Origami: Geometria con la carta (II)

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1 igami: Geomeia con a caa (II) E' possibie mosae (cf. Geeschage, 1995) che ognuna dee pocedue E1-E5 dea geomeia eucidea, può essee sosiuia da combinazioni dee pocedue 1-8 dea geomeia oigami. Infai abbiamo: E1 E1 coisponde ad 4; E2 Non è possibie oenee una ciconfeenza con piegaue. Ma possiamo sicuamene assumea come deeminaa conoscendone i ceno ed i aggio, e poendone deeminae un quasiasi numeo di puni e angeni nei segueni modi: a) Sia i ceno ed = i aggio dea ciconfeenza (fig. 1a). E' possibie piegae su (usando a pocedua 5) e queso poa i puno su un puno ' (simmeico di ispeo a ) e quindi = ' in quano simmeico di ispeo a (fig. 1. a) Fig. 1 Daa una ea passane pe, i aggio = ' può essee piegao (amie 2) su quesa (fig. 2a) pe oenee i puno dea ciconfeenza sua ea de diameo (fig. 2. E' possibie oenee anche i puno diameamene opposo a. a) Fig. 2 8

2 c) iegando (con a pocedua 6) su se sessa pe, (fig. 3a) cosuiamo a ea pe pependicoae a diameo (fig. 3 che in paica isua essee a angene aa ciconfeenza in. a) Fig. 3 E3 E3 coisponde ad 1; E4 Dao una ciconfeenza (ceno e aggio ) ed una ea, è possibie ovae i oo puni di inesezione piegando (fig. 4a), sovapponendo pima ad in ' e successivamene a '' in modo che e pieghe passino pe (fig. 4. iò è possibie in base aa pocedua 8, in quano ovae i puni di inesezione di una ciconfeenza con una ea è equivaene a ovae e due angeni s e pe ad una paaboa di fuoco e dieice. ' e '' sanno sua ea e sua ciconfeenza in quano a oo disanza da è uguae a aggio. Quindi ' è '' sono e inesezioni cecae. s s a) Fig. 4 9

3 E5 La ciconfeenza, nea geomeia oigami, è noo soo aaveso a conoscenza di deeminai puni e angeni, non è quindi possibie ovae dieamene e inesezioni a due ciconfeenze. E' peò possibie ovae 'asse adicae dee due ciconfeenze iconducendo peciò i pobema a queo pecedene cioè ad E4. e ovae 'asse adicae pocediamo ne seguene modo (fig. 5): y c a b x Fig. 5 Le due ciconfeenze, ispeo a sisema di coodinae equazione: 1) x + y = c e 2) (x - a) + y = b XY, avanno i oo asse adicae avà aoa equazione: 2 x + y - c = x - 2xa + a + y - b cioè: x = (a - b + c )/2a I puni comuni ae due ciconfeenze si ovano quindi sua pependicoae aa congiungene i ceni che disa da ceno dea ciconfeenza di aggio c di x = (a - b + c ) / 2a. Quesa ea può essee ovaa con e pocedue oigami nei segueni 4 passaggi (vedi anche a isposa agi esecizi aa fine): a) osuie i iangoo eangoo avene i caei di unghezza a e c usando e pocedue La unghezza de'ipoenusa è aoa a + c (fig. 6a). osuie i iangoo eangoo avene 'ipoenusa a + c e un caeo b usando e pocedue La unghezza de'ao caeo è aoa a - b + c (fig

4 c) osuie i iangoo avene i ai unghi 1 e a - b + c con 4. oi cosuie i iangoo simie con un ao ungo a - b + c con I ao coispondene a ao ungo ha unghezza a - b + c (fig. 6c). d) osuie i iangoo avene i ai unghi 2a e a - b + c con 4. oi cosuie i iangoo simie con un ao ungo 1 con 4-6. I ao coispondene a ao a - b + c ha unghezza (a - b + c )/2a, misua cecaa (fig. 6d). c a + c b a + c a a) a - b + c Fig a a - b + c a - b + c c) a - b + c (a - b + c )/2a d) 1 a - b + c Si può peano concudee che quaunque cosuzione che può essee faa con meodi eucidei, può essee oenua con meodi oigami. E' possibie anche mosae (cf. Geeschage, 1995) che ognuna dee pocedue 1-8 dea geomeia oigami, può essee sosiuia da combinazioni dee pocedue E1-E5 dea geomeia eucidea. Infai abbiamo: 1 1 coisponde ad E3; 4 4 coisponde ad E1; 2,3,5,6, sono cosuzioni nooiamene possibii con meodi eucidei; 7 Daa una ea d ed un puno F, pe cosuie una angene aa paaboa di fuoco F e dieice d, si pocede ne seguene modo (fig. 7): endo un puno quaunque G sua dieice d, cosuisco 'asse (E2,E5,E1) de segmeno GF che isueà essee angene aa paaboa ne suo puno T (E4, E5, E1, E3). 11

5 G T G T d Fig. 7 F G F s Fig. 8 8 Daa una ea d e due puni F e, pe cosuie a angene pe aa paaboa di fuoco F e dieice d, si pocede ne seguene modo (fig. 8) osuisco a ciconfeenza di ceno e aggio F e ovo e inesezioni G e G' di quesa con a ea d (E2, E4). L'asse (E2,E5,E1) de segmeno GF isua essee a angene pe aa paaboa, T è i puno di angenza (E4, E5, E1, E3). Lo sesso pe oenee 'aa angene s. Quindi ogni cosuzione che può essee faa con pocedue oigami (1..8) può anche essee oenua con meodi eucidei. e quano deo pima peciò i due insiemi di pocedue sono equivaeni. La pocedua oigami 9, aggiunge peò ae cosuzioni geomeiche a'insieme dee possibie cosuzioni geneae da quesi insiemi equivaeni. Quindi 'insieme dee cosuzioni eucidee è un sooinsieme popio de'insieme che può essee geneao con meodi oigami. Ne sisema eucideo si possono isovee pobemi di pimo e secondo gado. E' un sisema geomeico chiuso: non è possibie sviuppao inoducendo nuove pocedue che isovano pobemi di gado supeioe a secondo. I sisema geomeico dea geomeia oigami, invece, è un sisema apeo: non essendo vincoao da sumeni, a scopea di nuove pieghe può espandee i sisema veso a isouzione di pobemi d'odine supeioe. 12

6 Le pocedue pe a cosuzione di un iangoo eangoo avene: a) i caei congueni ispeivamene a due segmeni dai e (fig. 9a); a) Fig. 9 Rea (4) - ependicoae ad pe (6) oae su a facendo peno su (8) - Rea ' (4) (fig. 9. 'ipoenusa ed un caeo ispeivamene congueni a due segmeni dai e (fig. 10a); a) Fig. 10 Rea (4) - ependicoae a pe (6) - su facendo peno su (8) - Rea ' (4) (fig. 10. c) 'ipoenusa e 'aezza eaiva a ipoenusa ispeivamene congueni a due segmeni dai e H (fig. 11a); a) b Q Fig. 11 H uno medio M di (5) - ependicoae a ad pe (6) - ependicoae b ad a pe (6) - Facendo peno su M, sua ea b (8) - Rea Q (4) - Rea Q (4) (fig a M