Esempi di campi magnetici e calcolo di induttanze.

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1 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC (ultim modific 7/10/017) Esempi di cmpi mgnetici e clcolo di induttnze. M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 1

2 Conduttoe ettilineo indefinito Si considei un conduttoe omogeneo cilindico ettilineo di gnde lunghezz, pecoso dll coente. Con un flussometo é possibile clcole in ogni punto dell egione cicostnte il vettoe. Se lo spzio cicostnte é omogeneo e isotopo il vettoe induzione pe > o ( o ggio del conduttoe) ossi ll esteno del conduttoe, isult: il modulo diettmente popozionle d ed invesmente popozionle ll distnz del punto consideto dll sse del conduttoe e dipendente dll ntu del mezzo; l diezione nomle l pino deteminto dl conduttoe e dl punto consideto; il veso definito dl senso di otzione dell vite destogi, vnznte nel senso positivo dell coente. M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC

3 Tli isultti speimentli possono essee espessi nliticmente dll seguente elzione: P μ π Nell fomul l influenz dell ntu del mezzo é indict dll gndezz, ossi dll pemebilità mgnetic del mezzo. l fttoe 1/ é utilizzto pe ottenee fomule semplificte dette zionlizzte. l cmpo mgnetico in ogni punto sà: H in modulo H M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 3

4 H L elzione tovt: che espime l legge di iot e Svt, most che il cmpo mgnetico non dipende dll ntu del mezzo qundo questo é omogeneo ed isotopo in tutto lo spzio. Quindi nell egione dello spzio esten l conduttoe, pe > o, H() h l ndmento di un ipebole equilte. All inteno del conduttoe, nell ipotesi di densità di coente unifome (bsse fequenze), in ogni sezione geneic di ggio < o sà: o J J S o So o o e il cmpo in un punto distnte sà: H o M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 4

5 Quindi nell egione dello spzio inten l conduttoe, pe < o, H() h l ndmento di un ett. Nell egione inten l conduttoe, pe < o : nell egione esten l conduttoe, pe > o : H H o H o M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 5

6 Convenzioni di segno: egol di Mxwell l veso positivo dell induzione sull sse dell induttoe é quello in cui vnz un vite destogi, che uot nel veso positivo di pecoenz dell filo: M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 6

7 Autoinduttnz di un povino tooidle con N spie stettmente vvolte intono con sezione ettngole. Pe l geometi é consiglibile use un sistem di coodinte cilindiche: N dl d clcolndo l cicuitzione l vettoe lungo un pecoso cicole di ggio con < < b: d b h d H dl dl N d N on 0 M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 7 c c c c dl o o N o

8 l flusso sà: μ0n Φ d s hd π S b S μ0nh d μ0nh b ln π π il flusso conctento e l utoinduttnz snno: μ N h b μ N h b o o N ln L ln c π π Relzione costitutiv che leg il flusso c ll coente L utoinduttnz L non dipende dll coente (pe un mezzo pemebilità costnte) e nenche dll intensità del flusso c M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 8

9 nduttnz pe unità di lunghezz di un solenoide molto lungo in i Pe detemine in funzione dell coente, si pplic l legge dell cicuitzione lungo un pecoso ettngole C lungo l, che si svilupp pzilmente ll inteno e pzilmente ll esteno del conduttoe. Lungo C si h: H l =N (/ o ) l = N l = o N che pe l =1 = o N, costnte ll inteno del solenoide, con N= n delle spie conctente con il pecoso C l H dl N fm m l C é pllelo ll sse del solenoide con il veso positivo dto d un vite destogi che uot nel veso di pecoenz dell coente nell spi, secondo l egol di Mxwell. M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 9

10 l flusso sà: S NS o dove S é sezione tsvesle del solenoide. l flusso conctento pe unità di lunghezz sà: ' N N S o Relzione costitutiv che leg il flusso Quindi l induttnz pe unità di lunghezz é: c ll coente ' c H L' μ on S m L utoinduttnz isult popozionle l qudto del numeo di spie N. l vloe effettivo dell induttnz é minoe di quello ottenuto: L effettivo < L, poiché sono stte ftte le seguenti ppossimzioni: ssumee il solenoide di lunghezz infinit e tscue l effetto dei bodi lle due estemità del solenoide. M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 10 c

