1. Elementi di Calcolo Combinatorio.

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1 . Elementi di Calolo Combinatorio. Prinipio Base del Conteggio Supponiamo he si devono ompiere due esperimenti. Se l esperimento uno può assumere n risultati possibili, e per ognuno di questi i sono n risultati possibili del seondo, allora in totale i sono n n possibili risultati dei due esperimenti. Dimostrazione: E suffiiente elenare i possibili risultati dei due esperimenti. (,) (,) (, ) (,) (, n ) (, n ) ( n,) ( n,) ( n, n ) dove il risultato è ( i, j) se l esperimento numero assume il suo i-esimo risultato possibile e l esperimento numero assume il suo j-esimo risultato possibile. Prinipio Base Generalizzato del Conteggio Supponiamo he si devono ompiere r esperimenti. Se l esperimento uno E può assumere n risultati possibili, e per ognuno di questi i sono n risultati possibili del seondo esperimento E, e per ognuno dei possibili risultati del primo e del seondo esperimento i sono n possibili risultati del terzo E e se. allora in totale i sono n n n possibili risultati degli r esperimenti. r Dimostrazione: prinipio di induzione: Per r= la proposizione è vera in quanto vale il prinipio base del onteggio. Supponiamo he è vera per r- ioè he per r- esperimenti i sia un totale di n n n r esiti possibili.

2 Per r vale il seguente ragionamento: definiso l esperimento nuovo S he onsiste nel onsiderare i primi r-esperimenti E, E,, E r insieme. Questo esperimento ha n n n r esiti possibili (per l ipotesi induttiva). Per ognuno di questi risultati i saranno n possibili risultati di E, allora in base al prinipio r r base del onteggio i sono un numero totale di risultati pari a n n n n r r Permutazioni Quanti possibili ordinamenti della lettere a, b, sono possibili? I asi sono: ab, ab, ba, ba, ab, ba. Ognuno di questi ordinamenti si die permutazione. Ci sono 6 permutazioni di un insieme di elementi: = 6 In generale se ho un insieme di n elementi, i sarà un totale di diverse permutazioni. ( ) P n n = n! n Considerato un insieme di n elementi, il numero n! esprime il totale di ordinamenti he posso fare onsiderando tutti gli elementi dell insieme. Esempio : Una squadra di aletto è omposta da gioatori. Ogni aliatore deve tirare un rigore, quanti ordini di battuta diversi sono possibili? P =! = 4 = 0. Esempio : Il signor Rossi possiede 4 libri di matematia, di himia, di biologia e di inglese. Egli vuole disporre i libri nella sua libreria in modo he libri della stessa materia siano viini fra loro. Quanti ordinamenti diversi sono possibili?

3 Ci sono 4!!!! ordinamenti diversi he prevedono prima la sistemazione dei libri di matematia poi himia e quindi biologia e inglese. Ma i sono anhe 4! Possibili ordini delle materie da onsiderare quindi ho 4! 4!!!! = 69 Combinazioni Altre volte noi siamo nella neessità di determinare il numero di diversi gruppi di r oggetti he si possono formare da un totale di n oggetti. Due gruppi sono diversi fra loro se risultano omposti da elementi diversi (non onta l ordine degli stessi ome avveniva nella permutazioni). Quanti possibili gruppi di tre elementi selti dall insieme { A, BCDE,,, } posso selezionare? Ci sono selte per il primo elemento, 4 per il seondo e per il terzo. Contando in questo modo vado a onsiderare diversi gruppi quali ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Quindi ogni aso preedente viene ontato 6 volte di più ioè! volte in più. Quindi, poihé l ordine all interno del gruppo non è importante, il risultato è 4 = 0 In generale il numero di gruppi di r elementi selezionati da un insieme he ne ontiene n sono n ( n ) ( n r+ ) n! n = Cnr, r! ( n r)! r! r Esempio :

4 Si deve formare una ommissione di tre individui selezionati da una popolazione di 0 unità. Quante ommissioni diverse si possono formare? Due ommissioni sono diverse fra loro solo se sono diverse le persone he le ompongono quindi i sono ommissioni possibili = = 40 Esempio 4: Da un gruppo di donne e 7 uomini, quante ommissione di donne e uomini si possono formare? Ci sono possibili gruppi di donne prese da un insieme di. 7 Ci sono possibili gruppi di uomini presi da un insieme di 7. Dal prinipio del onteggio segue he è un totale di possibili ommissioni = = Disposizioni Cosa suede se onsideriamo diversi due gruppi anhe per l ordine on il quale gli elementi ompaiono all interno del gruppo? Cioè, quanti gruppi diversi (per elementi e per ordine) di k elementi presi da un totale di n si possono formare?

