1 Formule trigonometriche

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1 Formule trigonometriche Relazione fondamentale cos x = sin x cosx = ± sin x cos x+sin x = sin x = x sinx = ± x Relazioni fra funzioni trigonometriche Si può esprimere la grandezza... cosx sinx tanx cotx facendo uso solo di cosx ± x ± x cosx facendo uso solo di sinx ± sin x ± sinx sin x ± cosx x sin ± x sinx facendo uso solo di tanx ± +tan x ± tanx +tan x tanx facendo uso solo di cotx ± cotx +cot x ± cotx +cot x cotx Relazioni fra archi associati π argomento x π +x π x π +x π x π +x π x grandezza cos sinx sinx x x sinx sinx cosx sin cosx cosx sinx sinx x x sinx tan cotx cotx tanx tanx cotx cotx tanx cot tanx tanx cotx cotx tanx tanx cotx Grandezze trigonometriche di particolari angoli misura misura in gradi in radianti cos x sin x tan x cot x (5+ 5) π/0 5 5(5 5) 5 0 π/ π/ 0 π/ 7 π/5 5 (5+ 5) π/ 0 0 5(5 5) 5

2 0 5 Formule per l addizione e la sottrazione degli archi cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny cos(x y) = cosxcosy +sinxsiny sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny sin(x y) = sinxcosy xsiny tan(x+y) = tanx+tany tanxtany tan(x y) = tanx tany +tanxtany Esempi numerici cos(75 ) = cos(5 +0 ) =... = cos(5 ) = cos(5 0 ) =... = + sin(75 ) = sin(5 +0 ) =... = + sin(5 ) = sin(5 0 ) =... = Formule di duplicazione degli archi (si ottengono dalle precedenti quando x = y) cos(x+x) = cosx = cos x sin x sin(x+x) = sinx = sinxcosx tan(x+x) = tanx = tanx +tan x 7 Formule di bisezione degli archi (si ottengono invertendo la relazione cosx = cos x sin x) ( x +cosx cos = ) ( x x ) sin = ( x tan = ) x +cosx Esempi numerici cos( ) = cos( 8 ) =... = + 5 sin( ) = sin( 8 ) =... = Esempi numerici cos9 = sin9 = +cos8 =... = 8 =... = (5 5) continua grandezze trigonometriche di particolari angoli misura misura in gradi in radianti cos x sin x tan x cot x 0 π π sin π 5 π π sin π 50 5π π sin π 80 π 0 sin0 tan0 cot0 0 7π π tan π cot π 5 5π π tan π cot π 0 π π tan π cot π 70 π cos π tan π cot π 00 5π cos π 5 7π cos π 0 π cos π

3 8 Formule di prostaferesi (addizione e sottrazione di seni e coseni, si ottengono invertendo le 5 ) sinx+siny = sin x+y sinx siny = cos x+y cosx+cosy = cos x+y cosxy = sin x+y cos x y sin x y cos x y sin x y 9 Formule di Werner (prodotti di seni e coseni, si ottengono invertendo le 5 ) sinx cosy = sin(x+y)+sin(x y) cosx siny = sin(x+y) sin(x y) cosx cosy = cos(x+y)+cos(x y) sinx siny = cos(x+y)(x y) 0 Formule parametriche (utili per la soluzione degli integrali, esprimono tutte le grandezze goniometriche in funzione di tan x/) sinx = tan x +tan x cosx = tan x +tan x tanx = tan x tan x cotx = tan x tan x

4 Limiti e derivate Limiti ( notevoli (a R + ) + a ) n ( = e a a ) n = e a n n n n sinx x 0 x = x x 0 x = tanx = x in radianti x 0 x sinx x 0 x = π x 80 x 0 (x ) = ( π ) 80 x in gradi lnx x + x a = 0 x a x + e x = 0 lnx = 0 x 0 +xa e x a x (+x) a = = lna = a x 0 x x 0 x x 0 x se a > x 0 +log ax = log ax = + x + x ax = 0 x + ax = + se 0 < a < x 0 +log ax = + log ax = x + x ax = + x + ax = 0 Derivate fondamentali Denominazione Funzione Derivata Costante k 0 Potenza x a ax a n Potenza (espo- x m m n n x n m nente frazionario) Coseno cosx sinx Seno sin x cos x Tangente tan x cos x = (+tan x) Cotangente cotx sin x = (+cot x) Esponenziale e x e x Esponenziale a x a x lna Logaritmitmica ln x x Logaritmica log a x x lna Arcocoseno arccos x x Arcoseno arcsin x x Arcotangente arctan x +x Arcocotangente arccotx +x L importanza dei radianti. attenzione! se si usano i gradi le formule delle derivate si complicano drasticamente Denom. Funzione Derivata Coseno cosx 80 π sinx Seno sinx 80 π cosx Tangente tanx 80 π Cotangente cotx 80 cos x π sin x

