P W

4 C. magnetico di una caica puntifome in moto cicolae unifome, senza fae l appossimazione della spia equivalente C. magnetico di una caica in movimento : ˆ qv u B Assumendo che l'espessione sia valida anche pe moto cicolae (in ealta', come e' noto, moto acceleato: gli effetti di acceleazione, che sono di natua adiativa, vengono tascuati): v u θ B u ω E

5 v ω q q B ( ω ) uˆ ˆ u ( ω ) A B C B A C C A B, ident. vettoiale q B ( ˆ ) ( ˆ ) ω u u ω uˆ cos π θ cosθ π uˆ ω ω cos θ ω sinθ q B ω q B ω cosθuˆ sin ˆ z + ω θu qω B [ cosθuˆ sin ˆ z + θu ] + z cosθ sinθ ( + z ) ( + z ) [ cosθ ω sinθ ] [ ] z 1 1 qω z B uˆ ˆ z u ( + z ) ( + z ) ( + z ) + 1 1

6 C. magnetico di un segmento finito di conduttoe ettilineo pecoso da coente in un punto geneico Nel piano definito da segmento e punto P: ˆ I ds db, aplace I 1 ( x x ') y + ( x x ') ˆi + yˆj ˆ ( x x ') + y ds dx 'ˆi 1 ( x x ') ˆi + yˆj ydx ' kˆ ds ˆ dx 'ˆi 1 1 ( x x ') y ( x x ') y + + ˆ I ydx ' k 1 I ydx ' kˆ db ( ') 4 x x ' y x x y + + π ( x x ') + y 1 3

7 + + I ydx ' kˆ Iy ˆ dx ' 3 3 ( ') 4 x x y π ( x x ') y + + B db k u x x ' dx ' du dx ' du du ( x x ') y + y u v du ydv y u + y 3 u y + 1 du ydv u y v + 1 y y + 1 v 1 + y dϕ v tanϕ dv cos ϕ 3 1 dv 1 d 1 cos d 1 1 ϕ ϕ ϕ cos d 3 3 y ϕ ϕ v 1 y cos ϕ tan ϕ 1 y cos ϕ y + + u 1 dv 1 1 v 1 y 1 u sinϕ y 1 v + 1 y y v + 1 y u y u + y + 1 y 1 u 1 x x ' 1 1 y u y y ( x x ') y x x I ˆ x x ' I + B k kˆ y ( x x ') y y + x y x y Casi limite: I ˆ I ˆ I a) x k k kˆ y y 1 y πy ( + 4y ) y I b) kˆ Biot-Savat π y dv

8 Un guscio sfeico conduttoe di aggio e concentico ad alti due gusci simili, di aggi 1< e 3>, fa loo collegati da un filo conduttoe isolato dal guscio intemedio. Sul guscio di aggio viene depositata una caica q. Tovae la caica q 1 sul guscio di aggio 1. Caica q genea un campo elettico esteno, ma non inteno Caiche indotte su 3, e su 1 che deve stae allo stesso potenziale di 3 Pe la consevazione della caica: q + q q q Campo nella I gap: E a 31 q1 ε Campo nella II gap: E b q 4 + q 1 πε 3 3 a 1 1 V Ed E d E d 1 q q q q q q + + ε q1 q 1 3 b

9 Un condensatoe piano con amatue di aea S sepaate da una distanza h, e iempito con un dielettico non omogeneo, la cui costante dielettica vaia lineamente da un amatua all alta secondo la legge Tovae la capacita del condensatoe ε 1 + ax, < x< h Capacita' equivalente stato geneico di spessoe x : S C( x) ε( 1+ ax) x 1 x A( x) C x S ax da ε S ε ( 1+ ) ( 1+ ax) Stati capacita' in seie C C C T ( + ah) 1 dx 1 AT da ln 1 ax C + ε S ax ε Sa ln 1 AT ε Sa εsa CT ln 1+ ah i T dx i h ( 1+ ) h

10 a bobina compatta 1 è composta da N 1 spie cicolai di aggio 1 1 cm Una seconda bobina, di aggio 5 mm e stesso numeo di spie, è posta nelle vicinanze del cento della pima bobina, in modo che l angolo ta i vesoi nomali alle due bobine sia α. Nella bobina 1 scoe la coente I I senωt con I 4A, ω 3 ad/s Deteminae la f.e.m. indotta nella bobina nel caso in cui (a) sia fema ( α costante), (b) uoti con velocità angolae costante, tale che α(t) Ωt, con Ω 6 ad/s. Φ M I 1 1 NI1 B1 1 NI Φ N π cosα NNπ cosα Nπ cosα M Nπ cosα ε I ω cos ωt, α costante di1 dm ε M I1, α ωt dt dt Nπ cosωt NπΩsinΩt ε Iω ωt+ I sinωt cos 1 1 N π I t t t t ε ( ω cosω cosω ΩsinΩ sinω) 1

