UNITA 3. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE.

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1 UNITA. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE.. Generalià sulle equazioni goniomeriche.. Equazioni goniomeriche elemenari con seno, eno, angene e coangene.. Alri ipi di equazioni goniomeriche elemenari.. Le funzioni inverse areno, arcoeno, arcoangene e arcocoangene.. Equazioni riconducibili ad equazioni goniomeriche elemenari.. Equazioni lineari in seno e eno. 7. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e eno. 8. Equazioni riconducibili ad equazioni goniomeriche omogenee di secondo grado. 9. Equazioni che si risolvono con le formule di prosaferesi.. Sisemi di equazioni goniomeriche.. Calcolo del dominio di alcune funzioni goniomeriche.. Calcolo del periodo delle funzioni goniomeriche.. Le inersezioni delle funzioni goniomeriche con gli assi caresiani.. Esercizi vari e problemi di applicazione.. Generalià sulle equazioni goniomeriche. Le equazioni goniomeriche sono equazioni che conengono l incognia all inerno di qualche funzione goniomerica (seno, eno, angene, secane, ecane, coangene). Risolvere l equazione goniomerica significa ricavare l angolo incognio (in radiani) oppure (in gradi) che verifica l uguaglianza ra il primo membro e il secondo membro. Le equazioni goniomeriche servono per risolvere problemi di Geomeria o di Fisica in cui le incognie sono degli angoli. Ci sono vari ipi di equazioni goniomeriche le più frequeni sono le segueni: a- equazioni goniomeriche elemenari b- equazioni riconducibili ad equazioni goniomeriche elemenari c- equazioni lineari in seno e eno d- equazioni omogenee di secondo grado in seno e eno e- equazioni riconducibili ad equazioni omogenee di secondo grado f- equazioni che si risolvono con le formule di prosaferesi.

2 . Equazioni goniomeriche elemenari con seno, eno, angene e coangene. Sono equazioni goniomeriche molo semplici che si possono risolvere in due modi: a- ricordando i valori delle funzioni goniomeriche di alcuni angoli paricolari e ricordando la periodicià di quese funzioni goniomeriche. Può essere uile usare la circonferenza goniomerica. b- uilizzando la calcolarice scienifica, in paricolare i asi sin -, -, an -. Esempio sen Osservando la circonferenza goniomerica si può noare che il seno di un angolo è uguale ad quando l angolo vale oppure quando l angolo vale. Le soluzioni perano si possono scrivere in queso modo: Esempio Osservando la circonferenza goniomerica si può noare che il eno di un angolo è uguale a quando l angolo vale oppure quando l angolo vale. Le soluzioni perano si possono scrivere in queso modo: 9 9 Esempio g Osservando la circonferenza goniomerica si può noare che la angene di un angolo è uguale ad quando l angolo vale. Le soluzioni perano si possono scrivere in queso modo: Esempio co g Osservando la circonferenza goniomerica si può noare che la coangene di un angolo è uguale a quando l angolo vale. Le soluzioni perano si possono scrivere in queso modo:

3 . Alri ipi di equazioni goniomeriche elemenari. Sono equazioni del ipo: sen seny y g gy co g co gy sen y g co gy Esempio sen sen Il seno di un angolo è uguale al seno di un alro angolo quando: il secondo angolo è uguale al primo, a meno di mulipli di oppure quando: il secondo angolo è uguale al supplemenare del primo, a meno di mulipli di Imponendo che gli angoli siano uguali si oiene: prima soluzione Imponendo che gli angoli siano supplemenari si oiene: seconda soluzione. 9 Esempio Il eno di un angolo è uguale al eno di un alro angolo quando: il secondo angolo è uguale al primo, a meno di mulipli di oppure quando: il secondo angolo è uguale all opposo del primo, a meno di mulipli di Imponendo che gli angoli siano uguali si oiene: prima soluzione Imponendo che gli angoli siano opposi si oiene: seconda soluzione. Esempio g g Affinché l equazione abbia significao devono esisere le angeni e perciò deve risulare: per l esisenza della prima angene: per l esisenza della seconda angene: Se le soluzioni dell equazione goniomerica coincidono con quesi valori, ali soluzioni non sono acceabili e perano l equazione non ha soluzioni, cioè è impossibile. Per risolvere l equazione osserviamo che la angene di un angolo è uguale alla angene di un alro angolo se i due angoli sono uguali, a meno di mulipli di. Quindi deve risulare: Soluzione acceabile.