5 Derivare una funzione composta Denominazione Funzione Derivata Esempio Coseno cos[f(x)] sin[f(x)] g(x) = cos[ 0x ] g (x) = 0x sin[ 0x ] Seno sin[f(x)] cos[f(x)] g(x) = sin[ x] g (x) = x cos[ x] Tangente tan[f(x)] cos [f(x)] g(x) = tan[x ] g (x) = x cos [x ] Cotangente cot[f(x)] f (x) sin [f(x)] g(x) = cot[lnx] g (x) = sin [lnx] x Esponenziale e [f(x)] e [f(x)] g(x) = e [x5] g (x) = 0x e [x5 ] Esponenziale a [f(x)] a [f(x)] lna g(x) = [x5] g (x) = 0x [x5] ln Logaritmitmica ln[f(x)] f(x) g(x) = ln[8x +] g (x) = x 8x + Logaritmica log a [f(x)] f(x) lna g(x) = log [8x +] g (x) = x (8x +)ln Arcocoseno arccos[f(x)] [f(x)] Arcoseno arcsin[f(x)] [f(x)] Arcotangente arctan[f(x)] +[f(x)] Arcocotangente arccot[f(x)] f (x) +[f(x)]

6 Regole di derivazione derivare una funzione moltiplicata f(x) = k g(x) = k D[g(x)] = kg (x) per una costante derivare una somma algebrica f(x) = g(x)±h(x) = D[g(x)±h(x)] = di funzioni = g (x)±h (x) derivare un f(x) = g(x) h(x) = D[g(x)] h(x)+g(x) D[h(x)] = prodotto di funzioni = g (x)h(x)+g(x)h (x) derivare un quoziente o rapporto di funzioni f(x) = n(x) d(x) f (x) = D[n(x)] d(x) n(x) D[n(x)] [d(x)] = = n (x) d(x) n(x) d (x) [d(x)] derivare una funzione f(x) = g(x) h(x) = = D h(x) [g[h(x)]] D[h(x)] = composta = g[h(x)] = g h [h] h (x) Osservazione sul significato della derivata: la derivata primadi una funzionein un puntox 0, essendo uguale al coefficiente angolare m della retta tangente alla funzione in x 0, coincide numericamente con la tangente trigonometrica dell angolo α che la retta tangente alla funzione in x 0 forma con l asse delle ascisse. Vale quindi la catena di uguaglianze: f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = = m = tanα x x 0 x x 0

7 Teoria dell integrazione Il problema dell integrazione di una funzione si presenta sotto due aspetti: problema dell integrale indefinito problema dell integrale definito Trovare l insieme delle funzioni la cui derivata Trovare l area del trapezoide sia una data funzione f(x) deitato, nel piano cartesiano, da una data funzione f(t), dall asse t delle ascisse, e dalle rette di equazione t = a e t = x con x libero di variare. Determinazione dell insieme delle Determinazione della funzione primitive F(x) di f(x) integrale A(x) F(x) = f(x)+c f(x) = F (x) A(x) = x a f(t)dt Secondo il teorema fondamentale del calcolo integrale la derivata di A(x) fatta rispetto alla variabile x che è definita dalla relazione: A(x 0 ) A(x) x0 a f(t)dt x a f(t)dt x0 x f(t)dt = = x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x è proprio uguale a f(x). Poiché D[A(x)] = f(x), necessariamente A(x) è una delle primitive di f, ovvero A(x) F(x). Il problema del calcolo dell area del trapezoide è allora risolto dalla regola detta di Torricelli: A(b) = b a f(t)dt = F(b) F(a) F primitiva qualunque dif

