Angoli e funzioni. goniometriche

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1 UNITÀ 1 ngoli e funzioni goniometihe TEORI 1 Definizioni di ngolo Misu degli ngoli 3 Funzioni goniometihe seno e oseno 4 Funzioni goniometihe tngente e otngente 5 Vloi delle funzioni goniometihe 6 Gfii delle funzioni goniometihe 7 Relzioni t le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo 8 Relzioni t le funzioni goniometihe di ngoli ssoiti 9 Funzioni invese 10 Risoluzione dei tingoli ettngoli 11 Fomule goniometihe 1 Poiezione di un segmento e pendenz di un ett Istituto e Museo di Stoi dell Sienz, Fienze RISSUMENDO LORTORIO INFORMTICO Exel Clolo e ppesentzione gfi delle funzioni seno e oseno UTOVLUTZIONE Questo qudnte, ostuito nel 1608 d Tois Volkme, mtemtio e ofo dei duhi di vie, potev essee usto in stonomi, in topogfi e pe sopi militi. L fitt qudetttu seve pe il lolo dei seni e dei oseni. L o gduto è povvisto di nonio. L ussol in sso sinist, moviile, segnl l diffeenz f nod geogfio e nod mgnetio. nhe il eto del qudnte è finemente iniso e pesent divese funzioni. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

2 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE 1. Definizioni di ngolo ngolo L geometi definise ngolo isun delle pti del pino in ui esso è diviso d due semiette usenti d uno stesso punto O; il punto O si die vetie dell ngolo e le due semiette (O e O) si diono lti. Un ngolo si indi itulmente on l notzione lettele OY, oppue on un lette minusol dell lfeto geo:,,, d e., m nhe on le lettee minusole x, y qundo è inognito. ngolo oientto Pe elimine l intinse miguità dell peedente definizione è neessio estendee il onetto di ngolo, ssumendo un delle due semiette he lo geneno (pe esempio O) ome oigine e definendo il senso di otzione oio ome senso positivo pe le otzioni. Un ngolo di vetie O e semiett oigine O = si die oientto positivmente ( FIGUR 1) qundo quest deve uote in senso oio intono O pe sovpposi l lto O = (lto estemo). Si die oientto negtivmente se l stess otzione vviene in senso ntioio. Nel nosto ontesto si f ifeimento in genee d ngoli positivi, dunque legti ll otzione oi dell semiett oigine. L ngolo oientto positivo di lti O e O in FIGUR 1 viene indito on l notzione OY (le pime due lettee indino sempe il lto oigine); mente quello di FIGUR (sempe positivo) viene indito on l notzione OY (dunque le notzioni OY e OY indino ngoli oientti divesi). Gli ngoli oientti poi, possono essee mggioi dell ngolo gio; inftti, se immginimo he il lto oigine O dell ngolo OY vd sovpposi l lto estemo O dopo ve desitto uno o più ngoli gii ompleti, si ottiene un ngolo on mpiezz mggioe dell ngolo gio. + F Q P Che os sono gli ngoli oientti? Sono le pozioni di pino desitte dll semiett oigine dunte l otzione, in senso oio, pe ndsi sovppoe ll lt semiett dell ngolo. O + FIGUR 1 Rotzione in senso oio dell semiett O intono l punto O pe definie l ngolo = O X positivo. O β FIGUR Rotzione in senso oio dell semiett O pe definie = O X. F Q P Che vntggi offono gli ngoli oientti? Essi eliminno l miguità onness ll definizione geometi di ngolo (pte onv o pte onvess del pino definite dlle due semiette). Inolte hnno senso si gli ngoli negtivi he quelli di mpiezz mggioe dell ngolo gio. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

3 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE l =. Misu degli ngoli Il dinte R O R Gli ngoli sono gndezze misuili, il he impone l dozione di un unità di misu. Nelle vlutzioni teoihe tle unità di misu è il dinte. Il dinte è definito ome l ngolo l ento in un ehio di ggio itio R he sottende un o il ui sviluppo l è ugule llo stesso ggio R (pe d = 1 è l = R). FIGUR 3 L misu di in dinti è dt dl ppoto f l lunghezz dell o sotteso e il ggio dell ionfeenz di ento O. Dunque, pe ottenee l mpiezz in dinti di un geneio ngolo = OY ooe f ifeimento un ehio on ento in O e ggio itio R = O = = O, ll o l inteettto sul ehio dlle due semiette O e O, ed eseguie il seguente ppoto ( FIGUR 3): l d = (1) R Ntulmente pe l = R si h d = 1. D semplii vlutzioni sull peedente definizione si h: F Q P Che os è il dinte? È l unità pe l misu delle mpiezze degli ngoli ust nel ontesto teoio-mtemtio. È definito dl ppoto t lo sviluppo dell o di ehio ompeso t le due semiette e il ggio itio dello stesso ehio il ui ento oinide on l intesezione delle stesse semiette. R d ngolo gio: = = 6, R ngolo pitto: R d = = 3, R ngolo etto: R d = = 1, R I sistemi di misu opetivi Il dinte ome unità di misu degli ngoli è onveniente in tutte le onsidezioni di ttee teoio, mente l stess unità di misu è poo effie in tutte le elozioni di ttee ptio-pplitivo. In tle mito è neessio definie lte unità di misu degli ngoli he dnno luogo sistemi di misu ngoli TELL 1 Sistemi di misu ngole Sistem sessgesimle Sistem deimle Sistem entesimle Unità Gdo sessgesimle, indito on l pie (), è 1/ 90 dell ngolo etto. Gdo sessgesimle, indito on l pie (), è 1/ 90 dell ngolo etto. Gdo entesimle, indito on ( ), ( g ) o (gon), è 1/ 100 dell ngolo etto. Sottomultipli Il pimo sessgesimle, indito on (l), è 1/ 60 del gdo. Il seondo indito on (m), è 1/ 60 del pimo (quindi 1/3600 del gdo). Deimi, entesimi, millesimi, e. di gdo sessgesimle. Quindi un ngolo espesso in questo sistem di misu si ompot ome un nomle numeo deimle. Deimi, entesimi, millesimi, e. di gdo entesimle. Tlvolt (mente) si pl di pimi ( - ) entesimli [pim oppi di ife deimli] e seondi ( = ) entesimli [seond oppi ife deimli]. Impieghi È un sistem di misu dtto i loli mnemonii, petnto veniv pefeito sopttutto in pssto. In esso non vlgono le egole dell itmeti deimle, m egole nloghe quelle del sistem oio. È un sistem onveniente nel lolo on mezzi menii, ome le ttuli loltii tsili. Le opezioni itme tihe vengono eseguite on le fmilii egole dell numezione deimle. Come il sistem deimle è dtto l lolo menio, nel ispetto delle egole dell numezione deimle. È qusi univeslmente dottto in Topogfi, pe l su gnde ptiità opetiv. Es. 1417l6m 14, ,476 [ = ] 3 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

4 (sessgesimle, deimle e, in ptiole, entesimle) ltentivi quello pim definito (sistem nlitio). Nell TELL 1 sono definite le unità di misu e desitte le tteistihe dei te sistemi di misu ngole utilizzti nei ontesti ptio-opetivi. Convesione t sistemi di misu ngoli Qulunque si il sistem di misu dottto, l mpiezz degli ngoli imne invit, il he signifi he il ppoto t l misu di un ngolo, in un qulunque sistem, e l ngolo pitto, espesso nello stesso sistem, deve este invit. Si può, quindi, sivee: UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE d = 180 d = 00 = Utilizzndo di volt in volt un di queste te elzioni è possiile onvetie l mpiezz di un ngolo, espess in un dto sistem di misu, quell espess in uno qulunque degli lti sistemi. Le opezioni d eseguie pe queste onvesioni t sistemi di misu ngole (he pelto sono utomtizzte in tutte le loltii sientifihe) sono sintetizzte nelle TELLE, 3, 4. TELL Convesioni di un ngolo espesso in gdi sessgesimli () Gdi deimli Gdi entesimli Rdinti Fomule gdi + pimi 60 + seondi 3600 Dopo l onvesione in deimli: 00 = = Dopo l onvesione in deimli: d = 180 Esempi = 4817l6m 17 6 = = 48,905 = 4817l6m = 48,905 = 48, = 53,6561 = 4817l6m = 48,905 d = 48,905 = 0 d, TELL 3 Convesioni di un ngolo espesso in gdi entesimli ( ) Gdi deimli Gdi sessgesimli Rdinti Fomule = = Dopo l onvesione in deimli: gdi + [(deimli gdi) $ 60]l + + [(deimli pimi) $ 60]m d = 00 Esempi = 71,4568 = 71, = 64,3111 = 71,4568 = 64,3111 = ,3111 $ l,666 = = 6418l + 0l,666 $ 60 = 6418l40m = 71,4568 d = 71, = 1 d,14 TELL 4 Convesioni di un ngolo espesso in dinti ( d ) Gdi deimli Gdi sessgesimli Gdi entesimli Fomule 180 d = Dopo l onvesione in deimli: gdi + [(deimli gdi) $ 60]l + + [(deimli pimi) $ 60]m 00 d = Esempi d = 1 d,54 = 1 d, = 87,3187 d = 1 d,54 = 87,3187 = ,3187 $ 60 = 8719l,1 = = 8719l + 0l,1 $ 60 = 8719l07m d = 1 d,54 = 1 d,54 00 = 97,008 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 4

5 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P he os seve il oeffiiente 06 65? Seve tsfome l mpiezz di un ngolo espess in dinti nel oispondente vloe espesso in seondi sessgesimli, e vieves. Qundo si onsideno ngoli molto pioli, può essee onveniente onvetie il vloe in dinti di tli ngoli diettmente in seondi sessgesimli e entesimli. In effetti si h: d 180 $ 60 $ 60 $ m = = $ d d 00 $ 100 $ 100 $ = = = $ d 3. Funzioni goniometihe seno e oseno j Il ehio goniometio Un ehio si die goniometio qundo il suo ento O è l oigine di un sistem di ssi tesini OXY e il suo ggio R viene ssunto ugule ll unità di misu dei segmenti (si die peiò he il suo ggio è unitio: R = 1). Inolte, pe onvenzione, indito on il punto di intesezione del ehio on l sse delle odinte, il lto O viene ssunto qule lto oigine degli ngoli oientti di vetie O (PFIGUR 4). F Q P Che os è il ehio goniometio? È un ehio onvenzionle di g gio unitio (R = 1) e on ento oinidente on l oigine di un sistem tesino. Viene utilizzto pe semplifie le de finizioni delle funzioni goniometihe. Il ifeimento l ehio goniometio, pu non indispensile, pemette di semplifie l definizione delle funzioni goniometihe e di vlutne pidmente le tteistihe. Consideimo un geneio punto sul ehio goniometio geneto dl lto estemo O dell ngolo l ento = OY ; possimo osseve he l posizione del punto sul ehio dipende solmente dll mpiezz dello stesso ngolo. Se o poiettimo sull sse delle odinte (PFIGUR 5), si viene fome il tingolo ettngolo OC di ipotenus O = R = 1, e ome effetto di qunto ffemto pim, nhe i teti C e OC di questo tingolo dipendono solmente dll ngolo (mente l ipotenus imne sempe R = 1). Dto poi he le lunghezze di tli teti ppesentno pue le oodinte tesine di, ne onsegue he nhe l siss X e l odint Y del punto sono funzioni dell ngolo, ioè ogni vloe di oisponde un deteminto vloe si pe l siss X si pe l odint Y del punto Y Y C sen X R = O 100 X os Y 300 O X R = 1 Y 100 X FIGUR 4 Cehio goniometio e ngolo oientto. FIGUR 5 Un punto sul ehio goniometio h pe oodinte i vloi delle funzioni seno e oseno. 5 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

6 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Definizioni di seno e oseno Ftt quest pemess, è possiile definie le seguenti funzioni dell viile dell ngolo : viene definito seno dell ngolo, e viene indito on l notzione sen, il ppoto t il teto C (opposto ll ngolo ) e l ipotenus O = R del tingolo ettngolo OC; viene definito oseno dell ngolo, e viene indito on l notzione os, il ppoto t il teto OC (diente ll ngolo ) e l ipotenus O = R del tingolo ettngolo OC: F Q P Quli sono le unità di misu delle funzioni goniometihe? Nessun: in eltà isun fun zione goniometi è definit dl ppoto f le lunghezze di due segmenti, petnto è un numeo dimensionle. C sen = R OC os = () R Dl punto di vist dimensionle è possiile osseve ome tli funzioni sino numei pui, pehé definiti dl ppoto di due gndezze dell stess speie. Considendo poi he nel ehio goniometio O = R = 1, le peedenti definizioni () diventno: sen = C = X os = OC = Y (3) Come si vede l semplifizione nell impiego del ehio goniometio onsiste nel ftto he in tle mito i vloi delle funzioni seno e oseno sono di ftto oinidenti, ispettivmente, on le lunghezze dei segmenti C e OC (o dlle oodinte tesine di X e Y ); tle semplifizione è evidenzit in PFIGUR 5. Tuttvi ooe sempe iode he nell eltà le funzioni seno e oseno non sono segmenti, m imngono sempe ppoti di segmenti (ppoti he nell mito del ehio goniometio pesentno i denomintoi uguli ll unità) e he le definizioni () imngono inltete nhe l di fuoi del ehio goniometio. Petnto, nhe se il vloe di un funzione goniometi di un ngolo viene definito nell mito semplifito del ehio goniometio, esso ssume omunque signifito ssoluto. Vloi di seno e oseno di 30, 45 e 60 Vizioni e peiodiità delle funzioni seno e oseno Fendo ifeimento l ehio goniometio (PFIGUR 6) in oispondenz degli ngoli he definisono i qutto qudnti, è file stilie i vloi delle funzioni seno e oseno (he sono 0, 1 o -1) in oispondenz degli ngoli = 0; = 90 (100 ); = 180 (00 ); = 70 (300 ). Inolte see file dimoste he in oispondenz degli ngoli = 30 (33,3); = 45 (50 ); = 60 (66,6); le funzioni seno e oseno ssumono vloi fili e utili d iode memoi he, insieme i peedenti, sono sintetizzti nell PTELL 5. FIGUR 6 ngoli ptioli pe l deteminzione dei vloi delle funzioni seno e oseno. C X = 0 Y = 1 O = 0 R = 1 R = 1 O C = 100 X = 1 Y = 0 X = 1 R = 1 O Y = 0 R = 1 = 00 O C X = 0 = 300 Y = 1 C Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 6