4 Esempio g g co co Affinché l equazione abbia significao devono esisere le coangeni e perciò deve risulare: per l esisenza della prima coangene: per l esisenza della seconda angene: Se le soluzioni dell equazione goniomerica coincidono con quesi valori, ali soluzioni non sono acceabili e perano l equazione non ha soluzioni, cioè è impossibile. Per risolvere l equazione osserviamo che la coangene di un angolo è uguale alla coangene di un alro angolo se i due angoli sono uguali, a meno di mulipli di. Quindi deve risulare: Soluzione acceabile. Esempio sen Il secondo membro si può rasformare in seno, poiché il eno di un angolo α è uguale al seno dell angolo complemenare. Perciò l equazione divena: sen sen e si riconduce ad un ipo di equazione precedene. Imponendo che gli angoli siano uguali si oiene: prima soluzione Imponendo che gli angoli siano supplemenari si oiene: seconda soluzione. Esempio co g g Il secondo membro si può rasformare in angene, poiché la coangene di un angolo α è uguale alla angene dell angolo complemenare. Perciò l equazione divena: g g e si riconduce ad un ipo di equazione precedene. Affinché l equazione abbia significao devono esisere le angeni e perciò deve risulare: per l esisenza della prima angene: per l esisenza della seconda angene: Se le soluzioni dell equazione goniomerica coincidono con quesi valori, ali soluzioni non sono acceabili e perano l equazione non ha soluzioni, cioè è impossibile. Per risolvere l equazione osserviamo che la angene di un angolo è uguale alla angene di un alro angolo se i due angoli sono uguali, a meno di mulipli di. Quindi deve risulare: Soluzione acceabile.

5 . Le funzioni inverse areno, arcoeno, arcoangene e arcocoangene.. Equazioni riconducibili ad equazioni goniomeriche elemenari. Quese equazioni si risolvono rasformando ue le funzioni goniomeriche in funzione di una sola di esse, porando ui i ermini al primo membro e scomponendo il primo membro nel prodoo di più faori di primo grado o di secondo grado. Applicando la legge di annullameno del prodoo si può uguagliare a zero ciascun faore oenendo varie equazioni goniomeriche elemenari che si risolvono singolarmene. A vole, prima di risolvere l equazione, è necessario imporre alcune condizioni di acceabilià. Esempio sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen Esempio sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen 8 9 sen sen sen

6 . Equazioni lineari in seno e eno. Sono equazioni in cui si rovano sia il seno che il eno di un angolo come funzioni di primo grado, e perciò si dicono lineari. Hanno quesa forma: a sen b c dove a,b,c sono numeri reali qualsiasi. Nel caso paricolare in cui c l equazione divena: a sen b che si può risolvere dividendo ambo i membri per (che è ceramene diverso da zero) oenendo: b a g b g a che è un equazione goniomerica elemenare con la funzione angene. Esempio. sen sen g Se invece c l equazione risula complea: a sen b c e si può risolvere uilizzando le formule parameriche razionali rasformando sen e in ipoizzando che g esisa, cioè ipoizzando che e quindi. g, Se invece g non esise, cioè, e quindi, non si possono usare le formule parameriche. Si deve allora sosiuire l angolo nell equazione daa e conrollare se anche queso angolo è soluzione dell equazione. Esempio sen Se g esise, cioè e quindi, si possono usare le formule parameriche razionali e l equazione divena: ( ) g g Se invece g non esise, cioè e quindi, non si possono usare le formule parameriche ma bisogna sosiuire queso valore di nell equazione daa e si oiene: sen ( ) ( ) cioè sen ( ) ( ) ( ) L uguaglianza non è verificaa per cui l angolo non è soluzione dell equazione.

7 Esempio. sen Se g esise, cioè se e quindi, si possono usare le formule parameriche razionali e l equazione divena: g Se invece g non esise, cioè e quindi non si possono usare le formule parameriche razionali ma bisogna sosiuire queso valore di nell equazione daa e si oiene: sen ( ) ( ) cioè sen ( ) ( ) ( ). L uguaglianza è verificaa per cui l angolo è anche soluzione dell equazione. 7. Equazioni omogenee di secondo grado in seno e eno. Sono equazioni in seno e eno che hanno ui i ermini di secondo grado e perciò si dicono omogenee. In generale hanno la forma: a sen b sen c Si possono risolvere dividendo ambo i membri per, che è sicuramene diverso da zero, oenendo un equazione del ipo: a g bg c che è riconducibile ad equazioni elemenari. Esempio. sen ( ) sen sen g sen g g g g

