EQUAZIONI GONIOMETRICHE

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Mauro Di Giovanni
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1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE. EQUAZIONI ELEMENTARI: A FUNZIONE SENO: m con m x arcsin m k6 x 8 arcsin m k6 x k6 x 5 k6 sin(f (x)) sin(g(x)) f (x) g(x) k6 o f(x) 8 g(x) k6 sin(x ) sin(x ) x x k6 o x 8 (x ) k6 x 4 k6 o x 6 k6 6 x 4 k6 o x k B FUNZIONE COSENO: cosx n con n x/ arccos n k6 x 6 k6 / cos(f (x)) cos(g(x)) f (x) g(x) k6 cos(x ) cos(x ) x (x ) k6 x x k6 o x x k6 x 4 k6 o x k6 x 4 k6 o x k - -

2 C FUNZIONE TANGENTE: an x p con p x arcan p k8 an x x k8 an(f (x)) an(g(x)) f (x) g(x) k8 an(x ) an(x ) x x k8 x 4 k8. EQUAZIONI CONTENENTI UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA: Si effeua una sosiuzione ponendo la funzione goniomerica uguale ad una nuova incognia. 6 5 Si pone e l equazione divena: / 5 5 o (imposs.) eq. elemenari.. EQUAZIONI RIDUCIBILI AD UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA: Si uilizzano le relazioni fondamenali per rasformare le funzioni goniomeriche preseni in una sola di esse. Ricordiamo le relazioni fondamenali: an x co anx an x - -

3 Evidenemene conviene cambiare il coseno in seno uilizzando la prima relazione fondamenale della goniomeria: ( ) elemenari.... e e che sono eq. 4. EQ. RISOLUBILI MEDIANTE LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO: Occorre porare ui i ermini al primo membro e scomporre in faori. Poi si annullano i singoli faori. cosx cosx che sono due eq. elemenari: x 9 k6 x k6 5. FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE: Si applicano quando le funzioni goniomeriche hanno argomeni diversi. Ricordiamo le formule: y cos y sin y y cosy sin y cos x cos x cossin cos sin x k6 - -

4 6. FORMULE DI DUPLICAZIONE: Ricordiamo le formule: an x an x an x x 45 k6 x 8 45 k6 x 5 k6 7. FORMULE DI PROSTAFERESI: Si uilizzano quando è conveniene rasformare somme o differenze di funzioni goniomeriche in prodoi. Ricordiamo le formule: p q p q sin p sin q sin cos p q p q sin p sin q cos sin p q p q cos p cosq cos cos p q p q cos p cos q sin sin sin 4x sin8x sin 6x sin 6x si risolve con l applicazione della legge di annullameno del prodoo: x 9 k6 x 45 k8 x 9 k6 x 45 k8-4 -

5 8. FORMULE DI WERNER: Si uilizzano quando è conveniene rasformare prodoi di funzioni goniomeriche in somme o differenze. Ricordiamo le formule: sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cosx cos 4x cos 4x cos6x cos 4x cos6x cos 4x cos6x quesa è un eq. elemenare: 4x 6x k6 4x 6x k6 x k6 x k6 4x 6x k6 x k6 x k8 h8 Noa: la seconda soluzione è già conenua nella prima! 9. EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO: La forma canonica di ale equazione è: a bcosx c Disinguiamo due casi a seconda che c c. c In al caso, basa dividere ua l equazione per cosx oenendo un equazione nella sola funzione angene. an x an x x 6 k8 c In queso caso invece, dopo aver verificao se x 8 k6 è una possibile soluzione (e per queso baserà osservare se i coefficieni b e c sono uguali), occorre uilizzare le formule parameriche: - 5 -

6 an x dove x an b c quindi non c è la soluzione x 8 k6. Applichiamo le formule parameriche: 4 /... x x an 5 k8 x 7 k6 x x an 5 k8 x k6. EQUAZIONI OMOGENEE DI GRADO IN SENO E COSENO: Un equazione omogenea in seno e coseno è della forma: a b c Se uno dei coefficieni è nullo, l equazione si risolve riconducendosi ai casi precedeni. Ad esempio, se a= mancherà il primo ermine e si porà scomporre in faori il primo membro; quindi si applicherà la legge di annullameni del prodoo

7 di cui, la prima è elemenare e la seconda lineare senza ermine noo. Se invece i re coefficieni sono ui diversi da zero, si divide ua l equazione per (divisione che in queso caso si può sempre fare), oenendo un equazione nella sola funzione angene: a b c a b c a an x b an x c a b c an x an x 4 4 an x... an x/ an x.... EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD OMOGENEE DI GRADO IN SEN E COS: Si differenziano dalle precedeni perché in queso caso compare un ermine noo e ciò rende impossibile dividere ua l equazione per, a meno che non si operi una semplice rasformazione. La forma ipica con cui si presena è: a b c d Ricordando la prima relazione fondamenale della goniomeria, moliplichiamo il ermine noo per (che vale appuno ) oenendo: a b c d a b c d d Porando ui i ermini al primo membro e riducendo quelli simili, ci si è ricondoi ad una equazione omogenea di secondo grado

8 an x 4 an x

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