I PROBLEMI DI MASSIMO E DI MINIMO

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1 I PROBLEMI DI MASSIMO E DI MINIMO Souzioni di pobemi ttti d ibo: Coso Bse Bu di Mtemti, vo. 5 [1] (Pobem n. pg. 1 ) Individu i punto de ett xy5 pe i que è minim distnz d oigine degi ssi oodinti. Consideimo un punto geneio P pptenente ett : x y 5. Esso oodinte geneie ( x; x) distnz de punto geneio P ( x; x) 5. Consideimo o funzione obiettivo d(x) e espime 5 de ett vie de siss x de punto. Indito on O(; ) oigine de sistem di ifeimento tesino, fimente si iv e: d (x) PO x ( 5 x) x 5 x x 5x x 5 on x R Deteminimo o i minimo ssouto de funzione. A t fine oimo deivt d (x) de funzione obiettivo d(x). d' (x) 1 x 5x x 5 ( 1 ) Studimo o i segno de deivt d (x). A t poposito si ossevi e i dindo denomintoe è sempe positivo, essendo un poinomio di seondo gdo on 5> e ( ) ( 5)( 5) 1 <, petnto die 5x x 5 è obie pe quunque x ed è positiv. I segno di d (x) o oinide on queo de numetoe 1x, pe ui si : x 1x ; 1 ; x x d' (x) Andmento di d(x) D gfio de segno di d (x) si dedue e d(x) un minimo pe x. L distnz minim tovt ve dunque: d( ) 5 ( ) ( ) Mente i punto eto oodinte: ( ; 5 ( ) ) ( ;1)

2 [] Pobem n. pg. F tutti i iindi insivibii in un sfe di ggio e misu, detemin queo di supefiie tee mssim. I iindi insitti ne sfe nno e ionfeenze di bse su sfe e i oo sse pssnte pe i ento de sfe. Noto i ggio de sfe, un iindo insitto è deteminto qundo si onose ngoo α e i ggio de sfe CA fom on sse de iindo CH, essendo H α A C i ento de sfe e A un punto su un ionfeenz di bse de iindo. Si ossevi e α può ssumee soo voi ompesi t e. Deteminimo o funzione obiettivo e espime supefiie tee de iindo in funzione de pmeto α. D disegno si iv e supefiie tee de iindo S ( α ), e si ottiene motipindo ionfeenz di bse pe tezz de iindo, è dt d: ( α ) ( senα ) ( os α ) S HA CH senα os α Ceimo o i mssimo ssouto de funzione obiettivo S ( α ) ne intevo: α. A t fine, ome di onsueto oimo deivt pim de funzione obiettivo. S' ( α ) ( os α sen α ) I segno di ( α ) utim espessione. S oinide on i segno di os α sen α, petnto studimo i segno di quest ' os α sen α Dividendo pe sen α > si ottiene: tg α 1 e isovimo ne inognit tg α. tg α 1 tg α 1 tg α ± tg α Pssndo inognit α si : tg α 1 tg α 1 Pobemi di mssimo e di minimo /7

3 pe ui, imitndoi intevo α, isut: α S' ( α ) Andmento di S ( α ) Do studio de segno di S ( α ), isut e ( α ) ' S un mssimo ssouto pe α. I iindo insitto ne sfe petnto isut equiteo (i dimeto di bse è ugue tezz). I voe mssimo de supefiie tee è ugue : S ( α ) sen os. [] Pobem n. 1 pg. 8 Con un tone ettngoe di dimensioni 5 e m, si vuoe ostuie on oppotuni itgi e piegtue un sto ius. Detemine ungezz dee te dimensioni de sto in modo e i suo voume si mssimo. Tgi Piegtue b b D figu si iv immeditmente e i voume de sto ius è dto d: b. Sempe d figu, tenuto onto e i to mggioe misu 5 m e queo minoe m, isut: bb 5 e,. Tenendo onto di queste ezioni i voume de sto può essee espesso ttveso un so dee te dimensioni, inftti, poste sistem e utime due ezioni, si ottiene: b b 5 ; b 5 ; 5 b d ui si iv: 5 ( ) on. Sviuppimo o i oi pe (). () 5 ( ) 1 5 1; () 1 Pobemi di mssimo e di minimo /7