5 La risposta è semplie basta onsiderare il numero di ombinazioni n k (mi individua i gruppi diversi per elementi) e moltipliarle per le k! permutazioni dei k elementi he ostituisono il gruppo onsiderato. La quantità n n! D = C P = k! n n n k nk, nk, k k = = + ( n k)! ( ) ( ) Prende il nome di disposizione di n elementi presi a k alla volta. Esempio : Si deve formare una ommissione di tre individui selezionati da una popolazione di 0 unità. Il primo selezionato assume il ruolo di presidente, il seondo di vie-presidente e il terzo di segretario. Quante ommissioni diverse si possono formare? Due ommissioni sono diverse fra loro se sono diverse le persone he le ompongono ma anhe se è diverso l ordine di omposizione quindi le ommissioni possibili sono D 0, 0 =! = = Elementi di Calolo delle Probabilità. Consideriamo un esperimento il ui risultato non è prevedibile on ertezza. Definizione Chiamiamo spazio ampionario l insieme di tutti i possibili esiti dell esperimento.

6 Esempio 6 Si lania una moneta. L esito dell esperimento non è noto in partenza S = C, T. ma so he il suo spazio ampionario { } Esempio 7 Si laniano due monete. L esito dell esperimento non è noto in partenza S = C, C, C, T, T, C, T, T. { } ma so he il suo spazio ampionario ( ) ( ) ( ) ( ) Definizione Chiamiamo evento un qualsiasi sottoinsieme E dello spazio ampionario S. A ogni evento vogliamo assegnare una misura (probabilità) della apaità dello stesso di verifiarsi ome risultato dell esperimento 0 del nostro grado di fiduia (personale) ira il verifiarsi dell evento. Definizione Presi due eventi E ed F dello stesso spazio ampionario S, hiamiamo evento unione E Fquell evento he si verifia quando aadono E o F. Esempio 8 Supponiamo di laniare simultaneamente due monete. Siano E TT,, TC, F = C, T. Allora l evento = {( ) ( )} e {( )} E F = ( T, T),( T, C),( C, T) si verifia se appare almeno una testa. { } Definizione 4 Presi due eventi E ed F dello stesso spazio ampionario S, hiamiamo evento intersezione (o prodotto) E Fquell evento he si verifia quando E ed F aadono.

7 Esempio 9 Supponiamo di laniare simultaneamente due monete. Siano E = {( TT, ),( TC, ),( CT, )} e F = {( T, C),( C, T),( C, C) }. Allora l evento E F = {( T, C),( C, T) } si verifia se appare testa ed roe. Si noti he anhe S, quindi anh esso è da onsiderarsi un evento he hiameremo evento nullo. Definizione Presi due eventi E ed F dello stesso spazio ampionario S, diiamo he essi sono inompatibili se E F =. Per esempio onsideriamo il lanio di due dadi. Siano E = {(, ),(, )}; F = {(, ),(, ),(, )} Allora l evento E F = il he india he non è possibile he la somma dei due dadi sia e 4. Definizione 6 Preso l evento E dello spazio ampionario S, indihiamo on E il suo evento omplementare (o opposto) quell evento he aade quando E non si verifia. Consideriamo un esperimento il ui spazio ampionario è S. Per ogni suo evento supponiamo di definire un numero P( E ) he soddisfa i seguenti tre assiomi. ASSIOMA ASSIOMA ( ) 0 P E P( S ) = ASSIOMA

8 E, E,... : i j E E = i j ( ) = ( ) P E P E i= i Il numero P( E ) prende il nome di probabilità dell evento E. i= L assioma i die he la probabilità di un evento è ompreso fra zero ed uno. L assioma due i die he on probabilità uno si verifiherà un evento dello spazio ampionario. L assioma tre i die he per ogni sequenza di eventi inompatibili, la probabilità he almeno uno di essi si verifihi è data dalla somma delle loro rispettive probabilità. Esempio 0 Supponiamo di laniare un dado. S = {,,,4,,6} e P( {} ) = P( {} ) = P( {} ) = P( {} 4 ) = P( {} ) = P( {} 6 ) = 6 Sia E = { il risultato del lanio è un numero pari} allora da assioma tre poihé gli eventi ese, ese 4, ese 6 sono inompatibili si ha he P( E) = P( {, 4,6} ) = P( {} ) + P( {} 4 ) + P( {} 6 ) = i Alune semplii proposizioni Proposizione P E = P E Prova S E E ( ) ( ) E E = quindi da = +. Ma da ASSIOMA = quindi P( S) = P( E E ). Inoltre ASSIOMA segue he P( S) P( E) P( E ) sappiamo he P( S ) = pertanto per sostituzione otteniamo

9 da ui P( E ) = P( E) ( ) P( E ) = P E + Proposizione Se E F allora P( E) P( F). Prova F = E ( E F) ma E ( E F) = P F = P E + P E F ma P E F 0 P F P E quindi da ASSIOMA segue. he ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Proposizione P E F = P E + P F P E F Prova Si noti he ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) (.) E F = E E F P E F = P E + P E F da ASSIOMA. Inoltre sempre da ASSIOMA ho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F = E F E F P F = P E F + P E F da ui segue he ( ) = ( ) ( ) (.) P E F P F P E F Sostituendo la (.) nella (.) riavo la tesi ( ) = ( ) + ( ) ( ) P E F P E P F P E F Eserizio Una satola ontiene 60 biglietti numerati da a 60. Estraendo un biglietto a aso, qual è la probabilità he risulti maggiore di 7 oppure minore di 4?

