ALCUNE OSSERVAZIONI SUI TRIANGOLI

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1 LUNE OSSERVZIONI SUI TRINGOLI ataloghiamo i triangoli seondo i lati seondo gli angoli Esiste sempre il triangolo? Selte a aso le misure dei lati, è sempre possibile ostruire il triangolo? Quali ondizioni devono verifiare le misure a, b, dei lati affinhé il triangolo esista? Individuato il lato maggiore a, deve essere: mpiezze degli angoli La somma delle ampiezze degli angoli interni di un triangolo è uguale all ampiezza dell angolo piatto. 1

2 IL TEOREM DI PITGOR E LE SUE PPLIZIONI Riferendoti al disegno della pagina seguente, svolgi la seguente attività: Sulla retta t segli un punto in modo he sia un triangolo ottusangolo ostruisi un quadrato sul lato (ioè deve essere un lato di questo quadrato), alola la sua area ostruisi in modo analogo i quadrati sui lati e e alola le loro aree ompleta la tabella Triangolo ottusangolo rea del quadrato ostruito su rea del quadrato ostruito Somma delle aree dei quadrati ostruiti su e rea del quadrato ostruito su Segli ora un altro punto D sulla retta t in modo he D diventi un triangolo autangolo e ripeti ostruzioni e aloli indiati prima (tranne il quadrato sul lato he rimane fisso) ompleta la tabella Triangolo autangolo rea del rea del quadrato quadrato ostruito su D ostruito su D Somma delle aree dei quadrati ostruiti su D e D rea del quadrato ostruito su Tenendo onto dei risultati ottenuti da ogni allievo onstatiamo he:

3 t 3

4 questo punto sorgono due domande: i sarà un punto sulla retta t in modo he la somma delle aree dei quadrati ostruiti su e sia uguale all area del quadrato ostruito su? in tal aso he tipo di triangolo sarà? Le risposte a queste domande sono ontenute in un'affermazione nota on il nome di Teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati ostruiti sui ateti è uguale all area del quadrato ostruito sull ipotenusa Nella figura: b e a indiano le misure dei ateti, è la misura dell ipotenusa. a a + b = b. Questa formula i permette di alolare la misura di un lato di un triangolo rettangolo, quando si onose la misura degli altri due. Esempio: un asta lunga un metro è appoggiata al muro. india la lunghezza dell asta a india l altezza he l estremo superiore della riga raggiunge sul muro b india la distanza dal muro dell estremo inferiore e l ipotenusa a b 4

5 I) Si onosono le misure = 100 m e b = 40 m Vogliamo trovare la misura di a. a + 40 = 100 a = a = a = 8400 a = ,65 (m) II) Si onosono le misure = 100 m e a = 7 m Vogliamo trovare la misura di b. 7 + b = 100 b = b = b = 4816 b = ,40 (m) III) Si onosono le misure a = 80 m e b = 60 m Vogliamo trovare la misura di = = = = 10' (m) Riassumendo: appliando il Teorema di Pitagora siamo in grado di o alolare la misura dell ipotenusa onosendo le misure dei ateti (vedi es. III); o trovare la misura di un ateto onosendo la misura dell altro ateto e dell ipotenusa (vedi esempi I e II). 5

6 Formulario Il teorema di Pitagora mette in relazione le misure dei lati di un triangolo rettangolo. Teorema di Pitagora ateto ipotenusa ateto In ogni triangolo rettangolo, la somma dei quadrati delle misure dei ateti è uguale al quadrato della misura dell ipotenusa. b a a + b = b b a ppliando la formula di Pitagora puoi: a alolare la misura dell ipotenusa, onosendo le misure dei ateti a b alolare la misura di un ateto, onosendo le misure dell altro ateto e dell ipotenusa a b b a Vieversa: Se a, b, sono le misure dei lati di un triangolo e vale l uguaglianza a + b =, allora il triangolo è rettangolo. 6

7 TRINGOLI RETTNGOLI 1. I nomi dei lati dei triangoli rettangoli. olora di rosso il lato maggiore dei seguenti triangoli rettangoli e poi olora di blu gli altri due lati. I due lati minori di un triangolo rettangolo sono quelli he delimitano l angolo Si hiamano ateti (nel disegno sono i lati blu di ogni triangolo). Il lato maggiore del triangolo rettangolo è invee quello opposto all angolo Si hiama ipotenusa (nel disegno è il lato rosso di ogni triangolo).. Gli angoli auti di un triangolo rettangolo. nhe nei triangoli rettangoli le ampiezze degli angoli interni sommate danno 180. L angolo retto misura 90 ; la somma delle ampiezze degli altri due deve essere β = β = 7