7 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P I vloi delle funzioni seno e oseno di uno stesso ngolo hnno sempe vloi divesi? No, 45 (m nhe pe lti vloi) le funzioni seno e oseno pesentno lo stesso vloe. TELL 5 Vloi delle funzioni seno e oseno pe luni ngoli notevoli = sen os Più in genele, l vie dell ngolo, le funzioni seno e oseno ssumono vloi eli sempe e omunque pptenenti ll intevllo d -1 1, vloi estemi ompesi. Quest ilevnte situzione può essee sintetizzt dlle seguenti notzioni: -1 # sen # 1-1 # os # 1 Cesendo l ngolo olte l ngolo gio, 400 ( 360 o ), i vloi dell funzione seno e dell funzione oseno si ipetono peiodimente. Possimo llo ffeme he seno e oseno sono funzioni peiodihe on peiodo di 400. Ciò signifi he tli funzioni dopo un ngolo gio tonno d ssumee gli stessi vloi (pe esempio sen 485 = sen 85 ). Più in genele (on n inteo) possimo sivee: sen( + n 400 ) = sen os( + n 400 ) = os 4. Funzioni goniometihe tngente e otngente Con ifeimento ll PFIGUR 7, è possiile definie le ulteioi seguenti funzioni dell ngolo : viene definit tngente dell ngolo, e indit on l notzione tg, il ppoto (qundo esiste) t il teto C (opposto ll ngolo ) e il teto OC (diente ll ngolo ) del tingolo ettngolo OC; viene definit otngente dell ngolo, e indit on l notzione otg, il ppoto (qundo esiste) t il teto OC (diente ll ngolo ) e il teto C (opposto ll ngolo ) del tingolo etto OC: 7 F Q P Cos signifi ffeme he le funzioni goniometihe sono peiodihe? Signifi he dopo un deteminto intevllo (360 pe seno e oseno, 180 pe tngente e otngente) ipoduono gli stes si vloi. C tg = OC OC otg = (4) C nhe i vloi di queste funzioni sono numei pui. Inolte, osì ome pe le funzioni seno e oseno, nhe le funzioni tngente e otngente posseggono un signifito semplifito nell mito del ehio goniometio, in ui i vloi di queste funzioni oinidono on le lunghezze di deteminti segmenti. In effetti, onsidendo l PFIGUR 7 e tindo l tngente geometi l ehio goniometio nel punto, imne definito il punto T intesezione t l stess tngente e il polungmento del lto estemo O dell ngolo. L lunghezz del segmento T (oppue l siss X T di T) oinide on il vloe dell funzione tngente dell ngolo. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

8 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE C os O Y sen R = 1 X tg X T Y T t 100 X C os Y R = O 100 sen X s Y S Y S otg H X FIGUR 7 Definizione dell funzione tigonometi tngente. FIGUR 8 Definizione dell funzione tigonometi otngente. nlogmente, tindo l tngente geometi l ehio goniometio nel punto H (PFIGUR 8), l lunghezz del segmento HS (oppue l odint Y S di S) oinide on il vloe dell funzione otngente dell ngolo. In definitiv, nell mito del ehio goniometio, le peedenti definizioni (4) diventno: tg = T = X T otg = HS = Y S (5) Ossevndo poi le () e le (4) sono evidenti le seguenti elzioni: sen os 1 tg = otg = otg = (6) os sen tg Esistenz delle funzioni tngente e otngente Mente le funzioni seno e oseno esistono sempe (ioè fonisono sempe un numeo ele pe qulsisi ngolo (dunque sono funzioni ontinue), iò non è veo pe le funzioni tngente e otngente; esse, inftti, non esistono pe ptioli ngoli he nnullno i denomintoi delle (4). Se i limitimo onsidee ngoli minoi dell ngolo gio l funzione tngente non esiste 100 e 300, mente l funzione otngente non esiste 0 e 00. Questi vloi ngoli ppesentno punti di disontinuità pe le due funzioni (he petnto sono dette disontinue). Tuttvi un po pim o un po dopo questi vloi (PFIGURE 9 e 10), le funzioni tngente e otngente ssumono vloi molto gndi on segno positivo (+ 3, più infinito) oppue negtivo (- 3 meno infinito). Ciò giustifi le notzioni onvenzionli del tipo: tg 100 =! 3 otg 00 = " 3 l posto delle notzioni fomlmente oette: tg 100 = non esiste; otg 00 = non esiste. Vizioni e peiodiità delle funzioni tngente e otngente Dl ompotmento delle funzioni tngente e otngente in oispondenz degli ngoli he sepno i qutto qudnti esminti l punto peedente, e iodndo le elzioni (6), possimo ostuie l PTELL 6 in ui sono olti i vloi delle due funzioni in oispondenz degli ngoli già onsideti nel so delle funzioni seno e oseno. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P Pe qule gione le loltii non possiedono un tsto dedito l lolo del vloe dell funzione otngente? Pehé l otngente di un ngolo può essee ottenut utilizzndo il vloe dell tngente dello stesso ngolo, fendone poi il eipoo. F Q P I vloi delle funzioni tngente e otngente di un ngolo sono sempe otteniili ome lunghezz di un segmento? No, le due funzioni sono ppesentte dll lunghezz di un segmento solo nell mito del ehio goniometio. 8

9 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE FIGUR 9 Vizione dell funzione tngente. Y 0 tg T T T T t t O R = X + 00 FIGUR 10 Vizione dell funzione otngente. S Y 400 S 300 O + R = 1 S otg H 100 X + 00 TELL 6 Vloi delle funzioni tngente e otngente pe luni ngoli notevoli = tg ! 3 0! 3 0 F Q P L funzione tngente esiste pe qulsisi ngolo? No, in oispondenz di eti v loi ngoli (es. 90 ) l funzione tngente non esiste. Un po pim o un po dopo questi vloi l tngente ssume vloi ssoluti molto gndi on segno positivo o negtivo. otg! ! 3 0! 3 Ossevndo le PFIGURE 9 e 10, e onsidendo le elzioni (6), possimo endei onto dei segni he le funzioni tngente e otngente ssumono nei vi qudnti. Inolte, si può ffeme he le funzioni tngente e otngente ssumono, l vie dell ngolo, tutti i vloi eli ompesi nell intevllo - 3, + 3. Tle situzione può essee sintetizzt dlle seguenti notzioni: - 3 # tg # # otg # Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

10 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE D qunto esposto, si può osseve he nhe le funzioni tngente e otngente sono peiodihe, m on peiodo di 00 (ngolo pitto). In effetti qundo l ngolo ese d , l tngente e l otngente ssumono, nello stesso odine, gli stessi vloi he pesentno qundo l ngolo vi d Possimo llo ffeme, pe fe un esempio, he tg 44 = tg 44, o he otg 356 = otg 156. Più in genele (on n inteo) possimo sivee: tg( + n $ 00 ) = tg otg( + n $ 00 ) = otg 5. Vloi delle funzioni goniometihe Fin qui sono stti onsideti i vloi delle funzioni goniometihe pe ngoli ptioli (0, 30, 45, 90, 180 e.). Tuttvi nell pti è neessio detemine i vloi delle funzioni goniometihe ifeite non solo d ngoli ptioli, m nhe d ngoli qulunque (pe esempio sen 73,4; tg 45,36). Oggi il lolo di tli vloi viene effettuto on le mhine loltii tsili di tipo sientifio. Le modlità di impiego di tli loltii tsili, nel lolo dei vloi delle funzioni goniometihe, dipendono dlle tteistihe he queste pesentno e he vino d un s ostuttie ll lt. Lsimo peiò ome eseizio l lettoe il ompito di veifie, sul lietto di istuzioni dell popi loltie, le sequenze d ttive pe ottenee i vloi delle funzioni ete. Un volt quisito l uso dell loltie tsile, sà possiile, pe esempio, lole i vloi delle funzioni goniometihe pe gli ngoli ompesi t 0 e 360, intevllndoli on un psso di 10 in 10, e ostuie l PTELL 7. F Q P Esiste un qudnte in ui tutte le funzioni sono positive? Sì, il pimo (0-90 ). F Q P Esiste un qudnte in ui tutte le funzioni sono negtive? No, in nessun qudnte si veifi l simultne negtività di tutte le funzioni goniometihe. TELL 7 Vloi delle funzioni goniometihe pe ngoli on psso di 10 = sen 0 0, ,340 0, ,340-0, os 1 0, , , , , tg 0 0, , , , , otg - 5,6718, , , , Gfii delle funzioni goniometihe Tutte le funzioni goniometihe posseggono un tteisti ppesentzione gfi he si estende infinitmente sinist e dest. Tuttvi, essendo queste funzioni peiodihe, le tteistihe di tli gfii possono essee vlutte ompiutmente nell mito del pimo ngolo gio, dunque limitndo l nlisi nell intevllo ompeso t 0 e 360. Funzioni seno e oseno Pe ostuie i gfii delle funzioni y = sen e y = os, ooe segliee un sl onvenzionle di ppesentzione degli ngoli (pe esempio 5 mm = 10), poi ipote sull sse delle sisse i vloi degli ngoli ompesi t 0 e 360 e sull sse delle odinte i oispondenti vloi del seno e del oseno (d esempio usndo quelli ontenuti nell PTELL 7), fissndo peventivmente nhe in questo so un oppotun sl onvenzionle di ppesentzione (pe esempio 4 m = 1). I gfii he si ottengono sono himti ispettivmente sinusoide e osinusoide; le PFIGURE 11 e 1 ipotno tli uve nel ttto di sse delle sisse in Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 10

11 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE FIGUR 11 Pozione del digmm dell funzione y = sen pe ompeso t 0 e y = sen π 3π/ π π/ 1 peiodo π FIGUR 1 Pozione del digmm dell funzione y = os pe ompeso t 0 e y = os π 3π/ π π/ 1 peiodo π ui gli ngoli sono ompesi t 0 e 360 (0 e 400 ), ioè nell mito del pimo ngolo gio. Funzioni tngente e otngente nlogmente possimo ostuie gfii delle funzioni y = tg e y = otg. Tli gfii sono himti ispettivmente tngentoide e otngentoide; le PFIGURE 13 e 14 ipotno tli uve nel ttto di sse delle sisse in ui gli ngoli sono ompesi t 0 e 400 (0 e 360). Ossevimo he le pllele ll sse Y tite pe = 100 e = 300, ppesentno sintoti pe l funzione tngente; nlogmente l sse Y e l pllel ll sse Y tit pe = 00, ppesentno sintoti pe l funzione otngente. 11 F Q P L estensione, sull sse delle sisse, delle ppesentzioni gfihe di seno e oseno sono limitte solo eti intevlli? No, le due ppesentzioni sono illimitte si dest dell sse y (ngoli positivi) si sinist (ngoli negtivi). 7. Relzioni t le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo T le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo esistono elzioni indipendenti; due di queste sono l pim e l tez delle (6), he pe omodità ipoponimo: sen 1 tg = otg = (7) os tg Olte queste due elzioni indipendenti, è possiile ivne un tez (t seno e oseno di uno stesso ngolo) pplindo il teoem di Pitgo l tingo- Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

12 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE y = tg + + y = otg peiodo π peiodo π FIGUR 13 Pozione del digmm dell funzione y = tg pe ompeso t 0 e 400. FIGUR 14 Pozione del digmm dell funzione y = otg pe ompeso t 0 e 400. lo etto OC (PFIGU R 15) nell mito del ehio goniometio (iodndo he O = R = 1 è l ipotenus di tle tingolo). Considendo poi he in tle ontesto le misue dei segmenti C e OC ppesentno ispettivmente il seno e il oseno dell ngolo, potemo sivee quell he è not ome elzione fondmentle dell goniometi: sen + os = 1 (8) F Q P Esiste un elzione he leg seno e oseno dello stesso ngolo? Sì, è l elzione dett fondmentle pe l qule l somm dei qudti del seno e del oseno di uno stesso ngolo sono sempe uguli ll unità Y R = O X C os Y sen X Y 100 X Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 00 FIGUR 15 pplindo il teoem di Pitgo l tingolo etto OC si ottiene l elzione fondmentle dell goniometi. 1