11 Nei due conduttoi di lunghezza indefinita, paalleli e sepaati dalla distanza a ( a 8cm), scoe la medesima coente I 1A. Un anello cicolae di mateiale conduttoe di aggio a giace nel piano dei due fili, ta di essi, ed è isolato da essi. Deteminae il coefficiente di mutua induzione ta il conduttoe cicolae ed i due fili. a ( x a) + y a y( x) ± a ( x a) a a a Ia 1 x 1 1 Ogni filo da' uguale contibuto a Φ M M 1 filo I Φ ( 1filo) B uˆ ndσ B( x) y( x) dx, B( ) π I 1 Φ B( x) y( x) dx a ( x a) dx π x Φ π x u 1 dx adu a Σ x a dx 1 x u dx a 1 u du 1 u du du x a au+ a u u 1 u 1 cos θ u cos θ, du sin θdθ 1+ u 1+ cos θ 1 u 1 cos θ du sin θ d θ 1+ u 1+ cos θ θ 1+ cosθ θ 1 cosθ 1 cos θ cos,sin tanθ 1+ cos θ 1 cos θ sinθ sin θdθ ta n sin d sin cos d 1+ cos θ θ θ θ θ θ θ cosθ 1 cos θ sin θdθ 4 sinθdθ θ sin θ 1+ cos θ 1 ( accos u 1 u ) ( π ) + π 1 Ia Ia Φ ( 1filo) π Φ Ia M a π

12 Un campo magnetico unifome, dietto come l asse z e confinato in una egione cilindica (z asse del cilindo), è caatteizzato da un modulo che diminuisce nel tempo con vaiazione costante pai a 1 mt/s. Un elettone si tova inizialmente femo in un punto distante 1 cm dall asse del cilindo. Deteminae la sua acceleazione istantanea, in modulo diezione e veso. C () B t B kt dφ E d s dt d db π ( π ) π π dt dt πe π k E B k E k ek F ek a 8.81 ms m 5

13 Una spia cicolae di diameto D è fatta di un filo conduttoe di aggio, esistenza e massa m. Essa viene lasciata cadee da una gande altezza z all istante t in una egione di spazio ove è pesente un campo magnetico con componente B z B (1 + kz) e z asse veticale. Nella caduta la spia mantiene sempe il suo asse veticale. Tascuando l attito dell aia deteminae: (a) la velocità limite aggiunta nel suo moto di caduta; (b) la potenza dissipata pe effetto Joule nelle condizioni del punto (a), (c) la foza elettomotice nelle condizioni del punto (a). dφ ε dt D S π 4 Φ B + kz S ( 1 ) dz BkSv ε BSk I dt d Fm ( B), foza magnetica fenante dz Esiste vel. limite quando F mg m d d BkSv B ks d IS Fm B( 1 kz) SB( 1 kz) v( 1 kz) dz dz dz B k S vlim mg Fm mg mg vlim B k S Altenativamente, in condizioni di velocita' limite costante: lavoo elementae f. di gavita' en. elementae dissipata mgdz I dt dz mg I mgvlim I dt B S k vlim I vlim B S k v mg mg mg v mg lim B S k lim B S k lim B S k v m g P I v mg mg ε BkSvlim B Sk lim

14 a spia a foma semicicolae di figua ha esistenza elettica 4 mω e aggio a 1 cm. Taslando con velocità costante v.1 cm/s, all istante t enta in una egione di campo magnetico unifome e costante B 1.T pependicolae al piano della spia ed entante come mostato in figua. Deteminae l andamento della coente che scoe nella spia nel tempo e la foza estena che è necessaio applicae alla spia pe mantenee il moto a velocità costante. ε E ds spia E v B h E ds v B ds vbdy ε vbdy vbh h a a vt, vt a < < a ε vbh vb a ( a vt), < t< tmax v a a max max max ( max ) ε v B t v B t t t v B tt t v v v B I ttmax t 3 P I 4v B Fext tt t v v

15 Una caica Q e' unfomemente distibuita su una coona cicolae di aggi a, b, che uota attono al suo asse con velocita' angolae costante ω. Tovae il campo magnetico sui punti sull'asse della coona cicolae. C. magnetico di una spia di coente: i B ( z + ) 3 Coona cicolae equivalente a insieme di spie, di aggio e laghezza infinitesima d : di db ( z + ) 3 di coente elementae. Modi equivalenti di deivala: dq σ π d di σωd T π ω di jda ρvda ρωda ρωsd, s spessoe disco (fittizio) di s d k d, k dens. lineae di coente σω ρ ω σ 3 σω σω db d d 3 3 σω B 3 ( z + ) 3 b ( z + ) ( z + ) 3 a ( z + ) d? 3 d u du d d 1 dv v + 3 ( z + ) ( z ) ( z + ) ( z + ) ( z + ) ( z + ) 1 3 d d + + z b ( z + ) + σω σω σω B a z + z + z + b 3 z d σω z + b z + a B 1 1 ( z + b ) ( z + a ) a 1 b a