8 ESERIZI 1 1. Nelle figure seguenti olora un triangolo rettangolo e metti in evidenza l'ipotenusa.. ompleta in ognuno dei seguenti asi il triangolo rettangolo, in modo he il segmento evidenziato sia un ateto. Il vertie manante deve trovarsi nell estremo di un segmento rappresentato nella figura. Rettangolo Quadrato Esagono regolare Trapezio 3. Nelle figure seguenti ompleta il triangolo rettangolo, in modo he il segmento evidenziato sia l'ipotenusa. Il vertie dell angolo retto deve appartenere al perimetro del quadrilatero disegnato. 4. Nelle figure seguenti ompleta il triangolo rettangolo, in modo he il segmento evidenziato sia l ipotenusa e il vertie dell angolo retto sia sulle diagonali del quadrilatero. Rombo quilone 8

9 ESERIZI 1. alola la misura del lato manante del triangolo rettangolo. i) 11,9m 56mm ii) 9,1mm 3,1m iii) 503mm 1,63m. alola la misura del lato manante D D i) 4,8m 0,5dm 36mm ii),8m 37dm 100mm D iii) 33,6m 4,76dm 4mm 3. La tabella si riferise a inque rettangoli, dove a e b indiano le misure dei lati e d quella della diagonale. ompletala. lato a lato b diagonale d alolo 9 m 1 m 7, km 9,7 km 4 m 30 m,8 m 4,5 m 110 m 345 m 9

10 4. La tabella si riferise a quattro triangoli isoseli, dove a b, h indiano nell ordine la misura dei lati ongruenti, quella della base e quella dell altezza relativa.. ompletala. lato a base b altezza h alolo 15 m 18 m 39 m 36 m 4,6 m 3, m 13 m 54 m 5. alola l area del triangolo isosele 6. alola la misura del perimetro del rombo D. Si onosono le misure delle diagonali: = 3 (m), D = 0 (m). 7. La misura del lato di ogni quadratino della griglia è di 4 m. a) alola l area della figura DE. b) alola anhe la misura del suo perimetro. D E 10

11 8. D è un trapezio rettangolo. alola la misura della diagonale. 9. In un triangolo isosele di perimetro 99, m i due lati di uguale lunghezza misurano iasuno 31m. alola l'area del triangolo. 10. In un triangolo isosele di perimetro 99, m la base misura 16m. alola l'area del triangolo. 11. Un trapezio rettangolo è formato da un quadrato di area 43,36 m² e da un triangolo rettangolo; la sua base maggiore è di 0,8 m più lunga della minore. alola la misura del perimetro del trapezio; alola la sua area. 1. alola l'area del triangolo sapendo he: = 39 (m), = 60 (m) H = 48 (m) H 13. Il perimetro di un rombo misura 7 m e una delle sue diagonali è lunga 1,6 m. Trova l'area della figura. 14. L area di un rombo è di 19,44 m, una diagonale misura 5,4m. Trova la misura del perimetro. 15. Il rettangolo D ha le dimensioni =144 m e =7 m. In esso è stato inserito un triangolo PQD, on P e Q, inoltre P = 3 P e Q = 3Q. a) Disegna la figura in sala 1: 9. b) alola la misura del perimetro del triangolo PQ. ) onfronta quest ultimo risultato on quello he riavi dal disegno. 11

12 16. In un quadrato D di area 89 m viene ostruito un altro quadrato, PQRS, on P = 5 (m ). Qual è l'area di questo quadrato? Risolvi on due metodi differenti. D R S Q P 17. Le seguenti terne rappresentano le misure in m di tre segmenti, ompleta la tabella, riordandoti le ondizioni d esistenza d un triangolo e la relazione tra i quadrati dei lati. Se vuoi aiutati on un foglio di alolo. a b a b Terna Pitagoria? Tipo di triangolo? 18. Prendi la lassia terna pitagoria ( ) moltiplia ogni suo omponente per uno stesso numero a tua selta e verifia se ottieni un altra terna pitagoria. È sempre vera questa relazione? 1