4 Coimo o deivt pim pe deteminzione de mssimo ssouto. ' () 18 1 Studimo o i segno de deivt pim: ' () , 5 ± 5 1 Come si evine d gfio de segno di ' (), () un mssimo pe, e soddisf i imiti imposti d pobem, d ui si iv: ' ( ) Andmento di( ) b [] Pobem n. pg. 11 Individu due numei ui somm è e pe i qui somm dei qudti è minim. Cimndo on x e on y due quunque di questi numei, si : x y y x. Cimndo on S somm dei qudti di questi numei si : S x y, posto y x si ottiene: ( ) x S x x x x x x Coimo o i minimo ssouto di quest funzione medinte o studio de segno de su deivt pim. S ' x S ' x x x 1 1 x S' ( x) Andmento di S( x) Come si evine d gfio de segno de deivt pim S (x), S(x) un minimo ssouto in x1, d ui si iv y11. Ripitondo, i due numei eti sono: 1 e 1. [5] Pobem n. pg. 1 Un settoe ioe di ggio m, è o sviuppo de supefiie tee di un ono. ) Detemine mpiezz de ngoo ento de settoe in modo e i ono bbi voume mssimo; b) Ne ono tovto insivi i iindo di voume mssimo e detemin te voume. Pobemi di mssimo e di minimo /7

5 m α m () I voume di un ono è ugue un tezo de e de eio di bse, pe tezz. In fomue: 1 ( ) De ono noi onosimo potem m, mente su tezz e i ggio de bse sono biti m non indipendenti, ne senso e ssegnto uno dei due, i estnte eemento isut deteminto pe i ftto e deve sussistee seguente ezione e si desume d teoem di Pitgo etivo tingoo ettngoo di teti, e ipotenus potem de ono. Pe qunto detto ve ezione: on. Pe qunto ppen sitto, funzione obiettivo () isut dt d: 1 1 ( ) 1 Ceimo i mssimo de funzione obiettivo () ttveso o studio de segno de su deivt pim. v ' () ' () ± Come si evine d gfio de segno de deivt pim (), i oume de ono ssume i voe mssimo pe e isut ugue : ' ( ) Andmento di( ) mx L ngoo α ento de settoe ioe ve : Pobemi di mssimo e di minimo 5/7

6 α (b) I voume di un iindo è dto d e di bse pe tezz, ossi: iindo Poié i iindo è insitto ne ono, su tezz non può supee que de ono, petnto deve essee:. Ane i ggio di bse de iindo non può supee i ggio de ionfeenz di bse de ono in ui è insitto, petnto deve essee:. D figu to si evine e i tingoi ABC e ADE sono simii e petnto è possibie ive un ezione t gi eementi ed de iindo A C E B D Sezione vetie ente de iindo insitto e gi eementi ed de ono, peismente, d simiitudine itt si : BC DE AB AD D quest ezione si può espimee in funzione di e ttveso quest, i voume de iindo in funzione de soo pmeto. L funzione voume, de vibie ostituise nost funzione obiettivo di ui dobbimo oe i voe mssimo. Seguono o i oi. Coo di in funzione di : ( ) Coo de funzione obiettivo: iindo ( ) Coo de deivt de funzione obiettivo: ' iindo( ) Studio de segno de deivt: ' iindo( ) Pobemi di mssimo e di minimo /7

7 Pobemi di mssimo e di minimo 7/7 ( ) ' ( ) di Andmento I voume mssimo de iindo insitto ne ono si pe m. I voume mssimo de iindo insitto ve: iindo,mx 1 iindo,mx m.