13 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Cos sono le elzioni dipendenti dell goniometi? Sono elzioni ivte dlle te elzioni indipendenti, nelle quli isun funzione goniometi viene espess in funzione delle lte. TELL 8 Relzioni t funzioni goniometihe di uno stesso ngolo (sen ) (os ) (tg ) (otg ) sen sen! 1 - os os! 1 - sen os tg 1! 1 + tg! 1 + otg 1 otg! 1 + tg! 1 + otg tg sen!! 1 - sen os 1 - os tg 1 otg otg! sen 1 - sen os! 1 - os 1 tg otg In ess, lle notzioni onvenzionli sen e os, deve essee ttiuito il signifito seguente, più oetto sotto l spetto fomle: (sen) e (os). L espessione (8) può essee osì enunit: l somm dei qudti dei vloi del seno e del oseno di uno stesso ngolo è ugule 1. Funzioni goniometihe di uno stesso ngolo Ntulmente l elzione (8), nhe se ivt nell mito del ehio goniometio, h vlidità genele pe qulunque ngolo (pe esempio: sen 76,5 + os 76,5 = 1). Le te elzioni (7) e (8) sono, ome si è detto, t loo indipendenti, e d esse possono essee deivte ulteioi elzioni t le funzioni goniometihe di uno stesso ngolo. L PTELL 8 oglie tli elzioni in ui in ogni ig isun funzione goniometi viene mess in elzione un sol delle estnti. L miguità eltiv l doppio segno! he ompe in lune fomule, viene isolto vlutndo il qudnte di pptenenz dell ngolo. 8. Relzioni t le funzioni goniometihe di ngoli ssoiti Si himno ngoli ssoiti ll ngolo quegli ngoli (divesi d ) pe i quli le funzioni goniometihe, in vloe ssoluto, sono uguli quelle dell ngolo. 13 F Q P Cos sono gli ngoli ssoiti? Sono ngoli divesi, m he pesentno i vloi ssoluti delle funzioni goniometihe ugu li. Pe esempio due ngoli supplementi sono nhe ssoiti. Il segno del vloe dell funzione viene poi definito vlutndo il qudnte di pptenenz degli ngoli ssoiti. Quest popietà degli ngoli ssoiti onsente di utilizze un ngolo uto (I qudnte) pe ottenee il vloe ssoluto di isun funzione goniometi eltiv un ngolo pptenente qulunque qudnte, in genee mggioe dell ngolo etto (pe esempio pe ottenee i vloi delle funzioni dell ngolo 143, è possiile utilizze l ngolo uto 57 ). Quest opezione è not ome iduzione l I qudnte (punto suessivo) ed e indispensile in pssto pe ottenee i vloi delle funzioni goniometihe on le tvole logitmihe (esse, inftti, ontenevno solo i vloi eltivi gli Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

14 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE TELL 9 Ctteistihe degli ngoli ssoiti ngoli ntiomplementi nel I qudnte (100 + ) nel II qudnte ngoli supplementi nel II qudnte (00 - ) nel I qudnte R = 1 Y sen O X sen (100 + ) = os os (100 + ) = - sen tg (100 + ) = - otg otg (100 + ) = - tg R = 1 O 00 Y sen (00 ) 00 sen X sen = sen (00 - ) os = - os (00 - ) tg = - tg (00 - ) otg = - otg (00 - ) Esempio: sen 134 = sen( ) = os 34 Esempio: tg 168 = - tg( ) = - tg 3 ngoli ntisupplementi (1) nel III qudnte ( - 00 ) nel I qudnte ngoli ntisupplementi () nel I qudnte ( + 00 ) nel III qudnte Y sen ( 00 ) Y R = 1 00 O 00 X sen = - sen ( - 00 ) os = - os ( - 00 ) tg = tg ( - 00 ) otg = otg ( - 00 ) R = 1 O sen + 00 X sen ( + 00 ) = - sen os ( + 00 ) = - os tg ( + 00 ) = tg otg ( + 00 ) = otg sen sen ( + 00 ) Esempio: os 7 = - os(7-00 ) = - os 7 Esempio: sen 51 = - sen( ) = - sen 51 ngoli esplementi nel IV qudnte (400 - ) nel I qudnte ngoli opposti qudnte qulunque - qudnte qulunque Y sen (400 ) sen R = 1 O X sen = - sen (400 - ) os = os (400 - ) tg = - tg (400 - ) otg = - otg (400 - ) Y sen D R = 1 O sen X sen (-) = - sen os (-) = os tg (-) = - tg otg (-) = - otg Esempio: tg 337 = - tg( ) = - tg 63 Esempio: os (-8) = os 8 ngoli uti). Oggi, pe tle ompito, l uso delle loltii sientifihe h eso non indispensile tle popietà, he tuttvi è neessi in lti ontesti. Gli ngoli uti e (100 - ) di un tingolo etto sono omplementi, m possono essee nhe onsideti ssoiti in vitù delle elzioni (16) e (1) he snno poposte nel possimo pgfo 10. Nell PTELL 9 sono sintetizzte le tteistihe degli ngoli ssoiti in ui uno di questi è mggioe dell ngolo etto. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 14

15 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P Le mhine loltii fnno ioso ll teni di iduzione l I qudnte? No, tle teni e indispensile on l uso delle vehie tvole nelle quli eno pesenti solo gli ngoli uti (nel I qudnte, ppunto). Riduzione l pimo qudnte Considendo le popietà degli ngoli ssoiti viste in peedenz, dto un ngolo on qulsisi vloe, è sempe possiile: tove un ngolo ompeso t 0 e 100 (dunque uto e positivo), le ui funzioni goniometihe sono uguli, in vloe ssoluto, quelle dell ngolo dto. L ie di tle ngolo uto pende il nome di iduzione l pimo qudnte. d esempio: volendo il vloe di os 7, possimo ioee lle popietà dei due ngoli ssoiti ntisupplementi: 7 e (7-180): os 7 = - os (7-180) = - os 47 quindi 47 è l ngolo idotto l pimo qudnte di 7; nlogmente volendo il vloe di tg 354, fendo ifeimento gli ngoli ssoiti esplementi, si h: tg 354 = - tg ( ) = - tg 46 quindi 46 è l ngolo idotto l pimo qudnte di 354. Qulo l ngolo fosse mggioe dell ngolo gio (tenendo onto dell peiodiità delle funzioni goniometihe), pim di onsidee gli ngoli ssoiti ooe togliee un numeo inteo di ngoli gii. Pe esempio: sen 846 = sen (846 - $ 360) = sen 16 = sen (180-16) = sen Funzioni invese Definizione del polem onnesso lle funzioni invese Esminndo le funzioni goniometihe imo visto he ogni ngolo oisponde (qundo esiste) sempe un solo vloe pe isun delle funzioni goniometihe nlizzte. l ontio, vi sono infiniti vloi dell ngolo (di ui solo due nel pimo ngolo gio) oispondenti un ssegnto vloe di un qulunque funzione goniometi. y = 0,5 Tle situzione viene en evidenzit nell PFIGUR 16, nell qule è ppesentt gfimente l funzione seno. Se immginimo di ssegne ll funzione seno il vloe esemplifitivo di 0,5, vedimo suito dll figu he questo vy = sen x , , ,33 166,66 433,33 x FIGUR 16 L funzione y = sen x ssume un deteminto vloe, d esempio 0,5, in oispondenz di infiniti vloi dell ngolo x. 1 soluzioni ompese t 0 e Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

16 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE loe dell funzione oispondono infiniti vloi dell ngolo tutti quelli individuti dll intesezione dell sinusoide di equzione y = sen on l ett di equzione y = 0,5. Nell isoluzione delle figue pine pit spesso di dove isolvee il polem definito inveso, ioè quello di detemine tutti gli ngoli he pesentno un ssegnto vloe di un funzione goniometi. Pemettendo he vengono himte equzioni tigonometihe quelle uguglinze he ontengono funzioni goniometihe on ngoli inogniti, il polem pim enunito onsiste nel isolvee equzioni elementi del tipo: F Q P ssegnto un numeo ele ompeso t -1 e 1, qunti ngoli pesentno il vloe dell funzione seno ugule questo numeo? Infiniti. sen x = on -1 # # 1 os x = s on -1 # s # 1 tg x = v on - 3 # v # + 3 (9) Pe isolvee le equzioni (9) è neessio definie le funzioni invese di seno, oseno e tngente. Esse onsentono di ottenee il pimo dei vloi dell ngolo (he essendo inognito viene indito on x 1 ), oispondente un dto vloe, s, v dell funzione onsidet, dl qule sà poi possiile detemine tutti gli infiniti lti vloi, o solo il seondo vloe x se i si limit l pimo ngolo gio (mito nel qule si sviluppno le noste polemtihe), on vlutzioni onnesse lle popietà delle funzioni. Pe ottenee questo pimo vloe x 1 dell ngolo, è neessio limite l definizione di queste nuove funzioni in intevlli ngoli en peisi e popi pe isun funzione. L funzione inves oseno Consideimo l equzione sen x = ; ess pesent infinite le soluzioni x 1, x, x 3, x 4 e. (on x 1 e x nel pimo ngolo gio). Pe ottenee il pimo vloe x 1 onsideimo solo gli ngoli x ompesi nell intevllo: -100 # x # 100 Nell mito di questo intevllo, un ssegnto vloe di (on -1 # # 1), est ssoito un solo vloe di x, he petnto è funzione univo di. Tle funzione è not ome funzione inves del seno e viene himt oseno; ess viene sitt on l seguente notzione: x = sen () he signifi, ppunto, «x è l ngolo il ui seno è» (nell intevllo -100 ; +100 ). Il vloe viene fonito dll loltie e, ome detto, deve essee intepetto ome pimo vloe x 1 (; x 1 ; # 100 ) delle soluzioni dell equzione sen x =. Il seondo vloe x viene poi deteminto iodndo he l funzione seno pesent lo stesso vloe pe due ngoli supplementi; llo, essendo x 1 (in vloe ssoluto) nel I qudnte, x ppteà l II qudnte e sà fonito dll ovvi elzione: x = 00 - x 1 Le lte soluzioni x 3, x 4, x 5 e. (m in genele noi non sevono), possono essee ivte d x 1 e x tenendo onto dell peiodiità dell funzione seno. Consideimo, pe esempio, l seguente equzione elemente: sen x = 0,5 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P In qule intevllo ngole l funzione inves oseno viene definit? Nell intevllo 100 # x # 100 nel qule, pe un vloe (ompeso t 1 e 1), d ess oisponde un solo vloe ngole x. 16

17 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P ssegnto un numeo ele ompeso t -1 e 1, l funzione inves o oseno fonise sempe un vloe ngole ompeso t 0 e 180; pehé? Pehé in questo intevllo esiste un solo ngolo il ui oseno pesent un vloe ugule l nu meo ssegnto. In questo in tevllo, ioè, l funzione ooseno è iunivo. L loltie pe sen (0,5) fonise il vloe 33,33 he ostituise il pimo vloe delle soluzioni dell equzione (petnto x 1 = 33,33); pe ottenee l seond soluzione x st lole l ngolo supplemente di 33,33. Dunque, le pime due soluzioni dell equzione peedente (pptenenti l pimo ngolo gio) sono: x 1 = 33,33 e x = 00-33,33 = 166,66 L funzione inves ooseno Con modlità pefettmente nloghe, se onvenimo di ssumee pe x, nell equzione os x = s, solo gli ngoli ompesi nell intevllo: 0 # x # 00 L equzione pesent un sol soluzione, e nhe in questo so x è un funzione univo di s. Quest è l funzione inves del oseno e viene himt ooseno, espess dll notzione: x = os (s) Ess indi he x è l ngolo il ui oseno è s (nell intevllo 0 ; 00 ). nhe in questo so tle vloe viene fonito dll loltie e ostituise il pimo vloe x 1 ( x 1 # 00 ) delle soluzioni dell equzione os x = s. Il seondo vloe x si tov iodndo he l funzione oseno pesent lo stesso vloe pe due ngoli esplementi; llo, essendo x 1 # 00, x sà $ 00 e veà fonito dll elzione: x = x 1 Consideimo, pe esempio, l seguente equzione elemente: os x = - 0,4 L loltie pe os (- 0,4) fonise il vloe 16,19797 he ostituise il pimo vloe delle soluzioni dell equzione; pe ottenee il seondo vloe x st lole l ngolo esplemente di 16, Quindi, le pime due soluzioni dell equzione peedente (pptenenti l pimo ngolo gio) sono: x 1 = 16,19797 e x = ,19797 = 73,8003 L funzione inves otngente nhe pe ottenee le soluzioni x 1, x, x 3, x 4 e. dell equzione tg x = v, ooe ptie dl pimo vloe x 1 limitndo i vloi degli ngoli x ll intevllo: -100 # x # 100 Esso i ssiu he un ssegnto vloe di v est ssoito un solo vloe di x, he petnto è funzione univo di v; ess ostituise l funzione inves dell tngente e viene himt otngente: x = tg (v) Tle vloe viene fonito dll loltie e ostituise il pimo vloe x 1 delle soluzioni dell equzione tg x = v. Il seondo vloe x viene poi deteminto iodndo il peiodo dell funzione tngente: x = 00 + x 1 17 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

