Anno 4 Equazioni goniometriche lineari e omogenee

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Bonaventura Casadei
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1 Anno 4 Equazioni goniomeriche lineari e omogenee

2 Inroduzione In quesa lezione descriveremo le equazioni goniomeriche lineari e omogenee. Esamineremo le definizioni e illusreremo i meodi risoluivi per ogni ipo di equazione. Al ermine della lezione sarai in grado di: risolvere le equazioni lineari in o e coo risolvere le equazioni omogenee e riconducibili a omogenee risolvere graficamene le equazioni goniomeriche In quesa lezione descriveremo le equazioni goniomeriche lineari, le equazioni omogenee e le equazioni riconducibili a equazioni omogenee. Vedremo le definizioni e mosreremo i meodi risoluivi per ogni ipo di equazione; per le equazioni lineari, illusreremo due meodi risoluivi. Al ermine della lezione sarai in grado di: risolvere le equazioni lineari in o e coo; risolvere le equazioni omogenee e riconducibili a omogenee; infine, risolvere graficamene le equazioni goniomeriche.

3 Equazioni lineari in o e coo Un equazione goniomerica si dice lineare in e quando è possibile ricondurla alla forma: a b c, a, b, c R, a e b Un equazione di queso ipo può essere risola con il meodo algebrico, il meodo grafico e il meodo dell angolo aggiuno. Esempio meodo algebrico c=: Dividiamo enrambi i membri per, che è sicuramene diverso da zero, e risolviamo l equazione elemenare oenua in : an an Iniziamo definendo le equazioni lineari in o e coo. Un equazione goniomerica si dice lineare in e quando è possibile ricondurla alla forma: a+b+c=, a,b,c appareneni ad R, a e b. Osserviamo che se a o b fossero uguali a zero, si oerrebbe un equazione goniomerica elemenare. Un equazione goniomerica lineare in o e coo può essere risola con il meodo algebrico, il meodo grafico e il meodo dell angolo aggiuno. Illusriamo ora il meodo algebrico, disinguendo i casi in cui c= e c. Facciamo un esempio in cui c=: -=. Osserviamo che = non può rappreare una soluzione dell'equazione perché alrimeni sin dovrebbe essere uguale a ±, ma sosiuendo ali valori al poso di sin e nel primo membro dell'equazione non si oiene un'uguaglianza. Possiamo quindi supporre e dividere per enrambi i membri dell'equazione, oenendo an. Ques ulima equazione è un equazione elemenare in angene di. Risolvendola, si ha an=, ovvero =π/+π.

4 4 Risoluzione di equazioni lineari in o e coo Esempio meodo algebrico c : Verifichiamo che =π+π non sia soluzione dell equazione daa per poer applicare le formule parameriche: g g g g 4 Sosiuiamo ora a e dell equazione le relaive espressioni delle formule parameriche e risolviamo: Esaminiamo ora un caso in cui applicheremo il meodo algebrico ad un equazione lineare in cui c. Per la soluzione, si uilizzano le formule parameriche, ricordando che esse si applicano solo per valori di per cui esise la angene di /, cioè per / π/+π ovvero π+ π. Risolviamo, per esempio, l equazione +-=. Verifichiamo che =π+π non sia soluzione dell equazione daa. Sosiuendo π alla variabile, si ha: π+π-=, ovvero --=- che è diverso da. Sosiuiamo ora a e dell equazione le relaive espressioni delle formule parameriche e risolviamo:, che ha per soluzioni = e =. Ricordando che =an/ abbiamo an/= =π oppure an/= =π/+π.

5 Equazioni omogenee di secondo grado in o e coo primo caso Un equazione goniomerica si dice omogenea di secondo grado in e quando è possibile scriverla nella forma: a b c Risoluzione º caso: a= oppure c= Raccogliamo : Risolviamo uilizzando la legge dell annullameno del prodoo: coan coan Un equazione goniomerica si dice omogenea di secondo grado in e quando è possibile scriverla nella forma: a +b +c =. Vediamo qualche esempio. In paricolare, consideriamo il caso in cui a= oppure c=. Risolviamo l equazione - =. Raccogliamo :- =. Uilizzando la legge dell annullameno del prodoo si oengono le equazioni = e - =. = ha per soluzioni =π. L equazione - =, si rasforma, dividendo per, nell equazione elemenare - co= le cui soluzioni sono =π/+π. 5

6 Equazioni omogenee di secondo grado in o e coo secondo caso Risoluzione º caso: a e c Dividiamo i due membri per : an an Poniamo g= e risolviamo l equazione di secondo grado in : an 4 an 4 Risolviamo ora un equazione omogenea di secondo grado in cui a e c. Consideriamo l equazione: + + =. Osserviamo che = non può essere una soluzione perché in al caso risulerebbe = e, sosiuendo nel primo membro dell equazione, non risulerebbe verificaa l uguaglianza; dividiamo i due membri per. an + an+ = Poniamo an= e risolviamo l equazione di secondo grado in. Essa avrà come soluzioni = e = ; ornando all incognia si ha an= =π/4+π e an= =π/+π. 6

7 Equazioni riconducibili a omogenee di secondo grado in o e coo Un equazione che si prea nella forma asin +bsin +c =d può essere ricondoa ad un equazione omogenea di secondo grado Esempio: Moliplichiamo il secondo membro per + : Svolgiamo i calcoli e poriamo uo al primo membro: Risolviamo l equazione omogenea di secondo grado in an: an an an an 4 Un equazione che si prea nella forma: a +b +c =d, può essere ricondoa ad un equazione omogenea di secondo grado moliplicando il ermine noo d per +. Vediamo ad esempio come si risolve un equazione: + + =. Moliplichiamo il secondo membro per + ; svolgiamo i calcoli e poriamo uo al primo membro. Oeniamo l equazione di secondo grado in an: an +an+=; essa avrà soluzione an=-, cioè =π/4+π. 7

8 8 Meodo grafico per la risoluzione di equazioni lineari Esempio:, Equazione di una rea Equazione della circonferenza goniomerica A E Vediamo infine come si risolve un equazione goniomerica lineare con il meodo grafico. Supponiamo di voler risolvere l equazione +=. Trasformiamo l equazione nel sisema avene le due equazioni: +=, + =. Poniamo = e =. Sosiuendo nel sisema oeniamo due equazioni: += e + =. La prima equazione rapprea una rea, la seconda la circonferenza goniomerica. Risolvendo il sisema, roviamo i due puni E; e A/; /. Disegniamo nel piano caresiano la rea e la circonferenza; la rea inerseca la circonferenza nei puni A ed E. Sosiuiamo i valori rovai a e e roviamo : Se = e = =π Se =/ e = / =π/+π.

9 Conclusione Equazioni Lineari Equazioni Omogenee Equazioni riconducibili a equazioni omogenee Meodo algebrico Meodo grafico a= oppure c= c= c a e c In quesa lezione abbiamo illusrao le equazioni lineari e le equazioni omogenee. Abbiamo iniziao dalla definizione di equazioni lineari e abbiamo mosrao la risoluzione di ali equazioni con due meodi: il meodo algebrico, che abbiamo scomposo in due casi: c= e c e il meodo grafico. Abbiamo, poi, definio le equazioni omogenee e le equazioni riconducibili a omogenee. Abbiamo risolo qualche esempio considerando i casi: a= oppure c= e a e c. Abbiamo, infine, definio e risolo le equazioni non omogenee che sono riconducibili a equazioni omogenee. 9

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