8 8. Equazioni riconducibili ad equazioni goniomeriche omogenee di secondo grado. Sono equazioni del ipo: a sen b sen c d che non sono omogenee per la presenza del ermine d che non è di secondo grado. Tuavia si possono ricondurre ad equazioni omogenee di secondo grado moliplicando il ermine d per il numero sen oenendo: asen bsen c ( a d) sen d( sen bsen ( c d) ) che è un equazione omogenea di secondo grado in seno e eno. Esempio ( ) sen ( ) sen ( ) sen ( ) sen sen sen ( ) sen g g ( ) g g g

9 9. Equazioni che si risolvono con le formule di prosaferesi. Quese equazioni si risolvono applicando le formule di prosaferesi e riducendole ad equazoni goniomeriche elemenari. Esempio. sen sen sen sen sen sen sen sen sen sen ( ) sen sen. Sisemi di equazioni goniomeriche. Sono sisemi che conengono più equazioni, di cui almeno una è goniomerica. Si risolvono generalmene col meodo di sosiuzione. Esempio y y sen y sen y y Risolviamo a pare la seconda equazione: y sen y seny y y seny y si moliplica per y seny y si sommano i ermini simili seny y si divide per seny y si razionalizza il denominaore seny y y y Si possono usare le formule parameriche se g esise, cioè se cioè se y In al caso l equazione divena:

10 (9 ) 7 8 ( )( ) 7 7 Prima soluzione: ( )( ) 9 7 y y cioè g arcg Dalla abella pag 9 si vede che alla angene corrisponde l angolo e quindi possiamo dedurre 8 che alla angene corrisponde l angolo. 8 y Quindi avremo: arcg y e y cioè 8 ( )( ) Seconda soluzione: ( )( ) y cioè g 7 Dalla abella a pag 9 si vede che queso valore di angene non corrisponde ad alcun angolo noo, per cui la soluzione rimane scria ì. y arcg y arcg e y cioè arcg Volendo calcolare l angolo in gradi possiamo uilizzare la calcolarice imposaa in DEG. Avremo: y g g (,879 ),99 8,89 y 8,89, 89 7 Se invece y risula che g non esise e non si possono usare le formule parameriche. In al caso bisogna sosiuire queso valore di y nell equazione daa e vedere se anche ques angolo è soluzione dell equazione. Si oiene che: seny y sen ( ) NO Risolviamo lo sesso sisema goniomerico ricavando dalla prima equazione non la ma la y avremo uno svolgimeno più semplice. y y y sen y sen sen sen sen Risolviamo a pare la seconda equazione: sen sen sen sen sen

11 ( ) g e g y y Dalla abella a pag 9 si vede che queso valore di angene non corrisponde ad alcun angolo noo, per cui la soluzione rimane scria ì. arcg arcg e y cioè y arcg Volendo calcolare l angolo in gradi possiamo uilizzare la calcolarice imposaa in DEG. Avremo: g,9,899 e y,899 8, 89. Calcolo del dominio di alcune funzioni goniomeriche. Il Dominio D di una funzione reale di variabile reale è l insieme di ui i valori della variabile per i quali si può calcolare il valore corrispondene della funzione f (). Per deerminare il dominio delle funzioni goniomeriche bisogna imporre le segueni condizioni: - che le funzioni goniomeriche si possano calcolare - che evenuali denominaori siano diversi da zero - che evenuali radici con indice pari abbiano il radicando maggiore o uguale a zero. Esempio Calcolare il dominio della funzione: f ( ) sen La funzione sen si può calcolare R e perciò non bisogna imporre alcuna condizione La funzione si può calcolare R e perciò non bisogna imporre alcuna condizione Quindi il dominio della funzione f () è uguale all insieme di ui i numeri reali e si scrive: D R Esempio Calcolare il dominio della funzione: f ( ) sen g La funzione sen si può calcolare R e perciò non bisogna imporre alcuna condizione La funzione g si può calcolare con la condizione che Quindi il dominio della funzione f () risula: D R Esempio Calcolare il dominio della funzione: f ( ) g co g