18 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Esminimo, pe fisse le idee, l seguente equzione elemente: tg x = 0,3 Dll loltie pe tg (0,3) ottenimo il vloe 18,55471 (quindi x 1 = 18,55471); l seond soluzione x si ottiene ggiungendo 00 questo vloe. Dunque, le pime due soluzioni sono: x 1 = 18,55471 e x = ,55471 = 18,55471 Ctteistihe in sintesi e notzioni onvenzionli Sintetizzimo le tteistihe delle funzioni invese nell PTELL 10. TELL 10 Ctteistihe delle funzioni invese Funzione inves Notzione Intevllo di definizione ª soluzione delle equzioni (9) oseno di [;;# 1] x = sen() -100 # x #100 x = 00 - x ooseno di s [;s;# 1] x = os(s) 0 # x # 00 x = x otngente di v [;v;# 3] x = tg(v) -100 # x # 100 x = 00 + x Nelle loltii tsili si è onsolidt l itudine onvenzionle (dovut l limitto spzio sui tsti e l loo numeo limitto) di edee lle funzioni in vese peselezionndo il tsto di seond funzione (pe esempio INV oppue SHIFT) pim del tsto dell funzione desidet, o indindo l funzione inves on il suffisso esponenzile «-1»: sen INV + sen oppue sen -1 os INV + os oppue os -1 tg INV + tg oppue tg -1 Tuttvi non si deve f onfusione ttiuendo lle peedenti notzioni onvenzionli signifiti lgeii he esse non hnno. Petnto non si deve mi onfondee l funzione inves on l inveso dell funzione, seondo un intepetzione eone he le peedenti notzioni onvenzionli poteeo indue e fvoie. In definitiv ooe iode he l funzione inves oseno (indit nelle loltii ome seno -1 ) ssolutmente non equivle 1/seno. F Q 10. Risoluzione dei tingoli ettngoli Ossevimo he nelle definizioni delle funzioni goniometihe ompe sempe un tingolo ettngolo (o etto) in ui un ngolo uto oisponde ll ngolo (viile indipendente delle funzioni). Ciò pemette di isolvee i tingoli etti pendendo in onsidezione le funzioni goniometihe. L tigonometi insegn isolvee i tingoli sleni (senz ptioli popietà), ioè pemette di lole gli elementi inogniti qundo si onosono te elementi del tingolo, t i quli deve essee sempe ompeso lmeno un lto (o un lto elemento linee). Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] P Le notzioni uste nelle loltii tsili pe indie le funzioni invese sono fomlmente oette? No, sono inolte fuovinti in qunto induono onsidee eonemente l funzione inves ome l inveso del vloe ssegnto. Ciò è giustifito solo dl poo spzio disponiile sui tsti. 18

19 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE FIGUR 17 Relzioni tigonometihe pe un tingolo ettngolo C ssumendo ome ento del ehio dottto il vetie () o il vetie (). C Y 100 =R C Y β 100 = R X X ) ) F Q P Qule ppoto inteoe t gli ngoli uti di un tingolo ettngolo? Sono omplementi, quindi l loo somm è 90. Nel so di un tingolo ettngolo un elemento è sempe noto; questo è l ngolo etto. Quindi, pe isolvee un tingolo ettngolo st ssegne due elementi, t i quli lmeno un lto (o, omunque, un elemento linee). Inolte, indindo on e gli ngoli uti del tingolo etto, questi sono omplementi quindi legti dll elzione: + = 100, d ui segue: = = Poihé, ome si è detto, le definizioni delle funzioni goniometihe di un ngolo oientto non dipendono dl ggio del ehio dottto m solo dll ngolo stesso, possimo llo ssumee l ipotenus = ome ggio di tle ehio, dottndo ome ento il vetie e fendo oinidee il segmento = C on l sse Y delle odinte (PFIGUR 17). Utilizzo delle funzioni seno e oseno Pensimo poi di dotte le onvenzioni letteli in ess ppesentte ( = ipotenus; = C e = C teti; ngolo di vetie ; ngolo di vetie ), e di ifomule in tle mito le definizioni () di seno e oseno, dunque limitndole i soli ngoli uti: sen = os = (10) Dlle elzioni (10) si ivno immeditmente le seguenti: = $ sen = $ os = = sen os Possimo poi ife l solit ostuzione gfi, ssumendo sempe l ipotenus = ome ggio del ehio, m dottndo, quest volt, ome ento il vetie (nzihé ) e fendo oinidee il segmento = C (nzihé C) on l sse Y delle odinte (PFIGUR 17). Rifomulndo le definizioni si h: (11) (1) sen = os = = $ sen = $ os = = sen os (13) (14) (15) 19 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

20 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Dl onfonto delle elzioni (11) e (14) e iodndo he ( = ), si vede he nei tingoli ettngoli si h: sen = os = os(100 - ) os = sen = sen(100 - ) Utilizzo delle funzioni tngente e otngente llo stesso modo possimo ivedee le definizioni delle funzioni tngente e otngente dell ngolo, ifeendole llo shem di PFIGUR 17 (limittmente gli ngoli uti): (16) tg = otg = (17) = $ tg = $ otg = (18) tg Ripetimo l solit ostuzione gfi, ssumendo l ipotenus = ome ggio del ehio, m ome ento il vetie (nzihé ) e fendo oinidee il segmento = C (nzihé C) on l sse Y delle odinte (PFIGUR 17). Rifomulndo le definizioni delle funzioni tngente e otngente dell ngolo (limittmente gli ngoli uti): tg = otg = (19) = $ tg = $ otg = (0) tg Ossevndo le elzioni (18) e (0), si ilev he nei tingoli ettngoli si h: F Q P È possiile definie le funzioni tigonometihe nell mito di un tingolo ettngolo? Sì, pe gli ngoli uti. Pe esempio l funzione se no di un ngolo uto di un tin golo ettngolo viene definit dl ppoto t il teto op posto ll ngolo e l ipotenus dello stesso tingolo. tg = otg = otg(100 - ) otg = tg = tg(100 - ) (1) Enuniti eltivi ll isoluzione dei tingoli etti Le elzioni peedenti pemettono di popoe i seguenti enuniti he onsentono l isoluzione dei tingoli etti qundo sono inogniti elementi linei: In ogni tingolo ettngolo, l misu di un teto è ugule l podotto dell ipotenus pe il seno dell ngolo opposto quel teto, oppue è ugule l podotto dell ipotenus pe il oseno dell ngolo diente quel teto. In ogni tingolo ettngolo, l misu dell ipotenus è ugule l ppoto t un teto e il seno dell ngolo opposto questo teto; oppue è ugule l ppoto t un teto e il oseno dell ngolo esso diente. In ogni tingolo ettngolo, l misu di un teto è ugule l podotto dell lto teto pe l tngente dell ngolo opposto l pimo teto, oppue è ugule l podotto dell lto teto pe l otngente dell ngolo diente l pimo teto. L PTELL 11 sintetizz le modlità isolutive dei tingoli ettngoli nei si fondmentli deteminti di dti noti di ptenz. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P Esiste un elzione t le funzioni seno e oseno degli ngoli uti di un tingolo etto? Sì, il seno del pimo ngolo uto h lo stesso vloe del oseno del seondo. 0

21 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE TELL 11 Shemi isolutivi dei tingoli ettngoli Cso Shem geometio Elementi noti 1 soluzione soluzione 1 C β Ipotenus = = ngolo = $ sen = $ os = $ os = $ sen C β Cteto = = ngolo = $ otg = $ tg = = sen os β Ipotenus 3 Cteto C = sen = = $ os = os = = $ sen 4 C β Cteto Cteto = tg = = sen = tg = = os PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 136,95 m e l ngolo = 4413l30m. Soluzione = 4413l30m = 44,5 (deimli) = 90-44,5 = 45,775 = 136, 95 = 191,109 m oppue: = 136, 95 = 191,109 m sen 45, 775 os 44, 5 = 191,109 sen 44,5 = 133,94 m oppue: = 191,109 os 45,775 = 133,94 m PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 75,68 m e l ngolo = 39,15. Soluzione = ,15 = 60,85 = 75,68 tg 39,15 = 53,455 m oppue: = 75,68 otg 60,85 = 53,455 m = 75, 68 = 9,655 m oppue: = 53, 455 = 9,655 m sen 60, 85 os 60, 85 1 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

22 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 136,95 m e l ipotenus = = 191,11 m. Soluzione 136, 95 = sen 191, 11 = 50, , 95 = os 191, 11 = 49,139 Pe ontollo: (50, ,139) = 100 = 191,11 $ sen 49,139 = 133,95 m PPLICZIONE Polem Detemine gli elementi inogniti di un tingolo ettngolo C, etto in C, del qule si onose l misu del teto = C = 45,58 m e del teto = C = 8,11 m. Soluzione tg = d ui: = tg quindi: 45, 58 = tg = 64,8190 8, 11 Not. Nel so dei tingoli ettngoli, non seve fftto iee le lte soluzioni he soddisfno l equzione peedente, in qunto questi lti vloi sono inomptiili on l geometi dei tingoli ettngoli. Qundo isolveemo i tingoli qulunque, invee, non sempe potemo sfutte tle semplifizione. tg = = 8, 11 d ui: = tg quindi: = tg = 35, , 58 45, 58 = 53,55 m oppue: = 8, 11 = 53,55 m sen 64, 819 os 64, Fomule goniometihe Le funzioni goniometihe vino l vie dell ngolo, m non vino popozionlmente esso. Ciò signifi he, se il vloe di un ngolo divent doppio o tiplo, non è fftto veo he nhe il vloe delle oispondenti funzioni goniometihe diventi nh esso doppio o tiplo. Consideimo, pe esempio, gli ngoli 30 e 60, il seondo doppio del pimo (60 = $ 30). Rifeendoi ll funzione seno, si vede ome i oispondenti vloi non isultno fftto uno il doppio dell lto: sen 30 = 0,5 e sen 60 = 0,8660, peiò sen! sen Pelto, è nhe molto semplie veifie he l funzione goniometi dell somm o dell diffeenz di due ngoli, non è fftto ugule ll somm o ll diffeenz delle funzioni goniometihe dei singoli ngoli, ioè: sen ( + )! sen + sen ome nhe tg ( - )! tg - tg Di seguito vedemo lune fomule in gdo di espimee le funzioni goniometihe di somme e diffeenze di ngoli, podotti di un ngolo pe uno sle, uti- Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] F Q P Il oseno dell somm di due ngoli è ugule ll somm dei oseni di due ngoli? No, il vloe del oseno dell somm di due ngoli può essee ottenuto d pposite elzioni dette fomule di ddizione del oseno.

23 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE lizzndo le funzioni goniometihe dei singoli ngoli. Con l uso delle loltii, ttulmente esse onsevno inteesse solo in mito teoio e didttio pe dimoste luni enuniti. j Fomule di ddizione sen ( + ) = sen $ os + os $ sen os ( + ) = os $ os - sen $ sen tg + tg tg ( + ) = 1 - tg $ tg otg $ otg - 1 otg ( + ) = otg + otg () j Fomule di sottzione sen ( - ) = sen $ os - os $ sen os ( - ) = os $ os + sen $ sen tg - tg tg ( - ) = 1 + tg $ tg otg $ otg + 1 otg ( - ) = otg - otg (3) j Fomule di duplizione sen = $ sen $ os os = os - sen $ tg tg = 1 - tg otg - 1 otg = $ otg (4) j Fomule di isezione 1 - os sen =! 1 + os os =! 1 - os tg =! 1 + os (5) 1 + os otg =! 1 - os 3 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

24 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE j Fomule di postfeesi (on ) + - sen + sen = $ sen $ os + - sen - sen = $ os $ sen + - os + os = $ os $ os + - os - os = - $ sen $ sen (6) 1. Poiezione di un segmento e pendenz di un ett Poponimo o due definizioni, utilizzndo le peedenti funzioni goniometihe, he divenno fmilii llo studente dunte l inteo oso. j Poiezione di un segmento L poiezione del segmento, pptenente ll ett -, sull ett s-s omplne on l pim, è il segmento ll (PFIGUR 18), pptenente ll ett s-s e in ui l e l sono i piedi delle pependioli ll ett stess pssnti ispettivmente pe e. Pe detemine il vloe di tle poiezione, st tie dl punto un pllel M ll ett s-s, indindo poi on l ngolo he quest fom on l M ) s s C β γ D ) s C D s FIGUR 18 In lto, poiezione di un segmento su un ett. In sso, poiezione di un spezzt CD su un ett. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 4

25 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE F Q P L pendenz di un ett può essee negtiv? Sì, se viene vlutt nel senso dell dises. ett -. Si viene fome il tingolo ettngolo M etto in M; possimo llo sivee: ll = M = $ os nlogmente (PFIGUR 18), pe estensione di qunto detto sop, l poiezione llcldl dell spezzt CD sull ett s-s è dt dll seguente elzione: ldl = $ os + C $ os + CD $ os j Pendenz di un ett Fendo ifeimento ll PFIGUR 19, onsideimo l ett - nello spzio; ess fom un ngolo on il pino oizzontle. Possimo fomule il seguente enunito: si definise pendenz dell ett - l tngente dell ngolo he l ett fom on il pino oizzontle. Indindo on p tle entità, pe definizione si h: p = tg Se onsideimo un punto sull ett -, il punto l ppesent l su poiezione sul pino oizzontle ; indindo poi on O il punto di intesezione t l ett e il pino, si viene fome il tingolo ettngolo Ol (etto in l). Espimendo l definizione di tngente nell mito di tle tingolo, e utilizzndo le notzioni di PFIGUR 19, potemo isivee l espessione peedente nel seguente modo: h p = d L pendenz di un ett, essendo definit dll tngente di un ngolo, è un numeo puo; questo viene ssunto positivo qundo si onside il veso in slit dell ett -, negtivo qundo si onside il veso in dises. Un ett oizzontle h pendenz null pehé tg 0 = 0; un ett inlint di 50 ispetto ll oizzontle h un pendenz p = 1, pehé tg 50 = 1, mente l pendenz di un ett possim ll vetile è infinitmente gnde, pehé tg 100 = 3. Nell pti vengono onsidete ette poo inlinte ispetto ll oizzontle, le ui pendenze isultno peiò infeioi ll unità. Petnto, nel linguggio ptio, si us espimee l pendenz in «pe ento», osì he, pe esempio, un pendenz p = 0,0558 divent p = 5,58%. h O d pino oizzontle π FIGUR 19 Pendenz di un ett. 5 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