11 nduttnz pe unità di lunghezz di un line di tsmissione cossile vente un conduttoe inteno di ggio e un conduttoe esteno di spessoe molto sottile di ggio b. Pe l simmeti cilindic, b pesent l sol componente φ-esim All inteno del conduttoe T i due conduttoi pe 0, l induzione pe b, si h: in un punto P distnte è: in un punto P distnte è: 1 1 o o M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 11

12 Si ssum: che l coente fluisc nel conduttoe inteno e itoni ttveso il conduttoe esteno e che si unifomemente distibuit sull sezione del conduttoe inteno. Se si conside un nello nule nel conduttoe inteno con ggio compeso t e +d. L coente d pe unità di lunghezz di questo nello nule è conctent dl flusso che può essee ottenuto integndo le espessioni dell induzione tovte, pe che vi d b: b b dφ' d d d Φ Φ1 Φ essendo : μo μo bd Φ1 pe 0 d Φ Φ pe b π μo 4π M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 1 π μo ln π b

13 Poichè l coente d nell nello nule è pi un liquot dell coente totle, pi : [ (+d) - ]/ d/ = = d/, il flusso conctento con questo nello nule é: d μ0 μ0 b d' d' ( ) ln d 4π π l flusso conctento totle, pe unità di lunghezz sà: ' 0 d μ 1 o b d ln d π 0 0 μ 1 b o ln. π 4 ' μ0 μ b 0 ln 8π π M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 13

14 L induttnz pe unità di lunghezz dell line di tsmissione cossile é: L' ' L i L e μo 8π μo ln π b H. m l pimo temine dell induttnz L i é dovuto l flusso conctento intenmente l conduttoe detto induttnz inten L i pe unità di lunghezz del conduttoe inteno. l secondo temine dell induttnz L e é dovuto l flusso conctento che esiste t il conduttoe inteno ed esteno detto induttnz esten pe unità di lunghezz dell line cossile. M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 14

15 Nelle ppliczioni in lt fequenz l coente in un buon conduttoe tende concentsi veso l supeficie esten del conduttoe (effetto pelle), dndo luogo un coente null nell sezione inten del conduttoe inteno e un modific del vloe dell induttnz inten. Al limite pe fequenze elevte le linee di flusso dell coente si concentno sul bodo dell supeficie dell sezione del conduttoe inteno e l induttnz inten divent null. M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 15

16 nduttnd inten ed esten di un line di tsmissione elizzt con due conduttoi plleli con sezione cicole di ggio distnti d. y Si ipotizz che: z il cmpo ento il conduttoe si tscubile d si gnde ispetto l ggio dei conduttoi, ciò compot l tscubilità del cmpo dovuto l secondo conduttoe qundo si vlut l induttnz inten del pimo. d x M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 16

17 L utoinduttnz inten pe unità di lunghezz pe i due fili sà doppi ispetto quell eltiv ciscun filo: ' L i o 8 o 4 Pe detemine l utoinduttnz esten pe unità di lunghezz, si detemin il flusso conctento mgnetico pe unità di lunghezz dell line di tsmissione pe un coente. Sul pino x-z dove gicciono i due conduttoi, il contibuto ll induzione dovuto lle due coenti uguli e opposte nei due fili pesentno un sol componente nell diezione y: 0 0 y1 e y x d x. M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 17

18 l flusso conctento pe unità di lunghezz é quindi: d d μ 1 1 o Φ ' 1 1 c dx dx y y π x d x μ d μ d Wb 0 0 ln ln π π m Quindi: L ' c o e Φ ' μ d H ln π m e l induttnz totle pe unità di lunghezz dell line bifile é: L' ' L i ' L e μ π o 1 4 d ln H m M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 18

19 Due bobine con N 1 e N spie vvolte concenticmente intono d un suppoto cilindico di ggio e pemebilità. N N 1 l l 1 Lo spzio t le due bobine è in eltà nullo e l sezione delle bobine è tscubile ispetto l ggio del suppoto, pe cui si può considee pe entmbe le bobine lo stesso ggio di suppoto Si ssume che l coente 1 fluisc nell bobin inten. Dll elzione vlid pe un solenoide di lunghezz molto gnde : S ons 1 quindi il flusso che si concten con l spi esten, nell ipotesi di flusso dispeso tscubile sà ugule l flusso podotto dll bobin inten: N 1 1 Φ1 μ π l1 M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 19

20 l flusso conctento con l bobin esten é: μ N Φ N N π. c l Quindi l mutu induttnz é: μ l c1 L N N π H M. Usi 5d_EAEE_APPLCAZON CAMP MAGNETC STATC 0