12 La funzione g si può calcolare con la condizione che La funzione co g si può calcolare con la condizione che Si possono sineizzare quese due condizioni in una sola condizione scrivendo Quindi il dominio della funzione f () risula: D R Esempio Calcolare il dominio della funzione: f ( ) sen La funzione sen si può calcolare R e perciò non bisogna imporre alcuna condizione Il denominaore deve essere diverso da zero e perciò bisogna imporre la condizione: sen sen sen Quindi il dominio della funzione f () risula: D R. Calcolo del periodo delle funzioni goniomeriche. Sia y f () una funzione reale di variabile reale, avene Dominio D. Si dice che la funzione f () è periodica di periodo T se: D : T D e inolre f ( T ) f ( ) Una funzione periodica di periodo T ha il grafico idenico in ogni inervallo di ampiezza T. Le funzioni goniomeriche seno, eno, angene e le loro funzioni reciproche ecane, secane, coangene, sono le ipiche funzioni periodiche. La funzione f ( ) sen e la sua funzione reciproca f ( ) ec hanno il periodo T= sen La funzione f ( ) e la sua funzione reciproca f ( ) sec hanno ha il periodo T= La funzione f ( ) g e la sua funzione reciproca f ( ) co g hanno ha il periodo T= g Le funzioni goniomeriche più complesse hanno un periodo che si può calcolare come nei segueni esempi. Esempio Deerminare il periodo della funzione f ( ) sen Affinché la funzione sia periodica di periodo T deve risulare f ( T ) f ( ), cioè: sen ( T ) sen sen T sen 8 Per = si oiene il periodo principale: T T T Esempio Deerminare il periodo della funzione f ( ) g Affinché la funzione sia periodica di periodo T deve risulare f ( T ) f ( ), cioè: T 8

13 g T g g T g T T T Per = si oiene il periodo principale: T Esempio Deerminare il periodo della funzione f ( ) sen Per calcolare il periodo bisogna rasformare la funzione in modo che conenga una sola funzione goniomerica. La sruura della funzione ci ricorda la formula: sen sen che modificheremo opporunamene per oenere la nosra funzione f () sen sen sen sen sen sen Ad ambo i membri si sosiuisce l angolo con l angolo e si oiene: sen sen Quindi la funzione f () si può scrivere: f ( ) sen Per rovare il suo periodo bisogna porre: f ( T ) f ( ) cioè: sen( T) sen sen T sen T T T Per = si oiene il periodo principale: T Esempio Deerminare il periodo della funzione f ( ) sen Per calcolare il periodo bisogna rasformare la funzione in modo che non conenga il quadrao. La sruura della funzione ci ricorda la formula: sen che modificheremo opporunamene per oenere la nosra funzione f (). sen sen sen sen Ad ambo i membri si sosiuisce l angolo con l angolo e si oiene: sen sen Quindi la funzione f () si può scrivere: f ( ) Per rovare il suo periodo bisogna porre: f ( T ) f ( ) cioè: ( T ) e semplificando opporunamene si oiene: T T Per = si oiene il periodo principale: T T T 7 Esempio Deerminare il periodo della funzione f ( ) Per calcolare il periodo bisogna rasformare la funzione in modo che non conenga il quadrao.

14 La sruura della funzione ci ricorda la formula: che modificheremo opporunamene per oenere la nosra funzione f (). 7 Ad ambo i membri si sosiuisce l angolo con l angolo e si oiene: Quindi la funzione f () si può scrivere: f ( ) 7 Per rovare il suo periodo bisogna porre: f ( T ) f ( ) cioè: e semplificando opporunamene si oiene: 7( T) 7 7 7T 7 7 7T 7 7T T Per = si oiene il periodo principale: T 7 7 Esempio Daa la funzione f ( ) f( ) f( ) con f ( ) periodica di periodo T f ( ) periodica di periodo T deerminare il periodo della funzione somma f ) f ( ) f ( ) ( Se f ( ) ha periodo di essa si ripee dopo 9 ecc. Se f ( ) ha periodo di essa si ripee dopo 8 ecc. La funzione somma f ( ) f( ) f( ) si ripee quando si ripeono enrambe le funzioni ( ) Osservando ui i mulipli del primo periodo e ui i mulipli del secondo periodo si osserva che le due funzioni si ripeono enrambe in corrispondenza del più piccolo muliplo comune:. Possiamo generalizzare dicendo che: se una funzione f () è daa dalla somma algebrica di più funzioni: f ) f ( ) f ( ) f ( )... ( con f ( ) periodica di periodo T f ( ) periodica di periodo T f ( ) periodica di periodo T ecc. allora la funzione somma f () ha come periodo il minimo comune muliplo ra ui i periodi delle singole funzioni.. Le inersezioni di una funzione goniomerica con gli assi caresiani. Sono i puni in cui una funzione goniomerica inconra gli assi caresiani. Servono per disegnare in modo più preciso il grafico di una funzione goniomerica. Si ricavano risolvendo il sisema ra l asse con la funzione goniomerica e il sisema ra l asse y con la funzione goniomerica.. Esercizi vari e problemi di applicazione.