26 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE Rissumendo MPP DI SINTESI DELL UNITÀ NGOLI VLORI E PROPRIETÀ PROIEZIONE DI UN SEGMENTO GRFICI DELLE FUNZIONI FUNZIONI GONIOMETRICHE RELZIONI TR LE FUNZIONI TRINGOLI RETTNGOLI NGOLI SSOCITI FUNZIONI INVERSE ngolo oientto: è l pte di un pino individut dll otzione ttono l vetie di un semiett, selt ome oigine, neessi pe elizze l sovpposizione di quest on l seond semiett. Rdinte: è l unità di misu degli ngoli in mito mtemtio; esso è definito ome l ngolo l ento in un ionfeenz di ggio itio he sottende un o di lunghezz ugule llo stesso ggio. In definitiv, indindo on l lo sviluppo dell o e on R il ggio dell ionfeenz, si h: d = R l L otzione viene onvenzionlmente onsidet positiv qundo è oi, negtiv qundo è ntioi, dndo luogo ispettivmente d mpiezze ngoli positive e negtive. L ngolo oientto elimin l miguità onness ll definizione geometi di ngolo. Relzione ngolo-o-dinte: dll fomul peedente deivno le seguenti espessioni: R = l d l = R $ d Sistemi di misu opetivi: il dinte, ome unità di misu degli ngoli, imne iositto ll mito mtemtio e teoio. Nell pti, ioè qundo gli ngoli vnno misuti onetmente, si definisono lti sistemi di misu più onvenienti e omodi nel ontesto opetivo: sessgesimle, deimle, entesimle. l = + R O R O O ngolo OX positivo ngolo OX negtivo Misu di un ngolo in dinti Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 6

27 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE Convesione sessgesimle-deimle: entmi i sistemi utilizzno ome unità il gdo sessgesimle, quindi l onvesione igudeà solo i sottomultipli. L ngolo sessgesimle 430l40m veà onvetito nel sistem deimle ome segue: 30l 40m = 4, Convesione sessgesimle-dinti: ooe pim tsfome l ngolo sessgesimle nel sistem deimle, quindi pplie l seguente popozione pe ottenee il oispondente vloe in dinti: d = 180 d ui segue d = $ 180 Convesione sessgesimle-entesimle: ooe pi m tsfome l ngolo sessgesimle nel sistem deimle, quindi pplie l seguente popozione pe ottenee il oispondente vloe in gdi entesimli: = d ui segue = $ 180 Convesione entesimle-dinti: ooe pplie l seguente popozione pe ottenee il oispondente vloe in dinti: d = d ui segue d = $ Coeffiienti di tsfomzione: pit tlvolt di dove tsfome un ngolo piolo (infeioe l gdo, ioè ll unità di misu) d dinti diettmente in seondi. Coeffiiente pe tsfome dinti in seondi sessgesimli: m = 180 $ 3600m $ d = $ d C os O Y sen 00 R = 1 X tg X T Y T t 100 X Cehio goniometio: è un ehio di ggio unitio (R = 1), vente il ento oinidente on l oigine di un sistem di ifeimento tesino, il ui semisse positivo delle odinte viene ssunto ome lto oigine pe gli ngoli. Il ehio goniometio non è indispensile nell definizione delle funzioni goniometihe, tuttvi il suo impiego semplifi in modo signifitivo l tttzione. Seno e oseno di un ngolo: le funzioni seno e oseno dell ngolo, indite on sen e os, sono definite di seguenti ppoti: C OC sen = os = O O Questi ppoti imngono inviti pe qulunque vloe del ggio R del ehio dottto nell ostuzione gfi. I vloi delle funzioni sen e os sono dei numei pui, quindi senz dimensioni. Entme queste funzioni fonisono vloi eli sempe ompesi t -1 e 1. Nell mito del ehio goniometio si ottiene un impotnte semplifizione pehé, essendo O = R = 1, isult: sen = C os = OC Tngente e otngente di un ngolo: le funzioni tngente e otngente dell ngolo, indite on tg e otg, sono definite di ppoti (qundo esistono): C OC tg = otg = OC C Questi ppoti imngono inviti pe qulunque vloe del ggio R del ehio dottto nell ostuzione gfi. I vloi delle funzioni tg e otg sono dei numei pui, quindi senz dimensioni. Entme queste funzioni fonisono vloi eli sempe ompesi t - 3 e + 3. Le funzioni tngente e otngente tlvolt non esistono: diffeenz delle funzioni sen e os, le funzioni tg e otg non sempe sono definite; in effetti esse pesentno (nel pimo ngolo gio) i seguenti punti di indeteminzione: pe = 100 e = 300 tg non esiste; pe = 0 e = 00 otg non esiste. ppen un po pim e un po dopo tli vloi, le funzioni tg e otg sono invee egolmente de finite e pesentno vloi molto gndi, positivi o negtivi. Convenzionlmente si suole indie in modo sintetio quest situzioni on le seguenti notzioni ituli, nhe se non igoose: tg 100 =! 3 otg 0 =! 3 Vizione delle funzioni goniometihe: l vie del punto, quindi dell ngolo, le funzioni goniome- 7 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

28 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE tihe mino il loo vloe. In oispondenz dei qutto punti di intesezione t ehio e sistem tesino le funzioni goniometihe pesentno i seguenti vloi: = sen os tg 0! 3 0! 3 0 otg! 3 0! 3 0! 3 Peiodiità delle funzioni goniometihe: tutte le fun zioni goniometihe sono peiodihe, ioè i loo vloi si ipetono intevlli egoli detti peiodi. Dopo un inteo ngolo gio le funzioni seno e oseno si ipetono peiodimente ipesen tndo gli stessi vloi. Esse, petnto, si diono funzioni peiodihe on ilo 400 o. Dopo un ngolo pitto le funzioni tngente e otngente si ipetono peiodimente ipesen tndo gli stessi vloi. Esse, petnto, si diono funzioni peiodihe on ilo 00 o. Vloi notevoli delle funzioni goniometihe: i vloi delle funzioni goniometihe vengono genelmente lolti on l loltie. Tuttvi pe luni ngoli ptioli (30, 45 e 60) esse ssumono vloi semplii e tli d essee iodti: = sen 1/ / 3 / os 3 / / 1/ tg 1/ otg 3 1 1/ 3 Pime elzioni t le funzioni goniometihe: ossevndo le definizioni delle funzioni goniometihe, si possono fomule le seguenti impotnti elzioni fondmentli t le stesse funzioni: os otg = sen sen tg = os 1 otg = tg Le funzioni invese: pemettono di individue l ngolo ui ompete un dto vloe di un et funzione goniometi. Tuttvi esiste un polem; in effetti, dto il vloe di un funzione goniometi, esistono infiniti ngoli he pe quell funzione oispondono l vloe ssegnto (pe esempio i sono infiniti ngoli il ui seno è 0,5). Fotuntmente, dopo ve individuto il pimo di questi vloi, è poi file detemine tutti gli lti (o sempliemente l lto, se i si limit l pimo ngolo gio). questo sopo sono definite le funzioni invese in un intevllo suffiientemente istetto, e tle d endee iunivo l oispondenz t ngolo e funzione goniometi. seond delle funzioni gli intevlli in ui sono definite le funzioni invese sono: = oseno : = ooseno s: = otngente v: # # # # # # 100 Ciò signifi he l funzione inves oseno estituià sempe un vloe ompeso nell intevllo # # 100. Questo deve essee inteso ome pimo degli infiniti ngoli il ui seno è ugule. Gli lti vloi devono essee deteminti tenendo onto dell peiodiità dell funzione seno e degli ngoli ssoiti. In modo nlogo si poede pe le lte funzioni invese. I tingoli ettngoli: l ostuzione ll se dell definizione di tutte le funzioni goniometihe si tdue sempe nell pesenz di un tingolo ettngolo. Sihé possimo utilizze le definizioni delle funzioni goniometihe pe isolvee i tingoli ettngoli, seondo i seguenti enuniti. 1. In ogni tingolo ettngolo l misu di un teto è ugule l podotto dell ipotenus pe il seno dell ngolo uto opposto quel teto.. In ogni tingolo ettngolo l misu di un teto è ugule l podotto dell ipotenus pe il oseno dell ngolo uto diente quel teto. 3. In ogni tingolo ettngolo l misu dell ipotenus è ugule l ppoto t un teto e il seno dell ngolo uto opposto questo teto; oppue è ugule l ppoto t un teto e il oseno dell ngolo uto diente questo teto. 4. In ogni tingolo ettngolo l misu di un teto è ugule l podotto dell lto teto pe l tngente dell ngolo uto opposto l pimo teto. 5. In ogni tingolo ettngolo l misu di un teto è ugule l podotto dell lto teto pe l otngente dell ngolo uto diente l pimo teto. Relzioni indipendenti: nell mito dell goniometi è possiile t due il teoem di Pitgo; esso ssume l seguente fom: sen + os = 1 Relzioni t le funzioni goniometihe: ominndo le elzioni indipendenti dell goniometi, è possiile espimee isun funzione utilizzndo le imnenti: Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 8

29 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE (sen ) (os ) (tg ) sen = sen! 1 - os os = tg =! 1 - sen os sen!! 1 - sen os 1 - os tg! 1 + tg 1! 1 + tg tg Queste elzioni pemettono di lole il vloe di un funzione goniometi di un ngolo qundo si onos il vloe di un qulunque lt funzione dello stesso ngolo. ngoli ssoiti: si definisono ngoli ssoiti quegli ngoli pe i quli le funzioni goniometihe pesentno lo stesso vloe ssoluto. I pinipli ngoli ssoiti sono: e il suo supplemente (00 - ); e l ngolo he diffeise di 00 ( - 00 ); e il suo esplemente (400 - ); e il suo opposto (-). Relzioni t i segni delle funzioni di ngoli ssoiti: le elzioni t le funzioni goniometihe di ngoli ssoiti pemettono il lolo delle funzioni di qulunque ngolo mggioe di 100, iduendolo l lolo di un funzione goniometi eltiv un ngolo pptenente l pimo qudnte (iduzione l pimo qudnte). In elzione ll pesenz di un ngolo nel II, nel III o nel IV qudnte, le elzioni he pemettono questo lolo, sono le seguenti: ngolo ompeso nel II qudnte: sen (00 - ) = sen tg (00 - ) = - tg os (00 - ) = - os otg (00 - ) = - otg ngolo ompeso nel III qudnte: sen ( - 00 ) = - sen tg ( - 00 ) = tg os ( - 00 ) = - os otg ( - 00 ) = otg ngolo ompeso nel IV qudnte: sen (400 - ) = - sen tg (400 - ) = - tg os (400 - ) = os otg (400 - ) = - otg ngolo negtivo: sen (- ) = - sen tg (- ) = - tg os (- ) = os otg (- ) = - otg Le fomule goniometihe: tlvolt è neessio espimee un funzione goniometi di un ominzione di ngoli (pe esempio + o ) on funzioni goniometihe dei singoli ngoli. Fomule di ddizione (ominzione + ): sen ( + ) = sen $ os + os $ sen os ( + ) = os $ os - sen $ sen tg + tg tg ( + ) = 1 - tg $ tg Fomule di sottzione (ominzione - ): sen ( - ) = sen $ os - os $ sen os ( - ) = os $ os + sen $ sen tg - tg tg ( - ) = 1 + tg $ tg Fomule di duplizione (ominzione ): sen = $ sen os os = os - sen $ tg tg = 1 - tg Fomule di isezione (ominzione / ): 1 - os sen =! 1 - os tg =! 1 + os 1 + os os =! L poiezione di un segmento: se onsideimo un segmento he fom un ngolo on un ett -, l poiezione del segmento sull ett - è ostituit d un lto segmento ll. Poiezione = ll = $ os L pendenz di un ett: se onsideimo un ett he fom un ngolo ispetto un pino oizzontle, si definise pendenz di quest ett l tngente dell ngolo : p = tg Se onsideimo due punti e O su quest ett e indihimo ispettivmente on d e on h le lunghezze delle poiezioni di e O pim sul pino oizzontle, poi su uno vetile, l pendenz dell ett può essee osì sitt: O h p = d d h pino oizzontle π 9 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

