1) Una carica puntiforme q si trova al centro di una sfera cava conduttrice di raggio

Transcript

1 1) Un cic puntifome si tov l cento di un sfe cv conduttice di ggio inteno e spessoe. Clcole nel cso di conduttoe isolto: il cmpo elettico, il potenzile e l enegi elettosttic in tutto lo spzio. Cso () < e > + E = E, < < + E = 4πε 2 < V() = Ed = 4πε 2 d < < + V = Ed + + d + + = d > + V() = Ed = V πε 2 d = 1 ( 4πε ) 4πε 2 d 4πε 2 d = 4πε ( 1 + ) = 4πε + ε 2 U e = 32π 2 ε 2 4 4π2 d + Altimenti U e = 1 2 V() + ε 2 32π 2 ε 2 4 4π2 d = 2 8πε ( )

2 2) Un condenstoe pino è composto d due lmine metlliche udte di lto L= 1 cm poste distnz 2h= 2 cm l un dll lt connesse d un genetoe che mntiene un d.d.p. V= 12 V. T le lmine sono disposte due dielettici di spessoe h e di costnte dielettiche eltive ε 1=1.5 e ε 2=2.5 come in figu. Clcole: ) l cpcità del condenstoe, b) il cmpo elettico nel dielettico 1, c) l cic di polizzzione del dielettico 1 e d) il lvoo necessio pe este il dielettico 1 dl condenstoe. L ε 1 ε2 2h V ) Il condenstoe viene visto come l seie di due condenstoi iempiti di un mteile dielettico diffeente L C 1 = ε ε 2 1 = 1.33 h 1 9 L F ; = ε ε 2 2 = 2.21 h 1 9 F Petnto l cpcità del sistem è C tot = C 1 = ε ε 1 ε 2 L 2 C 1 + (ε 1 + ε 2 ) h = F b) I due condenstoi hnno l stess cic Q = C tot V = C Quindi l d.d.p i cpi del dielettico 1 è V 1 = Q C 1 = 75 V Petnto il cmpo elettico nel dielettico 1 è E 1 = V 1 h = 7.5 kv/m Più velocemente si può tove il vloe del cmpo elettico pssndo pe il vettoe induzione D che è lo stesso nei due dielettici e pi : D = Q L 2 E 1 = D = Q = 7.5 kv ε ε 1 ε ε 1 L2 c) L cic di polizzzione nel dielettico 1 è icvbile dl vettoe di polizzzione σ p1 = P = ε (ε 1 1)E 1 = (ε 1 1) Q ε 1 L 2 Di conseguenz l cic di polizzzione è Q 1 = σ p1 L 2 = C d) L cpcità finle del condenstoe undo è stto esttto il dielettico 1 è C tot = ε ε 2 L 2 (1 + ε 2 ) h = F Il lvoo pe este il dielettico, mntenendo l tensione pplict è clcolbile dll vizione dell enegi potenzile del condenstoe W = U = 1 2 C totv C totv 2 = J

3 3) Si considei il cicuito mostto in figu con l inteuttoe peto. Il condenstoe C 1 = 1µF è inizilmente cico e t le sue mtue vi è un d.d.p pi V = 15 V, mente il condenstoe = 2µF è inizilmente scico e l esistenz è vibile. Al tempo t= si chiude l inteuttoe, clcole ) il vloe di tle che l potenz mssim dissipt si pi P= 9 W, e b) l tensione i cpi di egime. ) Qundo si chiude l inteuttoe le cpcità sono due ttti di conduttoi di esistenz null, uindi l coente mssim che scoe nel cicuito è Imponendo che l potenz dissipt si i 2 mx = P mx Si clcol che V 2 = P mx = V 2 = 25 Ω P mx i mx = V b) L cic inizile sul pimo condenstoe vle Q 1 = C 1 V L cic totle si consev pe cui Q 1 = Q 1 + Q 2 L tensione i cpi dei condenstoi è l stess uindi Q 1 C 1 = Q 2 Combinndo le due euzioni si può clcole l cic sul condenstoe 2 Petnto l tensione i cpi del condenstoe è C 1 V = C 1 Q 2 + Q 2 Q 2 = C 1 C 1 + V V 2 = Q 2 = C 1 C 1 + V = 5 V

4 4) Un lst conduttice di lunghezz infinit, lghezz D= 2 cm e spessoe tscubile è pecos d un densità di coente J=x. Spendo che l cicuitzione del popio cmpo mgnetico vle C =45*1-5 Tm clcole: ) il vloe dell costnte e b) il vloe del cmpo mgnetico nell egione di pino esten ll lst distnz L=2D D ) Dl teoem di Ampee possimo scivee che C = μ i = μ xdx Petnto = 2C μ D 2 = A/m 2 = μ D 2 b) Si può pense ll lst come un insieme di fili indefiniti che tspotno un coente di = Jdx = xdx dx 2 x di 2D P Quindi distnz 2D dl bodo dell lst vemmo che ogni filo gene un cmpo pe l legge di Biot- Svt pi db = μ i 2π(3D x) Il cmpo totle distnz L=2D sà dto sommndo i vi contibuti D B = μ D xdx = μ xdx = μ D 2π(3D x) 2π(3D x) 2π x + 3D 3D dx = μ D (3D x) 2π ( 1 + 3D )dx (3D x) = μ 2π D( ln (3 2 )) = T

5 5) Un spi cicole di ggio =1 cm è immes in un cmpo mgnetico pependicole l pino (x,y) dell spi che vi nel tempo e nello spzio secondo l elzione B = A tk z con l distnz dl cento dell spi e A=.2 Tm/s k. L spi h un esistenz =4 Ω e induttnz L= 1 mh. Clcole il vloe di k ffinché l f.e.m. indott nell spi è costnte nel tempo. Clcole inolte l istnte di tempo t 1 successivo ll ccensione del cmpo mgnetico nel ule l tensione su ugugli uell su L pe il vloe di k tovto. Il flusso del cmpo mgnetico conctento con l spi può essee clcolto come segue: Φ = B()2πd L foz elettomotice indott nell spi è uindi f i = dφ dt = Aktk 1 2π = A tk 2πd = At k 2π Pe essee costnte nel tempo l f.e.m, llo k deve essee ugule 1 (k = 1). Di conseguenz f i = A2π =.125 V L coente che scoe nell spi, cus dell pesenz dell induttnz, segue l legge i(t) = f i (1 e L t ) Affinchè l tensione i cpi di si ugule uell i cpi di L, bisogn impoe che L di dt = i Sostituendo l espessione dell coente si ottiene che f i e L t 1 = f i (1 e L t 1 ) 2e L t 1 = 1 t = L ln2 = 1.73 ms