Esercizi 5. Sistemi lineari

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1 Esercizi 5 10\04\017 Sisemi lineari David Barbao Esercizio 1 (Appello ese 3). Dao il sisema lineare: x 1 + x + 3x 3 + 4x 4 = 0 x + x 3 + 3x 4 = 0 x 1 x x 3 x 4 = 0 (1) sia T lo spazio delle soluzioni e sia W := T. Deerminare una base per T, una base per W, un sisema lineare minimale che abbia T come spazio delle soluzioni e un sisema lineare minimale che abbia W come insieme delle soluzioni. Esercizio (Appello ese 3). Risolvere il seguene sisema lineare nelle incognie x, y, z al variare di R. y + ( )(z + 1) = 0 x y = 1 + y x + ( + )z = Esercizio 3 (Appello ese 3). Risolvere al variare di k in R il x + ky = k ky (y + z) = k k x + y + z = k(k + 1) Esercizio 4 (Appello ese 3). Risolvere al variare di in R il x + y + z + w = x + y + z + w = x + y + z + w = x + y + z + w = 1

2 Esercizio 5 (Compiino ese 1). Consideriamo il seguene sisema lineare nelle incognie x, y, z al variare di R: (3y + z) = ( + )y + 1 x + ( + )y = (3y + z) x z = 1 (a) Indicare per quali valori di R il sisema non ha soluzioni (b) Indicare per quali valori di R il sisema ha un unica soluzione. Calcolare qual è quesa soluzione. (c) Indicare per quali valori di R il sisema ha infinie soluzione. Calcolare l insieme S di ali soluzioni. Esercizio 6 (Appello ese 3). Risolvere al variare di k in R il kx + (1 k)y + z = k 3kx + (k 1)y + z = 1 kx z = 1 indicare in maniera chiara i valori di k per i quali non ci sono soluzioni, i valori di k per i quali la soluzione è unica e i valori di k per i quali ci sono infinie soluzini. Per i valori di k per i quali c è una sola soluzione calcolarla, infine per i valori di k per i quali le soluzioni sono infinie, rovare lo spazio affine delle soluzioni. Esercizio 7 (Appello ese 3). Risolvere al variare di in R il (x y) = x + y x + 3y z = x 3y z ( + 1)y + ( 1)z = sin(π) indicare in maniera chiara i valori di per i quali non ci sono soluzioni, i valori di per i quali la soluzione è unica e i valori di per i quali ci sono infinie soluzini. Per i valori di per i quali c è una sola soluzione calcolarla, infine per i valori di per i quali le soluzioni sono infinie, rovare l evenuale spazio affine delle soluzioni.

3 Esercizio 8 (Appello ese 3). Risolvere il seguene sisema lineare nelle incognie x, y, z al variare di R. ( + )(x + 1) + y = 0 z y = 1 ( )x + y z = Esercizio 9 (Appello ese 3). Risolvere al variare di in R il x = 1 x + y + z = 4z x = y indicare in maniera chiara i valori di per i quali non ci sono soluzioni, i valori di per i quali la soluzione è unica e i valori di per i quali ci sono infinie soluzini. Per i valori di per i quali c è una sola soluzione calcolarla, infine per i valori di per i quali le soluzioni sono infinie, rovare l evenuale spazio affine delle soluzioni. 3

4 Soluzioni Esercizio 1 Applichiamo il meodo di riduzione di Gauss Jordan alla marice associaa al sisema lineare Gauss Jordan Ci sono 3 pivo dunque T ha dimensione 4 3 = 1 e W ha dimensione 3. La base per W è daa da B W = ((1, 0, 0, 0), 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, )) Menre il sisema (1) è già un sisema minimale per T. La riduzione di Gauss- Jordan ci permee di calcolare rapidamene le soluzioni del sisema (1), ci sono 3 pivo sulle prime re colonne menre la quara è libera. Il sisema divena: da cui si oiene dunque x 1 = 0 x x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0 x 1 = 0 x = x 4 x 3 = x 4 T = {(0, x 4, x 4, x 4 ) x 4 R} = (0, 1,, 1) B T = (0, 1,, 1) menre un sisema minimale per W è dao da: { x x 3 + x 4 = 0 Esercizio Scriviamo la marice associaa al sisema e proviamo a ridurre con il meodo di Gauss-Jordan Gauss Jordan (E possibile che effeuando la riduzione in maniera diversa si oengano dei valori diversi nelle prime due posizione della erza e quara colonna, ciò non dovrebbe modificare la discussione che segue.) Analizziamo la marice 4

5 oenua, ci sono sicuramene due pivo sulle prime due colonne, menre per il erzo pivo bisogna capire cosa succede a +. Il caso = 0 è molo semplice e conviene farlo separaamene. Sosiuendo = 0 la marice divena quindi essendoci un pivo sulla colonna dei ermini noi, il sisema non ha soluzione. Caso > 0. Se > 0 allora = e dunque la marice divena: Poiché > 0 possiamo dividere per dunque per > 0 la soluzione è unica e si ha x = 1, y = 0, z = 1+. Caso < 0. Se vale < 0 allora = ovvero = sosiuendo si ha: Si disinguono due casi se = 1 allora 1 + = 0 e ci sono infinie soluzioni menre se è negaivo ma diverso da 1 allora non ci sono soluzioni. Caso = 1, sosiuendo si ha { x = z 3 y = z S = 1 = {( z 3, z, z) z R)} In conclusione per > 0 la soluzione è unica ed è daa da: x = 1, y = 0, z = 1+, per = 1 ci sono infinie soluzione e sono dae da: S = 1 = {( z 3, z, z) z R)} ovvero S = 1 = ( 3,, 0) + (,, 1). Per ui gli alri valori di ovvero 0 ma diverso da 1 il sisema non ha soluzioni. Esercizio 3 CASO k = 0 infinie soluzioni S =1 = (1, 0, 0) 5

6 CASO k 0 soluzione unica x = k S k 0 = {(k, k 1, 1 k + k )} = y = k 1 z = 1 k + k Esercizio 4 CASO = 1 nessuna soluzione 3 CASO = 1 infinie soluzioni S =1 = {(1 y z w, y, z, w) y, z, w R} dim(s =1 ) = 3. CASO / { 1, 1} soluzione unica: 3 x = y = z = w = Esercizio 5 CASO = 1 infinie soluzioni S =1 = (1, 0, 0) CASO = 1 infinie soluzioni S = 1 = {(1, y, ) y R} = {(1, y, 1) y R} CASO = nessuna soluzione CASO =/ {1, } soluzione unica: Esercizio 7 CASO = 1 infinie soluzioni x = 1 y = +1 z = S =1 = (1, 0, 0) 6

7 CASO = 1 infinie soluzioni S = 1 = (1, 0, 0), (0, 1, 0) CASO = 1 nessuna soluzione CASO =/ { 1, 1, 1} soluzione unica: x = y = z = sin π 1 sin π 1+ sin π 1 Esercizio 8 Per = 1 ci sono infinie soluzioni {( } z 3 S =1 =, z + 1, z) z R per < 0 la soluzione è unica ( ) 1 S <0 =, 0, 1 per [0, 1) (1, ) non ci sono soluzioni. 7