30 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE LORTORIO INFORMTICO Exel Clolo e ppesentzione gfi delle funzioni seno e oseno DI COS CI OCCUPIMO L eseitzione h lo sopo di pepe un foglio elettonio pedisposto pe il lolo dei vloi delle funzioni seno e oseno pe gli ngoli ompesi nel pimo ngolo gio on psso di 15 in 15. Tli vloi venno poi utilizzti pe ostuie il gfio di entme le funzioni. Ntulmente l poedu potà essee utilizzt llo stesso modo pe divese funzioni mtemtihe. Supponimo, dunque, di vole lole i vloi e suessivmente di tie l ppesentzione gfi delle funzioni goniometihe seno e oseno nell intevllo Pensimo poi di inseie le due ppesentzioni nello stesso digmm, in modo d potene ppezze più filmente le ispettive tteistihe onfonto. Fissti osì gli oiettivi d ggiungee on l pplizione, nlizzimo l poedu d ttive. Il pimo psso è quello di pogette e imposte il lvoo sul foglio; quest fse ompende: selt dell e del foglio su ui imposte il lolo; definizione dei dti d ttte, ioè gli ngoli dell intevllo 0-360; fomule d utilizze nel lolo dei vloi delle funzioni; ostuzione dei gfii. 1. Pepzione del foglio Essenzilmente, imposteemo il foglio on l seguente stuttu: ee del foglio Rig Rig 4 Colonn Colonne e C Destinzione Titolo dell tell Etihette di iodo Vloi ngoli d Vloi delle funzioni seno e oseno Lo shem del foglio è evidenzito nell PTELL 1. Possimo o ente diettmente in miente Exel pe modifie, dttndol lle noste neessità, l stuttu pedefinit del foglio di lolo. Note sull multifunzione di Exel Con l vesione di Exel ompes nel phetto Miosoft Offie System 007, è stt intodott, nell pte supeioe dello shemo, l multifunzione (ion) he h sostituito tutti i menu tendin pesenti nelle peedenti vesioni del pogmm. Ess è ompost d vie shede e ontiene tutti i omndi e le onfiguzioni disponiili sotto fom di ione e di fineste di dilogo. Nell multifunzione i omndi sono ognizzti in guppi logii, loo volt olti nelle shede, il ui TELL 1 Shem funzionle del foglio di lolo 1 C D ngoli Seno Coseno 5 0 Fomul Fomul pe il lolo del seno di 0 pe il lolo del oseno di Fomul Fomul pe il lolo del seno di 15 pe il lolo del oseno di Fomul Fomul pe il lolo del seno di 30 pe il lolo del oseno di Fomul Fomul pe il lolo del seno di 45 pe il lolo del oseno di Fomul Fomul pe il lolo del seno di 60 pe il lolo del oseno di Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 30

31 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE LORTORIO INFORMTICO nome è visiile nell pte supeioe dell (PFIGU R ). Pe ottimizze lo spzio disponiile, lune shede vengono visulizzte solo qundo vengono ttivte deteminte funzioni. L pim shed è denomint Home; ess è sempe ollot sinist sullo shemo e ontiene i seguenti guppi logii di omndi: ppunti, Cttee, llinemento, Numei, Stili, Celle, Modifi. Nell PFIGUR sono stti ehiti l linguett dell shed Home e il suo guppo Numei. Lghezz delle olonne utilizzte Come pim opezione, i poponimo di modifie l lghezz di tutte le elle pptenenti lle olonne, e C he utilizzeemo nel lolo, on l seguente poedu (PFIGUR ): selezione diettmente le te olonne, e C, pemendo on il punttoe del mouse sui ottoni in im lle olonne stesse, on l ogimento di tenee pemuto, dunte l opezione, il tsto Ctl (posto in sso e ll sinist dell tstie); dopo l opezione le te olonne mienno oloe; pemee sul pulsnte Fomto nel guppo Celle (shed Home) pe fe sendee l tendin ontenente i omndi di fomttzione delle elle; selezione il omndo Lghezz olonne... (i te puntini di sospensione pennunino l suessiv petu di un finest di dilogo); nell finest di dilogo he ppe sostituie il vloe he ppe (8,43) on il vloe 10; immeditmente le elle delle te olonne ssumenno il nuovo vloe pe l loo lghezz. Seguendo lo shem dell PTELL 1, si isevno l ig ll inseimento del titolo del foglio e l ig 4 ll inseimento delle etihette di testo, on le indizioni del ontenuto delle ispettive olonne. Potemmo llo inseie diettmente il testo ngoli nell ell 4 (dopo vel seleziont puntndol on il punttoe e pemendo il tsto sinisto del mouse), il testo seno in 4 e oseno in C4. Fomto numeio delle elle Pim di poedee on l ezione del foglio elettonio è neessio modifie il fomto pedefinito delle elle destinte ontenee i dti del lolo. In effetti l olonn, quell he onteà gli ngoli, dovà essee pedispost pe numei intei (ioè 0 ife deimli), mente le olonne e C, he dovnno ontenee i vloi delle funzioni seno e oseno, dovnno visulizze i vloi on lmeno 7 ife deimli, neessi pe ppossime il lolo in modo deguto. Pe ppote queste modifihe è neessio: selezione l olonn (ome visto l punto peedente) e pemee sull piol fei in sso dest del iqudo del guppo Numei (evidenzit in PFIGUR ). Nell finest di dilogo he ppe, selezione l voe Numei dell list Ctegoi ll sinist dell finest, e inseie 0 nell sell Posizioni deimli; selezione le olonne e C e ipetee l opezione sop desitt, inseendo 7 nell sell Posizioni deimli.. I dti d ttte: gli ngoli I dti del nosto lolo sono gli ngoli dell intevllo 0-360, on un psso di 15 in 15, giudito ppopito llo sopo di fonie un gfio suffiientemente peiso; questi vloi tovenno posto nell olonn ptie dll ell 5 (PTELL 1). Tuttvi è neessio suito iode he Exel ihiede, pe il lolo dei vloi delle funzioni goniometihe, un ngolo espesso in dinti. È petnto neessio, pim di f eseguie il lolo del vloe del- FIGUR L multifunzione di Exel; ess oglie tutti i omndi ognizzti in shede. Nell figu si utilizz il omndo Fomto del guppo Celle pe dimensione l lghezz delle olonne selezionte,, C. 31 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

32 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE LORTORIO INFORMTICO FIGUR Genezione utomti dei vloi degli ngoli dell intevllo on il omndo Riempimento-Seie. l funzione, povvedee tsfome gli ngoli di gdi sessgesimli, he noi utilizzeemo ome dti di ptenz, i dinti. Pe questo Exel possiede l funzione dinti( ), m lo stesso isultto si otteee utilizzndo il oeffiiente di tsfomzione / 180. Dunque, possimo o endee ttiv l ell 5 pe intoduvi il vloe 0 ome pimo vloe ngole dell intevllo Suessivmente doveeo essee intodotti mnulmente, nelle elle sottostnti dell olonn (6, 7,...), gli lti ngoli on psso 15 fino 360. Tuttvi, iò see noioso e, fotuntmente, non neessio. In eltà esiste un modo più semplie e pido pe ee utomtimente questo insieme di dti, on l seguente poedu: mntenee l 5 (in ui si è intodotto il vloe 0) ome ell ttiv; pemee sul pulsnte Riempimento del guppo Modifi (sul lto desto dell shed Home) pe f sendee l tendin on i omndi disponiili; selezione il omndo Seie...; nell finest di dilogo he ppe, effettue le selte evidenzite on ehi in PFIGUR. Un volt onfemti on il pulsnte OK i vloi e le opzioni, si osseveà immeditmente il iempimento utomtio delle elle sottostnti l ell di ptenz (5) on i vloi ngoli umentti di 15 in 15 fino Clolo dei vloi delle funzioni seno e oseno O potimo il usoe nell ell 5, e suessivmente in quell diente C5. In queste due elle si dovnno sivee le fomule, pelto ovvie, he pemettono il lolo dei vloi delle funzioni seno e oseno dell ngolo ontenuto nell ell 5 dell stess ig (ig 5). Riodndo he ooe tsfome i vloi ngoli in dinti, potemo sivee le seguenti fomule: Fomul Clolo dei vloi di seno e oseno Cell e desizione = SEN(RDINTI(5)) In 5 pe lole il vloe del seno dell ngolo ontenuto in 5 = COS(RDINTI(5)) In C5 pe lole il vloe del oseno dell ngolo ontenuto in 5 Un volt intodotte le fomule peedenti nelle elle 5 e C5 ppinno immeditmente i vloi delle funzioni seno e oseno 0, ispettivmente 0 e 1 (PFIGUR C). Ossevimo he le fomule ontengono ome gomento un ifeimento eltivo ll ell 5 (in effetti mn il pefisso $). Questo tipo di ifeimento deve essee letto nel senso he i si ifeise l vloe ontenuto nell ell dell olonn e sull stess ig (l ig 5) he ontiene le fomule. Quest ossevzione è molto impotnte pe le suessive opezioni di opitu. Il pssggio suessivo potee essee quello di isi vee mnulmente le stesse fomule peedenti nelle elle D6 e C6, on l vvetenz di modifie il ifeimento ll ell 5 on quello ll ell 6 (lolo di seno e oseno 15), ipetendo poi l opezione fino ll ig he ontiene Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 3

33 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE LORTORIO INFORMTICO FIGUR C Menu di selt pid (detto nhe ontestule) ttivile dl tsto desto del mouse. il vloe finle dell intevllo ngole ui si f ifeimento. Tuttvi nhe in questo so Exel i mette disposizione gli stumenti pe eseguie quest opezione in modo più semplie e pido on l seguente poedu: selezione entme le elle 5 e C5 (puntndole tenendo pemuto il tsto shift/miusole ) ontenenti le fomule d opie, he poi pesentenno un unio odo neo e spesso; on il usoe del mouse posizionto ll inteno di un delle due elle ppen selezionte, si peme il tsto desto del mouse; immeditmente ppe ltelmente un menu denominto di selt pid (PFIGUR C); selezione l voe Copi (vengono poste negli ppunti le peedenti fomule in 5 e C5); selezione il loo ettngole di elle ompese t l 6 e l C9 (pim punte sull 6, poi, tenendo pemuto il tsto shift/miusole, sull C9); posizionndo il usoe del mouse ll inteno dell e ppen seleziont, si ton pemee il tsto desto dello stesso mouse pe fe iompie il menu di selt pid; selezione l ion Inoll Fomule pesente nell voe Opzioni Inoll del menu ontestule. Si noteà immeditmente he le elle selezionte snno iempite on i vloi delle funzioni seno e oseno eltivi gli ngoli ontenuti in oispondenz dell pim ell di isun ig (PFIGUR D). L opezione peedente potev essee eseguit no più pidmente utilizzndo l mnigli di tsinmento (PFIGUR D) ostituit d un piolo qudtino neo posto nell ngolo in sso dest sul odo dell e seleziont. In effetti, dopo vee selezionto le elle 5 e C5 (pimo punto peedente), st selezione quest mnigli e, tenendo pemuto il tsto sinisto del mouse, tsine veso il sso quest mnigli fino ll ig 9; ilsindo il tsto si ottiene lo stesso isultto. 33 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

34 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE LORTORIO INFORMTICO FIGUR D Copitu delle fomule ontenenti ifeimenti eltivi he si dttno utomtimente lle elle di destinzione. Con l opezione peedente sono stte opite, nelle elle sottostnti selezionte, le fomule ontenute nelle elle 5 e C5. Posizionndo poi il usoe su un qulunque di queste elle, pe esempio l 1, sull ig delle immissioni si osseveà l fomul opit, nell qule il ifeimento eltivo d 5 è stto utomtimente tsfomto in 1, e osì pe tutte le lte elle. 4. Costuzione del gfio Pe omplete il lvoo non i est he ee un digmm he onteng l ppesentzione gfi delle funzioni seno e oseno. Exel è ptiolmente ttezzto pe elizze gfii di tipo sttistio, tuttvi è nhe possiile ottenee gfii di funzioni mtemtihe. Nel nosto so è possiile ee due gfii septi (uno pe isun funzione), oppue un solo gfio ontenente gli ndmenti di entme le funzioni distinte d due oloi divesi; noi popoemo quest seond soluzione. Pe semplifie l ezione del gfio, è oppotuno (in questo mito) peliminmente selezione i dti he devono essee ppesentti nel gfio (vloi delle funzioni seno e oseno); nel nosto so essi sono ontenuti nel loo ettngole di elle pptenenti lle due olonne e C ompese t l ig 5 e l ig 9 (loo 5:C9). Suessivmente si pe l shed Inseisi (PFIGUR E), pemendo sull eltiv linguett nell multifunzione, nell qule ppe suito il guppo Gfii. T i pulsnti disponiili in questo guppo pe l ezioni dei gfii ooe selezione quello denominto Gfio linee; esso pe un tendin on l possiilità di segliee, t divesi tipi di gfii linee, quello desideto. Nel nosto so è oppotuno segliee il pimo tipo di gfio ompeso nel iqudo Linee D. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 34

35 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE LORTORIO INFORMTICO FIGUR E Gfio delle funzioni seno e oseno elizzto on Linee D. FIGUR F Gfio tidimensionle delle funzioni seno e oseno elizzto on Linee 3D. Immeditmente il gfio viene eto in un iqudo (finest) slile e spostile piee. Gli elementi essoi l gfio (titolo, legend, gigli, ssi e eltive etihette, oloi, sfondi e lti pmeti) ndnno pesonlizzti piee. Pe quest opezione st pote il punttoe del mouse sull elemento d pesonlizze e pemee il tsto desto del mouse. Come sempe ppià il menu di selt pid d ui è possiile selezione l ultimo omndo, denominto Fomto, seguito dl nome dell elemento selezionto (pe esempio Fomto legend, Fomto sse, Fomto gigli e.). Seguono lune fineste di dilogo on le quli, in modo intuitivo e intettivo, è possiile opee numeosissime pesonlizzzioni. Ntulmente si possono segliee nhe lti tipi di gfio, on divesi fomti, se questi venno giuditi più effii nell ppesentzione gfi. Pe esempio, nel nosto so, potemmo segliee ome tipo di gfio quello denominto Linee 3D (PFIGUR E), il ui isultto è illustto in PFIGUR F. Infine, si può poi ioee ll uso dei oloi, pe evidenzie guppi di dti omogenei (nel nosto so i vloi delle funzioni seno e oseno), e inseie un titolo nel foglio di lolo, pe il qule sono stte isevte le pime te ighe, oppotunmente lsite vuote ll inizio dell poedu. Il foglio di lolo osì impostto può essee utilizzto pe ppesente gfimente lti tipi di funzioni goniometihe, nhe omplesse, m nello stesso intevllo. llo sopo st sostituie nelle olonne e C le fomule pim illustte on quelle eltive lle nuove funzioni. Suggeimo pe eseizio di ppesente nel modo indito le seguenti funzioni: y = ;sen ; y = sen + os y = 1 + sen y = ;os ; + 1 y = - sen y = sen y = os( / ) y = os( ) 35 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