8 . Integrare una funzione razionale fratta Sia f(x) una funzione razionale fratta, ovvero della forma f(x) = N(x) D(x) polinomi di grado generico. Sia dato poi da calcolare: con N(x) e D(x) f(x)dx = N(x) D(x) dx. Si presentano due casi: grado [N(x)] grado[d(x)] grado [N(x)] <grado[d(x)]. occorre eseguire la divisione fra polinomi Spesso avviene che il grado del numeratore è e scrivere la funzione nella forma inferiore di una unità a quello del f(x) = Q(x)+ R(x) denominatore, cioè che D(x) con Q(x) polinomio quoziente (funzione grado [N(x)] =grado[d(x)] intera) e R(x) resto della divisione. si cerca allora di ricorrere ad artifici per fare L integrale si riscrive allora nella forma: apparire a numeratore la derivata del N(x) f(x)dx = D(x) dx = Q(x) dx+ denominatore. R(x) + D(x) dx. Ci si riconduce a dover integrare un La primitiva è una funzione logaritmo. polinomio intero Q(x), che non presenta Se dopo ciò si presenta ancora una funzione problemi, e una funzione razionale con il fratta da integrare, il grado del numeratore di grado del numeratore inferiore a quello tale funzione sarà almeno di due unità inferiore del denominatore, cioè al caso. a quello del numeratore, cioè grado [N(x)] grado[d(x)]. Si presentano allora ancora due casi D(x) è scomponibile D(x) non è scomponibile cioè ammette radici ovvero non ammette reali radici reali si integra per si cerca di ricondursi fratti sempici ad una forma x +a La primitiva è La primitiva è una somma di logaritmi un arcotangente.

9 . Integrare per parti. Dalla regola della derivata di un prodotto D[g(x) h(x)] = g (x) h(x) + g(x) h (x), integrando entrambi i termini, si trova: D[g(x) h(x)]dx = D[g(x)] h(x)dx+ g(x) D[h(x)]dx da cui ricordando che D[g(x) h(x)]dx = g(x) h(x) + C,la regola di integrazione per parti: g(x) D[h(x)]dx = g(x) h(x) D[g(x)] h(x)dx+c Esempi: integrale della funzione logaritmo: lnxdx = lnx D[x]dx PER PARTI ==== xlnx D[lnx] xdx+c cioè lnxdx = xlnx xdx+c = xlnx x dx+c = xlnx x+c integrale della funzione arcotangente: PER PARTI arctanxdx = arctanx D[x]dx ==== xarctanx D[arctanx] xdx+c cioè: arctanxdx = xarctanx xarctanx +x xdx+c = D[x ] +x dx+c = xarctanx ln(+x )+C

10 Tavola degli integrali immediati /delle primitive elementari Denominazione Regola di Regola di derivazione Regola di Regola di integrazione esempio /Funzione derivazione generalizzata integrazione generalizzata Costante D[x] = D[f(x)] = ()dx = x+c dx = f(x)+c D[x ]dx = x +C sin(x) Potenza D[x α ] = αx α D[f α (x)] = αf α (x) x α dx = f α (x) dx = cos (x) dx = D[cos(x)] cos (x)dx (α R { }) = xα+ = fα+ (x) α+ α+ +C = (x) +C = cos (x) +C Reciproca D[lnx] = D[ x f(x) ] = f (x) f f(x) x dx = (x) sin(x) D[cos(x)] f(x) dx = cos(x) dx = dx = cos(x) = ln x +C = ln f(x) +C = ln cos(x) +C e Esponenziale D[e x ] = e x D[e f(x) ] = e f(x) e x dx = e f(x) f tan(x) (x)dx = cos (x) dx = e tan(x) D[tan(x)]dx = Esponenziale D[a x ] = a x lna D[a f(x) ] = lna a f(x) a > 0;a Coseno D[sinx] = cosx D[sin(f(x))] = cos(f(x)) Seno /// D[tanx] = cos x D[cosx] = sinx D[cos(f(x))] = sin(f(x)) D[tan(f(x))] = f (x) cos (f(x) /// D[arcsin x] = D[arcsin(f(x))] = = x f (x) = e x +C = e f(x) +C = e tan(x) +C a x dx = a f(x) dx = x xdx = a x lna +C cosxdx = = af(x) lna +C cos(f(x)) dx = = x x D[x ]dx = ln +C (x +)cos(x +x),dx = = cos(x +x) D[x +x]dx = = sinx+c = sin(f(x))+c = sin(x +x)+c sin(lnx) sinxdx = sin(f(x)) dx = dx = sin(ln x)d[ln x] dx x = x+c = (f(x))+c = (lnx)+c cos x dx = f (x) cos (f(x)) dx = e x cos (e x ) dx = D[e x ] cos (e x ) dx = = tanx+c = tan(f(x))+c = tan(e x )+C dx = f (x) x f (x) dx = x dx = D[x ] x (x ) dx = = arcsinx+c = arcsin(f(x))+c = arcsin(x )+C +x dx = f (x) +f (x) dx = e x +e x dx = /// D[arctanx] = D[arctan(f(x))] = f (x) +f (x) = +x = arctanx+c = arctan(f(x))+c = arctanex +C D[e x ] +(e x ) dx =