10 Indio on E= evento il numero estratto è >7 oppure <4. Indio on E i = evento ese il numero i. Risulta he i P( E i ) = ma 60 PE ( ) = PE ( E E E E E ) = da assioma = PE ( ) + PE ( ) = 6 = + = = i i= i= 8 Eserizio In un vassoio i sono 00 aramelle di ui all arania, alla menta e al limone. Prendendo a aso una aramella dal vassoio, qual è la probabilità he non sia alla menta? E A = evento prendo aramella all arania. PE ( A) = 00 E M = evento prendo aramella alla menta. PE ( M ) = 00 E L = evento prendo aramella al limone. PE ( L ) = 00 C 67 PE ( M) = PE ( M) = = = 0, C PE ( M) = PE ( A) + PE ( L) = + = 0, i Eserizio Si lania una moneta sei volte. Trovare la probabilità he testa venga più di frequente di roe. Potremmo onsiderare tutti gli eventi del tipo: A = evento 6 teste e 0 roi A = evento teste e roe et

11 Ma forse è più semplie (siuramente più interessante!!!) ambiare strada e onsiderare i seguenti eventi: A = evento testa ese più spesso di roe B = evento roe ese più spesso di testa C = evento testa e roe esono in numero uguale A, BC, sono eventi he partizionano lo spazio ampionario e quindi essendo inompatibili vale PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) =. Si noti ora he il problema è simmetrio rispetto a testa e roe PC ( ) Quindi PA ( ) = PB ( ) PA ( ) + PC ( ) = da ui PA ( ) =. A questo punto ero PC ( ) = teste e roi in ugual numero. Un esempio di risultato favorevole è il seguente: C T T T C C 6 = questa è solo uno dei asi favorevoli, quanti ne sono in totale? Devo trovare il numero totale di gruppi (he differisono solo per gli oggetti e non per l ordine) di teste e roi he sono dati da 6! 6 4 C6, = = = 0.!! 6 0 Quindi PC ( ) = 0= = da ui riavo PA ( ) = = Spazi ampionari on risultati equiprobabili Spesso i sono situazioni in ui è naturale supporre he tutti i risultati dell esperimento siano equiprobabili. S =,,..., N e formuliamo l ipotesi Supponiamo he { } ({ } ) { } ( ) ({ }) P = P = = P N (.) Allora poihé P( S ) = e gli eventi elementari, dall assioma segue he i j Ssono inompatibili

12 N ( ) ( ) {} P S = P i = Inoltre dall ipotesi (.) segue he indiato on { } dedue e periò N ({}) i= P i = p= pn N i= i= pn = p =. N ( ) p = P i i S si Appliando anora l assioma si ha he E S, p i E p E numero di asi favorevoli a E P( E) = = = p p S numero di asi totali i S Eserizio 4 La probabilità he laniando simultaneamente due dadi si ottengano numeri la ui somma vale è maggiore o minore della probabilità he si ottengano due numeri la ui somma vale 0? E = somma vale. E = somma vale 0. P( E) = ; P( E) = P( E) < P( E) 6 6

13 Eserizio Un urna ontiene 6 palline bianhe e palline nere. Se si estraggono a aso palline, qual è la probabilità he siano una biana e l altra nera? 6 Il numero di asi favorevoli ad estrazioni di una pallina biana è. Il numero di asi favorevoli ad estrazioni di una pallina nera è. 6 Pertanto dal prinipio del onteggio ho = 6 = 0 asi favorevoli all estrazione di una pallina biana e di una pallina nera. Resta da alolare il numero totale di possibili estrazioni di due palline (qualsiasi) dal totale delle presenti. Tale numero è. La probabilità erata è quindi 6 6 = 0,4 Eserizio 6 Gioando a poker Calolare la probabilità di avere una sala reale di QUADRI servito 7 = =, Calolare la probabilità di avere una sala reale servito = =, volte più probabile di una sala reale di un seme speifio.

14 Calolare la probabilità di avere un poker d assi servito = = =, ! !! volte più probabile di una sala reale. Calolare la probabilità di avere un poker servito = = =, 40 0! !! volte più probabile di un poker d assi. Calolare la probabilità di avere un olore servito 4 = 0,00 Calolare la probabilità di avere un full servito = = 0,0044! 47!! 6 volte più probabile di un poker. Calolare la probabilità di avere un tris servito 4 4 = 0,0 4

15 Calolare la probabilità di avere una doppia oppia servito 4 4 = 0,047 Calolare la probabilità di avere una oppia servito 4 4 = 0, 46.