36 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE utovlutzione. Veifi delle onosenze 16 ;sen ; # 1 QUESITI VERO/FLSO 17 ;otg ; # 1 Vlute senz l uso dell loltie. V F 18 Esiste un ngolo tle he sen = 1/ e os = 1/ 1 L definizione geometi lssi di ngolo pevede vloi negtivi 19 L funzione otngente è peiodi di peiodo L definizione di ngolo oientto pevede vloi mggioi dell ngolo gio 0 L funzione oseno è peiodi di peiodo 4 3 Il dinte è un pte geometi dei ehi 1 sen 1 os 1 4 L ngolo = 3 / e quello = 300 hnno l stess mpiezz $ os 90 - $ sen 180 = 0 (on! 0) $ os os 90 5 L misu in dinti dell ngolo di mpiezz 0 è di 5 / 6 6 L tsfomzione di un ngolo nei vi sistemi di misu non è sempe possiile 7 Gli ngoli = 41,5000 e = 4130l00m hnno l stess mpiezz $ sen (3 / ) + os - 3 $ tg 9 5 = 3 $ os ( / ) - $ sen (- / ) 3 $ sen 90 - sen $ tg = $ tg $ os (- 360 ) 3 5 os 0 = os 0 8 Il ppoto / 00 seve tsfome dinti in gdi entesimli 6 - tg 160 = tg L ngolo = 04l1m e l ngolo = 5m si equivlgono 7 3 $ ; os ; = 9 $ os 10 Il sistem entesimle è quello più utilizzto in topogfi 8 sen = 4 $ sen 9 tg 60 $ tg 30 = 1 11 L somm t due ngoli è sempe mmissiile 30 sen = tg pe qulunque ngolo os 1 Il podotto t due ngoli è sempe mmissiile 13 L divisione di un ngolo on uno sle è sempe mmissiile 14 Le notzioni onvenzionli S e S indino lo stesso ngolo oientto Considendo il tingolo ettngolo C, etto in C, indindo i teti on e, on l ipotenus e on m e n le poiezioni ispettivmente di ed sull ipotenus, vlute le seguenti espessioni: 31 = $ tg 3 = $ sen 15 L ngolo oientto = 310 e l ngolo = -90 si equivlgono 33 = sen Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 36

37 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE UTOVLUTZIONE 34 = sen 35 os = 36 m = $ os 37 n os = 49 Se pe si h: tg = 3, llo = tg = 6 è un elzione impossiile 51 os = - è un elzione impossiile 5 sen + os = è un elzione impossiile 38 = $ os + $ os Vlute senz l uso dell loltie = os tg tg 11 = sen tg Pe si h: sen = tg 1 + tg 4 Pe si h: os = tg 43 Pe si h: sen = tg tg 44 Pe si h: sen = 1 - os 53 sen + os = 1 è un elzione impossiile 54 os = 3 / è un elzione impossiile 55 È possiile he e sino gli ngoli uti di un tingolo ettngolo spendo he sen = 1 e os = -1/ 56 sen = sen 4 57 Se os = llo os = Se os = llo os = Se sen = e sen = 3 llo sen ( + ) = Se os = llo sen = 1 61 Se os = llo tg = 3 45 Pe si h: os =- 1 - sen 46 Spendo he sen = 4 / 5 on , llo tg = 4 / 3 47 Spendo he os = 5 / 4, llo sen = 4 / 3 48 Se pe si h: 3 tg =, llo = QUESITI RISPOST SINGOL 6 Enunie l definizione di seno di un ngolo. 63 Enunie l definizione di tngente di un ngolo. 64 Spendo he os 1 0 in quli qudnti si tov? 65 Se , qul è il segno di os? 66 Pehé si può ffeme he il seno e il oseno sono funzioni dell ngolo? 37 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

38 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE 67 Che os s intende diendo he l funzione tngente è peiodi? Qul è il suo peiodo? 68 Pe quli vloi di si h tg = 0? 69 Cos si può dedue spendo he otg 0? 70 Qule situzione onsente di isolvee i tingoli ettngoli lolndone ogni elemento? 86 Tsivee l fomul di isezione dell tngente. 87 Che os si intende pe poiezione di un segmento su un ett? 88 Come viene definit l pendenz di un ett? QUESITI RISPOST MULTIPL UTOVLUTZIONE 71 In qule qudnte tutte le funzioni goniometihe ssumono vloi negtivi? 7 Qule elzione inteoe t tngente e otngente di uno stesso ngolo? 73 Quli funzioni goniometihe è possiile definie on i due teti di un tingolo ettngolo? 74 Quli funzioni goniometihe è possiile definie on un teto e l ipotenus di un tingolo ettngolo? 75 Come si deve limite l ngolo pe endee iunivo (invetiile) l funzione y = sen? 76 Che os indi l sittu y = sen. Qul è il do - minio e il odominio di quest funzione? 77 Come si indi l funzione inves di y = os e quli vloi deve ssumee ffinhé ess diventi iunivo? 78 Indie il dominio e il odominio dell funzione y = tg. 79 Che os si intende pe ngoli ssoiti un deteminto ngolo? 80 Come si può giustifie l elzione os = - os (180 - )? 81 Spendo he e sono due ngoli supplementi, ome si giustifi: tg = - tg? 8 Che elzioni legno le funzioni seno e oseno dei due ngoli opposti e -? 83 Pe qule gione le funzioni goniometihe sono iunivohe (invetiili) solo in deteminti intevlli? E quli sono questi intevlli pe isun funzione? 84 Tsivee l fomul di ddizione del seno e quell di sottzione del oseno. 85 Tsivee le fomule di duplizione di seno e oseno. 89 Le mpiezze dei te ngoli inteni di un tingolo equilteo vlgono / / 4 / 3 d / 6 90 Se in un tingolo isosele l ngolo ompeso t i lti uguli è di / 4, le mpiezze di isuno degli ngoli uguli vlgono 3 / 3 / 5 3 / 4 d nessuno dei peedenti 91 L ngolo = 1 d,436 espesso in gdi entesimli vle 59,45 69, ,1700 d 97, L ngolo = 1 d,436 espesso in gdi sessgesimli vle 871l15m 6841l5m 7114l71m d nessuno dei peedenti 93 L ngolo = 15,938 espesso in gdi sessgesimli vle 1990l4m 19345l5m 3518l1m d nessuno dei peedenti 94 L ngolo = 144l16m espesso in gdi entesimli vle 159,436 14,87 135,3800 d 138, L ngolo = 8547l6m espesso in dinti vle 1 d, d,47 1 d,0351 d 0 d, L ngolo = 136,4167 espesso in dinti vle 1 d,9866 d,148 d,534 d d, L ngolo = 1,9808 espesso in gdi sessgesimli vle 1946l48m 1946l35m 1946l58m d nessuno dei peedenti Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 38

39 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE UTOVLUTZIONE 98 L ngolo = 4,8400 espesso in gdi sessgesimli vle 450l10m 450l30m 450l0m d nessuno dei peedenti 99 L ngolo = 7546l00m espesso in gdi entesimli vle 84,185 84,146 84,1 d nessuno dei peedenti 108 Indie qule vloe ssume l espessione sen os 30 - os 60-3 tg / 0 d -1/ 109 Indie qule vloe ssume l espessione os tg 45 - os / 7/ d nessuno dei peedenti Vlute senz l uso dell loltie. 100 Pe ompeso nell intevllo 0-90, qunte volte si h sen = os? 4 1 d nessun 101 Qule uguglinz è mnifestmente impossiile? sen = 0, 8 $ sen =,5 3 $ os = 1, d tg = -,5 10 Qule funzione goniometi pe = 60 ssume il vloe /? oseno tngente seno d nessun 103 Qule funzione goniometi pe = 30 ssume il vloe 3 /? oseno tngente seno d nessun 104 Qule funzione goniometi pe = 30 ssume il vloe 1/? oseno tngente seno d nessun 105 Qule unità di misu tteizz i vloi delle funzioni goniometihe? dinti gdi deimli gdi entesimli d nessun dimensione 106 Indie qule vloe ssume l espessione 3 tg 60-4 tg 45 + os d Indie qule vloe ssume l espessione (os 60 + sen 30) $ (tg 45 + tg 60-3 $ tg 30) 1 1/ -1 d In un tingolo etto in C, qule funzione viene definit dl ppoto /? sen os os d sen e os 111 In un tingolo etto in C, l ipotenus misu m e l ngolo uto misu 30. Qunto misu il teto? 1 m m d 3 m nessuno di questi vloi 11 Indie qule vloe k ende ve l elzione: sen 45 + k $ sen 90 = os 45 + os sen 30 k = 1 k = k = 3 d k = Indie qule vloe k ende ve l elzione: k $ tg 00 - tg 160 = tg 0 tg 45 + tg 5 k = 1 k = k = 3 d k = Stilie pe qule vle l elzione: ;sen ;+ 1 = 0 = 70 = 90 = - 90 d nessuno dei vloi peedenti 115 Stilie pe qule vle l elzione: tg = 1 = 45 = 30l = 50l d = Stilie pe qule vle l elzione: os 3 = 1/ = 30 = -0 = 60 d nessun delle peedenti 117 Stilie pe qule vle l elzione: $ sen = 1 = 45 = 45 e = 135 = 10 e = 10 d nessun delle peedenti 39 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

40 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE 118 Stilie pe qule vle l elzione: ;3 $ tg; = 3 = 30 = -30 = 30 e = 150 d nessun delle peedenti 119 Semplifindo l espessione: sen (180 + ) + sen (360 - ) + sen (180 - ) si ottiene - sen 1 sen d os 16 Clole il vloe dell seguente opezione espimendol in gdi sessgesimli, gdi entesimli e dinti: l46m , d, [07l45m; 4,58794; 0 d,386] 17 L somm di due ngoli vle 16000l00m mente l loo diffeenz è di (4 / 9). Detemine l misu dei due ngoli in gdi sessgesimli e in gdi entesimli. [10; 40] UTOVLUTZIONE 10 Semplifindo l espessione: sen (90 + ) - os (180 + ) - sen (90 - ) si ottiene - os os 11 Semplifindo l espessione: os d nessun delle peedenti os (180 - ) + os (180 + ) - os (360 - ) si ottiene - os os 1 Semplifindo l espessione: 3 os d - 3 os sen (- ) + os (- ) - sen (90 + ) + os ( 90 - ) si ottiene os 0 -os d sen 13 Un line fom on l oizzontle un ngolo di 45, qul è l su pendenz? 0,5 1 3 d nessuno di questi vloi. Veifi delle ompetenze l Eseizi e polemi 14 Eseguie l somm: 4118l10m + 57, d,750 espimendol in gdi sessgesimli, gdi entesimli e dinti. [16605l55m; 184,554; d,89897] 15 Clole il vloe dell seguente opezione e spimendol in gdi sessgesimli, gdi entesimli e dinti: , l30m - 0 d, [853l3m; 94,87744; 1 d,49033] 18 Clole i vloi dell mpiezz degli ngoli ll se di un tingolo isosele spendo he l ngolo l vetie è /3 di isuno di essi, espimendoli in gdi sessgesimli e gdi entesimli. [75 ; 6730l] 19 L ngolo l ento di un o di ehio di ggio R = 5,00 m h un mpiezz di 1 d,4875. Detemine l lunghezz dell o. [37,19 m] 130 I te punti,, C giiono su un ehio di ggio R = 7,00 m. L ngolo ll ionfeenz C h un mpiezz di d,500. Detemine l lunghezz dell o C. [135,00 m] 131 L uv di un std è ostituit d un o di ehio di ggio R = 84,10 m e l ngolo l ento definito dgli estemi dell uv è di 114,3840. Detemine lo sviluppo dell uv. [151,11 m] 13 Detemine l ngolo l ento di un uv iole di ggio R = 7,00 m e sviluppo di 148,70 m, espesso in gdi sessgesimli e in gdi entesimli. [11819l54m; 131,48] 133 L uv di un std è ostituit d un o di ehio di sviluppo 176,94 m e l ngolo l ento definito dgli estemi dell uv è di 1104l4m. Detemine il ggio dell uv. [91,83 m] 134 In un omo l ngolo uto è 68,0555 e il ggio isitto llo stesso omo è R = 10,00 m. Detemine lo sviluppo dei qutto hi definiti di punti di tngenz t ehio e omo. [10,675 m; 0,74 m] 135 D un punto P esteno un ehio di ggio R = 15,00 m si onduono due semiette P e P tngenti l ehio e he fomno l ngolo P = 89,7963. Detemine lo sviluppo dell o ompeso t i due punti di tngenz. [5,90 m] 136 Detemine il ggio del ehio spendo he l o sull su ionfeenz h uno sviluppo di 6 m, e he il oispondente ngolo l ento è di 9,1157. [56,85 m] Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 40

41 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE UTOVLUTZIONE 137 Un o h gli estemi e oinidenti on gli estemi dell ipotenus di un tingolo ettngolo e isosele, mente il ento oinide on il vetie omune i due teti del tingolo. Spendo he isuno dei due teti è lungo m, qul è lo sviluppo dell o? [34,56 m] 138 Due ehi hnno lo stesso ggio di 15 m. L ionfeenz del pimo ehio pss pe il ento del seondo ehio, e vieves. Clole lo sviluppo di isuno dei due hi he si deteminno nell intesezione dei due ehi. [31,41 m] Vlute le seguenti espessioni goniometihe Spendo he os =, lole sen, tg, otg > sen =! ; tg = ; otg = H Spendo he otg =, lole sen, tg, os > sen =! ; os =! ; tg = H Tsfome l espessione os - sen ) in modo he in ess figui solo l funzione seno; ) in modo he in ess figui solo l funzione tngente. 1 sen ; 1 - tg tg > H 14 Si lolino i vloi delle funzioni tigonometihe di: ) 15 ossevndo he 15 = ) 15 ossevndo he 15 = ) 15 ossevndo he 15 = d) 75 ossevndo he 75 = e) 105 ossevndo he 105 = f) 105 ossevndo he 105 = Spendo he sen = e os = si lo lino i vloi di: sen ( + ) tg ( - ) os ( - ) nell ipotesi he e sino ngoli uti. 144 Spendo he tg = 3 e tg = 1, lole i vloi di: sen ( - ) os ( + ) tg ( - ) 145 Spendo he sen = 1 e tg = 3, si lolino i vloi di: sen ( + ) os ( + ) sen ( - ) os ( - ) tg ( + ) otg ( + ) tg ( - ) otg ( - ) Spendo he os =+, si lolino i vloi di: sen os tg otg sen / os / tg / otg / nell ipotesi he si minoe di Spendo he sen =+, si lolino i vloi di: sen os tg otg sen / os / tg / otg / nell ipotesi he si ompeso t 90 e Spendo he sen =-, si lolino i vloi di: sen os tg otg sen / os / tg / otg / nell ipotesi he si ompeso t 180 e Spendo he os =- 3, si lolino i vloi di: sen os tg otg sen / os / tg / otg / nell ipotesi he si ompeso t 90 e Spendo he tg = -1, si lolino i vloi di: sen os tg otg sen / os / tg / otg / nell ipotesi he si ompeso t 70 e Veifie le seguenti identità: tg otg ) + = 1 tg - tg otg - otg ) sen + sen os + os = = os (1 + tg + tg ) os 1 ) = - tg 1 + sen os sen 1 1 d) = os sen tg sen + os tg + 1 e) = sen - os tg - 1 f) os 4 + sen 4 = 1 - sen os 1 g) 1 + tg = os 41 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

42 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE 15 Veifie le seguenti identità: tg ( + ) otg + otg ) = tg otg - tg ) os ( + ) os ( - ) + 1 = os + os ) sen ( + ) + os ( - ) = 1 + sen $ sen d) otg = otg - tg e) otg + tg = sen f) sen ( + ) sen ( - ) = os - os g) os ( + ) os ( - ) = os - sen sen ( + ) h) = tg + tg os ( + ) + os ( - ) i) os ( - ) - sen ( + ) = os os l) otg - tg = otg m) 1 - os = tg sen sen + sen 1 n) = os - os 1 tg ( - ) sen - sen 1 o) = tg ( - ) os + os 158 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono il teto = 88,75 m e l ngolo uto = 36,480; detemine le poiezioni m e n dei teti sull ipotenus. [m = 74,61 m; n = 30,95 m] 159 Detemine peimeto e e del tingolo isosele C, spendo he l se C = 18,60 m e he l ngolo = 47,3000. [ p = 46,03 m; S = 93,7 m ] 160 Detemine l se C e l eltiv ltezz del tingolo isosele C, spendo he il lto = 48,65 m e he l ngolo l vetie = 8,597. [C = 58,78 m; h = 38,77 m] 161 Detemine il peimeto del tingolo isosele C, spendo he l ltezz eltiv ll se è h = 41,45 m e l ngolo l vetie = 67,4111 gon. [ p = 144,56 m] 16 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onose il ppoto t il teto e quello he isult 3. Spendo he l ipotenus è di 50 m, detemine il peimeto del tingolo. [ p = 118,30 m] 163 In un tingolo ettngolo, etto in C, si o noso no i seguenti elementi: ( + ) = 17,5 m; = 41,637. Clole i lti del tingolo. [ = 107,6 m; = 65,5 m; = 85,14 m] UTOVLUTZIONE Risolvee i seguenti tingoli ettngoli 153 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono l ipotenus = 51,47 m e l ngolo uto = 43,705; detemine il peimeto del tingolo. [605,36 m] 154 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono l ipotenus = 4,78 m e l ngolo uto = 40,530; detemine l e del tingolo. [437,46 m ] 155 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono l ipotenus = 50,37 m e l ngolo uto = 59,578; detemine i teti del tingolo. [ = 418,71 m; = 308,98 m] 156 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono l ipotenus = 719,5 m e l ngolo uto = 63,1450; detemine i teti del tingolo. [ = 60,8 m; = 393,66 m] 157 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono il teto = 133,9 m e l ngolo uto = 50,8614; detemine i lti del tingolo. [ = 136,95 m; = 191,10 m] 164 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono i seguenti elementi: ( + ) = 59,75 m; = 48,096. Clole i lti del tingolo. [ = 4,7 m; = 8,98 m; = 30,77 m] 165 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono i seguenti elementi: ( + ) = 15,0 m; = 7,9630. Clole i lti del tingolo. [ = 11,48 m; = 10,46 m; = 4,73 m] 166 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onosono i seguenti elementi: ( - ) = 1,0 m; = 5,4074. Clole i lti del tingolo. [ = 8,18 m; = 167,33 m; = 155,13 m] 167 In un tingolo ettngolo, etto in C, si onose l e pi 450 $ 3 m mente l ngolo uto è l metà dell lto ngolo uto. Clole gli elementi inogniti del tingolo. [ = 60 m; = 30 m; = 51,96 m] 168 Clole l e di un pllelogmm di ui si onosono le misue di due lti onseutivi (8 m e 6 m) e l mpiezz dell ngolo ompeso (10). [S = 41,57 m ] Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 4

43 MODULO LO STUDIO DELLE FIGURE PINE UTOVLUTZIONE 169 Detemine il peimeto e l e del tingolo isosele C onosendo l lunghezz dei due lti uguli C = C = 9,00 m e l mpiezz degli ngoli ll se, uguli 73,560. (Suggeimento: tie l ltezz eltiv ll se.) [5,6 m; 9,90 m ] 170 Detemine il peimeto e l e del tingolo isosele C onosendo l lunghezz dell se = 4,00 m e l mpiezz dell ngolo l vetie C, ugule 55,5555. [80,78 m; 308,80 m ] 171 Detemine il peimeto di un tingolo sleno C di ui sono noti il lto = 36 m, l ngolo C X = 68,50 e l ngolo X C = 44,80. (Suggeimento: tie l ltezz eltiv ll se.) [139,39 m] 17 Detemine il peimeto di un tingolo sleno C di ui sono noti il lto C = 16,5 m, l ngolo CX = 94,70 e l ngolo X C = 58,40. (Suggeimento: tie l ltezz eltiv ll se.) [60,474 m] 173 Detemine il peimeto di un tpezio ettngolo CD spendo he l ltezz di 17,14 m è ugule ll se minoe CD e onosendo l mpiezz dell ngolo C X D = 138,40. (Suggeimento: tie l ltezz del tpezio d C.) [84,04 m] 174 Detemine il peimeto di un tpezio ettngolo CD di ui sono noti il lto oliquo C = 0,00 m, l se mggioe = 8,50 m e l ngolo X C = 68,50. (Suggeimento: tie l ltezz del tpezio d C.) [85,104 m] 175 Detemine il peimeto di un tpezio CD di ui sono noti il lto oliquo D = 6,5 m, l se mggioe = 5,8 m, l ngolo D X = 6,80 e l ngolo X C = 54,60. (Suggeimento: tie l ltezz del tpezio d D.) [17,59 m] 176 In un tingolo ettngolo C sono noti i due teti C e : C = = 1,75 m = = 19,54 m Clole gli elementi inogniti. Figu in sl 1 : 500. [ = 3307l30m ( = 36,8053); = 3,33 m; = 565l30m ( = 63,1947)] 177 In un tingolo ettngolo C si onosono i teti e : = 1174,38 m = 876,44 m Clole gli elementi inogniti. Figu in sl 1 : [ = 59,1847 (5315l58m); = 40,8153 (3644l0m); = 1465,36 m] 178 In un tingolo ettngolo C si onosono i teti: C = = 96,37 m = = 150,84 m Clole gli elementi inogniti. Figu in sl 1 : 000. [ = 36,193; = 63,8068; = 179,00 m] 179 In un tingolo ettngolo C si onosono i teti e : = 131,40 m = 15,78 m Clole gli elementi inogniti. Figu in sl 1 : 000. [ = 45,00; = 54,7799; = 01,51 m] 180 In un tingolo ettngolo C si onosono l ipotenus e il teto : = 741,30 m = 496,54 m Clole gli elementi inogniti. Figu in sl 1 : [ = 550,41 m] 181 In un tingolo ettngolo C si onosono l ipotenus e il teto : = 4,10 m = 15,80 m Clole gli elementi inogniti. Figu in sl 1 : 500. [ = 39,0] 18 In un tingolo ettngolo MNP, ettngolo in N sono dti: teto MN = 364,58 m; ipotenus MP = 43,7 m. Clole gli elementi inogniti e disegne l figu in sl 1 : [P X = 574l30m; M Z = 335l30m; NP = 33,08 m] 183 In un tingolo ettngolo CE, ettngolo nel vetie E, si onosono l ipotenus C e l ngolo uto nel vetie C: C = 98,50 m CX E = 64,5360 Clole gli elementi inogniti. Figu in sl 1 : [EC X = 35,4640; CE = 5,08 m; E = 83,61 m] 184 In un tingolo ettngolo si onosono l ipotenus = 39,40 e l ltezz eltiv h = 15,50 m. Clole gli lti elementi. [ = 35,30 m; = 17,0 m; = 71,1744; = 8,856] 185 In un tingolo ettngolo C, etto in C, il teto misu 50 m e l su poiezione sull ipotenus misu 14 m. Detemine il peimeto del tingolo. [ = 178,57 m; = 171,43 m; p = 400 m] 43 Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597]

44 UNITÀ 1 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRICHE 186 In un tingolo isosele C, l se è lung 8 m e l su ltezz misu 45 m. Detemine il peimeto del tingolo. [Lto = 47,17 m; p = 1,5 m] 187 Detemine peimeto e e di un tpezio ettngolo CD onosendo l se mggioe = 90 m, l ltezz D = 5 m e il lto oliquo C = 36 m. [p = 15,1 m; S = 196,1 m ] 188 Detemine peimeto e e di un tpezio ettngolo CD onosendo l ltezz D = 30 m, l ngolo X C = 60 e spendo he l digonle minoe C è pependiole l lto oliquo C. [p = 185,88 m; S = 1818,63 m ] 191 D un punto P si sono tite le due tngenti un ehio di ggio R = 5,00 m. Spendo he l lunghezz t P e isuno dei due punti di tngenz è di 108,40 m, detemine l lunghezz dell od he ongiunge i due punti di tngenz. [93,77 m] 19 Detemine il peimeto di un tingolo sleno C di ui sono noti i lti C = 55,60 m e = 6,40 m, e l ngolo CX = 61,88. (Suggeimento: tie l ltezz eltiv ll se o C.) [173,44 m] 193 Detemine il peimeto di un tingolo sleno C di ui sono noti i lti C = 4,80 m e C = 91,80 m, olte ll e S = 1780,00 m. (Suggeimento: tie l ltezz eltiv ll se C o C.) [17,87 m] UTOVLUTZIONE 189 Un sl è ppoggit ll pete di un fito. Spendo he l estemo supeioe dell sl si tov un ltezz di 3,50 m e he l ppoggio dist 1,50 m dll pete vetile, detemine l pendenz dell ett su ui gie l sl, e l su lunghezz. [p =,33; L = 3,81 m] 190 D un punto P si sono tite le due tngenti un ehio di ggio R = 6,00 m. Spendo he l od he ongiunge i due punti di tngenz è lung = 40, m, detemine l ngolo he le due tngenti fomno in P. [87,409] Risultti dei quesiti veo/flso 1F, V, 3F, 4V, 5F, 6F, 7V, 8F, 9V, 10V, 11V, 1F, 13V, 14F, 15V, 16V, 17F, 18F, 19V, 0F, 1F, V, 3F, 4V, 5F, 6V, 7V, 8F, 9V, 30F, 31V, 3F, 33F, 34V, 35V, 36F, 37V, 38V, 39F, 40F, 41F, 4V, 43V, 44F, 45V, 46V, 47F, 48F, 49V, 50F, 51V, 5V, 53F, 54V, 55F, 56F, 57F, 58V, 59F, 60V, 61F. Risultti dei quesiti ispost multipl 89, 90d, 91, 9, 93, 94d, 95, 96, 97, 98d, 99, 100, 101, 10d, 103, 104d, 105d, 106d, 107, 108, 109d, 110d, 111, 11, 113, 114d, 115, 116d, 117, 118, 119, 10, 11d, 1, 13. Copyight 01 Znihelli editoe S.p.., ologn [597] 44